第二章 一元函数的导数和微分VIP

PAGEPAGE32第二章一元函数的导数和微分微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分，其中导数反映出函数相对于自变量的变化而变化的快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数值变化的近似值.第一节导数的概念在科学研究和工程技术中，常常遇到求变量的变化率的问题。例如，物体作匀速直线运动时，其速度为物体在时刻t0到t的位移差s(t)s(t0)与相应的时间差tt0的商.如果物体作变速直线运动，则上面的公式就不能用来求物体在某一时刻的瞬时速度了.不过，我们可先求出物体从时刻t0到t的平均速度，然后假定t→t0,求平均速度的极限，并以此极限作为物体在t0时刻的瞬时速度.从数学角度来看，叫做函数y=f(x)在x0与x的差商，而把x→x0时，该差商的极限值(如果存在的话)叫做函数f(x)在x0处的导数.一般说来，工程技术中一个变量相对于另一个变量的变化率问题，可以化成求导数的问题进行处理.一、导数的定义定义设函数y=f(x)在U(x0)内有定义.如果极限存在，则称该极限值为f(x)在点x0处的导数，记为，(231)此时也称函数f(x)在点x0可导.函数f(x)在点x0处的导数还可记为；；.导数f′(x0)可以表示为下面的增量形式.(232)如果(231)式和式(232)中右边的极限不存在，则称f(x)在点x0不可导.当=∞时，我们通常说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都可导，则称f(x)在此开区间(a，b)内可导.这时，x∈(a，b)，对应着f(x)的一个确定的导数值，这是一个新的函数关系，称该函数为原来函数f(x)的导函数，记为f′(x)，y′，，等，此时,x∈(a,b).显然，f(x)在点x0∈(a，b)的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x=x0处的函数值：.为方便起见，我们简称函数的导函数为导数.由函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)的定义可知，它是一种极限：，而极限存在的充要条件是左、右极限都存在且相等.因此f′(x0)存在(即f(x)在点x0可导)的充要条件应是下面的左、右极限，都存在且相等.我们将这两个极限分别称为函数f(x)在x0处的左导数和右导数，记为f′(x0)和f′+(x0)，即，或写成增量形式：，.定理1函数y=f(x)在点x0可导的充要条件是f′(x0)及f′+(x0)存在且相等.该定理实际上是第一章第四节中定理2的推论.例1函数f(x)=｜x｜在点x=0处是否可导？解因为，所以,，由于f′+(0)≠f′(0),因此f(x)=｜x｜在x=0处不可导.例2研究函数在点x=0处的可导性.解易知f(x)在点x=0处连续，而,，由于f′+(0)=f′(0)=1，故f(x)在点x=0处可导，且f′(0)=1.例3求函数f(x)=C，x∈(∞，+∞)的导数，其中C为常数.解，即(C)′=0.通常说成：常数的导数等于零.例4设y=xn，n为正整数，求y′.解,即(xn)′=nxn1.特别地，n=1时，有(x)′=1.例5设y=sinx，求y′.解即(sinx)′=cosx.例6设y=cosx，x∈(∞，+∞)，求y′.解，即(cosx)′=sinx.例7设y=ax，x∈(∞，+∞)，a＞0，求y′.解注意到u→0时，eu1~u，从而，即(ax)′=axlna(a＞0).特别地(ex)′=ex.例8设y=loglogax，x∈(0，+∞)，a＞0且a≠1，求y′.解，即(loglogax)′=.特别地.例9设y=x3，求y′｜x=2.解因为y′=(x3)′=3x31=3x2，所以y′｜x=2=3x2｜x=2=3×22=12.下面我们讨论可导与连续的关系.定理2若y=f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0必连续.证因为f(x)在点x0可导，即存在.由无穷小量与函数极限的关系得,其中α→0(x→x0)，于是故.即f(x)在点x0连续.例10研究函数在点x=0处的连续性和可导性.解因为，所以f(x)在点x=0处连续，但是不存在,故f(x)在点x=0处不可导.此例说明“连续不一定可导”，连续只是可导的必要条件.二、导数的几何意义连续函数y=f(x)的图形在直角坐标系中表示一条曲线，如图2-1所示.设曲线y=f(x)上某一点A的坐标是(x0，y0)，当自变量由x0变到x0+Δx时，点A沿曲线移动到点B(x0+Δx，y0+Δy)，直线AB是曲线y=f(x)的割线，它的倾角记作β.