(4.12)-第八章平面弯曲工程力学

第页纵向对称面P纵向对称面PqMR2R1轴线8.1平面弯曲的概念1．弯曲构件(Component)——杆(bar)、梁(beam)、柱(column)e.g：拉（压）杆：承受轴向拉（压）力；扭杆：承受扭矩；梁：承受横向力（以弯曲为主的构件）。由实例引入弯曲的受力特点、变形特点受力特点：力的作用线轴线或一对等值、反向、作用面作用于纵截面内的力偶矩；变形特点：=1\*GB3①轴线：直线曲线；各点顺着力的方向发生一个线位移——挠度（截面形心）；=2\*GB3②横截面绕某一直线发生转动（各个截面转角不同）。车重P桥梁自重q车重P桥梁自重q图8-12．平面弯曲特点：=1\*romani、所有外力（包括支座反力）作用在纵向平面内；=2\*romanii、梁的轴线由直线曲线，但仍在平面内。图8-2判定——看外力作用位置——外力作用线位于形心主惯性轴上；若不在可能为双向弯曲或弯扭组合。图8-23．梁的简化（1）截面（如图8-2）（2）支座pinsupportrollersupportfixedsupport（3）梁图8-3A、简支梁Simplebeam[桥]；B、外伸梁Beamwithanoverhang[双杠]；C、悬臂梁Cantileverbeam[阳台]（4）载荷PMq8.2剪力与弯矩一、回顾拉压、扭转的内力——两个力之间内力的大小（值）不变；（所有外力的代数和）弯曲——两力之间内力的变化规律（函数关系）不变。弯曲内力——剪力、弯矩截面法分段时考虑：P的作用点、q的始末点、M的作用面。2P/3M2P/3MFSxPL/32L/3IIIIIIxP/3P/3M’F’SPL/3-x2L/3图8-4取I-I左侧为研究对象（）FSFS（FSFS取I-I右侧为研究对象MMMM上压-下拉+剪力大小===截面一侧所有外力的代数和；弯矩大小===截面一侧所有外力对所求内力截面形心的矩的代数和。二、符号规定图8-5：产生顺时针矩为正（“左上右下”+左段向上的外力为+，右段向下的外力为+）：使梁上凹为正（“左顺右逆”；所有向上的外力产生正弯矩）q=1kN/mM=10kNq=1kN/mM=10kN•m1m1m1m0.5m123截面1：；2kN截面2：；2kN图8-6截面3：；_______________________________10kN•10kN•m5kN/m1m1m12截面1：；kNm截面2：；图8-78.3内力方程与内力图梁内各个截面上的内力是其位置坐标的函数，即——内力方程——反映了内力沿着轴线变化的规律。内力图危险面横截面位置为横坐标，内力为纵坐标；正值画在上方（M为正表明上侧受压）。2P/3MF2P/3MFSxPL/32L/3IIIIIIx，P/3M2P/3M2FS2L-x，+2LP/9x+2LP/9xM+——2P/3P/3FSx——-M/L——-M/LFSxML/2L/2M/LM/Lx21图8-9xMxMM/2+_M/2截面1：，；——FSx+qL/2qL/2——FSx+qL/2qL/2LqL/2LqL/2xqL/2qMMx+图8-10取断面左侧为研究对象，；Summary：从左向右画图规定q(x)向上（与y轴正方向一致）为正1、首先要建立和坐标。一般取梁的左端作为坐标的原点，坐标和坐标向上为正。q(x)=0的一段梁内，图为一水平线，M图为斜直线。M上升，M下降；若q(x)=C，图为一斜直线（斜率=C），M图为抛物线。q(x)<0，M图上凸；q(x)>0，M图上凹。集中力P作用点处，Q图突变，突变量等于P。Q图顺着P的方向突变。（P向下，Q图向下突变；P向上，Q图向上突变）集中力偶m作用处，Q图不变。M图突变，M图顺着m的方向突变。连续变化经过=0处，M取极值。Q>0，M图上升，Q<0，M图下降。写出M(x)方程，但是用6点画图qqL12L__qLM+4m2kN/m4m2kN/m2m2m10kN•m2kNABCD3kN7kN3kN+_5kN3kN+_5kN5kN2kN+；4kN4kN•m6kN•m4kN•m9/4kN•mM图8-12山东理工大学备课纸内力图危险面（合理受力）危险点危险方位强度、刚度受力合理：塑性材料（抗拉、抗压强度相同）一个危险面、一个危险点脆性材料（抗压抗拉强度）、两个危险面、四个危险点。1m1m30kN/m30kN45kN1m1m1m30kN/m45kN+图8-13+qq2aaaq2m4kN2m4kN8kN14kN2m2m4m3kN/m10kN8kN8kN•m12kN•m14kN•m图8-15山东理工大学备课纸8.4弯曲正应力及强度条件▲弯曲问题的研究过程：弯曲内力─→弯曲应力（强度问题）─→弯曲变形（刚度问题）▲拉压：轴力N，正应力（均匀分布）；扭转：扭矩T，剪应力（线性分布）；弯曲：弯矩M（横截面法向分布内力的合力偶矩），剪力（横截面切向分布内力的合力）；应力？zy▲应力←─zyMQMQ内力剪应力正应力图8-16+——+——PPPPaaABCD2a+PaPa+PaPaM图图8-17♂AB、CD段内梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为横力弯曲（transversebending）。