2021新教材高中数学第10章概率 教学用书教案新人教A版必修第二册

第十章概率

10.1陵机事件与概率

10.1.1有限样本空间与随机事件

素养目标•定方向

素养目标学法指导

1.理解样本点和有限样本空间的含义.(数学1.类比集合的有关概念来认识样本空间.

抽象)2.类比集合与集合之间的关系来认识随机事

2.理解随机事件与样本点的关系.(逻辑推理)件.

必备知识,探新知

知识点1随机试验及样本空间

1.随机试验的概念和特点

(1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,

常用字母E来表示.

(2)随机试验的特点：

①试验可以在相同条件下」复—进行；

②试验的所有可能结果是一明确可知一的,并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

2.样本点和样本空间

定义字母表示

我们把随机试验E的.每个可能的

样本点用改一表示样本点

基本结果一称为样本点

样本全体一样本点一的集合称为试验E

用。表示样本空间

空间的样本空间

如果一个随机试验有〃个可能结果

有限样W\,W2，…，皿1，则称样本空间。

。={孙，W2,…，Wn}

本空间={41，S，…，助?}为有限样本空

间

■

知识点2三种事件的定义

随机我们将样本空间a的卫年称为随机事件，简称事件，并把只包含一

事件个样本点的事件称为基本事件,随机事件一般用大写字母A,B,C,-

表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生

必然。作为自身的子集，包含了一所有的一样本点,在每次试验中总有一个样

事件本点发生，所以a总会发生，我们称。为必然事件

不可能空集。不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称。为不可能事

事件件

［知识解词5］1.随机试验的三个特点

(1)试脸可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

2.关于样本点和样本空间

(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空

间；

(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.

3.事件与基本事件

(1)随机事件是样本空间的子集.随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件

也是随机事件.

(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形.

关键能力•攻重难

题型探究

题型一事件类型的判断

■典例1在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事

件？

⑴如果a、b都是实数,那么a+b=b+a；

(2)从分别标有1,2,345,6的6张号签中任取一张，得到4号签；

(3)没有水分，种子发芽；

(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；

(5)在标准大气压下，水的温度达到50℃时会沸腾；

(6)同性电荷相互排斥.

I分析I依据事件的分类及其定义，在给出的条件下，判断事件是否发生.

［解析］结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知.

(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件.

(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件

是随机事件.

(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不

可能发芽，故此事件是不可能事件.

(4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事

件是随机事件.

(5)在标准大气压下，水的温度达到100°C时，开始沸腾，水温达到50℃,水不会沸腾,

故此事件是不可能事件.

(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件.

［归纳提升I判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，

其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一

定不发生(不可能事件).

【对点练习】❶指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：

(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭：

(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；

(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标.

|解析】(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机

事件.

(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件.

(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%,也可能不是50%,是随机事件.

题型二确定试验的样本空间

■典例2下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间.

(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；

(2)从集合A={a,b,c,d}中任取3个元素；

(3)从集合A={a,b,c,d}中任取2个元素.

I解析I(1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次"，试验的样本空间为：

{(正,反)，(正，正)，(反,反)，(反,正)}.

(2)一次试验是指“从集合4中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(«,

b,c),(a,b,d),(a,c,d),(h,c,d)}.

(3)一次试验是指“从集合4中一次选取2个元素”，试验的样本空间为：{(a,b),(a,

c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}.

［归纳提升］不重不漏地列举试脸的所有样本点的方法

(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.

(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列

表等方法解决.

【对点练习】❷袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验

的条件和样本空间.

(1)从中任取1球；

(2)从中任取2球.

［解析］(1)条件为：从袋中任取1球.样本空间为{红，白，黄，黑}.

(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，样

本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}.

题型三随机事件的表示

»■■典例3一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑

球，从中一次摸出2个球.

(1)一共有多少个样本点？

(2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示.

I解析I(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2),(1,3),

(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个［其中(1,2)表示摸到1号球和2

号球］.

(2)记2表示“2个球都是白球”这一事件，则4={(1,2),(1,3),(2,3)}.

［归纳提升］1.判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明

确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点.特别要注意结果出现的机

会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.

2.试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无

顺序的情况最易出错.

【对点练习】❸做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x,y)表示结果，其中x表示红色

骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：

(1)这个试验的样本空间；

(2)这个试验的结果的个数；

(3)指出事件4={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}的含义;

(4)写出“点数之和大于8”这一事件的集合表示.

［解析］(1)这个试验的样本空间Q为

{(1,1).(1,2),(1,3).(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),

(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)).

(2)这个试脸的结果的个数为36.

(3)事件4的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.

(4)记8="点数之和大于8"，则8={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),

(6,4),(6,5),(6,6)}.

易错警示

忽视试验结果与顺序的关系而致误

■典例4已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},从这两个集合中各取一个元素

分别作为点的横、纵坐标.

(1)写出这个试验的基本事件空间；

(2)求这个试验的基本事件的总数.

［错解］⑴这个试验的基本事件空间。={(一2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,一4),(3,5),

(3,6)).

