2023届福建省闽侯市高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2.若z=l-i+2J贝”的虚部是

1

A.3B.-3C.3iD.-3i

2222

3.连接双曲线6：三？-白=1及。2：今-]=1的4个顶点的四边形面积为,连接4个焦点的四边形的面积为邑，

S.

则当U取得最大值时，双曲线G的离心率为()

B.逑

C.V3D.V2

22

4.在平面直角坐标系中，已知A”纥是圆/+/=〃2上两个动点，且满足•。纥=一设4，纥

到直线x+6y+〃(〃+l)=0的距离之和的最大值为%,若数列的前〃项和S“＜机恒成立，则实数〃?的取值

范围是（）

A.B.],+8）C.1|,+oo]D.3

—,+oo

2

5.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002,

599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：

32211831297864540732524206443812234356773578905642

84121253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）

A.324B.522C.535D.578

6.要得到函数），=/sin（x-的图象，只需将函数＞=6sin[2x-图象上所有点的横坐标（）

兀

A.伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再将得到的图象向右平移/单位长度

7T

B.伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再将得到的图像向左平移了个单位长度

缩短到原来的，倍（纵坐标不变）,57r

C.再将得到的图象向左平移力个单位长度

224

缩短到原来的L倍（纵坐标不变）,!\jT

D.再将得到的图象向右平移二7个单位长度

224

V

7.已知正四面体的内切球体积为用外接球的体积为匕则一=（）

v

A.4B.8C.9D.27

8.甲乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参

加同一个小组的概率为（）

]_£

A.

37。I6

(x-2)(x-e*)+3,(xNIn2)

9.已知函数，（x）=V,当时，/(x)的取值范围为(-8,e+2],则实数m的

3-2x,(x<In2)

取值范围是（）

A.I-8,-2B.C.,-,1D.[In2,1]

1JI

10.“cos2a=——"是=——,ZEZ”的（）

23

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

11.已知函数/（x）=sin（2x+0）,其中°w（0,刍，若VxeR,/（x）W恒成立，则函数的单调递增区

间为（

.7C.7C...7t2万

K7T------,K71H------yk,GZ)k兀----，/C7T+——{kez)

3633

7T2〃2乃

k7i-\——卡冗----(kGz)D.k兀、k兀+二(kGZ)

33

12.若数列｛/｝满足q=15且3a“+I=34-2,则使。/为+|<0的A的值为（）

A.21B.22C.23D.24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知复数z=（a+2i）（l+i）,其中i为虚数单位，若复数二为纯虚数，则实数”的值是

14.若函数〃2=411（皿+。）3>0,0<。<2乃）满足：①/（力是偶函数；②〃x）的图象关于点序。）对称.则

同时满足①②的①,（P的一组值可以分别是.

15.在正方体ABC。-A4GA中，已知点P在直线AB|上运动，则下列四个命题中：①三棱锥。-。内尸的体积不

变;②OPLRC；③当p为A片中点时,二面角P—AG-C的余弦值为半；④若正方体的棱长为2,则|。尸|+|明

的最小值为4+4夜；其中说法正确的是（写出所有说法正确的编号）

16.（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和

尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为450cm,中间两个和尚的

身高之和为315cm,则最高的和尚的身高是cm.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某网络商城在2019年1月1日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积

极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了40家店铺进行红包奖励.如图是抽取的40家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）

的频率分布直方图.

（1）求抽取的这40家店铺，元旦当天销售额的平均值;

（2）估计抽取的40家店铺中元旦当天销售额不低于4000元的有多少家;

（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在［0,2）和［8,10］的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的

店铺销售额在［0,2）中的个数，的分布列和数学期望.

18.（12分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四

个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖膈”.在如图所示的阳马P-ABC。中，底面ABCD是矩形.Q4平面ABCD,

PA=AD=2,AB=O，以AC的中点。为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点O）,交PC于N（异于

点C）.

（D证明：AM_L平面PCD,并判断四面体是否是鳖席，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若

不是，请说明理由；

（2）求直线ON与平面ACM所成角的正弦值.

19.（12分）在某外国语学校举行的HIMCM（高中生数学建模大赛）中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩

分布在［40,100］,分数在80以上（含80）的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到

成绩的频率分布直方图如图所示.

（I）求〃的值,并计算所抽取样本的平均值［（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（II）填写下面的2x2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.

女生男生总计

获奖5

不获奖

总计200

附表及公式:

P(K2*)0.100.050.0250.01()0.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

2n(ad-bc)

其中K---------------------------------,n=a+b-\-c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

20.(12分)已知抛物线C：y2=2px(〃>0),点尸为抛物线的焦点，焦点尸到直线3x-4y+2=0的距离为4,

焦点/到抛物线c的准线的距离为&，且?=3♦

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若x轴上存在点/，过点M的直线/与抛物线C相交于P、。两点，且白下+'为定值，求点”的

\PM\2|QM|2

坐标.

