新教材适用2023-2024学年高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系学案新人教A版必修第一册

1．2集合间的基本关系学习目标1．理解集合之间的包含与相等的含义．2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．3．在具体情境中，了解空集的含义．核心素养1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.知识点1子集、真子集、集合的相等(1)Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为_Venn图_.(2)两个集合之间的关系定义符号表示图形表示子集如果集合A中_任意一个_元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集A_⊆_B(或B_⊇_A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素_x∈B_，且_x∉A_，就称集合A是集合B的真子集AB(或B__A)集合相等如果集合A的_任何一个_元素都是集合B的元素，同时集合B的_任何一个_元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A_＝_B(3)子集的性质①任何一个集合是它本身的_子集_，即A⊆A．②对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么_A⊆C_.想一想：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有什么区别？提示：(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，“⊆”的两边均为集合．练一练：1．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，则有(D)A．M＜N B．M∈NC．N⊆M D．MN[解析]∵1∈{1,2,3}，∴{1}{1,2,3}．故选D.2．用适当的符号填空：(1)a_∈_{a，b，c}；(2)0_∈_{x|x2＝0}；(3)∅_＝_{x∈R|x2＋1＝0}；(4){0,1}__N；(5){0}__{x|x2＝x}；(6){2,1}_＝_{x|x2－3x＋2＝0}．知识点2空集(1)定义：不含_任何_元素的集合叫做空集，记为_∅_.(2)规定：_空集_是任何集合的子集．提醒：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．想一想：∅，0，{0}与{∅}之间有怎样的关系？提示：∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}练一练：下列四个集合中，是空集的为(B)A．{0}B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x>4}[解析]x>8，且x<5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B.题型探究题型一集合间关系的判断典例1(1)(多选题)在以下写法中正确的是(BC)A．0∈∅ B．∅⊆{0}C．{0,2}⊆{2,0} D．{0}∈{0,1,2}(2)在下列各组中的集合M与N中，使M＝N的是(D)A．M＝{(1，－3)}，N＝{(－3,1)}B．M＝∅，N＝{0}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}D．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}(3)判断下列两个集合之间的关系：①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝4n，n∈Z}．②P＝{x|x－3>0}，Q＝{x|2x－5≥0}．③P＝{x|x2－x＝0}，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(1＋(－1)n,2))).[分析](1)正确判断元素与集合、集合与集合的关系．(2)结合每个集合中元素的形式和元素的取值进行判断．(3)根据数集的意义、不等式表示的范围等方法进行判断．[解析](1)∅不含任何元素，0∉∅，故A错误；空集是任何集合的子集，故B正确；{0,2}＝{2,0}，故C正确；D错误，应该是{0}{0,1,2}．(2)在A中，M和N表示不同的点；在B中，M是空集，N是单元素集；在C中，M是数集，N是点集；在D中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}＝{t|t≥1}．因此，M＝N.故选D.(3)①因为P是偶数集，Q是4的倍数集，所以QP.②P＝{x|x－3>0}＝{x|x>3}，Q＝{x|2x－5≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(5,2))).所以PQ.③P＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．在Q中，当n为奇数时，x＝eq\f(1＋(－1)n,2)＝0，当n为偶数时，x＝eq\f(1＋(－1)n,2)＝1，所以Q＝{0,1}，所以P＝Q.[归纳提升](1)集合间基本关系判定的两种方法和一个关键(2)证明集合相等的两种方法①用两个集合相等的定义，证明两个集合A，B中的元素全部相同，即可证明A＝B；②证明A⊆B，同时B⊆A，推出A＝B.对点练习❶能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(B)[解析]解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．题型二确定集合的子集、真子集典例2(1)已知集合A{1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有(D)A．2个 B．3个C．4个 D．5个(2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．[解析](1)满足题意的集合A可以是{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共有5个．(2)因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．[归纳提升]子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有2n－1个；(3)A的真子集有2n－1个；(4)A的非空真子集有2n－2个．对点练习❷满足{a，b}⊆A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是(C)A．2 B．6C．7 D．8[解析]由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．题型三由集合间的关系求参数范围问题典例3已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A⊆B，求实数m的取值范围；(2)若BA，求实数m的取值范围．[分析]借助数轴分析，注意对B为空集情况的讨论．[解析](1)当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1>m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>2，,m≤－3，,m≥3，))∴m不存在，即不存在实数m使A⊆B.(2)①当B≠∅时，若BA，如图所示，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解这两个不等式组，得2≤m≤3.②当B＝∅时，满足BA，由m＋1>2m－1，得m<2.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．[归纳提升]已知两个集合之间的关系求参数的策略1．已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．2．若集合为不等式的解集，常借助数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意区间端点处的值是否可取；若集合用列举法表示，可依据元素间的关系，转化为方程(组)求解．对点练习❸(1)已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝_1_；(2)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解析](1)因为B⊆A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1.当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，满足B⊆A，故m＝1.(2)当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a,a＋3<－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a,2a>4))，解得a<－4或2<a≤3.综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.误区警示忽视“空集”的存在典例4已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为(D)A．{－1} B．{1}C．{－1,1} D．{－1,0,1}[错解]因为B⊆A，而B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(1,a)))，因此有－eq\f(1,a)∈A，所以a＝±1，故选C．[错因分析]空集是一个特殊而重要的集合，它不含任何元素，记为∅.在解隐含有空集参与的集合问题时，极易忽视空集的特殊性而导致错解．本例求解过程中有两处错误，一是方程ax＝－1的解不能写成x＝－eq\f(1,a)，二是忽视了B⊆A时，B可以为空集．事实上a＝0时，方程无解．[正解]因为B⊆A，所以当B≠∅，即a≠0时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(1,a)))，因此有－eq\f(1,a)∈A，所以a＝±1；当B＝∅，即a＝0时满足条件．综上可得实数a的所有可能取值的集合是{－1,0,1}．故选D.[方法点拨]已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是(C)A．1 B．3C．4 D．6[解析]①②⑤⑥正确，③④错误，故选C．2．下列关系式正确的是(B)A．0⊆{0} B．∅{0}C．{0,1}⊆{(0,1)} D．{(a，b)}＝{(b，a)}[解析]对于A,0∈{0}，故A错误；对于C，{0,1}是双元素集，而{(0,1)}是点集，故C错误；对于D，(a，b)和(b，a)是两个不同的点，故D错误，故选B.3．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集个数是(C)A．5 B．6C．7 D．8[解析]A＝{x|0≤x<3且x∈Z}＝{0,