2015年三年高考数学（理）真题精编-专题02函数

一、选择题1.【2014课标Ⅰ，理3】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C.．是奇函数D．是奇函数【答案】C6.【2014课标Ⅰ，理11】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．7.【2013课标全国Ⅰ，理11】已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]【答案】：D【解析】：由y＝|f(x)|的图象知：12.【2013高考北京理第5题】函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝()．A．ex＋1B．ex－1C．e－x＋1D．e－x－1【答案】D考点：函数图像的平移.13.【2014高考北京理第2题】下列函数中，在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．【答案】A考点：函数的单调性，容易题.14.【2015高考北京，理7】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交，不等式的解为，用集合表示解集选C【考点定位】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.15.【2013高考广东卷.理.2】定义域为R的四个函数y＝x3,y＝2x,y＝x2＋1,y＝2sinx中,奇函数的个数是().A.4B.3C.2【答案】C【解析】根据奇函数和偶函数的判断方法可得y＝x3,y＝2sinx为奇函数；y＝x2＋1为偶函数；y＝2x为非奇非偶函数.所以共有2个奇函数,故选C.【考点定位】本题考查函数中的奇偶性判断,属于基础题17.【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】．【解析】记，则，，那么，，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知、、依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选．【考点定位】函数的奇偶性判断．19.【2014湖南3】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则()A.B.C.1D.3【答案】C【考点定位】奇偶性20.【2013湖南5】函数的图像与函数的图像的交点个数为A．3B．2C【答案】B【解析】二次函数的图像开口向上，在x轴上方，对称轴为x=2，g(2)=1；f(2)=2ln2=ln4>1.所以g(2)<f(2),从图像上可知交点个数为2选B21.【2014湖南8】某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为,则有,故选D.【考点定位】实际应用题二次方程22.【2014湖南10】已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【考点定位】指对数函数方程单调性24.【2014山东.理3】函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】【解析】由已知得即或，解得或，故选.考点：函数的定义域，对数函数的性质.25.(2013山东，理3)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝，则f(－1)＝()．A．－2B．0C．1D．2【答案】：A【解析】：因为f(x)是奇函数，故f(－1)＝－f(1)＝＝－2，应选A.31.【2013山东，理8】函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为()．【答案】：D32.【2014山东.理5】已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】【解析】由知，所以，，正确.通过举反例可以说明其它选项均不正确.对于，取此时，不成立；对于，取此时，不成立；对于，取此时，不成立；故选35.【2014山东.理8】已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】36.【2015高考山东，理10】设函数则满足的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】当时，，所以，，即符合题意.当时，,若，则，即：，所以适合题意综上，的取值范围是,故选C.【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.39.【2013高考陕西版理第8题】设函数f(x)＝则当x＞0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()．A．－20B．20C．－15D．15【答案】A【解析】试题分析:当x＞0时，f(x)＝＜0，则f[f(x)]＝..令3－r＝0，得r＝3，此时T4＝(－1)3＝－20.考点：对数的运算性质，容易题.40.【2013高考陕西版理第9题】在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长xA．[15,20]B．[12,25]C．[10,30]D．[20,30]【答案】C【解析】试题分析：设矩形另一边长为y，如图所示.，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C．考点：函数的定义域.42.【2013高考陕西版理第10题】设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有()．A．[－x]＝－[x]B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y]D．[x－y]≤[x]－[y]【答案】D考点：函数与方程，能力题.43.【2014高考陕西版理第7题】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）（A）（B）（C） （D）【答案】【解析】试题分析：选项：由，，得，所以错误；选项：由，，得，所以错误；选项：函数是定义在上减函数，所以错误；选项：由，，得；又函数是定义在上增函数，所以正确；故选.考点：函数求值；函数的单调性.45.【2015高考新课标2，理5】设函数,()A．3B．6C．9D．12【答案】C【考点定位】分段函数．46.【2013课标全国Ⅱ，理8】设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()．