2023届福建省厦门大学附属科技高考适应性考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,中国古建筑借助梯卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫梯头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是

桦头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

2.为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量和气温x之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及

当天气温得到如图所示的散点图(x轴表示气温，丁轴表示销售量)，由散点图可知)'与x的相关关系为()

A.正相关，相关系数r的值为0.85

B.负相关，相关系数厂的值为0.85

C.负相关，相关系数r的值为-0.85

D.正相关，相关负数r的值为-0.85

3.已知定义在R上的函数f(x)的周期为4,当xe[-2⑵时，=]-x-4,则/(-Iog36)+/(log354)=

()

33.c2,〜

B.--log,2D.—+log32

22

4.已知函数/（x+1）是偶函数，当xw（l,+w）时，函数/（x）单调递减，设a=b=〃3）,c=/（O）,

则以b、c的大小关系为。

A.b<a<cB.c<h<dC.b<c<aD.a<b<c

5.已知M是函数/（x）=lnx图象上的一点，过M作圆V+y2一2y=（）的两条切线，切点分别为A,8,则

的最小值为（）

5及。

A.272-3B.-1C.0D.

2

x-”0

6.已知x,y满足约束条件，x4-y<2,则z=2x+y的最大值为

”0

A.1B.2C.3D.4

7.已知A45C是边长为1的等边三角形，点O,£分别是边AB,BC的中点，连接并延长到点尸，使得

£>E=2万广，则4尸.6C的值为（）

11511

A.—B.-C.-D.—

8448

8.数列｛叫的通项公式为4=M—c|（〃eN*）.贝！|"c<2”是“｛4｝为递增数列”的（）条件.

A.必要而不充分B.充要C.充分而不必要D.即不充分也不必要

22

9.设耳，F2分别是椭圆E：[+斗=1（。>b>0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A,3两点，且AE•=0,

AF2^2F2B,则椭圆E的离心率为（）

2364

A.-B.-C.—D.—

3434

10.以4（3,-1）,8（-2,2）为直径的圆的方程是

A.x2+y2-x-y-8=0B.x2+y2-x-y-9=0

C.x2+y2+x+y-8=0D.x2+y2+x+y-9=0

22

11.已知双曲线。：二-4=1（4>0,。>0）的右焦点为尸，过右顶点A且与X轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M

a'b-

点，M尸的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）

A.75-1B.V2C.73D.75

12.已知正四棱锥S-ABC。的侧棱长与底面边长都相等，E是S3的中点，则AE,SO所成的角的余弦值为（）

也732

333

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在棱长为2的正方体—中，点E、F分别是棱AA，44的中点，P是侧面正方形BCC/i

内一点（含边界），若尸P〃平面A£C,则线段AP长度的取值范围是.

2

14.已知集合4={m+1,（加一1）2,m-3〃2+3},若kA,则机2侬=.

15.现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒

容积的最大值是.

16.某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩J服从正态分布N（100,o-2）,已知

P（80<^<100）=0.40,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知产是抛物线C：y2=2〃x（〃>o）的焦点，点A在。上，A到轴的距离比|4尸|小1.

（1）求。的方程；

（2）设直线AE与。交于另一点3,“为的中点，点。在x轴上，1。*=1»?|.若|。加|=的，求直线AE的

斜率.

3

18.（12分）在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2C=一—.

4

（1）求sinC的值；

（2）当c=2a,且8=3"时，求一ABC的面积.

19.（12分）设数列{a,,}的前列项和为S“，已知4=1,%=万等一（〃22）.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

3111

(2)求证：------＜S＜一.

2T〃6

20.(12分)已知函数=xe--ax

(i)讨论/G)的单调性；

(2)当时，/(X)+V-a+/＞0＞求。的取值范围.

21.(12分)已知函数/(x)=lnx+[a-g卜-2ax,aeR.

(1)讨论“X)的单调性；

(2)若/(x)在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数内,天，使得/&)+/(马)=-3,证明：芭+々＞2.