21.(12分)已知等差数列的前〃项和为%且勺+%="，$4=24.

求数列的通项公式;

⑵求数列的前n项和7“.

n

22.(10分)已知圆。：(无一2)2+(>-3)2=4外有一点(4,-1),过点P作直线/.

(1)当直线/与圆C相切时，求直线/的方程；

⑵当直线I的倾斜角为135。时，求直线/被圆C所截得的弦长.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

2

ln(x-4x+4)inG..,、

因为6.)=1------------L)所以函数/G)的图象关于点(2,0)对称，排除A,B.当x<。时，

Cv-2)3(x-2>

lnG-2)2>0,&-2)3<0,所以心)<0,排除D.选C.

2.B

【解析】

因为z=l—i—2i=l—3i,所以z的虚部是—3.故选B.

3.D

【解析】

先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积,

S,

利用重要不等式求得合取得最大值时有a=b,从而求得其离心率.

【详解】

)222

双曲线二1与5-3=1互为共扼双曲线,

a

四个顶点的坐标为(±«,0),(0,±b),四个焦点的坐标为(±C,0),(0,±c),

四个顶点形成的四边形的面积E=,x2ax2b=2ab,

2

四个焦点连线形成的四边形的面积S=-X2CX2C=2C2,

22

¥2ababab1

所以西=矛="旌前

s

当U取得最大值时有。=》，c=®a，离心率e=£=0,

*a

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共朝双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式

求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.

4.B

【解析】

由于到直线的距离和等于纥中点到此直线距离的二倍，所以只需求“，纥中点到此

4,Bnx+Gy+〃5+1)=0A”,A

直线距离的最大值即可。再得到儿,B“中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和A”以中点到此直线

距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求,丁［的前"项和，即可通过不等式来求解〃?的取值范围.

an

【详解】

22

由OV。纥=一2,得〃MCOSNA，。纥=—幺，.•.N4°B,,=120.设线段纥的中点Q,则|。以=5,，G

222

ML

在圆f+y2=?上，4纥到直线尤+6y+“〃+i)=o的距离之和等于点Q到该直线的距离的两倍，点G到直

„2

线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆Y+y2=》的圆心(0,())到直线%+6y+〃(〃+1)=()

mn+\)n一1

22_L=_=41

-------+-=n+2n,2

22ann+2n2\n〃+2

・•.1.

4

故选：B

【点睛】

本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.

5.D

【解析】

因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的,

重复出现的舍去，直至得到第六个编号.

【详解】

从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:

436,535,577,348,522,535,578,324,577,,因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为

436,535,577,348,522,578,324,,故第6个数据为578.选D.

【点睛】

本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.

6.B

【解析】

分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可.

详解：将函数y=图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到y=Gsi〃（,x2x-工）=&s比（x-2），

233

再将得到的图象向左平移:个单位长度得到y=Msi成x-?+?）=瓜%（%-专），

故选B.

点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合。和。的关系是解决本题的关键.

7.D

【解析】

设正四面体的棱长为1,取8c的中点为O,连接A。，作正四面体的高为PM,首先求出正四面体的体积，再利用

等体法求出内切球的半径，在RtMMN中,根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】

设正四面体的棱长为1,取8。的中点为。，连接AO,

作正四面体的高为

PM=>IPA2-AM2=—,

3

v_1V3V6_V2

•••V^BC=-xTxT=—

设内切球的半径为广，内切球的球心为0,

则Vp_ABc=4%-ABC=4XgxVr,

解得：r=；

12

设外接球的半径为R,外接球的球心为N,

贝!||肱V|=|PM-R|或AN=R,

在RAAMN中，由勾股定理得：

AM2+MN2=AN2,

.•.，+[如—H]=R2,解得R=包，

334

故选：D

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式,

属于基础题.

8.A

【解析】依题意，基本事件的总数有3x3=9种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为二3二」1.

93

9.C

【解析】

求导分析函数在x?ln2时的单调性、极值，可得x?ln2时，/(x)满足题意，再在x<ln2时，求解/'(x)4e+2的

x的范围，综合可得结果.

【详解】

当％21n2时，/'(x)=-(x-l)(^-2),

令/'(x)>0,则ln2<x<l；f'(x)<0,贝!)x>l,

函数/(x)在(ln2,l)单调递增，在(1,例)单调递减.

，函数/(X)在x=1处取得极大值为/⑴=e+2,

二x21n2时，/(x)的取值范围为(Y0,e+2],

•**ln2<m<l

又当尤<ln2时，令/(x)=3—2x<e+2,则冗2彳§,即\^Wx<ln2,

]—e

:.-----<m<ln2

2

\—e

综上所述，加的取值范围为—,1.

