六年级数学上册奥数培优 第02讲 整除问题综合（教师版）

第2讲整除问题综合第2讲整除问题综合六年级秋季知识点知识点数论综合提高一（六上）1、整除

（1）整除定义：

如果整数a除以整数b（b不等于0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a．

（2）

特殊数的整除特征

（a）尾数判断法

能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；

能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；

能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．

（b）截断求和法

能被9、99、999及其约数整除的数的特征．

（c）截断求差法

能被11、101、1001及其约数整除的数的特征．

（d）分解判定法

一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性．

特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001

（3）常用整除性质

性质1：如果c|a，c|b，那么c|(a+b)、c|(a-b)．

性质2：如果bc|a，那么b|a，c|a．

性质3：如果b|a，c|a，且（b，c）=1那么bc|a．

性质4：如果c|b，b|a，那么c|a．

（4）整除的一些基本方法

（a）分解法

分解得到的数有整除特性．

两两互质．

（b）数字谜法

被除数的末位已知

除数变为乘法数字谜的第一个乘数．

（c）试除法

除数比较大．

被除数的首位已知．

（d）同除法

被除数与除数同时除以相同的数．

简化后的除数有整除特征．2、质数合数

（1）质数与合数的定义

质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其他数整除的数．

（2）分解质因数

分解质因数是把一个数写成质因数相乘的形式．典型题型1、整除

（1）基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字．

（a）9的考点：乱切法；

（b）11的考点：

奇位和减偶位和；

两位截断求和；

三位截断，奇段和减偶段和．

（2）整除的性质和使用；

（3）

整除与位值原理

（4）整除方法在数字迷中的应用2、质数合数

（1）质数合数填数字：注意2和5的特殊性；

（2）判断大数是否为质数：逐一试除法；

（3）末尾0的个数问题：层除法．备注备注本讲主要包括与整除、分解质因数相关的内容，需要熟练掌握所有相关知识点，大部分题型之前已经接触过．一些题目可能涉及多个知识点，或者利用代数式、方程求解．课堂例题课堂例题整除性判断1、（1）五位数没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？（2）如果六位数能被624整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？【答案】

（1）30675、38625或39675（2）504（3）26999【解析】

（1），故某两位为25的倍数，原数只能为或．再结合数字和为3的倍数且无重复数字，进而得到五位数为38625、30675或39675．（2），故末三位与120的和为624的倍数，只能为．（3）将问题转化为乘法竖式形式的数字谜：，解得最小为．2、（龙校六年级秋季）将自然数1、2、3、…、N依次写下去组成一个数“12345678910111213…”，该数恰好能被36整数，N最小是________，如果N小于200，共有_______种这样的情况．【答案】

10【解析】

．由4和9的整除特征，时均不满足要求．故，化简得或，即或，最小值为，在2015内共10个．最值问题3、一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？【答案】

13806；94365【解析】

前三位满足被23整除且各位数字互不相同的最小、最大三位数分别是138、943，易知13806即为最小数，94365即为最大数．4、（龙校五年级春季）六位数中各位数字互不相同，它能被11整除，那么这样的六位数最小是多少？【答案】

470129【解析】

最小为470123，而其被11除余5，故加6即可．而无重复数字，符合要求，因此470129即为所求．乘积的整除性或分解形式5、已知是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字．请问：三位数是多少？【答案】

865【解析】

由，得：要同时能被5、9、11整除．由个位数字可以推断，不能被5整除；又由11的整除性质可以推断，不能被11整除．所以既是5的倍数，又是11的倍数，只能是605．由于605不能被9整除，所以必须能被9整除．由是9的倍数，推出，所以．6、72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这个三位数最大是多少？【答案】

648【解析】

，故三位数形式为．由可知．，故三位数最大为．乘积末尾0的个数7、设，请问：（1）N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？（2）用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？【答案】

