2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试卷（解析版）

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟演练（二）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1,已知集合A,B满足A8={1，2,3},若A*,且[A&B],[B&A]表示两个不同

的“A8互衬对”，则满足题意的“AB互衬对“个数为（）

A.9B.4C.27D.8

K答案XC

R解析》当4=0时,集合B可以为{1,2,3}；

当A=⑴时,集合3可以为{2,3},{1,2,3}；

当4={2}时,集合8可以为{1,3},{1,2,3}；

当4={3}时,集合8可以为{1,2},{1,2,3}；

当人={1,2}时，集合B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；

当人={1,3}时，集合8可以为{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}；

当4={2,3}时,集合5可以为⑴,{1,2},{1,3},[1,2,3}；

当4={1,2,3}时,集合=可以为0,{1},{2},⑶,{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

故满足题意的“A8互衬对”个数为27.

故选：C

2.已知z=’—走i，则下列说法正确的是（）

22

2

A.z?+z-1=0B.z—z—l=0

C.z2—z+l=0D.z2+z-i-l=0

K答案Xc

1

7初6.Grrl2（1右1/.273.1B

解析因为所以

KXz=-2--------2---1,z=1k--2--------2---1J=—4I—41-------2---1=-----2--------2---1,

z+1'.旦/一11后

-------------1

2222

故z2+z-l#0，Z2-Z-1^0'Z2-Z+1=0>z2+z+1*0.

故选：C.

3.若整数N被p整除后余数为g,则表示为N=q(mod〃)，则“No0(mod2)或

NH0(mod3)^“NH()(mod6)，呃()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

K答案Dc

K解析》因为6的因数包含2、3,且2x3=6,

故"N=()(mod6)”是“N=0(mod2)且N=()(mod3)”的充要条件，

由逆否命题的等价性，则“N+0(mod2)或N*0(mod3)”是“N丰0(mod6)”的充要条

件.

故选：C.

4.已知向量a=(l,2,l),/?=(-1,1,1),则〃在。上的投影向量为()

(-2,2,2、(444、

A，［333>1B.匕《々J

cj」,"DJ一意,空”〕

333

K答案XA

R解析2由空间向量的数量积可得cos<a,b>=

|o|-|^|瓜义布

所以，a在人上的投影向量为Wcos<a，b>-K="x—xA/2=：8222

33'3

故选：A.

5.我国古人智慧体现在建筑学上的成就颇多，著名的太和殿的一角中所体现了中国古人智

慧中的“七踩斗拱”技术，内分为“头”和“拱具体介绍为“七踩斗拱有头翘一件，头昂后带

翘头一件，昂后带六分头一件.蚂蚱头后带菊花头一件，撑头木后带麻叶头一件；正心瓜

拱、正心万拱各一件，外拽单材瓜拱、单材万拱各两件，厢供一件.”若从“翘头、六分

头、菊花头、麻叶头”中选择1个，从“单材瓜拱、单材万拱、正心瓜拱、正心万拱、厢供

一件，，中选择2个，则“单材瓜拱”与“麻叶头”同时被选上的概率为（)

K答案Xc

K解析U从“翘头、六分头、菊花头、麻叶头”中选择1个，从“单材瓜拱、单材万拱、正心

瓜拱、正心万拱、厢供一件”中选择2个共有C；C；=4（）种取法，

41

满足条件的取法共有C；=4,故“单材瓜拱”与“麻叶头”同时被选上的概率为为=元.

故选：C

6.若/（x）=sin3》+三（。＞0）在（0,兀）上有且只有两个零点，则①的取值范围为

()

585%58

A.B.C.D.

3'33旬353

K答案2A

K解析》；69>(),XG(0,7l),：.COX+—&(—,(DTl+—),

v7333

函数/（x）=sins+茨（口＞0）在区间（0,兀）上有且只有两个零点,

元58

则2兀<兀/+—43兀.解得一<tv4一.