从图形可知，在直角三角形ABC中，，所以的几何意义是表示割线AB的斜率.图2-1当Δx→0时，B点沿着曲线趋向于A点，这时割线AB将绕着A点转动，它的极限位置为直线AT，这条直线AT就是曲线在A点的切线，它的倾角记作α.当Δx→0时，既然割线趋近于切线，所以割线的斜率=tanβ必然趋近于切线的斜率tanα，即.由此可知，函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在对应点A(x0，y0)处的切线的斜率.曲线y=f(x)在点A(x0，y0)的切线方程可写成：(1)f′(x0)存在，切线方程为yf(x0)=f′(x0)(xx0)；(2)f(x)在点x0处连续，f′(x0)=∞，则切线方程为x=x0.例11求过点(2，0)且与曲线y=相切的直线方程.解显然点(2，0)不在曲线y=上.由导数的几何意义可知，若设切点为(x0，y0)，则y0=，且所求切线的斜率k为，故所求切线方程为.又切线过点(2，0)，所以有.于是得x0=1，y0=1，从而所求切线方程为y1=(x1)，即y=2x.例12在曲线上求一点，使该点处的曲线的切线与直线y=3x1平行.解在上的任一点M(x，y)处切线的斜率k为.而已知直线y=3x1的斜率k1=3.令k=k1，即，解之得x=4，代入曲线方程得.故所求点为(4，8).三、函数四则运算的求导法定理3设函数u=u(x)，v=v(x)在点x处可导，k1，k2为常数，则下列各等式成立：(1)［k1u(x)+k2v(x)］′=k1u′(x)+k2v′(x);(2)［(u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);(3)［v(x)≠0］.证仅以(3)为例进行证明.记g(x)=，且v(x)≠0，则.定理中的(1)式和(2)式均可推广至有限多个函数的情形.读者不难自行完成.例13设,求y′.解.例14设y=x3cosxsinx,求y′.解.例15设y=tanx，求y′.解,即(tanx)′==sec2x=1+tan2x.类似可得(cotx)′=1sin2x=csc2x=(1+cot2x).例16设y=secx,求y′.解在定理3的(3)中,取u(x)≡1,则有.于是y′=(secx)′=,即(secx)′=secxtanx.类似可得(cscx)′=cscxcotcotx.第二节求导法则一、复合函数求导法定理1(链导法)若u=φ(x)在点x处可导，而y=f(u)在相应点u=φ(x)处可导，则复合函数y=f(φ(x))在点x处可导，且，或记为［f(φ(x))］′=f′(φ(x))·φ′(x).(2-证因为y=f(u)在u的导数存在，所以，其中α→0(Δu→0)，故，从而.又u=φ(x)在点x处可导，故φ(x)必在点x处连续，因此Δx→0时必有Δu→0.于是，而，定理证毕.例1设f(x)=xμ，μ∈R，x＞0，求f′(x).解由于xμ=eμlnx，x＞0.令u=μlnx，则xμ系由y=eu及u=μlnx复合而成.，即(xμ)′=μxμ1，μ∈R，x＞0.例2设y=ex，求y′.解令u=x，则y=eu，从而.即(ex)′=ex.对复合函数的分解熟练后，就不必再写出中间变量，而可按下列各题的方式进行计算.例3设，求y′.解.例4设，求y′.解.例5设,求y′.解.二、反函数求导法定理2设函数y=f(x)与x=φ(y)互为反函数，f(x)在点x可导，φ(y)在相应点y处可导，且,则，或.简单地说成：反函数的导数是其直接函数导数的倒数.证由x＝φ(y)=φ(f(x))及y=f(x)，x=φ(y)的可导性，利用复合函数的求导法，得1=φ′(f(x))f′(x)=φ′(y)f′(x)，故.例6设y=arcsinx，求y′.解由定理2及x=siny可知，这里记号表示求导是对变量y进行的.由上式得.同理可得：，，.三、参数方程求导法若方程x=φ(t)和y=ψ(t)确定y与x间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程t∈(α，β)(2-2所确定的函数.下面我们来讨论由参数方程所确定的函数的导数.设t=φ1(x)为x=φ(t)的反函数，在t∈(α，β)中，函数x=φ(t)，y=ψ(t)均可导，这时由复合函数的导数和反函数的导数公式，有(φ′(t)≠0).于是由参数方程(2-2-2)所确定的函数y=y(φ′(t)≠0).(2-2例7设求.解(,n为整数).例8设∞＜t＜+∞,求.解(t≠±1).例9求极坐标方程r=eaθ(0＜θ＜π/4,a＞1)所确定的函数y=y(x)的导数.解由极坐标与直角坐标的关系，得故.例10求椭圆在t=π/4处的切线方程和法线方程.解,所以在椭圆上对应于t=π/4的点处的切线和法线的斜率为，.