电路 (第四版) 课件 （高赟）第10、11章 正弦稳态电路分析、三相电路

第10章正弦稳态电路分析10.1正弦稳态电路的分析方法10.2正弦稳态电路的功率10.3复功率10.4功率因数的提高10.5正弦稳态最大功率传输

10.1正弦稳态电路的分析方法

引入正弦量的相量、阻抗和导纳以后,可以将电阻电路的各种分析方法、电路定律等推广到正弦稳态电路的分析中来。这是因为两者在形式上是相同的,即

电阻电路中的基本分析方法(支路法、网孔法、回路法以及节点法等)和电路定理均是建立在KCL、KVL的基础之上的,因此,可以将电阻电路中的各种方程形式直接推广到相量域的正弦稳态电路中。区别在于正弦稳态电路的相量域方程是复数形式,计算为复数运算,所求的响应是相量域响应,该响应对应的时域响应才是电路的真实响应。

图10-1例10-1图

图10-2例10-2图

图10-3例10-3图

例10-4求图10-4(a)所示电路一端口的戴维南等效电路。图10-4例10-4图

图10-5

图10-6例10-6图

10.2正弦稳态电路的功率

10.2.1瞬时功率图10-7(a)所示为一端口网络N,设端口电压和电流为关联参考方向,并均为正弦量,即

根据功率的定义,有

可见,功率是随时间变化的,所以该功率称为瞬时功率。如果令φ=ψu-ψi,φ是电压和电流的相位差,则上式可以写为

由式(10-1)可以看出,瞬时功率有两个分量,第一个为恒定量,第二个为正弦量(其频率为电压或电流频率的两倍)瞬时功率的波形如图10-7(b)所示。

图10-7一端口电路的功率

利用三角函数关系,式(10-1)可以进一步写为

当φ≤|π/2|时,式(10-2)中的第一项永远大于或等于零,它是瞬时功率中不可逆的部分,该项说明一端口N始终从外界吸收能量;式(10-2)中的第二项是瞬时功率中的可逆部分,它说明N始终和外界进行能量交换,交换的频率为正弦电压或电流频率的两倍。

10.2.2有功功率和功率因数

由于瞬时功率随时间是变化的,对于工程而言,研究的意义不大,另外也不便于测量,因此引入平均功率的概念。平均功率定义为瞬时功率在一个周期上的平均值,即

可见,平均功率是式(10-1)(瞬时功率)中的恒定量,当φ≤|π/2|时,它始终大于或等于零。

另外,当端口的电压和电流确定以后,有功功率的大小由cosφ决定,因此称其为功率因数,并用λ表示,即

如果一端口N内不含独立源,则端口上电压和电流的相位差φ即为阻抗角φZ,又称功率因数角。可见,当端口的电压和电流确定以后,阻抗角决定着端口内部消耗功率的大小。因此,它是衡量传输电能效果的一个很重要的量。

10.2.3无功功率

由式(10-2)知,瞬时功率除了不可逆部分之外还有可逆部分,可逆部分始终和外界进行能量的交换,即在一个(或半个)周期内一端口N从外界吸收的能量等于向外界释放的能量。因为该能量只和外部进行交换而不做功,所以称其为无功功率,用Q表示,单位为乏(var)。它的定义为可逆部分的最大值,即由式(10-2)知

可见,当一端口N的电压和电流以及它们之间的相位差一定后,无功功率也为一个定值。

10.2.4视在功率

由有功和无功功率的定义可知,电压和电流相位差φ的大小决定着它们的大小。如果将一个交流正弦电源接在如图10-7(a)所示的一端口上,电源提供有功和无功功率的大小由一端口内部的参数决定。具体地说,若电源电压U和其所能提供的电流I不变,则电源向外界所能提供的有功功率和无功功率由阻抗角φ决定。当φ=0时,电源所提供的有功功率为最大值,而无功功率为最小值(为0),可见此时电源只向外界提供有功功率,而不和外界进行能量的交换。换句话说,电源将它所具有的能量全部用来做功了。工程上将电源所具有的这种能力定义为视在(看起来有)功率,用S表示,即

10.2.5R、L、C元件的有功和无功功率

对于电阻R,有φ=ψu-ψi=0°,由式(10-3)和式(10-5)可得电阻上的有功功率和无功功率分别为

可见,电阻元件只消耗有功功率,不和外界进行能量交换。从形式上讲,电阻消耗有功功率的公式和直流条件下相同,但需要注意的是,这里的电压与电流是正弦量的有效值。

由式(10-8b)和式(10-9b)可以看出,在相同的参考电流下,电感和电容上的无功功率互为反向,当其中一个在释放功率时而另一个在吸收功率,可见它们之间有互补作用。因为实际的电网中多为感性负载,所以可以用附加电容和感性负载进行能量交换,以减少电源与感性负载之间的能量交换,提高了电源的利用率。