冗=2coscc

22.(10分)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为仆.•(夕为参数)，M为G上的动点，P点满

y=2+2sina

足OP=2QM，点P的轨迹为曲线G.

(I)求G的方程；

7T

(H)在以。为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与G的异于极点的交点为A,与G的异于极

点的交点为8,求

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

详解：由题意知，题干中所给的是樟头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有

一不可见的长方形，

且俯视图应为对称图形

故俯视图为

故选A.

点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

2.C

【解析】

根据正负相关的概念判断.

【详解】

由散点图知y随着x的增大而减小，因此是负相关.相关系数为负.

故选：c.

【点睛】

本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别.掌握正负相关的定义是解题基础.

3.A

【解析】

2

因为给出的解析式只适用于xe[—2,2),所以利用周期性，将/(log354)转化为了(1(毛3§)，再与/(一1436)一起代

入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.

【详解】

定义在R上的函数/(x)的周期为4

2

.-./(log354)=/(log354-4)=/(log3-),

当2⑵时，/(x)=(1r-x-4,

,2一,

—log?6G[—2,2),log3—e[—2,2),

•■■/(-log36)+/(log354)

，O8

=-(-log36)-4+(1)^-log31-4

.,.3

1bgj61logj-7

552

=(-)+(-)+(log36-log3-)-8

=6+|+log3(6x|)-8

=3

-2,

故选：A.

【点睛】

本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.

4.A

【解析】

根据/(%+1)图象关于轴对称可知/(X)关于x=1对称，从而得到了(X)在(F,1)上单调递增且,/(3)=/(-1)；

再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.

【详解】

Q/(x+l)为偶函数.•./(x+1)图象关于)，轴对称

・・・/(x)图象关于x=l对称

X€(l,+8)时，/(X)单调递减.•.XG(-8,1)时，/(X)单调递增

又〃3)=〃—1)且—1<—1)</(—3]</⑼，即。<a<c

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的

单调性，通过自变量的大小关系求得结果.

5.C

【解析】

先画出函数图像和圆，可知若设NAMB=2e,贝!||例4卜|例6卜熹，所以

MA-M5HA^4|2cos2^=2sin2^+—4--3,而要求的最小值，只要sin。取得最大值，若设圆

snr。

犬+9―2y=0的圆心为C,贝岫1!夕=而，所以只要|MC|取得最小值，若设M(x,lnx),则

|MC|2=x2+(lnx-l)2,然后构造函数g(x)=x2+(lnx—l)2,利用导数求其最小值即可.

【详解】

记圆x2+y2—2y=0的圆心为C,设NAMC=e,贝/加川骨加台卜^^^皿夕二曲，设

M(x,lnx),|MC\2=X2+(lnx-l)2,ifl(x)=x2+(Inx-1)2,则

[2

g'(x)=2x+2(lnx-l)•—=—(x2+lnx-l),令/7(幻=/+lnx-l,

xx

因为〃。)=/+111%-1在(0,+8)上单调递增，且/1)=0,所以当0<x<l时，，2(x)</z(l)=0,g<x)<0；当x>l

时，/7(X)>/l)=0,g'(X)>0,则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,物)上单调递增，所以g(X)min=g(D=2,即

受，所以412cos26=2sin2e+———3>0(当sin。=变时等号成立).

|MC|B/2,0<sin6>

2sin-02

【点睛】

此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.

6.D

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论.

【详解】

作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，

2=2%+)，等价于丁=-2犬+2,作直线y=-2x,向上平移,

易知当直线经过点(2,0)时z最大，所以Z3=2x2+O=4,故选D.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.

7.D

【解析】

设8A=a，BC=b，作为一个基底，表示向量OE=(AC=1伍-力，DF=1-DE=^-(b-a\,

22'，24'/

AF=AD+DF=--1a+-3/(b-a\]=-5-a+3-b,然后再用数量积公式求解.

24、'44

【详解】

设BA-a，BC-b，

11QQ1OCQ

所以OE=-AC=_(8—a),DF^-DE^-(b-a\,AF=AD+DF^一一a+-(b-a\^--a+-b,

22、)24V>2/44

5.3.1

所以AF-6C=-=4m+±b为=一.