切线方程和法线方程分别为bx+ay=ab和axby=(a2b2).四、隐函数求导法如果在含变量x和y的关系式F(x，y)=0中，当x取某区间I内的任一值时，相应地总有满足该方程的惟一的y值与之对应，那么就说方程F(x，y)=0在该区间内确定了一个隐函数y=y(x).这时y(x)不一定都能用关于x的表达式表示.例如方程ey+xyex=0和y=cos(x+y)都能确定隐函数y=y(x).如果F(x，y)=0确定的隐函数y=y(x)能用关于x的表达式表示，则称该隐函数可显化.例如x3+y51=0，解出，就把隐函数化成了显函数.若方程F(x，y)=0确定了隐函数y=y(x)，则将它代入方程中，得F(x，y(x))≡0.对上式两边关于x求导(若可导)，并注意运用复合函数求导法则，就可以求出y′(x)来.例11求方程y=cos(x+y)所确定的隐函数y=y(x)的导数.解将方程两边关于x求导，注意y是x的函数，得y′=sin(x+y)(1+y′)，即，1+sin(x+y)≠0.例12求由方程ey+xyex=0所确定的隐函数y=y(x)的导数.解将方程两边关于x求导，得eyy′+y+xy′+ex=0，故(x+ey≠0).在计算幂指函数的导数以及某些乘幂、连乘积、带根号函数的导数时，可以采用先取对数再求导的方法，简称对数求导法.它的运算过程如下：在y=f(x)(f(x)＞0)的两边取对数，得lny=lnf(x).上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得y′=y(lnf(x))′.例13求的导数.解先在两边取对数，得.上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得，于是，即.例14设，u(x)＞0，其中u(x)，v(x)均可导，求y′.解两边取对数得lny=v(x)lnu(x)，两边对x求导，得，于是.特别地，当时，.例15求y=xsinx(x＞0)的导数.解两边取对数得lny=sinxlnx.两边对x求导，得.于是.第三节函数的微分一、微分的概念定义1设函数y=f(x)在U(x0)内有定义，若A∈R，使Δy=AΔx+o(Δx)(2-成立，则称函数y=f(x)在点x0处可微分(简称可微)，线性部分AΔx称为f(x)在x0处的微分，记为dy=AΔx(其中Δx=xx0)，A称为微分系数.定义中的式(2-3，(2-3即式(2-3-1.于是便有下面的定理.定理1函数y=f(x)在点x0可微的充要条件是函数y=f(x)在点x0可导.当f(x)在点x0处可微时，必有dy=f′(x0)Δx.该定理说明函数的可微性与可导性是等价的.函数y=f(x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记为dy=f′(x)Δx.(2-例1设y=x，求dy.解因为y′=(x)′=1，所以dy=1×Δx=Δx.为方便起见,我们规定:自变量的增量称为自变量的微分,记为dx=Δx.于是式(2-dy=f′(x)dx.(2-例2求y=sinx当x=π/4，dx=0.1时的微分.解dy=(sinx)′dx=cosxdx.当x=π/4,dx=0.1时，有.在几何上，y=f(x)在x0处的微分dy=f′(x0)dx表示曲线y=f(x)在点M(x0，f(x0))处切线MT的纵坐标相应于Δx的改变量PQ(见图2-2)，因此dy=Δxtanα.图2-2二、微分的运算公式1.函数四则运算的微分设u=u(x)，v=v(x)在点x处均可微，则有d(Cu)=Cdu(C为常数)，d(u+v)=du+dv，d(uv)=udv+vdu，.这些公式由微分的定义及相应的求导公式立即可证得.2.复合函数的微分若y=f(u)及u=φ(x)均可导，则复合函数y=f(φ(x))对x的微分为dy=f′(u)φ′(x)dx.(2-注意到du=φ′(x)dx，则函数y=f(u)对u的微分为dy=f′(u)du.(2-将(2-3-6)式与(2-3-4)式比较可知，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式dy=f′(u)du保持不变.此性质称为一阶微分的形式不变性.由此性质，我们可以把导数记号，等理解为两个变量的微分之商了，因此，导数有时也称例3设，利用微分形式不变性求dy.解记u=a2+x2，则y=，于是.又du=u′xdx=2xdx，故.为了读者使用的方便，我们将一些基本初等函数的导数和微分对应列表如下.表2-1导数公式微分公式第四节高阶导数与高阶微分一、高阶导数若函数y=f(x)在U(x)内可导，其导函数为f′(x)，且极限存在，则称该极限值为函数f(x)在点x处的二阶导数，记为f″(x),,y″等.