2023年山东省济南市钢城区中考数学一模试卷

2023年山东省济南市钢城区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.-2的绝对值是（）

A.-2B.2C・D4

2.由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体

的形状图是（）

正面

既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

费马螺线

4.如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上.若41=30°,Z2=70°,

则43的度数是（）

A.30°

B.40°

C.50°

D.60°

5.中华人民共和国第十四届人民代表大会第一次会议政府工作报告指出：2023年国内生产

总值预期增长目标5%左右，城镇新增就业1200万人左右，将1200万用科学记数法表示为（）

A.12x106B.1.2x107C.1.2x108D.0.12x108

6.下列计算正确的是（）

A.4a-2a=2B.a8-r-a4=a2C.a2-a3=a5D.（b2）3=b5

7.已知实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）

1gl।12111»

-3-2-10I23

A.a+b>0B.ab>0C.（—a）+b<0D.|b|<|a|

8.“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了4,B,C,。四枚纪念章

（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长

征火箭”和“天宫一号”的图案.她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取

两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概

率是（）

A.嫦娥五号B.天间一号

C.长征火箭D.六;“一弓

73D1

A.4-2-

12

9.如图，在平行四边形ABC。中，以点4为圆心，力D长为半径

作弧交AB于点E,再分别以点D,E为圆心，大于的长为半

AB

径作弧，两弧交于点P,作射线力P交CD于点尸若AB=8,BF=5,则ABCF的周长为()

A.11B.12C.13D.14

10.若点P(x,yi)与Q(x,y2)分别是两个函数图象G与的上的任一点•当aW久Wb时，有-14

丫1一丫2W1成立，则称这两个函数在a<x<b上是"相邻函数".例如，点P(x,yJ与Q(x,y2)

分别是两个函数y=3x+1与y=2x—1图象上的任一点，当—1时，yx-y2=

(3x+l)—(2x-l)=x+2,它在一1上，-12sl成立，因此这两个函数

在一3WxW—l上是“相邻函数”.若函数丫=/一％与、=。%在00%三2上是“相令B函数”，

求a的取值范围.()

11

A.-3<a<1B.-<a<1C.a>-D.1<a<|

二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)

11.因式分解：l-4y2=

12.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随

机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上)，击中阴影部分的概率为

13.方程二w=-1的解为____-

x-3x+l

14.已知x=1是方程/-3x+c=0的一个根，则实数c的值是.

15.如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的Si，S2,S3

满足的数量关系是.现将△力BF向上翻折，如图②，已知IS尹=6,Sz=5,S丙=4,

则△力BC的面积是.

图②

16.如图，在菱形4BC0中，过点。作DE，CD交对角线4c于点E,连接BE,点P是线段BE上

一动点，作P关于直线DE的对称点P',点Q是AC上一动点，连接P'Q,DQ,若AE=14,CE=18,

则DQ—P'Q的最大值为

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.计算：（7r-l）°+4sin45°-C+|-3|.

四、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.（本小题6.0分）

r5x-2>3（x-1）

解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.

[―<4-%

19.（本小题6.0分）

如图，已知正方形ABC。，P是对角线4c上任意一点，P不与4、C重合，求证：々IBP=AADP.

20.（本小题8.0分）

为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽

取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述

和分析,下面给出了部分信息.

a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下：

频数

(数据分成5组：6<%<8,8<x<10,10<x<12,12<%<14,14<%<16)

b,甲城市邮政企业4月份收入的数据在10<x<12这一组的是：10.0,10.0,10.1,10.9,11.4,

11.5,11.6,11.8

c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题：

(1)甲城市抽取4月份收入数据在8<%<10的有家邮政企业，并补全频数分布直方图;

(2)写出表中zn的值；

(3)在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为由.在

乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为「2•比较Pi，

P2的大小，并说明理由；

(4)若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出结果).

