抛物线定义及其标准方程高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

想一想？请同学们思考两个问题1、对于抛物线你能想到什么呢？2、二次函数的图像为抛物线，开口方向是怎样的呢？如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？情景引入平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点。定直线L叫做抛物线的准线。

抛物线的定义：即:︳︳︳︳··FMLNlNFM··求曲线方程的基本步骤是怎样的？想一想？抛物线标准方程的推导1.建:建立直角坐标系.3.列:根据条件列出等式;4.代:代入坐标与数据;5.化:化简方程.2.设:设点(x,y);回顾求曲线方程一般步骤：设焦点到准线的距离为常数P(P>0)如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢？抛物线标准方程的推导试一试？··FMlN则F（，0），L：x=-

p2p2设动点M的坐标为（x，y）化简得y2=2px（p＞0）2取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴，抛物线标准方程的推导：解：如图，设︱KF︱=p(p>0)由抛物线的定义可知，xyo··FMLNK方程

y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程其中p为正常数，它的几何意义是:

焦点到准线的距离抛物线的标准方程：即右焦点F（，0），左准线L：x=-

p2p2但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。方程

y2=2px（p＞0）表示的抛物线，其焦点位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴抛物线的标准方程：yxo﹒抛物线的标准方程还有哪些形式?想一想？抛物线的标准方程其它形式的抛物线的焦点与准线又如何呢？抛物线方程左右型标准方程为y2=+2px(p>0)开口向右:y2=2px(x≥0)开口向左:y2=-2px(x≤0)标准方程为x2=+2py(p>0)开口向上:x2=2py(y≥0)开口向下:x2=-2py(y≤0)抛物线的标准方程:上下型准线方程焦点坐标标准方程焦点位置图

形

四种抛物线及其它们的标准方程:

x轴的正半轴上

x轴的负半轴上

y轴的正半轴上

y轴的负半轴上y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----

第一：一次项的变量如为X（或Y）

则焦点就在X轴（或Y轴）上。

抛物线的特征：

如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？第二：一次项系数的正负决定了开口

方向

即：焦点与一次项变量相同；一次项系数正负决定开口方向

例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；

（2）已知抛物线的方程是y=－6x2,

求它的焦点坐标和准线方程；

（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），

求它的标准方程。解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x=-8y232解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）32准线方程为x=-

－.解:方程可化为:

故焦点坐标为,准线方程为例题讲解:1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

（1）y2=20x（2）y=2x2（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0焦点坐标准线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2练习1：注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）（2）准线方程是x=（3）焦点到准线的距离是2解：y2=12x解：y2=x解：y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y练习2：反思研究已知抛物线的标准方程

先定位，后定量求其焦点坐标和准线方程例2：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。．AOyx解:由点在第二象限，(1)设抛物线的标准方程为

x2=2py，把A（-3，2）代入,得p=

(2)设抛物线的标准方程为y2=-2px，

把A（-3，2）代入,得p=∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x

。例题讲解:提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设

抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py练习3：已知抛物线经过点P(4,－2)，