2023届北京一零一中学中考联考数学试卷含解析

2023年中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.在实数有,一,0;，廊,-1414,有理数有（）

72

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列运算正确的是（）

A.74=+2B.2+75=275

C.a2*a3=asD.(2a)3=2a3

3.若2＜，T》V3,则a的值可以是()

1613

A.-7B.—C.—D.12

32

4.如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是)

101234

A.点AB.点BC.点CD.点D

5.如图所示的两个四边形相似，则a的度数是（）

D.120°

6.若关于x的方程/+（左一2）%+左2=0的两根互为倒数，则攵的值为（）

A.±1B.1C.-1D.0

7.将一圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是

)

9.下列哪一个是假命题（）

A.五边形外角和为360。

B.切线垂直于经过切点的半径

C.（3,-2）关于y轴的对称点为（-3,2）

D.抛物线y=x2-4x+2017对称轴为直线x=2

10.在实数-3.5、、=、（）、-4中，最小的数是（）

A.-3.5B.万C.0D.-4

\-

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

k

11.如图，直线y=x+4与双曲线丁二一（"0）相交于A（-Lq）、B两点，在y轴上找一点P,当PA+PB的值

X

最小时，点P的坐标为.

12.分解因式：（x2-2x）2_（2x-x2）=.

13.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007加帆，0.00077切〃用科学记数法表示为mm.

14.分解因式：3x?-6x+3=_.

15.在平面直角坐标系xOy中，若干个半径为1个单位长度，圆心角是60的扇形按图中的方式摆放，动点K从原点

O出发，沿着“半径OAT■弧AB-＞弧BCT■半径CDT■半径DE…”的曲线运动，若点K在线段上运动的速度为每秒

7T

1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒§个单位长度，设第n秒运动到点K,（n为自然数），则K?的坐标是一,

K2O18的坐标是

16.等腰AABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当

点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，在矩形ABCD中，E是边BC上的点，AE=BC,DF±AE,垂足为F,连接DE.

求证：AB=DF.

Y

BEC

18.（8分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）

满足一次函数关系m=162-3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式.商

场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由.

19.（8分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节

目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.

6

4

2

0

8

6

4

2

0

歌曲舞蹈小品相声节目类型

请你根据图中信息，回答下列问题：

（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；

（3）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那

么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？

20.（8分）如图，已知4（3,0）,B（0,-1）,连接A3,过5点作的垂线段BC,使A4=5C,连接AC.如图

1,求C点坐标；如图2,若P点从4点出发沿x轴向左平移，连接BP,作等腰直角ABPQ,连接CQ,当点P在线

段04上，求证：PA=CQ,在(2)的条件下若C、P,。三点共线，求此时N4P8的度数及尸点坐标.

21.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别］在AD、BC边上，且AE=CF.

求证：(1)△ABE^ACDF；

(2)四边形BFDE是平行四边形.

22.（10分）如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC±,且BE平分/ABC,ZABE=ZACD,BE,CD交

于点F.

ABAE

(1)求证:

AC-A£>

(2)请探究线段DE,CE的数量关系，并说明理由;

(3)若CD±AB,AD=2,BD=3,求线段EF的长.

23.(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).请

在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的AAIBICI；以点O为位似中心，将AABC缩小为原来的上，

2

得到AA2B2c2,请在图中y轴右侧，画出AA2B2c2,并求出NA2c2B2的正弦值.

24.小明遇到这样一个问题：已知：二二=1.求证：〃一4时20.

a

经过思考，小明的证明过程如下：

h—c

------=1,一c=a..\a-Z?+c=O.接下来，小明想：若把x=-l带入一元二次方程ox?+bx+c=O（«*0）,

a

恰好得到a—0+c=0.这说明一元二次方程依2+版+c=o有根，且一个根是x=-l.所以，根据一元二次方程根的判

别式的知识易证：b2-4ac>Q.

根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：

已知：告上=-2.求证：〃24加,.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程.

b

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

试题分析：根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案：

yO??^6；?4.414是有理数，故选D.

考点：有理数.

2、C

【解析】

根据算术平方根的定义、二次根式的加减运算、同底数幕的乘法及积的乘方的运算法则逐一计算即可判断.

【详解】

解：A、74=2,此选项错误；

B、2+逐不能进一步计算，此选项错误；

C^a2«a3=as,此选项正确；

D、(2a)3=8a\此选项计算错误；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查二次根式的加减和幕的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义、二次根式的加减运算、同底数幕的

乘法及积的乘方的运算法则.

3、C

【解析】

根据已知条件得到4Va-2V9,由此求得a的取值范围，易得符合条件的选项.

【详解】

解：，：2<血-2<3,

.,.4<a-2<9,

.,.6<a<l.

又a-2K),即aN2.

•*.a的取值范围是6VaVl.

观察选项，只有选项C符合题意.

故选C.

【点睛】

考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用夹逼法.

4、B

【解析】

试题分析：在数轴上，离原点越近则说明这个点所表示的数的绝对值越小，根据数轴可知本题中点B所表示的数的绝

对值最小.故选B.