333

故选：A

z，5

7.若(x-2)4(X?+3尤)=%+%(2-2)+4(x-2.++an(x—2),则---=

a4

()

1234

A.—B.—C.-D.一

5555

K答案》D

R解析R(x—2)(x?+3x)=(x—2)(x—2)+7(x—2)+10

=(X-2)6+7(X-2)5+10(X-2)4,

所以％=L%=7,%=10，

4

所以

5,

故选：D.

8.已知a=2e"，b-ee<c=£—,试比较a,b,c的大小关系为()

In2

A.b>oaB.b>a>c

C.c>a>bD.ob>a

K答案DB

K解析》先证明两个不等式：

(1)21nx<%--(x>1),设/(x)=21nx-x+'(x>l),则

r(x)=2_i_!=_j_L_i]<o(x〉i),即〃x)在a,”。)上单调递减，故

XX)

/(x)</(l)=O,即21nx<x—，(x〉l)成立

X

(2)——(%>1),设g(x)=lnx-^^~~—(x>1),

x+1x+1

则g'(x)=-------7=-一^T>0(X>1),即g(x)在(1,+s)上单调递增，故

X(x+1)x(x+l)

g(x)>g6=0，即lnx>3^~»(x>l)成立

x+1

再说明一个基本事实，显然3<兀<3.24,于是1.73<6〈后<1.8.

由(1)可得，取x=2,可得21n2<L5=ln2<0.75=e075>2；

2442

由(2)可得，取x=2,可得ln2〉一，再取x=—,可得In—>—〉0.27,

3337

即e027<3=eW27>3.

34

hee=4ee-1-8e075

_—____=_____>____>____显然〃>0，于是力>。；

a2e无222

e2

cIn2_e~«,3e“42-而-o.271.73-而o]，显然a>0,于是c<。.

a2e42In24

故〃>a>c.

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.

9.有关平面向量的说法，下列错误的是()

A.若allb，hllc，则allc

B.若Q与人共线且模长相等，则q=b

C.若忖〉W且a与/方向相同,则a"

D.==恒成立

K答案UABC

K解析U对于A选项，取〃=(),因为“〃6，bile'则a、c,不一定共线，A错；

对于B选项，若a与人共线且模长相等，则或&=-/,,B错；

对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错：

对于D选项，(闻出=丸(。/)=(砌恒成立，D对.

故选：ABC.

10.已知b>0,e"—@e<弛约恒成立，则下列说法正确的是()

bb

A.若6e(O,e),则ae(0,+co)B.a=]nb-l

\-a

C.a+Z?22恒成立D.<的最大值为1一

b-2e

K答案》ACD

ApInbzyplr»卜

R解析》对B,令f(。户e"——。------，则力>0,e"—±e〈上叱恒成立等价为。>0,

hhbb

/(〃)<0恒成立.

r(a)=e"-2单调递增，由/'(a)=O=>Q=l-lnb,且

b

aG(-oo,l-lnZ?),/,(a)<0,/(a)单调递减；ae(l-lnZ?,+8),/'(a)>0,/(a)单

调递增.

又/(a)n“n=—^=0,；.a=]_ln力，B错；

对A,be(0,e),a=l-ln/?e(0,+oo),A对；

对C,a+b-\-lnb+b,々g(〃)=l—ln8+Z?,g'(5)=-：+l,由g'(Z?)=0=Z?=l.

故泰(0,l),g'®<0,g("单调递减;匹(l,+8),g'®>0,g(b)单调递增.

故g(Z?)2g(l)=2,C对；

对D,'=能，令〃(3=能,/(3=121|^,由/(b)=o=b=痴.

故bw(0,而"®>0,g(b)单调递增;be(点伍)<0,g("单调递减.

故g(b)〈g(正)=，，D对.

故选：ACD.