函数y=f(x)的二阶导数f″(x)仍是x的函数，如果它可导，则f″(x)的导数称为原函数f(x)的三阶导数，记为,，等.一般说来，函数y=f(x)的n1阶导数仍是x的函数，如果它可导，则它的导数称为原来函数f(x)的n阶导数，记为，，等.通常四阶和四阶以上的导数都采用这套记号，而不用“′”.一阶、二阶和三阶导数则采用“′”的记号.由以上叙述可知，求一个函数的高阶导数，原则上是没有什么困难的，只需运用求一阶导数的法则按下列公式计算(n=1,2,…)或写成，.如果函数y=f(x)在区间I上有直到n阶的连续的导数，我们使用记号f(x)∈Cn(I)来表示.例1设y=xn，n为正整数，求它的各阶导数.解,,……,……，.显然，y=xn的n+1阶以上的各阶导数均为0.例2设y=sinx，求它的n阶导数.解，，设，则.由数学归纳法，知，n=1，2，….由此式我们可得到y=cosx的高阶导数公式：，即，n=1，2，….例3设y=ln(1+x)，求.解，，,运用数学归纳法可知，n=1，2，3，….例4设y=ax(a＞0)，求.解，.设，则.故,n=1,2,….特别地,有,n=1,2,….对于高阶导数,有下面的运算法则:设函数u=u(x)和v=v(x)在点x处都具有直到n阶的导数,则u(x)±v(x),u(x)v(x)在点x处也具有n阶导数,且(u±v)(n)=u(n)±v(n),(2-=，(2-4其中u(0)=u，v(0)=v，.(2-4-2)式称为莱布尼茨(Leibn(2-4-1)式由数学归纳法易证.(2-当n=1时，由(uv)′=u′v+uv′知公式成立.设当n=k时公式成立，即.两边求导，得，即n=k+1时公式(2-4-2)也成立，从而(2-4例5设y=x2·e2x，求y(20).解设u=e2x，v=x2，则u(i)=2i·e2x(i=1，2，…，20)，v′=2x，v″=2,v(i)=0(i=3,4,…,20).代入莱布尼茨公式,得y(20)=(x2·e2x)(20).例6设ex+yxy=1，求y″(0).解方程两边对x求导，得(1+y′)ex+yyxy′=0.上式两边再对x求导，得(1+y′)2ex+y+y″ex+y2y′xy″=0.令x=0，可得y=0，y′(0)=1，将这些值代入上式得y″(0)=2.例7已知求.解.注意，x=acost仍是参数方程，所以仍须用参数方程求导法则，从而.*二、高阶微分对于函数y=f(x)，类似于高阶导数可以定义高阶微分.设f(x)有直至n阶的导数，自变量的增量仍为dx，则二阶微分定义为d2y=d(dy)=d(f′(x)dx)=d(f′(x))dx=f″(x)dx·dx=f″(x)dx2；三阶微分定义为d3y=d(d2y)=d(f″(x)dx2)=d(f″(x))dx2=(x)dxdx2=(x)dx3;一般地，定义n阶微分为dny=d(dn1y)=f(n)(x)dxn.(2-以上公式中的x都是自变量，dxn表示n个dx的乘积(n=2,3,4,…).对于复合函数来说，二阶及二阶以上的微分已不再具有公式(2-4-3)的形式了.例如,设y=f(u)，u=φdy=f′(u)du，而d2y=d(f′(u)du)=d(f′(u))du+f′(u)d(du)=f″(u)du2+f′(u)d2u.(2-这是因为du不再是固定的了，它依赖于自变量x，即du=φ′(x)dx.(2-4例8设y=xsinx，求d2y.解dy=(xsinx)′dx=(sinx+xcosx)dx;d2y=d(dy)=(sinx+xcosx)′dx2=(cosx+cosxxsinx)dx2=(2cosxxsinx)dx2.例9设u=u(x),v=v(x)均有二阶导数,y=u(x)v(x),求d2y.解dy=y′dx=［u(x)v(x)］′dx=［u′(x)v(x)+u(x)v′(x)］dxd2y=d(dy)=d［(u′(x)v(x)+u(x)v′(x))dx］=［u′(x)v(x)+u(x)v′(x)］′dx2=［u″(x)v(x)+2u′(x)v′(x)+u(x)v″(x)］dx2.第五节微分中值定理本节介绍微分学中有重要应用的反映导数更深刻性质的微分中值定理.定理1[罗尔(Rolle)定理]若f(x)∈C(［a,b］),f(x)在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则ξ∈(a，b)使得f′(ξ)=0.证由f(x)∈C(［a，b］)知f(x)在［a，b］上必取得最大值M与最小值m.若M＞m，则M与m中至少有一个不等于f(x)在区间端点的值.不妨设M≠f(a).由最值定理，ξ∈(a,b),使f(ξ)=M.又，，故f′(ξ)=0.若M=m，则f(x)在［a，b］上为常数，故(a，b)内任一点都可成为ξ，使f′(ξ)=0.