（剪力Q是；弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时存在剪应力和正应力。实践和理论都证明，其中弯矩是影响梁的强度和变形的主要因素。）♂BC段Q=0，M=常数，这种弯曲称为纯弯曲（Purebending）。aaaabbmnnmOO梁表面变形特征：△横线仍是直线；但发生相对转动，仍与纵线垂直；△纵线由直线─→曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短。（上侧受压，下侧受拉）内部情况：IMAGE——梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直于变形后的轴线，只是绕某一轴（中性轴）转动。图8-18aaannbbmmOOMM山东理工大学备课纸☆总之，由外部去想象内部，得到梁的弯曲假设——☉平面假设：变形后，横截面仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁的某一轴转过一个角度。☉纵向各水平面间（纵向纤维间）无挤压（无正应力）——均为单向拉、压状态3．中性层、中性轴▽梁的中性层(neutralsurface)——既不伸长又不缩短的纵面▽截面的中性轴(neutralaxis)——中性层与横截面的交线连续变化转折点（中性层、中性轴）长度不变♀应用：预制板中间是空的（中性层，减轻自重但强度仍满足），有钢筋（抗拉，脆性材料抗压不抗拉）。二、纯弯曲时的正应力与扭转相似，分析纯弯梁横截面上的正应力，同样需要综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。zyzyxM但是，分布不清楚——静不定问题ybMbbbbybMbbbbbmnnmOO2．变形几何关系：即：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。图8-20（材料、截面、外载一定，为常数）3．物理关系：时，，则即：纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离z成正比。（正应力沿着截面高度按线性分布）山东理工大学备课纸☆分布规律：=1\*GB3①沿着宽度均匀分布；=2\*GB3②沿着高度线性分布；=3\*GB3③M>0上压下拉；=4\*GB3④危险点4．公式得到：得到类似于扭转剪应力公式表明：梁弯曲的曲率与弯矩成正比，而与抗弯刚度成反比：（1）：梁内某横截面上的某点正应力；M：该截面绕z轴的弯矩；y：该点到中性轴的距离；：该截面对z轴的惯性矩。（2）的正负号可由该处的变形直接判断：拉正压负。同一横截面上危险点处：，：抗弯截面系数，仅与横截面形状有关。（3）适用条件：=1\*romani、线弹性（应用了Zheng-Hooke定律），纯弯曲梁（0，）；=2\*romanii、对于（跨高比）即细长梁，近似成立于横力弯曲；=3\*romaniii、平面弯曲梁，外力必须作用在与xy或xz面内且过横截面弯曲中心。三、横力弯曲时的正应力对横力弯曲近似成立。强度校核，与M、有关山东理工大学备课纸dzyhdzyhzyb矩形：dzyDdzyD空心圆：，图8-21四、强度条件：对塑性材料（）危险面只有一个即所在截面，危险点也仅一个，即所在点；P50mmAB100mmP/23P/2对脆性材料（相差很大）危险面有两个，+最大截面和-最大截面，而每个危险面上的危险点有两个，即和所在点。要对分别校核。P50mmAB100mmP/23P/2z30z3014y1．，试求解：+Pa+Pa图8-22即山东理工大学备课纸4015048yzmm4015048yzmmab6kNP=9kN1mAB1m1m3kNII解：I-I截面，+6kN+6kN·m3kN·m6kN3kN6kN3kN+——图8-23P=20kNP=20kNABq=10kN/mED2m3m1mZzZz60mm140mmYz20kN·m——20kN·m——+10kN·m校核强度。解：（1）内力分析找到危险面B、D。+——20kN+——20kN10kN10kN——危险点a、b、d。（3）校核(拉)<压压拉拉压压拉拉aedbBD(拉)<满足要求♂截面放置的合理性——能否倒置？图8-24山东理工大学备课纸8.5弯曲剪应力及强度条件▲纯弯曲——只有正应力，没有剪应力。横力弯曲——一般情况既有正应力，也有剪应力。□研究方法：=1\*romani、正应力公式仍适用；=2\*romanii、假定剪应力在横截面上分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力公式；=3\*romaniii、不再用静力平衡、变形、物理关系进行推导。zxyzxyQbhmm1nn1dxy矩形截面♀假定：=1\*romani、截面上各点剪应力与剪力方向一致；=2\*romanii、剪应力沿截面宽度方向均匀分布。对于高度h>宽度b的矩形截面，上述假定足够精确。♂剪应力沿着高度方向如何分布？