448

故选：D

【点睛】

本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

8.A

【解析】

13

根据递增数列的特点可知。，用-4〉0,解得。<〃+],由此得到若｛2｝是递增数列，则c<],根据推出关系可确

定结果.

【详解】

若“｛4｝是递增数列“，则4用—4=|〃+i-dT〃-d>。，

即(〃+1-。)2>(〃-C)2,化简得：C<〃+g,

133

又几EN*，••〃+式之77，

222

则c<24｛a,,｝是递增数列，｛%｝是递增数列=c<2,

，“c<2”是“｛«,,｝为递增数列”的必要不充分条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.

9.C

【解析】

根据4月=2月3表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出“，c关系，求出离心率.

【详解】

AF2=2F2B

设BF>—x,则A居=2x

由椭圆的定义，可以得到A片二2。-2%,54=2Q-X

•然

Af；=0,,AF}LAF2

在中，有（2a-2x）2+（3x1=（2a-x）~,解得％=

-2aAe4。

AF2=—,AF^—

在RtZVlK用中，有（与J+（与j

=（2。2

2

整理得c;=35

e=­=一

a29a3

故选C项.

【点睛】

本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出。关系，得到离心率.属于

中档题.

10.A

【解析】

设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出。,仇厂，从而求出圆的方程.

【详解】

设圆的标准方程为（X-。）2+（y-勿2=产,

由题意得圆心。（“，份为A,8的中点，

根据中点坐标公式3-可2得1人=一」1+^2=1

2222

又"四l』3+2）2+（T2）：=典,所以圆的标准方程为:

222

I117

+（y—―）2=—,化简整理得厂+y~-x—y—8=0,

所以本题答案为A.

【点睛】

本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.

11.A

【解析】

设M(a,b),则Mb的中点坐标为(三士,^),代入双曲线的方程可得a/,c的关系，再转化成关于c的齐次方程,

22

求出色的值，即可得答案.

a

【详解】

22

双曲线C:二-二=1(4>0,6>0)的右顶点为4。,0),右焦点为尸(c,o),

a~b

M所在直线为x=。，不妨设M3,加，

.••M尸的中点坐标为(空二2)•代入方程可得I审).

22----j-------

a~b~

2

...("+?=2,e4-2g—4=0>e-V5—1(负值舍去).

4a24

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意

构造a，c的齐次方程.

12.C

【解析】

试题分析：设AC、BO的交点为。，连接E。，则N4E。为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为“，

则AE=冬,E。=104=与，所以cosNAE。=箜器产

,故C为正确答案.

考点：异面直线所成的角.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

取4G中点G,连结FG,BG,推导出平面尸G3//平面AEC,从而点P在线段BG上运动，作A"，8G于4，

由A”效及尸AB,能求出线段Af长度的取值范围.

【详解】

取BC中点G,连结FG,BG,

在棱长为2的正方体ABCO-ABCQi中，点E、b分别是棱AA、4片的中点,

■.AE//BG,AC//FG,

AE（'AC=A,BGQFG=G,

：.平面林迈//平面血?，

P是侧面正方形8CG4内一点（含边界），0〃平面A£C,

.・•点P在线段BG上运动，

在等腰△A"中，*=8G=物+『=6,AB=422+2。=2夜,

作于”，由等面积法解得：

.：一（争2gg2同，

中-----------前----------=加=不

.♦.A破收尸\B,

.•・线段AP长度的取值范围是［季，2夜］.

故答案为：［3詈，2枝］.

【点睛】

本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是

中档题.

【解析】

leA分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.

【详解】

依题意，分别令，〃+1=1,=1,m2—3m+3=1»

由集合的互异性，解得〃2=1,贝!|加2。2。=].

故答案为：1

【点睛】

本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

L23

15.—ci

27

【解析】

由题意容积V=(a—2x)2%，求导研究单调性，分析即得解.