11.在平面直角坐标系尤Oy中，A为坐标原点，3(2,0),点列P在圆(x+|)+y2

上，若对于V〃eN*，存在数列｛%｝，4=6,使得不瓦广^=17,则下列说法正

确的是()

A.｛4｝为公差为2的等差数列

B.&｝为公比为2的等比数列

2023

C.a2O23=4047-2

D.｛«„｝前n项和S,=2+(2〃—1)•2,,+1

K答案DCD

K解析X对AB,由点列尸在圆(X+2]+/=—±,则由参数方程得

pgaj,”则

r、/PBa4〃+2a4〃+2

对于V〃cN*，存在数列｛%｝，4=6,使得”人n即工n=7^^^①,

1j2PAq_12n-\%2n-]

也小②

an2〃+1

①②两式相除得:"T(2〃—1)(2〃+3)=a,-________%=(4

(2n+l)22(〃-1)+12(〃+l)+l-(2〃+l

令”=詈1，则%•%="；，则也｝为以首项4=三七=2,公比为

2〃+12/1I

c-bn-2rt+l_a2-14〃+22n-1

n-----X-----二2的等比数列.

hn-X%«„-12〃+12n-12n+l

2n-1

贝11-^=%=2"?an(2〃+1)?2",AB错;

2/7+1'"

对C,^023=(2x2023+1)-22023=4047-22023,C对；

对D,5„=3?2'5?22+(2〃+1)2”,

2S„=3?225?23+(2n+l)2H+l,

两式相减得，-S“=3?2’2?222?23+2?2"(2/1+1)2,,+|

2(1-2"+'\

=2+22+23++2/,+,-(2/?+1)2"+,=、2-(2n+l)2n+1=-2-(2/?-l)?2n+1-

.•.S,=2+(2〃-1>2"+I,D对.

故选：CD.

2x.t

12.已知=g(x)为4x)导函数，aeR,awO,则下列说法正确的是

aex

()

A.f(x)为偶函数

B.当且awO时，/(x)21恒成立

g(x)ri

C.二/\的值域为[—1,1]

f(X)

D./(x)与曲线y=《无交点

a

K答案UAD

1.

‘一23+1—2x+1p2.v.i

K解析》对A,xeR,〃一x)=―~=—6―=/(x),，〃x)为偶函数，

ex

A对；

1i1

对B,=22,因为e2'+l>O,e'>0,

aex

所以当a<0,f(以)<0,B错;

2v

.,_z>,e+11e'+j)可得

对C'由F=Z

e2j-l2

g(x)=r(x)=z

IT需e2v+1e2v+1

・.d+lw(l,M),.•.^^(0,2),.•.需=l-^^e(-1,1),C错:

px1Px

对D,由—2=0n-!-=0,方程无解，/(x)与曲线y=J无交点，D对.

aae'a

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调

查方法.调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个

黑球和50个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答

问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过

弊.若100人中有52人回答了“是“，48人回答了“否则问题二“考试是否做过弊”回答

“是''的百分比为(以1()0人的频率估计概率).

R答案254%

K解析X由题意可知，每名调查者从袋子中抽到1个白球或黑球的概率均为0.5,

所以，100人中回答第一个问题的人数为100x0.5=50,则另外5()人回答了第二个问

题，

在摸到黑球的前提下，回答“是''的概率为即摸到黑球且回答“是”的人数为

50x1=25,

2

则摸到白球且回答“是''的人数为52-25=27,

27

所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为宝=0.54=54%.

故K答案』为：54%.

14.若对于V/^^e[-e,e],V^e(-l,+oo),使得不等式

4x3+ln(x+l)+(2023-m)x_l<〉ln(y+l)恒成立，则实数x的范围为.

K答案》(-1,0]

K解析H4/+ln(x+l)+(2023-加卜一1<丁111(〉+1)恒成立，

等价于[4d+ln(x+l)+(2023-⑹AlL<[yln(y+l)L.

令/()')=》ln(y+1),ye(-l,+oo),则/'(y)=In(y+1)+,

y+1

注意到ye(-LO)时,f'(y)<0,f(0)=0,ye(0,+oo)时,fr(y)>0.