A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c【答案】：D【解析】：根据公式变形，，，，因为lg7＞lg5＞lg3，所以，即c＜b＜a.故选D.49.【2015高考新课标2，理10】如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（）【答案】B【考点定位】函数的图象和性质．53.【2013四川，理7】函数的图象大致是（）【答案】C【解析】易知函数的定义域为，可排除A；当时，，∴，可排除B；当时，指数函数比幂函数的增长速度快得多，所以函数的分母比分子大得多，于是时，，排除D，选C.【考点定位】本题考查函数的解析式与函数图象之间的对应关系，以及利用函数的性质研究函数的图象特征，本题计算量小，但思维量大，体现了“多想少算”的命题理念.54.【2013四川，理10】设函数（，为自然对数的底数）．若曲线上存在使得，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【考点定位】本题考查函数图象与性质的应用，函数零点、方程的根和函数图象与轴交点三者间的关系，本题与函数不动点理论有关，具有高等数学背景，较难.55.【2014四川，理9】已知，.现有下列命题：①；②；③.其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②【答案】A【解析】试题分析：对①，，成立；对②，左边的可以取除之外的任意值，而右边的，故不成立；注：.当时成立.对③，，所以在内单调递增，且在处的切线为.作出图易知③成立法二、根据图象的对称性，可只考虑的情况.时，，则，所以，所以③成立.标准答案选A，笔者认为有错，应该选C.题干中的应理解为函数的定义域，而不是后面三个命题中的范围，因为在它的前面是逗号.如果前是句号，则选A.【考点定位】1、函数的奇偶性；2、对数运算；3、函数与不等式.56.【2014年.浙江卷.理6】已知函数（）B.C.D.答案：Ｃ考点：求函数解析式,解不等式.57.【2013年.浙江卷.理3】已知x，y为正实数，则()．A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy【答案】：D【解析】：根据指数与对数的运算法则可知，2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，故A错，B错，C错；D中，2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，故选D．60.【2014年.浙江卷.理7】在同意直角坐标系中，函数的图像可能是（）答案：Ｄ考点：函数图像.62.【2015高考浙江，理7】存在函数满足，对任意都有（）A.B.C.D.【答案】D.【解析】A：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A错误；同理可知B错误，C：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C错误，D：令，∴，符合题意，故选D.【考点定位】函数的概念63.【2014年.浙江卷.理10】设函数，，，记，则()A.B.C.D.答案：B考点：比较大小.67.【2013高考重庆理第6题】若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()．A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内【答案】A【解析】由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A．68.【2014，安徽理6】设函数满足当时，，则（）A．B．C．0D．【答案】A．考点：1．函数的求值．69.【2014，安徽理9】若函数的最小值为3，则实数的值为（）A．5或8B．或5C．或D．或8【答案】D．【解析】试题分析：由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D．考点：函数的最值．72.【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【考点定位】1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.73.【2015高考安徽，理9】函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）（A），，（B），，（C），，（D），，【答案】C【解析】由及图象可知，，，则；当时，，所以；当，，所以，所以.故，，，选C.【考点定位】1.函数的图象与应用.76.【2013天津，理7】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()．A．1B．2C．3D．4【答案】B77.【2014天津，理4】函数的单调递增区间是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D．【解析】试题分析：函数的定义域为，由于外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，只要求的单调递减区间，结合函数的定义域，得单调递增区间为，故选D．考点：复合函数的单调性（单调区间）．78.【2013天津，理8】已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)＜f(x)的解集为A.若eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))A，则实数a的取值范围是()．A．B．C．D．【答案】A由图可知，当a＞0时，y＝f(x＋a)的图象在y＝f(x)图象的上边，故a＞0不符合条件．(3)当a＜0时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图．由图可知，若f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且，79.【2015高考天津，理7】已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为()（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】因为函数为偶函数，所以，即，所以所以，故选C.【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.80.【2015高考天津，理8】已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是()（A）（B）（C）（D）【答案】D【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.85.