5、C

【解析】

【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.

【详解】由已知可得：a的度数是：360-60-75-138=87

故选C

【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.

6、C

【解析】

根据已知和根与系数的关系王羽=£得出d=i,求出《的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的《的

a

值.

【详解】

解：设』、是涯+(Z-2)尤+1=。的两根,

由题意得：玉工2=1，

由根与系数的关系得：*尤2=右，

'.k2=l,

解得k=l或-1,

•.•方程有两个实数根，

则△=(女一2)2-4-=-3左2一4攵+4〉0,

当4=1时，4=-3-4+4=-3<0,

不合题意，故舍去，

当A=T时，△=一3+4+4=5>0,符合题意，

.*-1,

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及相反数的定义，熟知根与系数的关系是解答此题的关键.

7、C

【解析】

严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来.

【详解】

根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直.

故选C.

【点睛】

本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力.对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现.

8、A

【解析】

找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可.

【详解】

解：A、球的三视图完全相同，都是圆，正确；

B、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；

C、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；

D、四棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；

故选A.

【点睛】

考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体.

9、C

【解析】

分析：

根据每个选项所涉及的数学知识进行分析判断即可.

详解：

A选项中，“五边形的外角和为360。”是真命题，故不能选A；

B选项中，“切线垂直于经过切点的半径”是真命题，故不能选B；

C选项中，因为点(3,-2)关于y轴的对称点的坐标是(-3,-2),所以该选项中的命题是假命题，所以可以选C；

D选项中，“抛物线y=x2-4x+2017对称轴为直线x=2”是真命题，所以不能选D.

故选C.

点睛：熟记：(1)凸多边形的外角和都是360。；(2)切线的性质；(3)点P(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)；

(4)抛物线,=以2+法+。(4声0)的对称轴是直线：x=-3等数学知识，是正确解答本题的关键.

2a

10、D

【解析】

根据任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大

的反而小进行比较即可

【详解】

在实数-3.5、,r、0、-4中，最小的数是-4,故选D.

V4

【点睛】

掌握实数比较大小的法则

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

5

11、(0,—).

2

【解析】

试题分析：把点A坐标代入y=x+4得a=3,即A(-1,3),把点A坐标代入双曲线的解析式得3=-k,即k=-3,联

尸x+4(x=-1Xn=-3

立两函数解析式得：3,解得：，即点B坐标为：(-3,1),作出点A关于y轴的对称

y=~—y=1

X1y,=32

点C,连接BC,与y轴的交点即为点P,使得PA+PB的值最小，则点C坐标为：(1,3),设直线BC的解析式为：

(1

y=ax+b,把B、C的坐标代入得：，-m+b=l,解得：，2,所以函数解析式为：y=1x+°,则与y轴的交点为:

la+b=3L522

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题.

12、x(x-2)(x-1)2

【解析】

先整理出公因式(X2-2X),提取公因式后再对余下的多项式整理，利用提公因式法分解因式和完全平方公式法继续进

行因式分解.

【详解】

解：(x2-2x)2-(2x-x2)=(x2-2x)2+(x2-2x)=(x2-2x)(x2-2x+l)=x(x-2)(x-l)2

故答案为X(x-2)(x-1)2

【点睛】

此题考查了因式分解-提公因式法和公式法，熟练掌握这两种方法是解题的关键.

13、7xl(『.

【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

0.0007=7x10'.

故答案为：7x10-1.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO,其中iw|a|V10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前

面的0的个数所决定.

14、3(x-l)2

【解析】

先提取公因式3,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

【详解】

3%2-6^+3=3(X2-2X+1)=3(X-1)2.

故答案是:3(x-l)2.

【点睛】

考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，

同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

15、字(1009,0)

【解析】

设第〃秒运动到KAn为自然数)点,根据点K的运动规律找出部分居,点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“瓦41

(加土L虫)，瓦4"+2(2n+l,0),瓦4"+3(出色，一无)，瓦4"+4(2〃+2,0)”，依此规律即可得出结论.

2222

【详解】

设第〃秒运动到(〃为自然数)点，观察，发现规律：K(L@),Ki(1,0),K3及，(2,0),KS

2222

),...»：,K4ll+i(±[±1,2^),瓦4"+2(2"+1,0),K33),K4"+4(2〃+2,0).

222222

,.,2018=4x504+2,：.K2OIS^(1009,0).

故答案为：(3,-且)，(1009,0).

22

【点睛】

本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律，本题属于中档题，解决该题型题目时，根据运动的规

律找出点的坐标，根据坐标的变化找出坐标变化的规律是关键.

16、7秒或25秒.

【解析】

考点：勾股定理；等腰三角形的性质.

专题：动点型；分类讨论.

分析：根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长，再分两种情况进行分析:

①PAJ_AC②PAJ_AB,从而可得到运动的时间.