【详解】

oZ7

由题意：容积V=(a-2x)-x,0<x<-,

贝!JV=2(a-2x)x(-2x)+(a-2x)2=(a-2x)(a-6x),

由V，=()得x=@或x=@(舍去)，

62

n22

则x=2为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时匕1ax=丁/.

627

2

故答案为：—a

27

【点睛】

本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

16.10

【解析】

由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以10()可得.

【详解】

解：P«>120)=j[l-2P(80<<<100)]=0.10,

所以应从120分以上的试卷中抽取100x0.10=10份.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查正态分布曲线，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)/=4%(2)+V2

【解析】

(1)由抛物线定义可知券=1,解得〃=2,故抛物线。的方程为＞2=4x；

(k2+22、

(2)设直线A了=伙工-1),联立丁=4不，利用韦达定理算出A3的中点M,又|QAR33],所以

k2k

一,21k?+2

直线DM的方程为y~~=~~

求出利用|OM|="求解即可.

【详解】

(1)设。的准线为/,过A作A”，/于H,则由抛物线定义，得|AF|=|A"|,

因为A到尸的距离比到)’轴的距离大1,所以4=1,解得〃=2,

所以。的方程为V=4x

(2)由题意，设直线AR方程为y=z(x-D,

由‘jU；一"消去丁，得％2/一(2/+4)X+5=0,

设A(%2J,5(电,%)，则再+%=,，

K

4

所以y+必=%(玉+无2)_2攵=%，

“2+22、

又因为M为A8的中点，点"的坐标为,

k2'k

21(k2+2^

直线DM的方程为y—T=—7x--h，

kk\kJ

令y=0,得x=3+1,点。的坐标为(3+1,。；

所以=MJ="，

解得二=2,所以直线A尸的斜率为土&.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的运算求解能力.涉及抛物线的弦的中点,

斜率问题时，可采用韦达定理或“点差法”求解.

18.(1)叵;⑵”

44

【解析】

(1)利用二倍角公式cos2c=1-2sin2c求解即可，注意隐含条件sinC>0.

(2)利用(1)中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sinAcosAcosC的值，又由

sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC求出sin8的值，最后由正弦定理求出”的值，根据三角形的面积公式

即可计算得出.

【详解】

一一)3

(1)由已知可得cos2c=1-2sin-C=—，

4

7

所以sin92c=g,

因为在锐角A6C中，sinC>0,

所以sinC='巳

4

(2)因为c=2a9

所以sinA-—sinC-,

28

因为ABC是锐角三角形，

所以cosC=^-,cosA=，

48

所以sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

V14V25V2V143>/7

=---x----1-----x----=----.

84848

由正弦定理可得：里=，—，所以

sinBsinA

所以SABc=—«^sinC=—x>/14x3x/7乂^^-=丝2

ABC2244

【点睛】

此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算

能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.

19.(1)%=矛匕(2)证明见解析

【解析】

12,

(1)由已知可得一=——+1,构造等比数列即可求出通项公式；

a„an-\

।317=-^zr»可证验证九=1,2

(2)当”22时，由>r，可求------<S,3时，由

222n226'，

时，不等式也成立，即可得证.

【详解】

(1)由a”-。(〃22)可得，一+1,

2+%4%

即工+1=2仪-+],(n>2)

a„1的)

所以'+1=2",

册

解得4=小，

(2)当〃=1时，S]=%=1,

・m

当〃上2时，a“>>

I_

11广西31

S>1H——H--+H=1H-------z—=--------

〃22232〃[12T

2

31

综上-牙(〃eN*),

由4〉0可得｛S“｝递增，

,1…21

%=1，生=§，"之3时见<.=西

11

0,111144~¥41111111

S<14---1——H--+・•--!------=—I------；—=—I-----------=-----------<—

〃322232'i31132T-162〃一】6

2

所以5as2<§3<?,

6

综上：

67

故。一LwS“<1(〃eN)

22"n6{)

【点睛】

本题主要考查了递推数列求通项公式，利用放缩法证明不等式，涉及等比数列的求和公式，属于难题.