则f(y)在(-L0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增,则/'(y)4/(0)=0.

则3心+1孔加=0,则[4%3+1小+1)+(2023-m)K-1、<[yln(y+l)L

=[4d+in(x+1)+(2023)％-1]<0.

令g(m)=一xm4-4x3+2023x+In(x+1)-1,me[-e,e].

当尤=0,g(m)=-1<0,故x=0满足条件；

当1>0,则g(m)在[一e,e]上单调递减，故

g(时=g(-e)=ex+4x3+2023x+In(x+1)-1.

令p(x)=ex+4x3+2023%+In(元+1)—1,xe(0,+oo).

则”(x)=12x2+e+2023+—>0,得p(x)在(0,+8)上单调递增，

x>l时，p(x)〉p(l)>0,因p(x)此时无最值，且玉e(0,+°o)，p(x)>0.

则x>0不合题意；

当x<(),g(“)在［-e,e］上单调递增，故

g(〃?)=g(e)=-ex+4x3+2()23x+In(x+1)-1.

令“(x)=-ex+4x3+2023%+In(x+1)-1,xe(-1,0).

则"(x)=12x2+—>―+2023-e.

,)x+1

令丸(x)=Ux2+—!-j-+2023-e,xe(-l,0).

贝=24x-1<0,故Mx)

（-1,0）上单调递减,

(x+1)

则/?(x)="'(x)>n'(0)=2024-e>0,则〃(力在(-1,0)上单调递增,

则”(x)<〃(0)=-1<0,则xe(—1,0)符合题意.

综上，XG(—1,0］.

故K答案》：（-1,0].

15.已知C:y2=]X,过点P（l,0）倾斜角为60的直线/交C于A、8两点（A在第一象

限内），过点A作AZ），x轴，垂足为。，现将。所在平面以x轴为翻折轴向纸面外翻

2兀

折，使得Nx上平面-X下平面=§，则几何体外接球的表面积为.

工答案』1371

K解析D翻折前，设点A（%，x）、B（x2,y2）,贝力＞0,直线/的方程为y=石（》一1）,

y=G(x-i)(x

联立］,3可得(।2,即点A（2,JJ）、B1

y'=^〔x

易知点。（2,0）,

翻折后，以原坐标原点。为原点，原纵轴的负半轴所在直线为x轴，直线OP所在直线为

y轴，

过点。且垂直于平面OP8的直线作z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

、MT

设四棱锥P-ABD的外接球球心为G（a,b,c）,

［百

a2+(/?-1)'+c2=a2+(/?-2)'+c2a=——

2

222(6,3

由题意可得〈a+(/?-1)+ca------,解得《<o=—

22

7

3

a+®

a2+(b-l)2+c2+(h-2)2

2

7

33、

所以，球心为,所以，球G的半径为|PG|

因此，球G的表面积为4HAG『=13兀.

故K答案》为：13兀.

16.已知椭圆C：工+金=1,过点J。,。）的直线/斜率范围为

43<2）

-8,一与u［也,+00）,过（0,0）向/作垂线，垂足为P,。为椭圆上一点，K为椭圆

右焦点，则户。+2|乙。|的最小值为.

35

K答案X—

K解析工设直线/斜率为k,直线/的方程为/=左（%+（｝过（0,0）向/作垂线的方程为

…卜+不

联立方程'解得户一2哥

1

V=——X

-1

其中—D(0,6],

k

2

若。（见〃），右准线为尤=幺，则。到右准线的距离为

c

尸2为椭圆右焦点，故IWQI=J（m-c）2+〃2且勺+g=i（a>L>°）,

贝》=从_嘤

a

所以I鸟Cl=J(m—c)2+〃2m2-2cm+a2=\em-a\

\FiQ\_\em-a\

故乙I

e

而椭圆的离心率e=g,则。到右准线I'的距离|QV'|=图1=2\F2Q\.