10.3复功率

在正弦稳态电路中,用相量法可以求得电路中相量域的响应。同时,用相量域的电压和电流也可直接求得功率。因为相量域中的电压和电流是复数,所以可以用复数定义功率,称其为复功率。

图10-8功率三角形、电压三角形和阻抗三角形

10.4功率因数的提高

一般来说,提高功率因数有两方面的意义。一是可以减小线路上的功率损耗。因为负载总是在一定的电压U和有功功率P的条件下运行的,由式(10-3)有I=P/(Ucosφ),可知功率因数越低,线路上的电流就越大,则线路上铜耗(ΔP=I2R,R为线路电阻)就越大;另外,线路上的电流越大,则线路上的压降(ΔU=IR)就越大,从而导致负载端的电压降低,影响供电质量。

二是可以提高供电设备(如发电机、变压器等)的利用率。因为任何供电设备,其额定的视在功率是一定的,由图10-8可知,功率因数越高,所能提供有功功率的占比越大,而无功功率(交换能量的规模)的占比就越小,从而可以提高供电设备的利

用率。例如,容量为15000kVA的发电机,若功率因数由0.6提高到0.8时,就可以使发电机实际输出能力提高3000kW。

例10-9一电动机(感性)负载如图10-9(a)所示,已知功率P=1kW,功率因数λ1=0.6,接在电压U=220V,频率f=50Hz的正弦交流电源上,若使电路的功率因数提高到λ=0.9。

试求:

(1)与负载并联的电容(图中虚线所示)值。

(2)电容并联前后电源提供的电流和无功功率。

图10-9例10-9图

对于例10-8的问题,也可以用复功率守恒来求解。感性负载支路在并联电容前后的复功率没有变化,并联电容以后电容提供的无功功率补偿了感性支路的无功功率,从而使电源所提供的无功功率减小了。根据式(10-11)的复功率守恒知,由于电源所提供的复功率和负载(感性支路和电容支路并联)所吸收的复功率守恒,即

由该式得

10.5正弦稳态最大功率传输

图10-10(a)所示为正弦稳态含源一端口电路NS,外接负载阻抗ZL可以任意变化,求ZL获得最大功率的条件。为此,首先用戴维南定理将NS等效,则等效电路如图10-10(b)所示。

图10-10-最大功率传输

例10-10-如图10-11(a)所示电路,已知R1=30Ω,R2=200Ω,1/(ωC)=200Ω,US=6∠0°V,求最佳匹配的条件和负载ZL上所获的最大功率。图10-11例10-10图

由本章的分析知道,有了电路的相量域模型后,就可以将电阻电路的分析方法推广到正弦稳态电路中。应该注意的是,根据相量域的分析方法,所列的电路方程为复数方程,求出的响应为相量域响应,响应为复数形式。对于简单的电路,可以用相量图直接求解。正弦稳态电路中的功率和直流中的不相同,除瞬时功率外,还有平均功率(有功功率)、无功功率、视在功率和复功率等。一般并不关心瞬时功率,而更关心的是有功功率、无功功率和视在功率。

平均功率反映了电路实际所消耗的功率;无功功率反映了电路和外界进行能量交换的规模;视在功率通常指供电设备的容量或能力;而复功率是为了计算方便而引入的一个复数,复功率的引入使有功、无功、视在功率融为一体,使它们的计算简单了。在一个封闭的电路中,有功功率、无功功率、复功率均是守恒的。当电压和电流确定以后,功率因数决定了有功功率的大小,为了经济的原因,通常采用在感性负载两端并联电容的方法提高电路的功率因数。当电路中的负载变化时,当负载和有源一端口实现共轭匹配时,负载上可以获得最大功率。第11章三相电路11.1三相对称电压11.2三相负载11.3对称三相电路的计算11.4不对称三相电路的计算11.5三相电路的功率

11.1三相对称电压

三相(交流)电压是由三相发电机产生的,由于产生的三相电压是三个频率相同、幅值相等、初相位彼此互差120°的正弦交流电压,所以称为三相对称电压。

11.1.1三相对称电压的产生

三相交流发电机主要由定子(电枢)和转子(磁极)组成。定子铁芯中放置有三相绕组,每相绕组的匝数相同,并且在空间上相隔120°,所以称为对称三相绕组。它们的始端分别

标记为A、B和C,末端标记为X、Y和Z。当转子磁极转动时,因为定子绕组切割磁感线,所以在定子绕组上就感应出电势。由于发电机的特殊结构,感应出的电势(电压)随时间是