21.(本小题8.0分)

脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋,如图②是房屋

的侧面示意图，它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高AB所在的直线.为了测量房屋的高度，

在地面上C点测得屋项4的仰角为35。，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上4点三点恰好共

线，继续向房屋方向走8m到达点。时一，又测得屋檐E点的仰角为55。，房屋的顶层横梁EF=

12m,E77/CB,4B交EF于点G(点C,D,B在同一水平线上).(参考数据：s讥35。〜0.6,cos35°«

0.8,ma35°®0.7,sin55°«0.8,cos55°«0.6,tan55°®1.4)

(1)求屋项到横梁的距离4G；

(2)求房屋的高48.

22.(本小题8.0分)

如图，在AABC中，AB=AC,以4B为直径作。。与4C交于点E,过点4作。。的切线交BC的

延长线于点D.

(1)求证：ZD=乙EBC；

(2)若CD=2BC,AE=3,求。。的半径.

23.(本小题10.0分)

端午节前夕，某超市从厂家分两次购进4、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的

进价不变.第一次购进4品牌粽子100袋和8品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进4品

牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元.

(1)求4B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；

(2)该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋，且4品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2

倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？

24.(本小题10.0分)

已知一次函数y1=+2与反比例函数丫2=1的图象交于4(2,TH)、B两点，交y轴于点C.

(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；

(2)过点C的直线交%轴于点E,且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；

(3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边

形”.设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形APBQ

是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标和的值.

25.(本小题12.0分)

在△A8C与△4DE中，连接OC,点M、N分别为OE和OC的中点，连接CE.

(1)【观察猜想】

如图①，若AB=AC,AD=AE,^BAC=Z.DAE=60°,MN与BC的数量关系是；

(2)【类比探究】

如图②，若4B=4C,AD=AE,ABAC=ADAE=90°,请写出MN与BO的数量关系并就图

②的情形说明理由；

(3)【解决问题】

如图③，Z.BAC=ADAE=90°,44cB=Z.AED=30°,3AD=AB=6,将4力DE绕点4进

行旋转，当点。落在△ABC的边上时，请求出MN的长.

26.(本小题12.0分)

已知抛物线y=a/+"+c与》轴交于做一1,0),8(5,0)两点，C为抛物线的顶点，抛物线的

对称轴交x轴于点D，连接AC、BC,且tan/CBO=$如图所示.

(1)求抛物线的解析式;

(2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点.

①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E,过点E作EFJ.PE交抛物线于点F,连接FB、FC,

求^BCF的面积的最大值；

②连接PB，求得PC+PB的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质.

根据绝对值的定义，可直接得出-2的绝对值.

【解答】

解：|一2|=2.

故选:B.

2.【答案】C

【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示:

故选：C.

根据从左边看得到的图形是左视图，进而得出答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图,

从上边看得到的图形是俯视图.

3.【答案】B

【解析】解：4该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

员该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

。.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：B.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋

转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直

线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正

方形、长方形等等.常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.

4.【答案】B

直尺/BCD中，AB//CD,

，42=44=70°,

v44+45=180°,

・・・Z5=180°-70°=110°,

•・•+43+乙5=180°,Z.1=30°,

・・・Z3=180°-zl-Z.5=180°-30°-110°=40°,

故选：B.

根据力B〃CD,先算出N4的度数，根据邻补角再算出45的度数，根据三角形内角和即可求解.

本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：1200万=12000000,

用科学记数法表示为1.2x107.

故选：B.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1S|a|<10,n为整数，确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.

本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为ax10n的形式，其中lW|a|<10,n为整数是关

键.

6.【答案】C

【解析】解：4中4a-2a=2a42,错误，故不符合要求;

B中a'-T-a4=a4*a2,错误，故不符合要求；

C中a2-a3=a5,正确，故符合要求；

。中(炉)3=664。5,错误，故不符合要求；

故选C.

根据整式的减法运算，同底数幕的乘法、除法运算，累的乘方进行运算求解，然后进行判断即可.

本题考查了合并同类项，同底数嘉的乘法、除法运算，塞的乘方等知识.解题的关键在于正确的

运算.

7.【答案】D

【解析】解：4由数轴可知：-3<a<-2,0<b<1,可得一3<a+b<-1<0,故A选项不

符合题意.