过P作\PN\±r于N,则|PQ|+2|&2|=\PQ\+\QN'\>|PN|=

当）=指且。在线段尸N上时，|PN|取最小值，最小值为

K

35

|PN|4+—-------

2(3+1)

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.人类探索浩瀚太空的步伐从未停止，假设在未来，人类拥有了两个大型空间站，命名

为“领航者号''和''非凡者号其中“领航者号”空间站上配有2搜“M2运输船”和1搜“T1转

移塔”，“非凡者号”空间站上配有3搜“T1转移塔”.现在进行两艘飞行器间的“交会对

接”.假设“交会对接”在M年中重复了“次，现在一名航天员乘坐火箭登上这两个空间站

中的一个检查“领航者号”剩余飞行器情况，记“领航者号''剩余2搜"M2运输船”的概率为

P”，剩余1搜“M2运输船”的概率为戒.其中宇航员的性别与选择所登录空间站的情况如

下表所示.

男性宇航员女性宇航员

“领航者号”空间站380220

“非凡者号”空间站120280

P(K2>k]0.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

n^ad-bcy

K-,n-a+b+c+d

(a+Zj)(c+d)(a+c)(Z?+d)

(1)是否有99.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联；

y2

(2)若k为函数/(x)=—极小值的一倍，求即“+%与3的递推关系式.

Inxe

解：(1)小史逊理卫之叽367〉1。.828

500x500x6(X)x400

...有99.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联；

(2)/(幻=^，函数定义域为(0,1)一。,一)，则

由/'(6=0得1=e,

由用x)>o得％>e,由/'(x)<0得0<x<l或l<x<e,

/(x)在(e,+«>)上单调递增，在(0,1)和(l,e)上单调递减，

.•.当％=e时，f(x)取得极小值，且/(e)=e,

X2

%为函数/(x)=--极小值的一倍，.,"=2,

Inxe

_c]C；C；C；八八12_7

.2=可苻0+曰曰4+0(一P|一")=301+§小二药，

z~ll01、z~tlz~ll1216

%d----=------

——；-----「-r1P1\।+~Z~i1-I----「---Ir—;----「--r1*Q-*\*—「;—Iz「rI,(\A-P1i«~Q1\'I/——QQ-*\■

y5\Jyy5jyy”327

…C；C'C'C；八八、12

当〃22时4=才•苻.21+寿•才4i+0{-p,i-4i)=

C；C\、12

q,i+曰H_q,i)=-+§，

②

24i212

2x①+②，得2p“+qn=-p“_|+--§q“_i+§=§(2P+如)+§,

从而2P“+/-1=g(2p“_1+%-1).

18.对于数列=5+1)2",〃eN*，的前〃项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察

的小周同学发现对于此类“等差x等比数列“，也可以使用“裂项相消法“求解，以下是她的思

考过程：

111

①为什么/4\=--------可以裂项相消？是因为此数列的第"，”+1项有一定关系，

即第n项的后一部分与第n+\项的前一部分和为零

②不妨将4,=(〃+1)2",〃eN*也转化成第%”+1项有一定关系的数列，因为系数不

确定,所以运用待定系数法可得％,=(川+4)2"-[p(〃+l)+q]2"T=(〃+I)2”,通过

化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数

③将数列q=(〃+1)2",〃eN”表示成勺=(P"+4)2"-[〃(〃+1)+切2向形式，然后

运用“裂项相消法”即可！

聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基

础的“错位相减法”掌握.

(1)(巩固基础)请你帮助小周同学，用“错位相减法“求｛%｝的前〃项和S.；

(2)(创新意识)请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法“求｛4｝的前"项和

S,.