罗尔定理的几何意义是：若y=f(x)满足定理的条件，则其图像在［a，b］上对应的曲线弧AB上一定存在一点具有水平切线，如图2-3所示.图2-3定理2［拉格朗日(Lagrange)中值定理］若f(x)∈C(［a，b］)，f(x)在(a，b)内可导，则ξ∈(a，b)使得f(b)f(a)=f′(ξ)(ba).(2-证考虑辅助函数Φ(x)=f(x)λx(其中λ待定)，为了使Φ(x)满足定理1的条件，令Φ(a)=Φ(b)得λ=，即Φ(x)=f(x)x.于是由定理1,ξ∈(a，b)，使Φ′(ξ)=0，即f(b)f(a)=f′(ξ)(ba).如图2-4所示，连结曲线弧两端的弦，其斜率为.因此，定理的几何意义是：满足定理条件的曲线弧上一定存在一点具有平行于弦的切线.图2-4显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.式(2-5-1)称为拉格朗日中值公式，显然，当b＜a时，式(2-5设x和x+Δx是(a，b)内的两点，其中Δx可正可负，于是在以x及x+Δx为端点的闭区间上有f(x+Δx)f(x)=f′(ξ)Δx，其中ξ为x与x+Δx之间的某值，记ξ=x+θΔx，0＜θ＜1，则f(x+Δx)f(x)=f′(x+θΔx)Δx(0＜θ＜1).(2-(2-5-2)推论1若函数f(x)在区间I上的导数恒为零，则f(x)在区间I上为一常数.证x1，x2∈I，x1＜x2，在［x1,x2］上应用定理2,得f(x2)f(x1)=f′(ξ)(x2x1),ξ∈(x1,x2).由于f′(ξ)=0,故f(x2)=f(x1).由x1,x2的任意性可知,函数f(x)在区间I上为一常数.在第一节我们知“常数的导数为零”，推论1就是其逆命题.由推论1立即可得以下结论.推论2若x∈I，f′(x)=g′(x)，则在I上f(x)=g(x)+C(C为常数).例1求证arcsinx+arccosx=，x∈［1，1］.证令f(x)=arcsinx+arccosx，则f′(x)==0，x∈(1，1).由推论1得f(x)=C，x∈(1，1).又因f(0)=，且f(±1)=.故f(x)=arcsinx+arccosx=,x∈［1,1］.例2证明不等式arctanx2arctanx1≤x2x1(其中x1＜x2).证设f(x)=arctanx，在［x1，x2］上利用拉格朗日中值定理，得arctanx2arctanx1=(x2x1)，x1＜ξ＜x2.因为≤1，所以arctanx2arctanx1≤x2x1.例3设函数f(x)=x(x2)(x4)(x6)，说明方程f′(x)=0在(∞，+∞)内有几个实根，并指出它们所属区间.解因为f′(x)是三次多项式，所以方程f′(x)=0在(∞，+∞)内最多有3个实根.又由于f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0，f(x)在区间［0，2］，［2，4］，［4，6］上满足罗尔定理的条件.故ξ1∈(0，2)，ξ2∈(2，4)，ξ3∈(4，6)，使f′(ξ1)=0，f′(ξ2)=0，f′(ξ3)=0.即方程f′(x)=0在(∞，+∞)内有3个实根，分别属于区间(0，2)，(2，4)，(4，6).例4若f(x)＞0在［a，b］上连续，在(a,b)内可导，则ξ∈(a，b)，使得.证原式即.令φ(x)=lnf(x),有φ′(x)=.显然φ(x)在［a，b］上满足拉格朗日中值定理的条件，在［a，b］上应用定理可得所证.下面再考虑由参数方程x=g(t)，y=f(t)，t∈［a，b］给出的曲线段，其两端点分别为A(g(a)，f(a))，B(g(b)，f(b)).连结A，B的弦的斜率为(见图2-5)，而曲线上任何一点处的切线斜率为.图2-5若曲线上存在一点C［对应参数t=ξ∈(a，b)］，在该点曲线的切线与弦平行，则可得.定理3［柯西(CaUchy)中值定理］若f(x)，g(x)∈C(［a，b］)均在(a，b)内可导，且g′(x)≠0，则ξ∈(a，b)使得.证由g′(x)≠0和拉格朗日中值定理得g(b)g(a)=g′(η)(ba)≠0,η∈(a,b).由此有g(b)≠g(a)，考虑辅助函数Φ(x)=f(x)λg(x)(λ待定).为使Φ(x)满足罗尔中值定理的条件，令Φ(a)=Φ(b)，得λ=.取λ的值如上，由罗尔定理知ξ∈(a，b)，使Φ′(ξ)=0，即，即.由此定理得证.显而易见,若取g(x)≡x,则定理3成为定理2,因此定理3是定理1,2的推广,它是这三个中值定理中最一般的形式.例5设函数f(x)在［x1,x2］上连续，在(a,b)内可导,且x1·x2＞0，证明ξ∈(x1，x2)，使.证原式可写成.令φ(x)=，ψ(x)=.它们在［x1，x2］上满足柯西中值定理的条件，且有=f(x)xf′(x).应用柯西中值定理即得所证.