考点28 相似三角形应用举例4大必考题型-解析版

考点28相似三角形应用举例4大必考题型1利用影子测量物体的高度2借助标杆或直尺测量物体的高度3利用镜子的反射测量物体的高度4利用相似测量河的宽度考点1利用影子测量物体的高度考点2借助标杆或直尺测量物体的高度考点3利用镜子的反射测量物体的高度考点4利用相似测量河的宽度考点1利用影子测量物体的高度1．（2023春·陕西榆林·九年级校考开学考试）某学校九年级一班进行课外实践活动，晓玲和张华利用所学过的知识测年楼房的高．如图，是楼房附近的一棵小树，张华测得地面上的点E、小树顶端和楼顶在一条直线上，米，米；在阳光下，某一时刻，晓玲站在点处时，恰好发现她自己的影子顶端与楼房的影子顶端重合，米，晓玲的身高米，米．已知点、、、、在同一水平直线上，，，，请计算出楼房的高度．【答案】18米【分析】分别证明，，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，，∴，又，∴，∴，∵米，米，∴①；∵，，∴，又，∴，∴，∵米，米，米，米，∴②，由①②解得(米)，(米)，答：楼房的高度为18米．【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，会利用相似三角形的性质解决实际测高问题是解答的关键．2．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着方向移动米至的位置（），此时测得其影长为米，求灯杆的高度．

【答案】灯杆的高度为米．【分析】根据，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到，又根据，得出，根据相似三角形的对应边成比例得到，列出等式，即可求出，的长．【详解】如图：由题意得：米，米，，∵，∴．∴，∴，∵，∴．∴，∴．∴，∴米，∴．∴米，∴灯杆的高度为米．【点睛】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．3．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部，颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距离，颖颖与楼之间的距离（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．求住宅楼的高度是多少米．

【答案】住宅楼的高度为．【分析】过作，交于点，交于点，由相似三角形的判定定理得出，再由相似三角形的对应边成比例即可得出的长，进而得出结论．【详解】解：如图所示，过作，交于点，交于点．

由已知可得．．又，所以．所以，即，解得．所以．所以住宅楼的高度为．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟悉并掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．4．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，小明和小敏准备利用所学的知识测量路灯的高度，小敏把一根长1.5米的竹竿竖直立在水平地面上，小明测得竹竿的影子长为1米，然后小敏拿竹竿向远离路灯方向走了4米()，再把竹竿竖直立在地面上处，小明测得此时竹竿的影长为1.8米，已知成一线，求路灯离地面的高度．

【答案】9米【分析】设，先根据可知，同理可得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值．【详解】解：设，依题意得，∵，∴，∴，∴，即，∴，解得①，同理，，∴，∴，即，即②，把①代入②得，解得：(米)．答：路灯离地面的高度是9米．