mm1nn1mm1nn1dxQQM+dMMmm1nn1dxN2N1nn1pN2N1nn1prqsdxbm2n2n1qpm1zdxymmm1nn1rp（c）应力分布图（d）从微梁段上再取下面一段[切应力沿截面高度分布未知，沿截面宽度方向均匀分布][N1,N2：正应力在左右两截面上的合力]图8-26微块左右侧面上正应力的合力分别为和，其中山东理工大学备课纸式中，为微块的侧面面积，为面积中距中性轴为处的正应力，。静力方程：，得从而，故因，故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力为说明：Q为截面上的剪力；为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；为面积对中性轴的静矩（截面上距离中性轴为y的横线以外部分面积对中性轴的静矩）。yzdyy1yzdyy1hbAy对于矩形截面梁（图8-27），可取，于是或则上式表明：（i）沿截面高度剪应力按抛物线规律变化（图8-27）。图8-27（ii）在截面上、下边缘处，y=±,=0；（iii）在中性轴上，z=0，剪应力值最大，其值为式中A=bh,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的倍。山东理工大学备课纸zyzyhHyb腹板翼板工字形截面梁由腹板和翼缘组成计算结果表明：（i）在翼缘上剪应力很小，在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图8-28所示。（ii）最大剪应力在中性轴上，其值为（对于轧制的工字钢，式中的可以从型钢表中查得）图8-28（iii）腹板承担的剪力约为（0.95~0.97）Q，因此也可用下式计算的近似值式中h为腹板的高度，b为腹板的宽度。（翼缘承担大部分弯矩）。圆形截面图8-29在圆形截面上（图8-29），任一平行于中性轴的横线aa两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q，设为均匀分布，其值为最大。求得图8-29式中，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力的倍。四、强度条件△对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响，因截面上的最大正应力作用点处，弯曲剪应力为零，故该点为单向应力状态。△等截面直梁的d一般发生在截面的中性轴上，此处弯曲正应力，微元体处于纯剪应力状态，其强度条件为山东理工大学备课纸★进行弯曲剪应力强度校核的情况：梁的跨度较小或载荷靠近支座；T型、工子型的壁薄截面梁；或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层、焊接或铆接的面）。++——++——5611ABZz20120805220mm胶合而成。已知剪力图、弯矩图、截面尺寸，求（1）；（2）；+——56（3）胶合面上的和截面上的+——56解：（1）（2）A截面：，图8-30B截面：，（B截面下边缘），（A截面下边缘）（3）在B处右截面[注]：（1）当梁横截面对于中性轴不对称时，、可能出现在或所在截面，而在所在截面中性轴上；（2）计算时，为胶合处以上面积对中性轴静矩，宽度应为胶合处宽度；（3）若要计算梁纵向胶合面上的强度，可由剪应力互等定理求得。山东理工大学备课纸五、提高弯曲强度的措施如前所述，弯曲正应力是影响弯曲强度的主要因素。根据弯曲正应力的强度条件（a）上式可以改写成内力的形式（b）（b）式的左侧是构件受到的最大弯矩，（b）式的右侧是构件所能承受的许用弯矩。由（a）和（b）两式可以看出，提高弯曲强度的措施主要是从三方面考虑：减小最大弯矩、提高抗弯截面系数和提高材料的力学性能。1．减小最大弯矩1）改变加载的位置或加载方式——可以通过改变加载位置或加载方式达到减小最大弯矩的目的。2）改变支座的位置——可以通过改变支座的位置来减小最大弯矩。2．提高抗弯截面系数1）选用合理的截面形状——在截面积相同的条件下，抗弯截面系数愈大，则梁的承载能力就愈高。eg：对截面高度大于宽度的矩形截面梁，截面竖放时；而截面平放时，。两者之比是，所以竖放比平放有较高的抗弯能力。当截面的形状不同时，可以用比值来衡量截面形状的合理性和经济性。材料远离中性轴的截面（如圆环形、工字形等）比较经济合理。这是因为弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴附近的应力较小，该处的材料不能充分发挥作用，将这些材料移置到离中性轴较远处，则可使它们得到充分利用，形成“合理截面”。工程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板，道理就在于此。需要指出的是，对于矩形，工字形等截面，增加截面高度虽然能有效地提高抗弯截面系数；但若高度过大，宽度过小，则在载荷作用下截面会发生扭曲，从而使梁过早的丧失承载能力。对于拉、压许用应力不相等的材料（例如大多数脆性材料），采用字形等中性轴距上下边不相等的截面较合理。设计时使中性轴靠近拉应力的一侧，以使危险截面上的最大拉应力和最大压应力尽可能同时达到材料的许用应力。