第六节泰勒公式在本章前面已知道，如果f(x)在点x0处可微，则f(x)=f(x0)+f′(x0)(xx0)+o(xx0).此式表明：对于任何在x0处有一阶导数的函数，在U(x0)内能用关于(xx0)的一个一次多项式来近似表示它，多项式的系数就是该函数在x0处的函数值和一阶导数值，这种近似表示的误差是比(xx0)高阶的无穷小.于是，人们猜想：如果函数f(x)在点x0处有n阶导数，则可以用一个关于(xx0)的n次多项式来近似表示f(x)，该多项式的系数仅与函数f(x)在点x0的函数值和各阶导数值有关，这种近似表示的误差是比(xx0)n高阶的无穷小.泰勒(Taylor)对这个猜想进行了研究，并得到了下面的结论.定理1(泰勒中值定理)若f(x)在U(x0)内具有n+1阶导数，则x∈U(x0)，有f(x)=,(2-6其中Rn(x)=o((xx0)n)，且,0＜θ＜1.(2-6公式(2-6-1)称为f(x)在点x0的n阶泰勒公式，式中Rn(x)称为余项.式(2-6-2)表示的余项称为拉格朗日余项，而Rn(x)=o((xx0)n)称为皮亚诺(Pean称为n阶泰勒多项式.运用泰勒多项式近似表示函数f(x)的误差可由余项进行估计.例如，若x∈U(x0)，有｜f(n+1)(x)｜≤M，则可得误差估计式.特别地，当公式(2-6-1)中的x0=0时，通常称为麦克劳林(MaclaUrinf(x)=∑nk=0f(k)(0)k！xk+Rn(x)，(2其中，0＜θ＜1.很显然，拉格朗日中值公式是带拉格朗日余项的零阶泰勒公式，泰勒中值定理也是拉格朗日中值定理的推广.例1求f(x)=ex的n阶麦克劳林公式.解f(k)(x)=ex，f(k)(0)=1(k=0，1，2，…).ex=.其拉格朗日余项为,θ∈(0,1).例2求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式.解f(k)(x)=(k=0，1，2，…)，故(j=0，1，2，…).取n=2msinx=.其拉格朗日余项为，θ∈(0，1).类似地有cosx=，其拉格朗日余项为,θ∈(0,1).例3求f(x)=ln(1+x)的n阶麦克劳林展开式.解，(k=1,2,…),故f(k)(0)=(1)k1(k1)!(k=1,2,…,n).又f(0)=0,f(n+1)(ξ),其中，ξ在0与x之间.于是,当x∈(1,+∞)时,ln(1+x)=,其中ξ在0与x之间.利用泰勒公式可以求极限.例4求极限.解利用泰勒公式,有cosx=,,于是.所以.第七节洛必达法则本节我们将利用微分中值定理来考虑某些重要类型的极限.由第二章我们知道在某一极限过程中,f(x)和g(x)都是无穷小量或都是无穷大量时,f(x)/g(x)的极限可能存在,也可能不存在.通常称这种极限为不定式(或待定型),并分别简记为或.洛必达(L’Hospital)法则是处理不定式极限的重要工具，是计算型、型极限的简单而有效的法则.该法则的理论依据是柯西中值定理.一、型不定式定理1设f(x)，g(x)满足：(1)f(x)=0，g(x)=0；(2)在(x0)内可导，且g′(x)≠0;(3)f′(x)g′(x)存在(或为∞)，则=.证由于极限与f(x)和g(x)在x=x0处有无定义没有关系，不妨设f(x0)=g(x0)=0.这样，由条件(1)、(2)知f(x)及g(x)在U(x0)连续.设x∈U(x0)，则在［x，x0］或［x0，x］上，柯西中值定理的条件得到满足，于是有,其中ξ在x与x0之间.令x→x0(从而ξ→x0)，上式两端取极限，再由条件(3)就得到==，对于当x→∞时的型不定式，洛必达法则也成立.推论1f(x)，g(x(1)f(x)=0，g(x)=0；(2)当｜x｜＞X时可导，且g′(x)≠0;(3)存在(或为∞)，则.证令t=，则x→∞时t→0，从而，.由定理1，得.显然，若lim仍为型不定式，且f′(x)，g′(x)满足定理条件，则可继续使用洛必达法则而得到,且仍然可以依此类推.例1求.解.例2求.解.二、型不定式定理2设f(x)，g(x)满足(1)f(x)=∞，g(x)=∞；(2)在(x0)内可导，且g′(x)≠0;(3)存在(或为∞)，则.该定理也是应用柯西中值定理来证明的，因过程较繁，故略.推论2若f(x)，g(x)满足(1)f(x)=∞，g(x)=∞；(2)当｜x｜＞X时可导，且g′(x)≠0；(3)存在(或为∞)，则.例3求(α＞0).解.例4求(α＞0).解.若0＜α≤1，则上式右端极限为0；若α＞1，则上式右端仍是型不定式，这时总存在自然数n使n1＜α≤n，逐次应用洛必达法则直到第n次有.故(α＞0).例5求.解.使用洛必达法则时要注意验证定理条件，不可妄用，否则会导致错误结果.例如，在例1中，已不是不定式，故不能再使用洛必达法则.另外，由于本节定理是求不定式的一种方法，当定理条件成立时，所求极限存在(或为∞)，但当定理条件不成立时，所求极限也可能存在，例如，但不存在.