B.由数轴可知：-3<a<—2,0<6<1,可得ab<0,故8选项不符合题意.

C.由数轴可知：-3<a<-2,0cb<1,可得2<-a<3,可得0<2<(-a)+b<4,故C

选项不符合题意.

D由数轴可知：-3<a<-2,0<b<l,可得2<|a|<3,0<\b\<1,即网<|a|,故。选

项符合题意.

故选：D.

根据数轴的相关知识，绝对值、相反数等基础内容，逐一验证即可.

本题考查了数轴上实数的大小比较，绝对值以及相反数的知识点考查.

8.【答案】D

【解析】解：画树状图如下:

开始

共有12种等可能的结果，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“4嫦娥五号”图案

的结果有：AB,AC,AD,BA,CA,DA,共6种,

•••小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为工=：.

故选：D.

画树状图得出所有等可能的结果数以及小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”

图案的结果数，再利用概率公式可得出答案.

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：由作图得：/1P平分4B4D,

•••乙DAP=乙PAB,

在平行四边形4BC。中，有AO=BC,AB//CD,CD=AB=8,

Z.PAB-Z.AFD=Z.DAF,

AD=DF=BC,

•••△BCF的周长为：BC+CF+BF=DF+CF+BF=CD+BF=AB+CD=13,

故选：C.

先根据作图得4P平分4B4D,再根据平行四边形的性质求解.

本题考查了作图，掌握平行四边形的性质是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：•.•函数y=——%与丫=也在0WXW2上是“相邻函数”，

二构造函数y=%2-(a4-l)x,在0<%<2上一1<y<1.

根据抛物线y=x2-(a+l)x对称轴的位置不同，分四种情况：

「最小=0+0=0

&最大=4-2(a+1)W/

解得：

此时无解;

②当0〈等W1,即一1Was1时（如图2）,

,Q+1、2,d、a+l、［

y最小=)—(za+1)—-1

，最大=4-2(a+l)<l

解得：1<a<1,

a<1.

③当14等S2,即l＜aW3时（如图3）,

y最小=(竽)2_(a+l)号

y最大=0+°=0

解得：—3<a<1,

此时无解;

④当2＜等，即。＞3时（如图4）,

”小=4-2（a+l）>-l

b最大=0，

解得：aSI，

此时无解.

综上可知，若函数y=无？一x与y=ax在0<x<2上是“相邻函数”，贝Ua的取值范围为：<a<l.

故选:B.

由函数y=/一^与丫=ax在0SxS2上是"相邻函数”，构造函数y=/一缶+1）》,根据抛

物线的位置不同，令其最大值W1,最小值2-1,解关于a的不等式组即可得出结论.

本题考查了二次函数与不等式的应用，解题的关键是按抛物线的对称轴不同结合“相邻函数”的

定义找出关于a的不等式组.

11.【答案】（1一2、）（1+2、）

【解析】解：=仔_团）（）（）

1-4y22=1_2yi+2y.

故答案为：（l-2y）（l+2y）.

根据平方差公式解答即可.

本题考查因式分解.掌握运用平方差公式分解因式是解题关键.

12.【答案】1

【解析】解：•••总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积，

.♦.击中阴影部分的概率是:=小

故答案为:j.

根据几何概率的求解公式即可求解.

此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知几何概率的公式.

13.【答案】x=5

【解析】解：去分母得：%4-1=3（%-3）,

去括号得：x+1=3%—9,

移项合并得：一2X=一10,

解得：x=5,

经检验x=5是分式方程的解.

故答案为：x=5

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求

解.解分式方程一定注意要验根.

14.【答案】2

【解析】解：：x=l是方程/一3x+c=0的一个根，

***1-3+c=0,

解得:c=2,

故答案为：2.

根据一元二次方程的解的定义，将x=l,代入原方程，得到关于c的一元一次方程，解方程即可

求解.

本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键.一元二

次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解.

