第四章+指数函数与对数函数检测练习 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章指数函数与对数函数检测练习一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（

）A． B． C． D．2．设，，，则，，的大小是（

）A． B．C． D．3．设，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．4．已知函数，则的图象是（

）A． B．C． D．5．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（m/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的关系式为v＝2000，若火箭的最大速达到10km/s，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（）（参考数据：e5≈148.4）A．146.4 B．147.4 C．148.4 D．149.46．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．设（），且，则等于（）A．16 B．10C．2 D．818．计算：（

）A．1 B．2 C．3 D．6二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）9．已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（

）A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点10．已知，函数，则下列区间一定包含的零点的是（

）A． B． C． D．11．设，，则下列结论正确的有（

）．A． B．C． D．12．设函数的定义域为，值域为，若，，使得，则称函数为Γ函数．则下列函数为Γ函数的是（

）A． B． C． D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．．14．已知函数，若函数（且）在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是.15．函数恒过定点．16．函数，则.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天能够持续有效去污，求的取值范围.18．已知函数．（1）用单调性定义证明：函数在上是减函数，在是增函数；（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；（3）当关于的方程有两个不相等的正根时，求实数的取值范围．19．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小张同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为6万元，每年生产万件，需另投入流动成本为万元，且，每件产品售价为12元．经市场分析，生产的产品当年能全部售完．（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；(2)求年产量为多少万件时，小张在这一产品的生产中所获利润最大，并计算出最大利润值．20．已知为定义在的奇函数，且当>0时，．(1)求的解析式；(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．已知，.（1）求和；（2）定义且，求和.22．2021年某城市一家图书生产企业计划出版一套数学新教辅书，通过市场分析，全年需投入固定成本30万元，印刷（万本），需另投入成本万元，且由市场调研知，每本书售价为60元，且全年内印刷的书当年能全部销售完.（1）求出2021年的利润（万元）关于年产量（万本）的函数关系式；（2）2021年年产量为多少本时，企业所获利润最大？求出最大利润.参考答案1．C【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A，根据对数函数图像与性质可判断B，利用函数奇偶性的判断以及其解析式即可判断C，根据常见幂函数的图像与性质即可判断D.【详解】对A，设，其定义域为，则其定义域关于原点对称，且，则函数为奇函数，故A错误，对B，根据对数函数的定义域为，可知其不具备奇偶性，故B错误，对C，当，，可知其在上单调递减，设，其定义域为，关于原点对称，且，故函数为偶函数，故C正确，对D，根据幂函数图象与性质知为奇函数，故D错误，故选：C.2．A【解析】利用指数函数的性质与对数函数的性质分别判断与和的大小，即可得出结果．【详解】∵根据指数函数的性质可得：，由对数函数的性质可得：，，∴.故选：A.3．C【分析】结合对数的性质，利用对数函数的单调性判断.【详解】解：因为，，所以，故选：C4．D【分析】先求得的解析式，再利用特值法排除错误选项，进而得到正确选项.【详解】由，可得当时，，则的图象过点，则排除选项AB；当时，，排除选项C，正确选项为D.故选：D5．B【分析】由10×1000＝2000，结合对数的运算求解即可.【详解】由题意将v＝10km/s，代入v＝2000，可得10×1000＝2000，则，即≈148.4，解得.故选：B6．B【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当时，，若，则推不出；由于在上单调递增，当时，可得到，则有，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B7．A【分析】根据给定条件，用表示出，再求出即可计算作答.【详解】由，，得，而，则有，解得，所以.故选：A8．B【分析】由对数的运算法则化简即可求得.【详解】由对数运算法则化简得故选：B9．