(2)这个试验的基本事件的总数是6.

［错因分析］题中要求从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，所以集合

N中的元素也可以作为横坐标，错解中少了以下基本事件：(-4,-2),(-4,3),(5,-2),

(5,3),(6,-2),(6,3).

［正解］⑴这个试验的基本事件空间。={(一2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),

(3,6),(-4,-2),(—4,3),(5,-2),(5,3),(6,一2),(6,3)}.

(2)这个试验的基本事件的总数是12.

【对点练习】❹同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x,y)表示结果，记A为“所得点

数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是(D)

A.3B.4

C.5D.6

［解析］(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个样本点.

10.1.2事件的关系和运算

素养目标•定方向

素养目标学法指导

1.理解事件的关系与运算.(逻辑推理)

本部分内容要类比集合的关系和运算来理解

2.理解互斥事件和对立事件的概念.(数学抽

事件的关系和运算.

象)

必备知识探新知

知识点1事件的运算

定义表示法图示

一事件A与事件B至少有一

个发生一，称这个事件为事

并事件4U8（或A+B）

件A与事件8的并事件(或

和事件)

事件4与事件B同时发生

一,称这样一个事件为事件

交事件ACI8（或AB）

A与事件B的交事件(或积

事件)

知识点2事件的关系

定义表示法图示

若事件A发生，事件8一定发

包含

生一，称事件B包含事件A(或事824（或AGB）

关系

件4包含于事件B)

如果事件A与事件B果能同时

互斥若，则A与B互

发生一，称事件A与事件8互斥

事件斥

(且互不相容)

如果事件A和事件B在任何一次

对立试验中有且仅有一个发生若AC8=0,且4UB=Q,

事件一,称事件A与事件8互为对立，则A与B对立（3D

事件A的对立事件记为彳

［知识解读］1.互斥事件与对立事件的区别与联系

(1)区别：两个事件A与8是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件

B就不发生；②若事件8发生，则事件A就不发生；③事件A,8都不发生.

而两个事件A,8是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与8是对立事件，则AU

8是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有

一个，而事件A的互斥事件可以有多个.

(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的

特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.

2.从集合的角度理解互斥事件与对立事件

(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集

合的补集.

关键能力攻重难

题型探究

题型一互斥事件、对立事件的判定

■典例1(1)(2020.河南省南阳市期中)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多

有一次中靶”的互斥事件是(A)

A.两次都中靶B.至少有一次中靶

C.两次都不中靶D.只有一次中靶

(2)(2020•湖南省怀化市期末)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事

件是(D)

A.恰有一次击中B.三次都没击中

C.三次都击中D.至多击中一次

I解析】⑴事件“至多有一次中靶"包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此

不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.

(2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击

中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.

［归纳提升I判断事件间关系的方法

(1)要考虑试脸的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一

样的.

(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也

可列出全部结果，再进行分析.

【对点练习】❶有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、

南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(A)

A.互斥但非对立事件B.对立事件

C.非互斥事件D.以上都不对

［解析］由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事

件，但不是对立事件.

题型二事件的运算

■典例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件G=｛出现1点｝,

事件C2=｛出现2点｝,事件C3=｛出现3点｝,事件。4=｛出现4点｝,事件C5=｛出现5点｝,

事件C6=｛出现6点｝,事件d=｛出现的点数不大于1｝,事件02=｛出现的点数大于3｝,

事件=｛出现的点数小于5｝,事件E=｛出现的点数小于7｝,事件F=｛出现的点数为偶数｝,

事件G=｛出现的点数为奇数｝,请根据上述定义的事件，回答下列问题：

(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；

(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.

［解析］(1)因为事件Ci,Ci,C3,C4发生，则事件Da必发生，所以CI=£>3,C2QD3,

C3£D3,

同理可得，事件E包含事件G,C2,C3,C4,C5,C6；事件包含事件C4,C5,C6；

事件F包含事件C2,C4,C6；事件G包含事件Cl,C3,C5.

且易知事件Ci与事件G相等，

即G="

(2)因为事件£>2=｛出现的点数大于3｝=｛出现4点或出现5点或出现6点｝,

所以G=C4UC5UC6(或。2=C4+CS+C6).

同理可得，£>3=G+C2+C3+C4,E=C|+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6)G

=CI+CJ+C5.

［归纳提升］事件运算应注意的2个问题

(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可

能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.

(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如

果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.

【对点练习】❷盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件4={3个

球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中

至少有1个红球},事件。={3个球中既有红球又有白球}.

问：(1)事件。与A,8是什么样的运算关系？

(2)事件C与4的交事件是什么事件？

(3)设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有1个白球},那么事件C与B,E

是什么运算关系？C与尸的交事件是什么？

［解析］(1)对于事件。，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故力=

AUB.

(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，

故CnA=A.

(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情

况，故BUC,EQC,而事件厂包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，

3个白球，所以CCF={1个红球2个白球，2个红球1个白球}=D

题型三用集合运算表示随机事件

■典例3设A,B,C表示三个随机事件，试将下列事件用A,B,C表示出来.