故选C.

【点睛】

本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.

10.B

【解析】

先求出满足cos2。=-1的a值，然后根据充分必要条件的定义判断.

【详解】

i27r7117t

由cos2a=——得2a=2&%±——，即。=左万士一，keZ,因此“cos2a=——”是“a=Z%+—,ZeZ”的必要

23323

不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.

11.A

【解析】

Vxe/?,/(%)<f0=>/(X)max=„=1,从而可得9哈/(x)=sin[2x+^J,再解不等式

)1Jri

2k兀-----<2x+—<Ikrrd•—(kez)即可.

262

【详解】

sin"

由已知，f(x)=1

sin,+?=±l,^e[0,yL所以夕71

61

f(x)=sin2犬+一,由---<2XH——42k兀+—(kez),

I6；262

7TTT

解得，k兀<xKkr+—(女£z).

36

故选：A.

【点睛】

本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.

12.C

【解析】

因为晒一。,,=一2(，所以｛4｝是等差数列，且公差〃=一彳2,6=15,贝！—彳2(〃-1)=一彳2〃+：47，所

2472454547

以由题设外％<0可得(-丁2+7)(-+贝!1〃=23,应选答案C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

由题，得z=(a+2i)(l+i)=a—2+(a+2)i,然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.

【详解】

由题，得z=(a+2i)(l+i)=a—2+(a+2)i,又复数，为纯虚数，

所以a-2=0,解得a=2.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.

371

14.一,-

22

【解析】

根据/(x)是偶函数和/(x)的图象关于点［g,0］对称，即可求出满足条件的切和。.

【详解】

由/(X)是偶函数及0«。<2兀，可取。=5,

贝！］/(x)=sin69X+—=coscox,

由/(x)的图象关于点K，oJ对称，得=E+keZ,

33

即。=3Z+—,keZ,可取a)--.

22

371

故。，。的一组值可以分别是一，

22

故答案为：;3，g71.

22

【点睛】

本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.

15.0<2)@

【解析】

①Ag〃r>G，・•・45'/平面DBC1,得出A与上任意一点到平面DBQ的距离相等，所以判断命题①；

②由已知得出点尸在面。CGA上的射影在。G上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②；

③当尸为A4中点时，以点o为坐标原点，建立空间直角系。一孙z,如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法

可求得二面角P-AG-c的余弦值，可判断命题③；

④过AB|作平面交AR于点做点。关于面A片M对称的点G,使得点G在平面ABB,内，根据对称

性和两点之间线段最短，可求得当点P在点《时，在一条直线上，|。月+忸月取得最小值|GB|.可判断命题

④.

【详解】

①A4〃。G，AB”平面，所以A片上任意一点到平面DBG的距离相等，所以三棱锥。一。啰尸的体积

不变，所以①正确；

②P在直线AB|上运动时，点尸在面。CG。上的射影在。C上，所以。尸在面。CGA上的射影在。G上，又

DC,±CD,,所以。P，£>C，所以②正确；

③当P为AB1中点时，以点。为坐标原点，建立空间直角系。一冲z,如下图所示，设正方体的棱长为2.

则：4(2,0,0),4(2,2,2),P(2,1,1),%(2,0,2),C,(0,2,2),C(0,2,0),所以

AG=（-2,2,o）,B4i=（0,-1,1）,cq=（0,0,2）,

m-AC.=0]—2x+2y=0

设面4Gp的法向量为〃z=（尤,y,z）,贝!八，即（八，令x=l,贝！|y=l,z=l,.,•加=（1,1,1）,

mPA^=0[-y+z=0

n-AC=0[-2x+2y=0

设面AG。的法向量为〃=（%，y，z）,•..<•1八，即个.一〃=0U,o）,

nCCj=012z=0

m

cos<m,n>="="r=,由图示可知，二面角P-4G-C是锐二面角，所以二面角P-\Cy-C

\rr\-\n\，3xj23

的余弦值为逅，所以③不正确；

3

④过AB|作平面A4M交AR于点"，做点。关于面A用M对称的点G,使得点G在平面48片4内，

则。尸=62,94=64,。6_1"1,所以|。"+忸8=|6。|+忸外，当点P在点打时，。,匕8在一条直线上，

|。月+忸月取得最小值|6印

因为正方体的棱长为2,所以设点G的坐标为G（2,加,〃），DG=（2,m,n）,领=（0,2,2）,所以

DG•AB】=2忆+2〃=0,

所以加二一〃9又DA=GA=2,所以机=—J5,几=,

所以G（2,一夜，⑹，B（2,2,0）,侬=“2—2'+卜0一2『+（0-0『=48+40，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的

思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题.