.,.BD=CD=-BC=4cm,

，AD=二二一二二・=3,

分两种情况：当点P运动t秒后有PALAC时，

VAP2=PD2+AD2=PC2-AC2,PD2+AD2=PC2-AC2,

•*.PD2+32=(PD+4)2-52/.PD=2.25,

.\BP=4-2.25=1.75=0.25t,

，t=7秒，

当点P运动t秒后有PA_LAB时，同理可证得PD=2.25,

:.BP=4+2.25=6.25=0.25t,

；.t=25秒，

二点P运动的时间为7秒或25秒.

点评：本题利用了等腰三角形的性质和勾股定理求解.

三、解答题(共8题，共72分)

17、详见解析.

【解析】

根据矩形性质推出BC=AD=AE,AD//BC,根据平行线性质推出ND4E=NAE8,根据AAS证出△ABE^^DFA即可.

【详解】

证明：在矩形ABCD中

VBC=AD,AD〃BC,NB=90。，

；.NDAF=NAEB,

VDF1AE,AE=BC=AD,

，NAFD=NB=90°,

在AABE和ADFA中

VZAFD=ZB,ZDAF=ZAEB,AE=AD

/.△ABE^ADFA(AAS),

/.AB=DF.

【点睛】

本题考查的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质.解决本题的关键在于能够找到证明三角形

全等的有关条件.

18、(1)y=-3x2+252x-1(2<x<54)；(2)商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元.

【解析】

(1)此题可以按等量关系“每天的销售利润=(销售价-进价)x每天的销售量，，列出函数关系式，并由售价大于进价,

且销售量大于零求得自变量的取值范围.

(2)根据(1)所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案.

【详解】

(1)由题意得：每件商品的销售利润为(x-2)元，那么，”件的销售利润为尸机(x-2).

又,；/n=162-3x,,,.y=(x-2)(162-3x),BPj=-3x2+252x-1.

Vx-2>0,：.x>2.

又162-3x>0,即烂54,.*.2<x<54,所求关系式为y=-3/+252丫T(2<x<54).

(2)由(1)得产-3/+252x-l=-3(x-42)2+432,所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是

432元.

•••500>432,.•.商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元.

【点睛】

本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=(销售价-进价)x

每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法.

19、(1)共调查了50名学生；统计图见解析；(2)72。；(3)...

【解析】

(1)用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条

形统计图；

(2)用360。乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；

(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率

公式求解.

【详解】

解：(1)14+28%=50,

二本次共调查了50名学生.

补全条形统计图如下.

学生最喜爱节目的人数

条形统计图

16

124

0

8

6

4

2

0

相声节目类型

⑵在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为360。、=72°.

U

(3)设一班2名学生为数字“1”，“1”，二班2名学生为数字“2”，“2”，画树状图如下.

开始

122

个个个小

共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果有4种,

...抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率P=

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.

20、(1)C(1,-4).(2)证明见解析；(3)NAPB=135。，P(1,0).

【解析】

(1)作CHLy轴于H,证明AABO且△BCH,根据全等三角形的性质得到BH=OA=3,CH=OB=1,求出OH,得到

C点坐标;

(2)证明△PBA空△QBC,根据全等三角形的性质得到PA=CQ；

(3)根据C、P,Q三点共线，得到NBQC=135。，根据全等三角形的性质得到NBPA=NBQC=135。，根据等腰三角

形的性质求出OP,得到P点坐标.

【详解】

(1)作CH_Ly轴于H,

图1

则NBCH+NCBH=90。，

VAB±BC,

.,.NA-BO+ZCBH=90°,

.•.ZABO=ZBCH,

在AABO^flABCH中，

ZABO=NBCH

<ZAOB=NBHC,

AB=BC

/.△ABO^ABCH,

.*.BH=OA=3,CH=OB=1,

.*.OH=OB+BH=4,

；.C点坐标为(1,-4)；

(2),.,ZPBQ=ZABC=90°,

:.NPBQ-NABQ=NABC-NABQ,即NPBA=NQBC,

在4PBA和AQBC中，

BP=BQ

</PBA=ZQBC,

BA=BC

.'.△PBA丝△QBC,

，PA=CQ；

(3)•••△BPQ是等腰直角三角形，

:.NBQP=45°,

当C、P,Q三点共线时，NBQC=135。，

由(2)可知，APBA^AQBC,

.,.ZBPA=ZBQC=135°,

二NOPB=45。，

.*.OP=OB=1,

•••P点坐标为(1,()).

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

21、(1)见解析；(2)见解析；

【解析】

(1)由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等的性质，即可证得NA=NC,AB=CD,

又由AE=CF,利用SAS,即可判定小ABE^ACDF.

(2)由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD〃BC,AD=BC,又由AE=CF,

即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形.

【详解】

证明：(1),••四边形ABCD是平行四边形，.,.NA=NC,AB=CD,

在△ABE和△CDF中，VAB=CD,ZA=ZC,AE=CF,

/.△ABE^ACDF(SAS).

(2):•四边形ABCD是平行四边形，；.AD〃BC,AD=BC.

VAE=CF,AAD-AE=BC-CF,即DE=BF.

，四边形BFDE是平行四边形.

22、(1)证明见解析；(2)DE=CE,理由见解析；(3)£F=—.