20.(1)见解析；(2)(-00,/]

【解析】

(1)f(x)=(x+l)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).对a分类讨论，即可得出单调性.

1XX

xAe

(2)由xe、・ax・a+lK),可得a(x+l)<xe+L当x=-l时，0W-T4恒成立.当x>・l时，a令g(x)=_:

e~x+]x+l

利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.

【详解】

解法一：(1)f(x)=e+xe-ax-a=(e-a)(x+1)

①当aWO时，

X(-00,-1)-1(・1,+8)

f(x)-0+

f(x)极小值/

所以色）在，・00,-力上单调递减，在（・1,+到单调递增.

②当a>。时，f（x）=0的根为x=Ina或X=-1.

若Ina>-1,即a>-，

X(・8,-1)-1(-iyna)\na(\na,+oo)

f(x)+0-0+

f(x)7极大值极小值/

所以小）在（・8,-。，（1叫+到上单调递增，在（・/』1刈上单调递减.

若Ino=・1,即。=,，

e

f（x）>冰J8,+8）上恒成立，所以他在（-8,+8）上单调递增，无减区间.

若Ino<-1,即0<a<-，

X(-QO,Ina)\na(IM-1)-1(-1,+到

f(x)+0-0+

f(x)7极大值X极小值7

所以向在r・oojna）,（・1,+Q0,上单调递增，在〃也■〃上单调递减.

综上：

当aWO时，向在1・8,■〃上单调递减，在（"，+到上单调递增；

当0<a</时，做在（-8,1皿，「/,+00注单调递增，在上单调递减;

e

自a=’时，在（-8,+ao）上单调递增，无减区间；

e

当a>'时，f（x）在（…,-1）,（\na,+到上单调递增，在（-1,lna）上单调递减.

e

（2）因为1r『.ax.a+/20，所以+〃<xe+/•

当X=-/时，0&'+/恒成立.

e

xe+1

当时,a<

x+1

Axe+11e(x^x+1)~1

令g(x)=-----T'g(x)=；—'

x+/(x+If

设“O=e(x,+x+・/,

因为。X=eX(x+7)(x+2)>冰*£/・1,+到上恒成立，

即力G)=e*(x~+k+/)-/在x，(・1,+oo)上单调递增.

X

又因为Mo)=0,所以在上单调递减，在很+划上单调递增,

X+1

则g<%in=g@=L所以aW1.

综上，〃的取值范围为(・oo〃］.

解法二：(1)同解法一；

(2)令g(x)=f(x)+~x"-a+1=xe^-ax-a+b

所以g㈤='+-a=e(X+1)-a9

当qWO时，g(x)>0^贝！IgO在I-，，+s)上单调递增，

所以gO2g<・〃=>0，满足题意.

e

当时，

令h(x)=e+xe-a，

因为%(x)=2e+xe">0，即=e+xe*-c在I-L+8)上单调递增•

又因为从-/)=-a<0,h(0)=1-a>0,

所以力的=e+城-a=冰［-1,0］上有唯一的解，记为•％,

X(-1'XQ)xo(Xff+8)

g(x)-0+

g(x)X极小值/

gaJmin=g(xJ=xoe°-axo-a+1

=xoeO-(e°+xoe°)xo-(e°+x/0)+1

XI*123]x

=-e°(xn++-+1>-e°1>09满足题意.

uZ4

当时，g(0)=・a+1<0,不满足题意.

综上，”的取值范围为(-8,1].

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能

力，属于难题.

21.(1)当时，/(%)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减；

当g<a<l时，“X)在(0,1)上递增，在上递减，在(五匕,+8)上递增；

当a=l时，/(x)在((),+a)上递增；

当。>1时，/(》)在(0,五，)上递增，在上递减，在(1,内)上递增；

(2)证明见解析

【解析】

⑴对/(力求导，分4=1进行讨论，可得/(力的单调性；

(2)/(%)在定义域内是是增函数，由(1)可知4=1,〃x)=lnx+gx2-2x,设王<当，可得

/(3)+/(%)=-3=2/⑴，贝<苍,设g(x)=/(2-x)+〃x)+