16.181.5

【解析】

依题意设前三个和尚的身高依次为4cmM2cmM3cm,第四个（最高）和尚的身高为为cm,则%+%+%=3%=45（）,解

得%=150,又—315,解得%=165,又因为。2，。3，%成等比数列，则公比。比=言=1」，故

a4=a3q=165x1.1=181.5.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(1)5500元；(2)32家；(3)分布列见解析；y

【解析】

(1)根据频率分布直方图求出各组频率，再由平均数公式，即可求解；

(2)求出［4000,10000］的频率即可；

(3)［0,2)中的个数？的所有可能取值为0,1,2,求出《可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.

【详解】

(1)频率分布直方图销售额的平均值为

2x(0.025x1+0.075x3+0.2x5+0.15x7+0.05x9)=5.5^76,

所以销售额的平均值为5500元：

(2)不低于4000元的有40x(0.2+0.15+0.05)x2=32家

(3)销售额在［0,2)的店铺有2家,

销售额在［8,10］的店铺有4家.选取两家,

设销售额在［0,2)的有，家.则，的所有可能取值为0,1，2.

P（4=O）=等=2,p（：=i）=婴=_1,

C：5C；15

C2co1

所以4的分布列为

012

281

P

51515

Q12

数学期望缁=lx?+2x—=一

15153

【点睛】

本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.

18.(1)证明见解析，是，ZAMC,AAMD,ZADC,ZMDCx(2)在

5

【解析】

(1)根据AC是球的直径，则40_LMC,又24,平面ABCD,得到CDLQ4,再由线面垂直的判定定理得到

。。_1平面24£>,,进而得到CD_LAM,再利用线面垂直的判定定理得到AM，平面PCD.

(2)以A为原点，AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系，设CN=XCP=卜&,一22,2；1),由

AN1CN,解得X,得到CN，从而得到ON=OC+CN，然后求得平面ACM的一个法向量，代入公式

.八ON・n

sm0=।~-r—求解.

|。叶同

【详解】

(1)因为AC是球的直径，则

又B4_L平面ABCD,

：.CD±PA,CD_LA£>.，CD,平面B4D，

二C£>，AM,工/LMJ_平面PCD.

根据证明可知，四面体MCD4是鳖膈.

它的每个面的直角分别是NAMC,ZAMD,ZADC,ZMDC.

(2)如图，

以A为原点，AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系,

Cr\

则B(夜,0,0),C(V2,2,0),£>(0,2,0),尸(0,0,2),O^-,1,0.

M为PD中点,从而用(0,1,1).

所以CP=(-72,-2,2),设CN=XCP=(-V2A,-2A,22),

则A2V=AC+CN—(正一内,2—24,2/1).

由4V，OV,

得A7V.CN=及2(02—0)一24(2—24)+4几2=1042-64=0.

由4,0得2=3,即CN=--yV2,——\

5\555)

所以ON=OC+CN=,—―.

(1055)

设平面ACM的一个法向量为。=(x,y,z).

AM-n=y+z=0

由《.

AC-n-yflx+2y=0

取x=V5,y=T,z=i,得到〃=(啦,一1」).

记ON与平面AMC所成角为仇

yfl/T-16

则而。=产八人丁二.=,---1-°-*72H5F-5=也/7"

冈同厂+一•反币5

V1002525

所以直线ON与平面AMC所成的角的正弦值为逅.

5

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理和线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

19.(I)a=0.025,亍=69；(II)详见解析.

【解析】

(I)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；

(II)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为4()，不获奖的人数为160,从而可得2x2列联表，再计算出K2，与临界值比

较可得.

【详解】

解：(I)a=J-x[1-(0.01+0.015+0.03+0.015+0.005)xl0]=0.025,

J=45x0.1+55x0.15+65x0.25+75x0.3+85x0.15+95x0.05=69.

(II)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为4(),不获奖的人数为160,

2x2列联表如下：

女生男生总计

获奖53540

不获奖45115160

总计5()150200

因为“00x殷/45)-3.841,

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生，男生有关.”

【点睛】

本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法

即可，属于常考题型.

20.(1)尸=4x

⑵(2,0)

【解析】

d.1

(1)先分别表示出4,小，然后根据于=不求解出夕的值，则C的标准方程可求；

a22

11

(2)设出直线/的方程x^my+t并联立抛物线方程得到韦达定理形式,然后根据距离公式表示出---r+——并

\PM\-IQM\-

11

代入韦达定理形式，由此判断出他乔+而"为定值时M的坐标.

【详解】

(1)由题意可得，焦点P>0,贝！I

3x—+23x—+2>

2'2，”2=P，

4=-----------=——-—

15