专题12 赵爽弦图模型与勾股树模型（解析版）

专题12赵爽弦图模型与勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。模型1、弦图模型（1）内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。图1图2图3（2）外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。（3）内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.例1．（2023春·安徽·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（

）

A．7 B．24 C．17 D．25【答案】C【分析】勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的边长为17．【详解】解：由题意知小正方形的边长是，由勾股定理得：，，，小正方形的边长为17．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．例2．（2023春·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（

）．

A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】设，，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得，再根据题意和三角形的面积公式可推导出，进而推出阴影部分的面积之和为梯形的面积，利用梯形面积公式求解即可．【详解】解：由题意，，，，∴，，，∴，∴，∴，，∵，∴设，则，，∴，∴，∴阴影部分的面积之和为，∵正方形的面积为，∴即，∴，∴阴影部分的面积之和为16．故选C．【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、梯形的面积、三角形的面积，解答的关键是理解题意，找寻图形中线段间的关系，然后利用勾股定理和梯形的面积公式以及转化的思想方法求解．例3．（2022·辽宁阜新·八年级期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．144【答案】A【分析】通过勾股定理可求出“数学风车”的斜边长，然后求出风车外围的周长即可．【详解】解：如图，设将延长到点，连接，由题意得：，，，∴这个风车的外围周长是，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．例4．（2022·中山八年级期末）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为,，．若,则正方形EFGH的面积为_______．【答案】6【分析】设四边形MTKN的面积为x，八个全等的三角形面积一个设为y，构建方程组，利用整体的思想思考问题，求出x+4y即可．【解析】解：设四边形MTKN的面积为x，八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，∴得出S1=x，S2=4y+x，S3=8y+x，∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面积为6．故答案为6【点睛】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质、全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．例5．（2023·广东·九年级专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是

【答案】①②③【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可．【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，∴，，．∴．∴．故①正确；∵，∴．∴．∴．故②正确；∵，，∴．即．∴．∴．故③正确；∵点A是线段的中点，∴．即．∴．∴．∴．故④不正确；故答案是①②③．【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，用表示出相关线段的长度，从而解决问题．模型2.勾股树模型例1．（2022·重庆市八年级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、B、C的面积分别是，，，则正方形D的面积是______．【答案】15【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积．【详解】解：如图，根据勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．∴正方形D的面积=49-8-12-14=15（cm2）；故答案为：15．【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．例2．（2022·浙江·乐清市八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．【详解】解：连接AC，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为___________．【答案】【分析】根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到S2022的值．【详解】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形，则CE=DE，，∴，即，同理可得：，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（

）A．12 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，；图（4）比图（3）多出16个正方形，；图（5）比图（4）多出32个正方形，；照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C．【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．例5．（2022·广东珠海·八年级期末）如图为直角三角形，斜边，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据勾股定理得出，再根据圆的面积公式表示出，整理解得得出答案．【详解】解：∵为直角三角形，斜边，∴，∴故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容．例6．（2023·江苏八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝_____．【答案】2.5【分析】分别交、于点、点；设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．【详解】如图，分别交、于点、点∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，∵∴∵，，∴∴故答案为：2.5．【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．例7．（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是（

）．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是（

），请说明理由．（3）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为、、、，则、、、之间的数量关系式为（），请说明理由．【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3），理由见解析．【分析】（1）利用直角的边长就可以表示出等边三角形、、的大小，满足勾股定理；（2）利用直角的边长就可以表示出半圆、、的大小，满足勾股定理；（3）利用BC、AD的长分别表示正方形、、、的大小，根据BC=2AD，即可求解．【详解】解：（1）由题意可得：，，，，，故答案为：；（2）由题意得：，，，，故答案为：；（3）过D作，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，故，又∵BC=2AD，∴，，∴，∵，，，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是三角形、正方形、圆形的计算面积以及勾股定理，熟练掌握三角形、正方形、圆形的面积的计算公式是解答本题的关键．课后专项训练1．（2023·北京初二期中）如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（）A．+= B． C． D．【答案】A分析：设直角三角形各边长为2a、2b、2c，如图所示：【解析】∵三角形是直角三角形，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，化简得：a2+b2=c2，S1=πa2，S2=πb2，S3=πc2；S1+S2=π（a2+b2）=πc2=S3．故选A．考点：勾股定理．2．（2022成都市八年级数学期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右“肩”上“生出”两个小正方形，这个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，设直角三角形的三条边分别是，，，根据勾股定理，得，即正方形的面积正方形的面积正方形的面积，同理：正方形D的面积+正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积=正方形的面积正方形的面积正方形的面积，推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．故选：D【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，理解“勾股树”的关系是解题关键．3．（2022·四川成都·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于（