CD【分析】令y＝0得，利用换元法将函数分解为f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令，得，设f（x）＝t，则方程等价为f（t）＝﹣1，①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）＝t2＜0，此时x有两解，由f（x）＝t1∈（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，即函数y＝f[f（x）]+1有4个零点．②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1，由f（x）＝t1∈（0，1），此时x只有1个解，即函数y＝f[f（x）]+1有1个零点．故选：CD．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．10．CD【分析】通过计算得到，,分析即得解.【详解】因为，所以.由的解析式可知其为二次函数，至多有两个零点.因为，且，，所以，,又,（三个正数相加结果为正），所以.而，时，,时，,所以符号不确定，无法根据二分法得到零点所在区间.所以在区间和上各有一个零点.故选：CD11．BC【分析】由题意可得，，可判断C；根据可判断A；利用对数的运算可判断B；根据可判断D.【详解】已知，，所以C正确；，即，因为，所以，A错误；，B正确；因为，，所以，D不正确．故选：BC.12．ABD【分析】逐一分析每个函数的定义域和值域后进行判断即可.【详解】A选项，的定义域值域都是，显然符合题意，A选项正确；B选项，定义域，值域，由于定义域，值域的任意性，定义域内任取，在值域中显然可以找到对应的相反数，B选项正确；C选项，，定义域为，值域为，若定义域内取到正数，则值域中没有与之对应的正数的相反数，C选项错误；D选项，定义域为，值域为，由于值域的任意性，定义域内的任意正数都能在值域中找到与之对应的相反数，D选项正确.故选：ABD13．2【分析】根据指数及对数运算律计算即可得出结果.【详解】故答案为:2.14．【解析】将函数（且）在区间上有4个不同的零点转化为函数与函数的图象在区间上有4个不同的交点，再根据函数的奇偶性和单调性作出函数的图象与函数的图象，利用图象【详解】，所以为偶函数，设，则，因为所以，即，因为，所以，所以，所以，所以，即，所以在上递增，因为为偶函数，所以在上递减，所以当时，取得最小值，因为函数（且）在区间上有4个不同的零点，所以函数与函数的图象在区间上有4个不同的交点，作出两个函数的图象如图：由图可知，，即，解得.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解15．【分析】由恒成立可得定点坐标.【详解】，恒过定点.故答案为：.16．【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】依题意.故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.17．(1)8天(2)【分析】（1）根据空气中去污剂的浓度不低于，直接列出不等式，然后解出不等式即可；（2）根据题意，列出空气中去污剂的浓度关于时间的关系式，然后利用基本不等式放缩，并解出不等式即可.【详解】（1）解：当时，，解得，当时，，解得，综上可得：，故去污时间可达8天；（2）解：设从第一次喷洒起，第天，空气中去污剂的浓度为：，当且仅当，即时，取等号，则，又，解得：.18．（1）见解析；（2）；（3）.【分析】（1）任取，作差，通分，因式分解，然后分和两种情况讨论，判断的符号，即可证明出函数在区间和上的单调性；（2）求出函数在区间上的值域，由得知实数的取值范围即为函数在区间上的值域，即可求解；（3）将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.【详解】（1）设，．当时，，，，，即，所以，函数在上单调递减．当时，，，，，即，所以，函数在上单调递增；（2）函数在上单调递减，在上单调递增，，且，．方程在有解，，因此，实数的取值范围是；（3）方程为，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，如下图所示：由上图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性，同时也考查了利用方程根的个数求参数的取值范围，解题时可以利用参变量分离法，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19．(1)(2)8万件，万元【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系式，即可求得结果；（2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可．【详解】（1）因为每件产品售价为12元，则万件产品销售收入为万元，依题意得，当时，，当时，，所以；（2）①当时，，即当时，取得最大值11；②当时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，即当时取得最大值，因为，故当年产量为8万元时，小张在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．20．(1)(2)【分析】（1）根据奇函数的性质，可得答案；（2）利用参变分离和分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】（1）令，则，即，由函数为奇函数，则，即，因为函数在上为奇函数，所以，故.（2）由，则不等式，因为，当且仅当，即时，取等号，所以，即对恒成立，因为，当且仅当时等号成立，所以，所求实数的取值范围为.21．(1)，；(2)，.【分析】(1)先分别求解出集合中的表示元素的范围，即可求解出集合，即可求解出、的结果；(2)根据定义以及集合，即可求解出与的结果.【详解】(1)因为，所以，所以，所以，又因为，所以或，所以，所以，所以，；(2)因为且，所以，.【点睛】本题考查指、对数不等式与集合的交并的综合