解：(1)因为q=("+1)2”

所以S“=q+4+%++an=2x2'+3x22+4x23++(“+1)2”①

贝ij2s“=2x22+3x23+4x24+-+("+1)2'用②

所以①-②得：

,2_)2+1

-5„=2X2'+(22+23++2")-(〃+1)2,,+,=4+―=———(〃+1)2,,+|=-n-2"+'

1—2

所以5〃二小2向；

(2)因为a”=("+1)2",

设a”=(/?〃+q)2"-[p(〃+l)+q]2"+i=(-Q〃-q-2p)2",

—"=["=]

比较系数得：c/得〈I，所以4=(—〃+1)2〃一(—〃)2向，

-q-2p=\[q=l

所以S“=q+。2+。3++an

=0x2'-(-1)X22+(-1)X22-(-2)X23++(-n+1)2"-(-n)2,,+l=n­2,,+l,

19.已知底面为正方形的四棱柱ABC。-AB'C'。'，AD=AA'=4,E,F,”分别为

FP

A4',A'。'，C'。的中点，三角形S八社的面积为4,尸为直线上一动点且一-=%

PH

(2)是否存在X,使得线段3P与平面8CE夹角余弦值为

(1)证明:连接

因为S4既=gAE-AB•sinNBAE=4sinNBAE=4,

71

所以sin/BAE=l,所以NBA£=—,即AA'_LAB，

2

又ADLA4',ADr^AB=A，AD,ABu平面43cO,故A4'_L平面ABC。，

FP

当2=1时，——=4=1,则P为尸”中点，P在377上，

PH

平面ABC。，ACu平面ABC。，.••■£>£>'_LAC,

又AC工BD,DD'\BD=D,DD',BDu平面BDDH，

AC_L平面瓦加笈，

又6Pu平面BDDB，：,BPIAC；

(2)解：以。为原点，DA所在直线为x轴，。。所在直线为y轴，£)£)'所在直线为z

轴，建立空间直角坐标系，

.♦.0(0,0,0),5(4,4,0),£(4,0,2),C(O,4,4),设尸(a,2-a,4),

所以说=(O,T,2),BC=(-4,0,4),BP=(a-4,-«-2,4),

设平面BCE的法向量。=(x,y,z),

n-BE—0一2y+z=0/、

则《即，门，令z=2，则y=Lx=2,/.n=(2,1,2),

八BC'=0-x+z=0

若线段BP与平面BC'E夹角余弦值为,，

8

则cos(BP,〃)==~^~,

n

.COS/BPn\_Kl_If_735

、/忸P〃3j2a2_4a+366

33/—62。+622=0,

VA=(-62)2一4x33x622=—78260<0,方程无解,

20.已知在三角形ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的三边，若

sin2A+6sin2B+3sin2C=6^sinAsinBsinC

(1)求/C的大小;

(2)求迈L的值.

3b

解：(1)因为sin2A+6sin?8+3sin2c=6指sinAsinBsinC，

所以/+6b2+3c?=6y/3absinC>

2

则c2=2yj3ahsinC-——2b2,

3

^a2+3b2-2y/3absinC

又C°sC=号+瓜2

2ab2ah9

CQI

所以逐sinC+cosC=-^+二,

3b2a

因为某察2忌=2,当且仅当煞亲即2。=3叱取等号,

V3sinC+cosC=2sinC+-<2,当且仅当。+四=N，即。=四时，取等号,

I6J623

所以J^sinC+cosC='+也=2,

3b2a

71

所以C二一；

3

(2)由(1)可得加=38，

所以2亘=班.

3b

21.已知在△ABC中，以3为坐标原点，角A,B,。所对应的边分别为mb,c,且。=

4,若2〃+CCOSJB=16.

(1)求A点的轨迹方程G

(2)已知坐标原点为0,若过点尸(-8,0)的两条直线与C分别交于M,N两点,设

M(%,yj,/V(x2,y2),两直线斜率分别为《，&且匕a=】，连接例，N交x轴于点

Q,△OMQ,AOMN面积分别为SI,S,,求3S|•一%.―%_s2的最大值.

y

解：（1）设点A的坐标为A（x,y）,

依题意可得8（0,0）,C（4,0）,

22

则b=J（X-4）2+V,c=^x+y,

"2+M_h1

又2匕+ccosB=16,则28+cx^^~—=16,BP16/j+c2-Z?2=112，

2ac

所以16^/(x-4)2+r+x2+/-(x-4)2-y2=112.化简得3x2+4/=192,

22

A点的轨迹为椭圆，其方程为工+E=1.