2）用变截面梁对于等截面梁，除所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。因此，为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。若使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称为等强度梁。考虑到加工的经济性及其他工艺要求，工程实际中只能作成近似的等强度梁，例如机械设备中的阶梯轴，摇臂钻床的摇臂及工业厂房中的鱼腹梁）等。山东理工大学备课纸3．提高材料的力学性能构件选用何种材料，应综合考虑安全、经济等因素。近年来低合金钢生产发展迅速，如、钢等。这些低合金钢的生产工艺和成本与普通钢相近，但强度高、韧性好。南京长江大桥广泛的采用了钢，与低碳钢相比节约了的钢材。铸铁抗拉强度较低，但价格低廉。铸铁经球化处理成为球墨铸铁后，提高了强度极限和塑性性能。不少工厂用球墨铸铁代替钢材制造曲轴和齿轮，取得了较好的经济效益。8.6弯曲变形◎赠言：大过，栋橈，利有攸往，亨。——《周易上经·大过》注释：大过：卦名，非常过度的意思；栋，即梁；橈（rao），挠（nao）曲的树木称为橈；攸，即所；利有攸往，意思——有利于所往的方向；亨，亨通。理解：事物发展得非常过度，好象栋梁挠曲，有利于所往方向的继续发展，达到亨通。▲弯曲问题的分析过程：弯曲内力（M、Fs）——→弯曲应力（、）[强度问题]——→弯曲变形（f、）[刚度问题]▲拉、压：N伸长（elongation）扭转：T转角（rotation）弯曲：M、Fs挠度（deflection）,转角(rotation)?◢工程上的梁变形问题不容忽视影响使用●减少冲击、振动[减震弹簧、蹦极等]引发破坏●利用变形作为开关提高性能x挠度x挠度转角FBA挠曲线y基本概念挠度：线位移，坐标为x的横截面形心沿y方向的位移；，向上为正转角：横截面变形前后的夹角；，逆时针为正（x轴正向向挠曲线在该点切线转，逆正）图8-31★，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程。山东理工大学备课纸山东理工大学备课纸二、挠曲线近似微分方程：对于小变形：忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为：（a）梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程之间存在下列关系：（b）代入式（a），得——挠曲线微分方程（二阶非线性）[麻烦、应用不广]（c）小挠度条件下，，式（c）可简化为：——挠曲线近似微分方程（d）[Euler—Bernulie弯曲方程]注：=1\*romani、上述近似微分方程，坐标系只能选y轴向上，x轴向右为正，即右手坐标系；=2\*romanii、适用范围：线弹性、小变形。MMMMy图8-32（一）积分法分别对积分一次，便得到梁的转角方程：（a）对积分二次，得到挠度方程：（b）其中C、D为积分常数，由边界条件和连续条件确定。山东理工大学备课纸不定积分代表了原函数的无数条曲线；定积分代表了其中一条曲线。★约束——→边界条件——→确定积分常数C、D。（t=0，初始条件）▲对于载荷无突变的情形，梁上的弯矩可以用一个函数来描述，则式（a）和（b）中将仅有两个积分常数，由梁的边界条件（即支座对梁的挠度和转角提供的限制）确定。yxyxPABLPxyLABPxyLABCPxyLABCyxPABLaC图8-33▲对于载荷有突变（集中力、集中力偶、分布载荷间断等）的情况，弯矩方程需要分段描述。对式（a）和（b）必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件，这就是连续条件。（函数值相同；函数一阶导数相同）PPxyLABaC图8-34□梁的刚度条件：梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件：式中的和分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。山东理工大学备课纸例1：1．yxPAyxPABL边界条件，图8-35yxPABLaC图8-36发生在处，yxPABLaC图8-36例2：1.2.3.故转角方程为：挠曲线方程为：山东理工大学备课纸（二）叠加法1．条件：=1\*GB3①在材料服从胡克定律和小变形，=2\*GB3②由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。2．叠加法：当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果（P.350附录D），叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是叠加法。qABCqABCL例3：一抗弯刚度为EI的简支梁，用叠加法求跨中点C的挠度和支座处横截面的转角，图8-37，，，，，qL/2qL/2AL