三、其他不定式对于函数极限的其他一些不定式，例如0·∞，∞∞，00，1∞和∞0型等，处理它们的总原则是设法将其转化为或型，再应用洛必达法则.例6求.解.例7求.解.例8求.解设y=xsinx，则lny=sinxlnx，.由y=elny有，所以.例9求.解设，则.而，故.洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但不是万能的.我们要学会善于根据具体问题采取不同的方法求解，最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷.例10求.解先进行等价无穷小的代换.由sinx~x(x→0)，则有.习题二1设s=gt2，求dsdtt=2.2(1)设f(x)=1x，求f′(x0)(x0≠0);(2)设f(x)=x(x1)(x2)·…·(xn)，求f′(0).3试求过点(3，8)且与曲线y=x2相切的直线方程4下列各题中均假定f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：(1)limΔx→0f(x0Δx)f(x0)Δx=A；(2)f(x0)=0，limx→x0f(x)x0x=A；(3)limh→0f(x0+h)f(x0h)h=A.5求下列函数的导数：(1)y=x；(2)y=13x2；(3)y=x2·3x2x5.6讨论函数y=3x在x=0点处的连续性和可导性.7如果f(x)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0.8求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导：(1)y=sinx，x≥0，x3，x＜0，x0=0；(2)y=x1+e1x，x≠0,0,x=0,x0=0;(3)y=x,x≥1,x2,x＜1，x0=1.9已知f(x)=sinx，x＜0，x，x≥0，求f′(x).10设函数f(x)=x2，x≤1，ax+b，x＞1为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值？11讨论下列函数在指定点的连续性与可导性：(1)y=｜sinx｜，x=0；(2)y=x2sin1x，x≠0,0,x=0,x=0；(3)y=x，x≤1，2x，x＞1，x=1.12证明：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2.13垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为h(t)=10t12gt2(m)，求：(1)物体从t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度；(2)速度函数v(t)；(3)物体何时到达最高点.14设物体绕定轴旋转，在时间间隔［0，t］内，转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ=θ(t).如果旋转是匀速的，那么称ω=θt为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？15设Q=Q(T)表示重1单位的金属从0℃加热到T℃所吸收的热量，当金属从T℃升温到(T+ΔT)℃时，所需热量为ΔQ=Q(T+ΔT)Q(T)，ΔQ与ΔT之比称为T到T+ΔT的平均比热，试解答如下问题：(1)如何定义在T℃时，金属的比热；(2)当Q(T)=aT+bT2(其中a，b均为常数)时，求比热.16已知f(x)在x=x0点可导，证明：limh→0f(x0+αh)f(x0βh)h=(α+β)f′(x0).17求下列函数的导数：(1)S=3lnt+sinπ7；(2)y=xlnx；(3)y=(1x2)·sinx·(1sinx)；(4)y=1sinx1cosx；；

(5)y=tanx+eπ；(6)y=secxx3secx；(7)y=lnx2lglgx+3loglog2x；(8)y=11+x+x2.18求下列函数在给定点处的导数：(1)y=xsinx+12cosx，求dydxx=π4；(2)f(x)=35x+x25，求f′(0)和f′(2)；(3)f(x)=5x4，x≤1，4x23x，x＞1，求f′(1).19设P(x)=f1(x)f2(x)…fn(x)≠0,且所有的函数都可导，证明：