）A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积C．最大正方形与直角三角形的面积和 D．较小两个正方形重叠部分的面积【答案】D【分析】根据勾股定理得到，再根据正方形的面积公式、矩形面积公式计算即可．【详解】解：如图，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c，由勾股定理可得，，阴影部分面积，较小两个正方形重叠部分的面积，∴阴影部分面积=较小两个正方形重叠部分的面积．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题关键是利用数形结合的数学思想分析问题．4．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（

）A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积【答案】D【分析】如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，则，即可推出由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN，又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN（AAS），∴，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，∴，BH=CN∴，∴，∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．5．（2022·广东湛江·八年级期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．【详解】解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，∴24-S正方形C=6+10，∴S正方形C=8．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．6．（2023春·广东潮州·九年级校考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积的大小为（

）

A．144 B．100 C．49 D．25【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长，易得小正方形的面积．【详解】解：如图，

根据勾股定理，得．所以．所以正方形的面积为：．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度．7．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接相交于点O，与相交于点P，若，则直角三角形的边与之比是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先证明，得出，再根据已知条件，结合等腰三角形的性质、正方形的性质求得，进而证明，得出，设，得到，进而求解.【详解】解：∵四边形、是正方形，∴，，，∴，∵四个全等的直角三角形拼成大正方形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∴，∴；故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键.8．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为（

）A．420 B．440 C．430 D．410【答案】B【分析】延长交于P，延长交于Q，可得全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出和的长，再根据长方形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长交于P，延长交于Q，由题意得，，∴，∴，∴，同理可证，∴，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴，，∴长方形的面积．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，作辅助线构造出全等三角形并得到长方形的邻边的长是解题的关键，也是本题的难点．9．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，若大正方形的面积为17，每个直角三角形面积为4，那么为．

【答案】1【分析】结合图形，得出，，再整体代入求解即可．【详解】解：根据题意得：，，∴即∴故答案为：1．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，正确识图是解题的关键．10．（2022·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，、、分别是以的三边为直径所画半圆的面积，其中，，则．

【答案】【分析】先分别算出、、的面积，然后根据勾股定理即可解答．【详解】解：∵，，∴∵∴．∵，，∴故答案为．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的内容是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．11．（2023·湖北孝感·统考三模）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为．【答案】【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数．【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有（个），第二代勾股树中正方形有（个），第三代勾股树中正方形有（个），由此推出第五代勾股树中正方形有（个）故答案为：．【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键．12．（2022秋·广东深圳·八年级校联考期中）如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中I，II，III部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，开始时III刚好盛满水，而I，II无水．如图2摆放时，水面刚好经过III的中心O(正方形两条对角线的交点），则II中有水部分的面积为．【答案】14【分析】由勾股定理求出AB=10，根据已知条件得到Ⅲ部分的水为整个正方形面积的一半，即Ⅲ部分的有水部分的面积为50，于是得到结论．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=，∴Ⅲ部分的面积是100，∵水面刚好经过Ⅲ的中心O，∴Ⅲ部分的水为整个正方形面积的一半，即Ⅲ部分的有水部分的面积为50，∴Ⅱ中有水部分的面积为100-36-50=14，故答案为：14．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．13．（2022·广西·八年级课时练习）如图，Rt△ABC的两条直角边，．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，，则的值为______，的值为______．【答案】