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：当时，，由是奇函数，可作出的图像，如下图所示.又因为，，所以的图像恒在图像的下方，即将的图像往右平移一个单位后恒在图像的下方，所以，解得.故选B.考点：函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等.86.【2015高考湖北，理6】已知符号函数是上的增函数，，则（）A． B．C． D．【答案】B【考点定位】符号函数，函数的单调性.87.【2014上海,理18】若是的最小值，则的取值范围为（）(A)[-1,2](B)[-1，0](C)[1，2](D)【答案】D【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．【考点】分段函数的单调性与最值问题．88.【2014福建,理4】若函数的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（）【答案】B考点：函数的图象.89.【2014福建,理7】已知函数则下列结论正确的是（）是偶函数B.是增函数C.是周期函数D.的值域为【答案】D【解析】试题分析：由于分段函数的左右两边的函数图象不关于y轴对称，所以A不正确.由于图象左边不单调,所以B不正确.由于图象x>0部分的图象不是没有周期性，所以C不正确.故选D.考点：1.分段函数.2.函数的性质.90.(2013福建，理5)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()．A．14B．13C．12D．10【答案】B【解析】a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2都有解；a≠0时，若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝22－4ab≥0，即ab≤1.当a＝－1时，b可取－1,0,1,2.当a＝1时，b可取－1,0,1.当a＝2时，b可取－1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.93.【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是()A．B．C．D．【答案】D【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D．【考点定位】函数的奇偶性．二、填空题1.【2013课标全国Ⅰ，理16】若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．【答案】：16∴f(－2－)＝[1－(－2－)2][(－2－)2＋8(－2－)＋15]＝(－8－)(8－)＝80－64＝16.f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f(－2＋)＝[1－(－2＋)2][(－2＋)2＋8(－2＋)＋15]＝(－8＋)(8＋)＝80－64＝16.故f(x)的最大值为16.2.【2015高考新课标1，理13】若函数f(x)=为偶函数，则a=【答案】1【解析】由题知是奇函数，所以=，解得=1.【考点定位】函数的奇偶性4.【2015高考北京，理14】设函数①若，则的最小值为；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．【答案】(1)-1，(2)或.②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.考点定位：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解5.【2013湖南16】设函数（1）记集合，则所对应的的零点的取值集合为____。【答案】【解析】。所以f(x)的零点集合为（2）若.（写出所有正确结论的序号）①②③若【答案】①②③11.【2014江苏，理10】已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为.【答案】【解析】据题意解得．12.【2013江苏，理13】在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数(x＞0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为__________．【答案】－1，【解析】设P点的坐标为，则|PA|2＝.令，则|PA|2＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2(t≥2)．结合题意可知(1)当a≤2，t＝2时，|PA|2取得最小值．此时(2－a)2＋a2－2＝8，解得a＝－1，a＝3(舍去)．(2)当a＞2，t＝a时，|PA|2取得最小值．此时a2－2＝8，解得a＝，a＝(舍去)．故满足条件的实数a的所有值为，－1.13.【2014江苏，理13】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是.【答案】14.【2015高考江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为【答案】4【解析】由题意得：求函数与交点个数以及函数与交点个数之和，因为，所以函数与有两个交点，又，所以函数与有两个交点，因此共有4个交点【考点定位】函数与方程16.【2014山东.理15】已知函数，对函数,定义关于的对称函数为函数，满足：对于任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】由“对称函数”的定义及中点坐标公式得所以，，恒成立即恒成立，亦即直线位于半圆的上方.在同一坐标系内，画出直线及半圆（如图所示），当直线与半圆相切时，解得，故答案为18.【2014高考陕西版理第11题】已知则=________.【答案】【解析】试题分析：由得，所以，解得，故答案为.考点：指数方程；对数方程.19.【2014新课标，理15】已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.【答案】【解析】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.20.【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是小时.【答案】24【解析】由题意得：，所以时，.【考点定位】函数及其应用.22.【2014四川，理12】设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则.