6448

（2）由匕・左2=1，则占,《同号，

不妨令匕＞网＞0，则乂＞%＞。，设。（不，（）），则内＞。，

由直线PM的方程为y=4（X+8）,

£+•=1

联立《6448,消了整理得(3+46)》2+64好》+2566一192=0,

y=4(x+8)

ril。256^-192刃24—32448K

则的二F^T,得寸节或，

,24—32148网

同理得”工^，/

3+4代'

由直线MN的方程为y=M（iJ+X'

xy.-xy,

令y=0,贝|」为=」2一以

由S|=gx°y,52=1x0(^-y2),

则3百.^^■一=2%(必一%)

=2x^^x("%)=2(wf%)

(24-32公48匕24-32片48公

2

、3+4收3+443+443+4片

56x48x(4-e)_56x48x(A「&)

“25+叫+12居=〃49+12(仁_网)2

456x48/_56x48-/T

2x---------------<2x—,=64J3

4Q

，一+12(A1—/)2V49xl2

k、-k，2

当且仅当二/=12亿-％2)时，等号成立,

rv|

22.已知函数/(x)=(x—l)e*—ox—l,^(x)=(x-l)lnx-/zx-l

⑴若〃=1,b=2,试分析/(x)和g(x)的单调性与极值；

⑵当a=b=l时，/(x)、g(x)的零点分别为X1,巧；乙，从下面两个条件中

任选一个证明.(若全选则按照第一个给分)

求证：①In』+如％4<：；*；

②eM<卫三+2.

2

(1)解：由已知/(x)=(x-l)e*-该函数的定义域为(YO,+8),

所以/'(x)=e*+(x-l)e*-1=xev-l,

当x<0时，ra)<o,

令/?(x)=xe*-l(xNO),所以〃'(x)=e"+xe*=e*(x+l),

所以力'(x)>0,所以函数〃(x)=xe*—1在[0,+e)上单调递增，

又力(0)=—1<0,〃(l)=e—l>0,

所以存在％=毛<0,1),使得〃(品)=0，

当XG[0,%）时，&（力<0,当xe（x5，+oo）时,/i（x）>0,

所以当XG(TX),X5)时，r(x)<0，函数/(x)在(TX),毛)上单调递减,

当%«看,+8)时，制X)>0,函数/(X)在(事,+。。)上单调递增，

Xs

又/'(七)=0，其中x5e=1,

/、1

所以x=x$为函数/(X)的极小值点，极小值为一毛----，

X5

函数/(%)没有极大值点；

由已知g(x)=(x—l)lnx—2x—1,该函数的定义域为(O,+8),

所以g'(x)=lnx+——--2=Inx-——1,

xx

设0(x)=lnx_L_l,=—+-4->0,

XXX

所以函数0(x)=lnx-1在(0,+功单调递增，

X

又夕(e)=—J<0,°卜2)=2—《―1>0,

所以存在x=%6，x(,G(e,e2),使得*(X6)=lnx6—，T=。，

X6

当0<工<工6时，0(x)<o,当%>冗6时，e(x)>o,

所以当0<x<4时，g'(x)<。，函数g(x)在(0,%)上单调递减，

当X〉天时，g'(x)>o,函数g(x)在(/，+8)上单调递增，

又g'(x6)=。,

所以X=%6为函数g(x)的极小值点，极小值为一4----1,

*6

函数g(x)没有极大值点，

(2)证明：①由⑴可得，函数/(x)=(x-l)e"-x—1在(—，鼻)上单调递