15.【答案】Sx+S2=S37

【解析】解：•.•乙4cB=90°,

•••AC2+BC2=AB2,

•••△4CE、△BC。、A4BF是等边三角形，

••.Si=?4c2,S2=?BC2,S3=?4B2,SI+S2=

?(4C2+BC2)=?AB2=S3，

即SI+S2=S3；

设△ABC的面积为S,图②中2个白色图形的面积分别为a、b,如图②所示:

,:S1+$2=S3,

•••S伊+a+S/+b=S^+a+b+S,

•0•s甲+S乙=s丙+s,

S=SSy--S=64-5—4=7.

T乙丙'

故答案为：S1+S2=$3；7.

2

由勾股定理得出4C2+BC2=4辟，由等边三角形的面积公式得出S1=三力。2,S2=^?BC,

44

2

s3=^AB,得出S[+S2=S3；设△ABC的面积为S,图②中2个白色图形的面积分别为a、b,

由S]+S2=S3,得出S/+a+Sz+b=S^+a+b+S,得出S/+5乙=S丙+S,即可得出答案.

本题考查了翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾

股定理是解题的关键.

16.【答案】亨

【解析】解：如图，连接BD交4c于点。，过点。作DK1BC于点B,延长DE交AB于点R,连接EP'

交AB于点J,作E/关于AC的对称线段切'，则DP'的对应点P"在线段E/'上.

当。，P",Q共线时，QO-QP'的值最大，最大值是线段0P”的长，

当点P与8重合时，点P”与/重合，此时。Q-QP'的值最大，最大值是线段的长，也就是线段引

的长.

•••四边形ABCD是菱形，

:.AC±BD,AO=0C,

•・・AE=14.EC=18,

・・・AC=32,AO=0C=16,

:.OE=AO-AE=16-14=2,

,:DE工CD,

・・・乙DOE=乙EDC=90°,

•・,乙DEO=乙DEC,

EDO^LECD,

2

ADE=EOEC=36,

DE=EB=EJ=6,

・•,CD=VEC2-DE2=V182-62=12。，

:.OD=VDE2—OE2=V62—22=4A/-2»

.・.BD=

1

vS^DCB=泰OC，BD=BC・DK,

|X16X8XT216

・•・DK=2---=—

12s3

•・•乙BER=乙DCK,

・・•Sinz-BER=sin乙DCK=票=侍三=三丁，

CDizvLy

4J~28AT2

・・・RB=BE•若=------,

93

vEJ=EB,ERLB],

:.JR=BR=手，

■■JB==

••.DQ-P'Q的最大值为警1

故答案为：竽.

如图，连接BD交AC于点。，过点。作。K1.BC于点8,延长DE交ZB于点R,连接EP'交于点/,

作£7关于4c的对称线段切'，则。P'的对应点P”在线段E/上.当点P是定点时，DQ-QP'=AD-

QP"，当。，P”，Q共线时，Q0-QP'的值最大，最大值是线段CP”的长，当点P与B重合时，点P”与

，重合，此时DQ-QP'的值最大，最大值是线段刃'的长，也就是线段叼的长.解直角三角形求出

BJ,可得结论.

本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称

解决最值问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

17.【答案】解：原式=l+4x。—2/2+3

=1+2。-2「+3

=4.

【解析】直接利用零指数基的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分

别化简，进而合并得出答案.

此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.

5x-2>3(x-1)①

18.【答案】解:与W4-x②

解不等式①得：%>-1)

解不等式②得：x<3,

不等式的解集为：—：<xW3,

在数轴上表示为:

IIII।।।।।A

-5-4-3-2-dJ_O12345

~2

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可.

本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据

不等式的解集求出不等式组的解集.

19.【答案】证明：•••四边形力BCD是正方形，

・•・AB=AD,乙BAP=乙DAP,

・•・在和中，

AB=AD

Z.BAP=乙DAP,

AP=AP

・•・Z.ABP=Z-ADP.

【解析】依据四边形"CD是正方形，即可得出=NB4P="4P,进而判定△ABPwa

ADP(SAS^即可得出=4/DP.

本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注

意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.