（1）426个（2）850次【解析】

（1）明显中质因数2的个数比质因数5的个数多，所以末尾有多少个连续的数字“0”由质因数5的个数决定．先求出的乘积中质因数5的个数，再减去的乘积中质因数5的个数，就是N中质因数5的个数．用层数法计算的乘积中质因数5的个数：（算式中的余数略去不写），，，，个；用层数法计算的乘积中质因数5的个数：（算式中的余数略去不写），，，个；所以N中质因数5的个数是个，故N的末尾一共会出现426个连续的数字“0”．（2），所以分别看N中质因数2和3的个数即可．用层数法计算的乘积中质因数2的个数：（算式中的余数略去不写），，，，，，，，，，个；用层数法计算的乘积中质因数2的个数：（算式中的余数略去不写），，，，，，，，个；用层数法计算的乘积中质因数3的个数：（算式中的余数略去不写），，，，，，个；用层数法计算的乘积中质因数3的个数：（算式中的余数略去不写），，，，，个；所以N中有个2，有个3．因为，所以一共可以除以850次12．8、在数列1，4，7，10，13，16，19，……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？【答案】

83【解析】

易知乘积分解质因数必然是“2多5少”，故第个数位125的倍数且不为625的倍数，即，k最小为2，进而n最小为．分解质因数9、两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制．每局先得11分者为胜，如果打到10平，则先多得2分者为胜．结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过20分，把每人每局得分乘在一起恰为480480．请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出）【答案】

16:14，15:13，11:1【解析】

由于480480能被13整除，而单局的比分又不能超过20分，因此6个得分中一定有一个是13，那么这场比赛的得分可能是15:13，或13:11．情况1：如果一场比赛的比分是15:13，那么另外四个得分乘积就是．11一定是其中的一个得分，而另外三个得分中一定有7或者14．①如果7是其中一个得分，那么这场比赛的比分就是11:7，而第三场比赛的比分乘积是，这种情况下凑不出满足比赛规则的比分．②如果14是其中一个得分，那么这场比赛的比分只能是16:14，此时第三场比赛比分是11:1，满足要求．情况2：如果一场比赛的比分是13:11，那么另外四个得分乘积就是．由于11已经在13:11中出现，那么剩下的两场比赛的得分中就没有11，只能从20:18，19:17，……，12:10中选择．因此余下的四个得分都要不小于10．但是注意到这四个得分的乘积是，而已经超过3360，因此这种情况下也没有满足要求的结果．综合以上分析，得到了唯一满足要求的答案——3局比赛的比分为16:14，15:13，11:1．10、（2008年金帆六秋）101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是__________．【答案】

6666【解析】

设中间数（即第51个数）为，则，且101个数总和为，所以可表示为四个不同质数乘积．由于101为质数，故能表示为3个不同质数乘积．从51向上逐一试验，得最小的为66，总和为6666．其它11、在6和15之间插入30，可以得到6、30、15这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．请你在3与4之间插入两个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的乘积．【答案】

6、12【解析】

设插入的非零自然数为a、b．为整数，故；为整数，故或12．经验证，不是整数，是整数．因此，应插入6、12．12、（2012高思杯六年级）小羊的手机密码是一个四位数，其中每个数字都是1到5中的数字，已知这个四位数满足以下条件：（1）没有重复数字；（2）是3的倍数；（3）是5的倍数；（4）相邻两数之差不超过2．根据以上条件，可以算出小羊的密码是__________．【答案】

1425【解析】

首先，因为没有重复数字，且是3的倍数，可知这四位数由1、2、4、5这四个数字组成．又因为是5的倍数，因此末位是5．根据“相邻两数之差不超过2”，可知十位只能是4，所以百位是2，千位是1．13、（龙校六年级秋季）某商店仅有红蓝两种不同的笔，同种颜色的笔的单价相同，两种笔的单价均是整数元，且两种笔的单价之和为19元．又知若用65元钱去该店买笔，无论怎样买都不可能把钱恰好花光．求两种笔的单价之差．【答案】