【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定的应用，利用相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．5．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）小明打算利用灯光下自己的影子长度来测量一盏路灯的高度，如图，身高1.8米的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8米到达点D处，测得影子DE长是2米，求路灯灯泡A离地面的高度AB的长．【答案】9米【分析】由，，得到，推出，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【详解】，，，解得：；路灯灯泡A离地面的高度AB为9米．【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，根绝相似三角形的性质列出方程是本题的解题关键．考点2借助标杆或直尺测量物体的高度6．（2021秋·陕西渭南·九年级统考期中）如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量假山的高度，婷婷先将一根3米高的标杆竖直放在D处，再从D点向后退了4.5米到F时，恰好看见标杆顶端C、假山顶端A成一条直线．已知婷婷的眼睛到地面的距离为1.5米，米，点B、D、F在一条直线上，，，，请你利用以上的数据求出假山的高．【答案】假山的高为15米．【分析】过点E作于点G，得出，进而求得，即可求解．【详解】解：如图，过点E作于点G，交于点H．由题意得，，，．则，，，∵，，∴，∴，即，∴，．∴假山的高为15米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定得出是解题关键．7．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）如图1，小明想利用太阳的影子测量树的高度，他首先在地面上直立一根3米的标杆，在测量时，标杆的影子为，此时树的影子一部分落在地面处，另一部分落在墙上处，已知，米，点，，，，，，在同一平面内，求树的高度．（温馨提示：①太阳光与地面以及与地面平行线的夹角相等；②为了方便解答，请用图2．）【答案】11【分析】如图：延长交延长线于H，再证，运用相似三角形的性质可求得，然后再证可得，再用线段的和差求得，然后代入计算即可．【详解】解：如图：延长交延长线于H∴∴，即，则又∵∴∴∵∴,解得：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质成为解答本题的关键．8．（2023春·全国·九年级专题练习）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点与点，共线．，，测得，，．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽．【答案】18米【分析】由题意先证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得的长．【详解】解：∵，，∴．∴，．∴．∴．∵，，，∴．解得．∴河宽为18米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2022春·九年级课时练习）周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量银川北塔湖边北塔的高度．测量方案如下：首先，在处竖立一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶端与宝塔顶端在一条直线上，测得；然后，移开标杆，在处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高为时，恰好测得点的仰角为，已知，，点在一条直线上，点在一条直线上，求北塔的高．【答案】北塔的高为【分析】过点作于点，根据已知条件推出，得到，即可求得．【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，∴，，∵，∴．∴，，，∴，∴，即，∴∴北塔的高为．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，证明是解决本题的关键．10．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋，一天，小明和小刚去青龙守游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在处竖立了一根标杆，小刚走到处时，站立在处看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小明在地面上放一个镜子，恰好在处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端．已知米，米，米，点小、、在一条直线上，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度．【答案】8m【分析】延长AC、BD交于点，为的中位线，，证明三角形相似：，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度即可．【详解】如图，延长、交于点，由题意可知，为三角形的中位线，，，，小明在地面上放一个镜子，恰好在处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端，，又，，，，设为，则，，则，，解得：，，这棵樱花树的高度为【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．考点3利用镜子的反射测量物体的高度11．（2022秋·九年级课时练习）每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树m的点处，然后观测者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得m，观测者目高m，则树高约是多少米？【答案】树高约是7m．【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．【详解】根据题意，易得，，则，则，即，解得：AB=7m，答：树高AB约是7m．【点睛】此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解．12．（2022秋·广东茂名·九年级统考期中）小玲用下面的方法来测量学校教学大楼的高度．在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米．当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端．已知她的眼睛距地面高度米，请你帮助小玲计算出教学大楼的高度是多少米．（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）【答案】13.44米【分析】根据反射定律和垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．【详解】解：根据题意可得：，，∴，∴，∴，∴(米)∴教学大楼的高度是米．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．13．（2023·陕西西安·校考模拟预测）真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度．于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行1.8米到处时，恰好在镜子中看到塔顶的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为1.5米；然后，晓静在处竖立了一根高1.6米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为2.4米，为11.7米．已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度．【答案】47【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出QC和PQ的关系，进而得出PQ的长，即可得出答案．【详解】解：解得∴真身宝塔的高度为47米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．14．（2021春·全国·九年级专题练习）小刚和小亮想用测量工具和几何知识测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部，如图，围栏米，小刚在延长线点放一平面镜，镜子不动，当小刚走到点时，恰好可以通过镜子看到树顶，这时小刚眼睛与地面的高度米，米，米；同时，小亮在的延长线上的处安装了测倾器（测倾器的高度忽略不计），测得树顶的仰角，米，请根据题中提供的相关信息，求出古树的高度．【答案】米【分析】设古树AB的高度为x米，根据题意可用x表示出的长度，又可证明，即得到，即可列出方程，解出x即为古树AB的高度．【详解】设古树AB的高度为x米，∵，米，∴米，∴米，∴米，由题意可知，在和中，∴，∴，即，解得：．故古树AB的高度为15米．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．15．（2022·全国·九年级假期作业）小强在地面处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端此时米，米．已知眼睛距离地面的高度米，请计算出教学楼的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）【答案】13.44m【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB=∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出AB即可．【详解】解：根据题意得，，即解得：答：教学楼的高度为．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决问题．考点4利用相似测量河的宽度16．（2020秋·陕西·九年级统考期中）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点，再在河的这一边选定点和点，使得，然后选定点，使，确定与的交点，若测得米，米，米，请你求出小河的宽度是多少米？【答案】小河的宽度是210米.【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB即可得到小河的宽度．【详解】∵，，∴，∴，∴，即，∴.答：小河的宽度是210米.【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．17．（2019秋·九年级课时练习）如图，为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A，再在所在的岸边找到两点B、C，使△ABC构成直角三角形．如果测得BC＝35.7m，∠ABC＝70°，求河的宽度AC.【答案】河宽AC为98m.【分析】把△ABC按1∶1000在纸上画出，得到Rt△A′B′C′，利用比例尺求出河宽AC.【详解】解：把△ABC按1∶1000在纸上画出，∠C′＝90°，∠B′＝70°，B′C′∶BC＝1∶1000，B′C′=3.57cm，得到Rt△A′B′C′则△ABC∽A′B′C′.用刻度尺量得A′C′＝9.8cm.则，∴AC＝98m.即河宽AC为98m.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，通过比例尺作图的方式构建相似三角形，然后列出比例式是解题的关键．18．（2020·陕西·九年级专题练习）如图，小华和小康想用标杆来测量河对岸的树AB的高，两人在确保无安全隐患的情况下，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝16米；然后，小华在C处蹲下，小康平移标杆到H处时，小华恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，CH⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量过程及测量数据，请你求出树AB的高度．【答案】树AB的高度为8.8米．【分析】根据相似三角形的性质得方程，解方程组即可得到结论．【详解】解：过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，由题意可得：∠EDN＝∠BDP，∠BPD＝