【答案】1【解析】试题分析：.【考点定位】周期函数及分段函数.23.【2013四川，理14】已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是____________．【答案】【考点定位】本题考查综合应用函数的图象与性质解不等式，该题很陈旧但很经典，属于易错题.25.【2015高考浙江，理10】已知函数，则，的最小值是．【答案】，.【解析】，当时，，当且仅当时，等号成立，当时，，当且仅当时，等号成立，故最小值为.【考点定位】分段函数26.【2015高考浙江，理12】若，则．【答案】.【解析】∵，∴，∴.【考点定位】对数的计算27.【2014年.浙江卷.理15】设函数若，则实数的取值范围是______答案：考点：分段函数,求范围.30.【2014高考重庆理第12题】函数的最小值为_________.【答案】【解析】试题分析：所以，当，即时，取得最小值.所以答案应填：.考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.31.【2014高考重庆理第16题】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.【答案】由图可知：,由题意得：，解这得:所以答案应填：.考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想.32.【2015高考安徽，理15】设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.（写出所有正确条件的编号）①；②；③；④；⑤.【答案】①③④⑤【考点定位】1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值.33.【2014天津，理14】已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．【答案】．【解析】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．（方法二）显然，∴．令，则．∵，∴．结合图象可得或．考点：方程的根与函数的零点．35.【2014上海,理12】设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则.【答案】【考点】解三角方程，方程的解与函数图象的交点．36.【2014上海,理4】设若，则的取值范围为_____________.【答案】【解析】由题意，若，则不合题意，因此，此时时，，满足.【考点】分段函数.37.【2014上海,理9】若，则满足的取值范围是.【答案】【考点】幂函数的性质.38.【2013上海,理6】方程＝3x－1的实数解为______．【答案】log34【解析】原方程整理后变为32x－2·3x－8＝03x＝4x＝log34.39.【2013上海,理12】设a为实常数，y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝9x＋＋7.若f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，则a的取值范围为______．【答案】(－∞，]【解析】f(0)＝0，故0≥a＋1a≤－1；当x＞0时，f(x)＝9x＋－7≥a＋1，即6|a|≥a＋8，又a≤－1，故a≤.40.【2013上海,理14】对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)＝{y|y＝g(x)，x∈I}．已知定义域为[0,3]的函数y＝f(x)有反函数y＝f－1(x)，且f－1([0,1))＝[1,2)，f－1((2,4])＝[0,1)．若方程f(x)－x＝0有解x0，则x0＝______.【答案】2【解析】根据反函数定义，当x∈[0,1)时，f(x)∈(2,4]；x∈[1,2)时，f(x)∈[0,1)，而y＝f(x)的定义域为[0,3]，故当x∈[2,3]时，f(x)的取值应在集合(－∞，0)∪[1,2]∪(4，＋∞)，故若f(x0)＝x0，只有x0＝2.46.【2015高考福建，理14】若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是．【答案】【考点定位】分段函数求值域．47.【2014福建,理13】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）【答案】88【解析】试题分析：假设底面长方形的长宽分别为,.则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.考点：函数的最值.三、解答题4.【2014山东.理20】（本小题满分13分）设函数（为常数，是自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【答案】（I）的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.当且仅当，解得，综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.5.【2013山东，理21】(本小题满分13分)设函数f(x)＝＋c(e＝2.71828…是自然对数的底数，c∈R)．(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数．【答案】（1）函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，最大值为.（2）当c＜－e－2时，关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当c＝－e－2时，关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当c＞－e－2时，关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.【解析】：(1)f′(x)＝(1－2x)e－2x，由f′(x)＝0，解得x＝.当x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，最大值为.当g(1)＝－e－2－c＜0，即c＞－e－2时，当x∈(1，＋∞)时，由(1)知g(x)＝lnx－xe－2x－c≥＞lnx－1－c，要使g(x)＞0，只需使lnx－1－c＞0，即x∈(e1＋c，＋∞)；当x∈(0,1)时，由(1)知g(x)＝－lnx－xe－2x－c≥＞－lnx－1－c，要使g(x)＞0，只需－lnx－1－c＞0，即x∈(0，e－1－c)；所以c＞－e－2时，g(x)有两个零点，故关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.综上所述