5元【解析】

每种单价均不为的约数，因为若某种单价a元满足，则两种各买k支，剩下的钱全买单价a元的必能将前花光．这样，65、46、27、8的所有约数均不为单价，可排除1、5、13、2、3、9、4、8，只可能为，价差为元．

随堂练习随堂练习1、（1）六位数没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？（2）如果六位数能被324整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？【答案】

（1）105372（2）220、544或868（3）20999【解析】

（1），故原数为4的倍数，个位可能为2或6．再考虑其为9的倍数，若个位为2，则千位5；若个位为6，则千位为1，矛盾．因此，为102375．（2），故即满足要求，进而、也满足要求．（3）将问题转化为乘法竖式形式的数字谜：，解得最小为．2、（龙校六年级秋季）将自然数1、2、3、…、N依次写下去，形成一个多位数“12345678910111213…”，该数能被45整数，N最小是________；如果N小于2012，共有________种这样的情况．【答案】

35；88【解析】

．由5和9的整除特征，有，化简得或，即或，最小值为．从1开始每45个数有2个符合要求，在2015内共个（最后剩余的部分没有满足要求的数）．3、2011年，海淀区，某顶级大学附中）已知是396的倍数，其中、、分别代表不同的数字．请问：三位数是．【答案】

22【解析】

是396的倍数，也就是说可被4、9、11整除．首先能判断被4整除的只能是．其次，若被9整除，则，且不能被11整除，则除被4整除外还需被11整除，可以发现为，与题目要求的“、、分别代表不同的数字”相互矛盾，不可行；所以考虑若被11整除，则，且不能被9整除，则除被4整除外还需被9整除，所以可以为5004或9000．所以为548或908．4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的两位数可以被29整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？【答案】

8793【解析】

前两位最大为，百位最大为9，进而个位为，满足要求，故最大值为8793；前两位最小为29，百位最小为0，进而个位为，满足要求，故最小值为2907．5、（2014年金帆五秋）在2009后面补上三个数字，组成一个七位数，使得这个七位数能被2，3，4，5，6整除，那么当补上的三个数字的和最大时，所补的三个数字是__________．【答案】

940【解析】

易知七位数为10的倍数，末尾为0，此时只需七位数是3和4的倍数即可．根据3的整除特征，易知补充的另外两个数之和被3除余1，理论上最大为16，且880即满足要求．因此，所填三个数的数字之和最大为16．6、（金帆六年级秋季）有8个盒子，各盒中分别装有奶糖9，13，24，28，30，31，37，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走．已知乙、丙取走的糖的块数相同且为丁的两倍，问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？【答案】

31【解析】

设丙取走1份，则乙、丙各取2份，三人总和为5份，即块数为5的倍数．8盒总数被5除余1，因此甲的块数被5除也余1，只可能为31块．课后作业课后作业1、五位数没有重复数字，如果它能被225整除，那么这个五位数是选项（）．A．38025B．37025C．38075【答案】

A

【解析】

，只有38025是9的倍数．2、已知六位数是99的倍数，那么这个六位数是______．A．260172B．250173C．200102【答案】

A

【解析】

B个位不是2，A、C中只有A两位截断求和为99的倍数．3、的末尾有________个连续的0．【答案】

75【解析】

显然只需要统计5的次数即可．，，，故含个5；，，，故含个5．因此，原式含5的次数为，即乘积末尾有75个连续的0．4、两个连续自然数的乘积是1190，则这两个数中较小的是___________________．【答案】

34【解析】

将1190分解质因数，，易得，．5、太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，……，颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知丹数不足千，问共炼________仙丹．【答案】

900【解析】

．，故，进而，即n为30的倍数，显然只有符合要求．6、在等差数列1，8，15，22，29，36，43，中，如果前n个数乘积的末尾0的个