20.【答案】7

【解析】解：(1)甲城市抽取4月份收入数据在8<x<10的有25-3-8-3-4=7；

(2)将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1,

因此中位数是10.1,即m=10.1；

(3)由题意得pi=5+3+4=12(家)，

由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0,中位数是11.5,

因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，

也就是P2的值至少为13,

Pl<P2；

(4)11.0x200=2200(百万元),

答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元.

(1)总数减去其它数目即可得答案；

(2)根据中位数的意义，求出甲城市抽样25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，得出处在第

13位的数据即可；

(3)根据pi，P2所表示的意义，结合两个城市抽取的邮政企业4月份的营业额的具体数据，得出答

案；

(4)根据乙城市邮政企业4月份营业额的平均数以及企业的数量进行计算即可.

本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提.

21.【答案】解：(I)、・房屋的侧面示意图，它是一个轴对

称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF//BC,

•••AGLEF,EG=^EF,/-AEG=/LACB=35°,

在RtAAGE中，^AGE=90°,/.AEG=35°,

图②

4/7,

•••tan〃EG=tan35°=茄，EG=6米,

.-.AG=6x0.7=4.2（米）;

答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米;

（2）过E作EH1CB于H,

设EH=x米,

在中，Z.EHD=90°,Z.EDH=60°,

FH

VtanzEDH=能

DH

,1,DH=

在RtAECH中，Z.EHC=90°,Z.ECH=35°,

FH

•・•tanzFCH=—,

CH

"CH=

・・・CH-DH=CD=8米,

XX

=8,

tan350tan550

解得：%~11.2,

AB=AG+BG=11.2+4.2«15.4（米）,

答：房屋的高ZB约为15.4米.

【解析】（1）根据题意得到AG1EF,EG=\EF,^AEG=cACB=35°,解直角三角形即可得到

结论;

（2）过E作EH1CB于H,设EH=x,解直角三角形即可得到结论.

本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并

结合图形利用三角函数解宜角三角形.

22.【答案】（1）证明：•••AD与。。相切于点4,

・・・Z.DAO=90°,

•••Z.D+Z.ABD=90°,

••,4B是。。的直径,

•••Z-AEB=90°,

・•・(BEC=180°-Z,AEB=90°,

・・・4ACB+4EBC=90。，

-AB=AC,

:.Z.ACB=Z.ABC,

••・Z-D=乙EBC；

(2)解：・・・CD=2BC,

・•・BD=3BC,

•・•Z.DAB=乙CEB=90°,乙D=乙EBC,

*'•△DAB~XBEC,

BDAB

•••丽=丽o=3,

AB=SEC,

-AB=AC,AE=3,

:.AE+EC=AB,

:.3+EC=3EC,

・•.EC=1.5,

••-AB=3EC=4.5,

・・・。。的半径为2.25.

【解析】(1)根据切线的性质可得NZMO=90。，从而可得NO+^ABD=90。，根据直径所对的圆

周角是直角可得/BEC=90°,从而可得44cB+乙EBC=90°,然后利用等腰三角形的性质可得

乙4cB=乙4BC,从而利用等角的余角相等即可解答；

(2)根据己知可得BD=3BC,然后利用(1)的结论可得△OABs^BEC,从而利用相似三角形的性

质可得4B=3EC,然后根据4B=4C,进行计算即可解答.

本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握

切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

23.【答案】解：(1)4种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，

相提联音俎f100x+邛。'=7000

根据题思得'(180x+120y=8100，

解得｛江扉

答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元;

(2)设超市购进B种品牌的粽子小袋，4种品牌的粽子(300-m)袋，总费用为W元，

依题意，得〃=25(300-m)+30m=5m+7500,

v5>0,

加随m的增大而增大，

•・,300—m<2m,

・•・m>100,

TH=100时，”有最小值，此时购进B种品牌的粽子100袋，4种品牌的粽子200袋，

IV=5x1004-7500=8000(元).

答：购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，能使总费用最低.

【解析】(1)4种品牌粽子每袋的进价是％元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，

可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设超市购进B种品牌的粽子加袋，4种品牌的粽子(300-Tn)袋，总费用为W元，依题意得出此=

5m+7500,根据一次函数的性质可得出答案.