按正弦规律变化的;另外,因为三相绕组是对称的,所以感应出的正弦交流电压的频率相同、幅值也相等。

三相绕组与感应出的三相电压如图11-1(a)所示。

图11-1三相绕组与三相电压

三个电压到达最大值的次序称为相序。A－B－C－A称为正序或顺序;与此相反,A－C－B－A称为负序或逆序。电力系统中一般采用正序。对称三相电压的波形和相量图分别如图11-2(a)和图11-2(b)所示。

由式(11-1)和式(11-2)知,对称三相电压的瞬时值或相量之和等于零,即

图11-2三相电压的波形与相量图

图11-3电源的Y形连接

△形连接是将一个绕组的始端和另一个绕组的末端相连,并从端子A、B、C引出三条端线,如图11-4(a)所示。图11-4电源的△形连接

△形接法没有中线,由图可见线电压等于对应相的相电压。相量图如图11-4(b)所示。如果在三角形接法中将任何一相绕组的头尾接反,将使三个相电压之和不为零,因而在三角形连接的闭合回路中就会产生很大的短路电流,将烧毁绕组,实际使用中要特别注意。

11.2三相负载

11.2.1三相负载的连接如果将三个负载阻抗接成星形,就构成Y形负载,如图11-5所示。当ZA=ZB=ZC=Z时,称为对称(或平衡)三相负载。图中Zl为线路阻抗,N为电源的中性点,N'为负载的中性点。

图11-5负载的星形接法

若将三个负载阻抗接成三角形,就构成△形负载,如图11-6所示。当ZA'B'=ZB'C'=ZC'A'=Z时,称为对称三相负载。图11-6负载的三角形接法

11.2.2三相负载中的电流和电压

对于三相负载来说,负载两端的电压称为相电压,流过负载的电流称为相电流,电源和负载端线的电流称为线电流,中线的电流称为中线电流。负载连接端(或三相负载与外界的连接端)之间的电压称为负载的线电压。如图11-5所示。

11.3对称三相电路的计算

一般认为三相电源都是对称的,所以负载也对称的三相电路称为对称三相电路。由于三相电路是正弦交流电路的一种特殊类型,因而前面有关正弦稳态电路的分析方法完全适用于三相稳态电路。

11.3.1负载Y连接电路的计算

首先分析如图11-7所示的对称三相四线制(Y0－Y0连接)电路。图11-7对称三相四线制(Y0Y0连接)电路

图11-8一相电路计算

例11-1三相对称电路如图11-9所示。已知负载Z=100∠60°Ω,Zl=(1+j2)Ω,电源电压为U1=380V,求线电流和负载的相电流。图11-9例11-1图

11.3.2负载△连接电路的计算

由于负载对称,在△形连接的负载电路中仍然可以用一相法进行求解。在△形的接法中,负载的相电压和线电压始终是相等的,可以先求出一相中的相电流,然后由对称关系求出其他两相的相电流,再利用式(11-4)求出各线电流。如图11-10所示的△形连接的电路,设ZA'B'=ZB'C'=ZC'A'=Z,即负载对称,则各相负载的相电流分别为

由式(11-4)可得线电流分别为

图11-10△连接对称负载

例11-2如图11-11所示的三相对称电路,已知负载Z=(60+j60)Ω,Zl=(2+j3)Ω,电源电压Ul=380V,求相电流、线电流和负载两端的电压。图11-11-例11-2图

解该电路的负载虽然是△形连接,但由于存在线路阻抗Zl,所以不能用△形方法直接求解。其求解方法是,首先将△形负载变换成Y形负载,根据式(216)的变换公式,并注意由时域变换到相量域,则有

11.4不对称三相电路的计算

对于三相电路,只要有一部分不对称就称为不对称三相电路。例如,三相负载不对称,对称三相电源的某一条端线断开,或某一相负载发生短路或开路等,均为不对称三相电路。本节只讨论三相负载不对称的情况。

图11-12三相不对称电路

例11-3如图11-13所示是一种相序指示器电路,图中的R可以用两个相同的白炽灯泡代替。如果使则可以根据两个灯泡的亮度判断电源的相序。图11-13例11-3图

11.5三相电路的功率

11.5.1三相电路的功率无论Y形接法还是△形接法,或者负载对称与否,都有三相负载的瞬时功率等于各相负载瞬时功率之和。

以Y形接法