24

0【分析】先证明从而可得再利用图形的面积关系可得：两式相减可得：而证明从而可得第二空的答案.【详解】解：如图，以Rt△ABC的三边为边作三个正方形，两式相减可得：而故答案为：24，0【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形面积之间的关系，证明是解本题的关键.14．（2022·山东临沂·统考二模）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1（如图1），则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为（用含n的式子表示，n为正整数）．【答案】5【分析】利用正方形ABCD的面积为1，求出其边长为1，可求出正方形A1B1C1D1的边长为：，面积为：，再求出正方形A2B2C2D2的边长为：，面积为：，正方形A3B3C3D3的边长为：，面积为：，正方形A4B4C4D4的边长为：，面积为：，依次可推出：正方形AnBnCnDn的面积为：．【详解】解：∵正方形ABCD的面积为1，∴其边长为1，∵把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，∴正方形A1B1C1D1的边长为：，∴正方形A1B1C1D1的面积：；∵正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2，∴正方形A2B2C2D2的边长为：，∴正方形A2B2C2D2的面积为：；同理可得：正方形A3B3C3D3的边长为：，∴正方形A3B3C3D3的面积为：；正方形A4B4C4D4的边长为：，∴正方形A4B4C4D4的面积为：；依次可推出：正方形AnBnCnDn的面积为：．故答案为：5；【点睛】本题考查勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是求出每一个正方形的边长，即可求出其面积．15．（2023山西八年级期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______．（3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______．【答案】（1）①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）；②证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）①根据勾股定理的内容即可得；②图1和图2：利用四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和等于大正方形的面积即可得；图3：利用三个直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积即可得；（2）根据勾股定理、圆的面积公式即可得；（3）根据阴影部分的面积等于以两直角边为直径的两个半圆面积与直角三角形的面积之和减去以斜边为直径的半圆面积即可得．【详解】（1）①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）；②图1：大正方形的面积为，四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为，则；图2：大正方形的面积为，四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为，则，即；图3：直角梯形的面积为，三个直角三角形的面积之和为，则，即；（2）设对应的直角边长为，对应的直角边长为，对应的斜边长为，由圆的面积公式得：，，，由勾股定理得：，则，即，故答案为：；（3）设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，由（2）可知，，则阴影部分的面积为，，，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的定义、证明、以及应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．16．（2023·江苏扬州·七年级校联考期中）一个直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图的正方形，(1)探究活动：如图1，中间围成的小正方形的边长为（用含有、的代数式表示）；(2)探究活动：如图1，用不同的方法表示这个大正方形的面积，并写出你发现的结论；(3)新知运用：根据你所发现的结论完成下列问题．①某个直角三角形的两条直角边、满足式子，求它的斜边的值；②由①中结论，此三角形斜边上的高为．③如图2，这个勾股树图形是由正方形和直角三角形组成的，若正方形、、、的面积分别为，4，，．则最大的正方形的边长是．【答案】(1)(2)(3)①，②，③3【分析】（1）小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边；（2）大正方形的面积等于4个直角三角形的面积＋中间的小正方形的面积；（3）①把原式用完全平方差公式化为非负数的和求a，b后，用勾股定理求c；②用三角形的面积公式求斜边上的高；③分别以直角三角形斜边，直角边向外作正方形，则以斜边为边的正方形的面积等于以直角边为边的正方形的面积的和．【详解】（1）解：中间围成的小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边，即b－a，故答案为：b-a；（2）因为大正方形的面积等于4个直角三角形的面积＋中间的小正方形的面积，可表示为：正方形的面积还可以表示为：所以，化简得．（3）①，则，即，所以a－3＝0，b－4＝0，则a＝3，b＝4．由勾股定理得．②设斜边c上的高为h，因为2S＝ab＝ch，所以3×4＝5h，解得，故答案为：2.4．③如图，设正方形的边长分别为根据勾股定理可得：∴正方形的面积之和等于正方形E的面积，同理可得：正方形E的面积等于正方形A，B，C，D的面积的和，所以正方形E的面积为2＋4＋1＋2＝9，所以正方形E的边长为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的证明方法，因为勾股定理涉及到各边的平方，而边长的平方正是正方形的面积，所以勾股定理与正方形的面积密切相关，理解勾股定理与正方形或其它图形的关系，对后面的解题非常重要．17．（2022春·广西南宁·八年级南宁三中校考期末）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，图1、图2、图3是三种常见的证明方法，请你从中任选一种证明勾股定理（图中出现的直角三角形