本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键

是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系.

24.【答案】解：(1)：一次函数旷1=2%+2图象过做2,血)，

1

m=-x2+2=3,

・・・4(2,3),

・♦•反比例函数丫2=［的图象过点a(2,3),

fc=2x3=6,

・••反比例函数的表达式为'2=5，

・•.B点的坐标为(一6,-1)；

(2)令％=0,则y=gx+2=2,

・•・C(0,2),

设直线CE的解析式为y=Q%+2,

由ax+2=：整理得，ax2+2x-6=0,

・•・直线CE与反比例函数图象只有一个交点,

2

AZl=2—4a-(—6)=0,

1

a=-7,

o

1.r

y=--%+2,

令y=0,则％=12,

・•.E点的坐标为(12,0)

/.CE=7122+22=27-37；

(3)如图，当乙APB=90。时，点B作BN1y轴于N,AM1y轴于M,48与PQ的交点为D,PD=QD,

设P点的坐标为(0,九),

•・•Z.APM+乙BPN=90°=Z.APM+乙P4M,

・・・乙BPN=Z.PAM,

vZ.AMP=乙PNB=90°,PA=BP,

/.△APM=^P8N(44S),

/.PN=AMfBN=PM,

3—n=6,

:，n=—3

・・・P(0,-3),

设Q(x,§(x>0),

“133

"Z)(2X-x-2、)，

•・•点。在一次函数yi=+2图象上，

=+整理得/+14%-12=0,

x222

解得x=，■西一7(负数舍去)，

•••Q点的横坐标勺的值为一瓦-7.

【解析】(1)由一次函数解析式求得点4,然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析

式联立成方程组，解方程组即可求得点8的坐标；

(2)设直线CE的解析式为y=ax+2,由ax+2=：整理得，a/+2x-6=0,根据题意得到Z=

22-4a-(-6)=0,求得a=-；,即可得到直线CE的解析式，从而即可求得E点的坐标，然后利

用勾股定理即可求得CE；

⑶通过证得AAPM三△P8N(44S),得出PN=AM,BN=PM,即可得出点P的坐标，进而表示

出点D的坐标，代入％=：x+2,解方程即可求得点Q的横坐标.

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求

反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

25.【答案】BD=2MN

【解析】解：(1)连接CE,延长CE交于点Q,交直线BD于点G,

图1

•.,点M、N分别为DE和DC的中点，

•••MN//CE,CE=2MN,

・•・乙BPM=乙QGB,

vZ-BAC=Z-DAE=60°,

:.Z-DAE-Z.BAE=Z.BAC-Z.BAE,

^Z.DAB=/.EAC,

vAB=AC,AD=AE,

•••△ADB三△AEC(SAS),

・•・Z,DBA=£.ECA,BD=CE=2MN.

故答案为：BD=2MN；

(2)80=2MN.

理由：连接CE,延长CE交AB于点Q,交直线BD于点G,

图2

•・•点M、N分别为DE和DC的中点，

/.M/V//CE,CE=2MN,

・•・乙BPM=乙QGB,

•・•Z.BAC=ADAE=60°,

**•Z-DAE-Z.BAE=Z-BAC—Z-BAE,

^i^DAB=Z.EAC,

-AB=AC,AD=AE,

•••△4D8wUEC(S4S),

:.Z-DBA=Z.ECA,BD=CE=2MN；

(3)连接BD,CE,则CE=「BD,同(2)可得MN=：EC,

MN=?8。，

•••点。在以A为圆心，力D长为半径的圆上，故分四种情况讨论:

①当点。落在4c上时，

F

，AD=2；

/.BD=VAB2+AD2=762+22=

MN=三BO=V30;

②当点。落在BA的延长线上时，

图4

:.BD=AB4-AD=8,

...MN=?8D=4，

③当点。落在CA的延长线上时,

图5

此时BD=27"T0.

...MN=

④当点。落在边AB上时,

A

.•・BD=AB—AD=4,

MN=WBD=2V3.

综上所述，MN的长为，3U或4