P′(x)P(x)=f′1(x)f1(x)+f′2(x)f2(x)+…+f′n(x)fn(x).20求下列函数的导数：(1)y=e3x；(2)y=arctanx2；(3)y=e2x+1；(4)y=(1+x2)·ln(x+1+x2)；(5)y=x2·sin1x2；(6)y=cos2ax3(a为常数)；(7)y=arccos1x；(8)y=(arcsinx2)2；(9)y=1+ln2x；(10)y=sinnx·cosnx；(11)y=1+x1x1+x+1x；(12)y=arcsin1x1+x；(13)y=lncosarctan(sinhx)；(14)y=x2a2x2+a22arcsinxa(a＞0为常数).21y=arccosx3326xx，求y′x=3.22试求曲线y=ex·3x+1在点(0，1)及点(1，0)处的切线方程和法线方程.23设f(x)可导，求下列函数y的导数dydx：(1)y=f(x2)；(2)y=f(sin2x)+f(cos2x)24求下列隐函数的导数：(1)x3+y33axy=0；(2)x=yln(xy)；(3)xey+yex=10；(4)ln(x2+y2)=2arctanyx；(5)xy=ex+y.25用对数求导法求下列函数的导数：(1)y=x+2·(3x)4(x+1)5；(2)y=(sinx)cosx；(3)y=e2x(x+3)(x+5)(x4).26求下列参数方程所确定的函数的导数dydx：(1)x=acosbt+bsinat,y=asinbtbcosat,(a,b为常数)；

(2)x=θ(1sinθ)，y=θcosθ27已知x=etsint，y=etcost，求当t=π3时dydx的值.28设f(x)=｜xa｜φ(x)，其中a为常数，φ(x)为连续函数，讨论f(x)在x=a处的可导性.29已知f(x)=maxmax{x2,3},求f′(x).30若f(1x)=ex+1x，求f′(x).31若f′(π3)=1，y=f(arccos1x)，求dydxx=2.32求函数y=12ln1+x1x的反函数x=φ(y)的导数.33已知y=f(x)的导数f′(x)=2x+1(1+x+x2)2，且f(1)=1，求y=f(x)的反函数x=φ(y)的导数φ′(1).34在括号内填入适当的函数，使等式成立：(1)d()=costdt；(2)d()=sinωxdx；(3)d()=11+xdx；(4)d()=e2xdx；(5)d()=1xdx；(6)d()=sec23xdx；(7)d()=1xlnxdx；(8)d()=x1x2dx.35根据下面所给的值，求函数y=x2+1的Δy，dy及Δydy：(1)当x=1，Δx=0.1时；(2)当x=1，Δx=0.01时.36求下列函数的微分：(1)y=xex；(2)y=lnxx；(3)y=cosx；(4)y=5lntanx；(5)y=8xx6e2x；(6)y=arcsinx+(arctanx)2.37求由下列方程确定的隐函数y=y(x)的微分dy：(1)y=1+xey；(2)x2a2+y2b2=1；(3)y=x+12siny；(4)y2x=arccosy.38利用微分求下列各数的近似值：(1)381;(2)ln0.99;(3)arctan1.02.39设a＞0，且｜b｜与an相比是很小的量，证明：nan+b≈a+bnan1.40利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中f和φ均为可微函数：(1)y=f(x3+φ(x4))；(2)y=f(12x)+3sinf(x).41求下列函数的高阶微分：(1)y=1+x2，求d2y；(2)y=xx，求d2y；(3)y=x·cos2x，求d10y；(4)y=x3·lnx，求dny；(5)r2·cos3θa2sin3θ=0(a为常数)，求d2r.42求自由落体运动s(t)=12gt2的加速度.:43求n次多项式y=a0xn+a1xn1+…+an1x+an的n阶导数.44设f(x)=ln(1+x)，求f(n)(x).45验证函数y=exsinx满足关系式y″2y′+2y=0.46求下列函数的高阶导数:(1)y=ex·sinx，求y(4)；(2)y=x2·e2x，求y(6)；(3)设y=x2·sinx，求y(80).47求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数d2ydx2:(1)b2x2+a2y2=a2b2；(2)y=1+xey；(3)y=tan(x+y)；(4)y2+2lny=x4.48已知f″(x)存在，求d2ydx2：(1)y=f(x2)；(2)y=lnf(x).49求由下列参数方程所确定函数的二阶导数d2ydx2:(1)x=a(tsint)，y=a(1cost)，(a为常数)；(2)x=f′(t)，

y=tf′(t)f(t)，设f″(t)存在且不为零.50求下列函数在指定点的高阶导数：(1)f(x)=x1+x2，求f″(0);(2)f(x)=e2x1,求f″(0),f(0);(3)f(x)=(x+10)