(1)三个事件都发生；

(2)三个事件至少有一个发生；

(3)A发生，B,C不发生；

(4)48都发生，C不发生；

(5)4,B至少有一个发生，C不发生；

(6)A,B,C中恰好有两个发生.

［解析］(1)A2C(2)AUBUC

(3)ABC(4)ABC(5)(AUB)C

(6)ABCUA~BCUABC

［归纳提升］利用随机事件的运算与集合运算的对应关系，可以有效地解决此类问题.

【对点练习】❸从某大学数学系图书室中任选一本书.设A表示事件“任选一本书,

这本书为数学书”；B表示事件“任选一本书，这本书为中文版的书”；C表示事件“任选

一本书，这本书为2000年后出版的书”.问：

表示什么事件？

(2)在什么条件下有ABC=A?

(3)8表示什么意思？

|解析】(1)A8^表示事件“任选一本书，这本书为2000年或2000年前出版的中文版

的数学书”.

(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有ABC=A.

(3)C£B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的.

易错警示

不能正确区分对立事件和互斥事件致错

■典例4进行抛掷一枚骰子的试验，有下列各组事件：

(1)“出现1点”与“出现2点”；

(2)”出现奇数点”与“出现偶数点”；

(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”.

其中是对立事件的组数是(B)

A.0B.I

C.2D.3

［错解］C

［错因分析］错解混淆了互斥事件与对立事件，误将互斥事件当作了对立事件.只有

(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事件，而(1)中“出现1点”与“出现2点”是

互斥事件，但不是对立事件，(3)中“出现大于3的点”与“出现大于4的点”不是互斥事

件，所以也不是对立事件.

［正解］B

I误区警示］对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件.忽略互斥事件

与对立事件之间的区别与联系，对“恰”“至少”“都”等词语理解不透彻.判断两个事件

是否互斥，就要看它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要看它们是否有一

个必然发生.

【对点练习】❹(2020•广东省茂名市期末)若干人站成一排，其中为互斥事件的是

(A)

A.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“甲站排头”与“乙站排尾”

C.“甲站排头”与“乙不站排头”

D.“甲不站排头”与“乙不站排头”

［解析I根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B,C,D中两事件能同时

发生，故不是互斥事件.

10.1.3古典概型

素养目标•定方向

素养目标学法指导

1.明确古典概型的基本特征，根据实际问题

1.古典概型的计算方法.（数学抽象）

构建概率模型，解决简单的实际问题.

2.运用古典概型计算概率.（数学运算）

2.注意区分有放回抽取（每次抽取之后被抽取

3.在实际问题中建立古典概型模型.（数学建

的物体总数不变）与无放回抽取（每次抽取之

模）

后被抽取的物体总数减少）.

必备知识,探新知

知识点1随机事件的概率

对随机事件发生_可能性大小一的度量（数值）称为事件的概率,事件A的概率用

P（A）表示.

知识点2古典概型

一般地，若试验E具有以下特征：

（1）有限性：样本空间的样本点只有念_；

（2）等可能性：每个样本点发生的可能性—相笠

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为一古典概率一模型,简称_占典概型一.

知识点3古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Q包含〃个样本点，事件A包含其中的上个

样本点，则定义事件A的概率尸⑷脸一

［知识解读］（1）随机试验E中的样本点

①任何两个样本点都是互斥的；

②任何事件（除不可能事件）都可以表示成某些样本点的和.

（2）求解古典概型问题的一般思路

①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的样

本点（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点）；

②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；

③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.

关键能力攻重难

题型探究

题型一古典概型的判断

■典例1下列试验是古典概型的是①②④.

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中可能性大小相等；

②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.

［分析1紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判断.

［解析］①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征.③不是古典概型，因为不符合等

可能性，降雨受多方面因素影响.

［归纳提升］判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征——有限性和等可能

性.

【对点练习】❶下列是古典概型的是(C)

A.任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时

B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将去除的正整数作为基本事件时

C.从甲地到乙地共”条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止

［解析］A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无

限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能

会无限个，故D不是.

题型二古典概型的概率计算

■典例2甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1

男2女.

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2

名教师性别相同的概率；

(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师

来自同一所学校的概率.

［分析1(1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法

求解.

(2)要求选出的2名教师来自同一所学校的概率，应先求出2名教师来自同一所学

校的基本事件.

［解析I(1)甲校2名男教师分别用A,8表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师

用O表示，2名女教师分别用E,尸表示.

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A,。),(A,E),(A,F),

(B,D),(B,E),(B,F),(C,。)，(C,E),(C,F),共9种.

从中选出2名教师性别相同的结果有：(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种，

所以选出的2名教师性别相同的概率为P=14.

(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：(4,B),(A,0,(A,

。)，(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(£>,

£),(D,F),(E,F),共15种.

从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A,B),(A,。，(B,Q,(D,E),(D,

F),(E,F),共6种，所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为尸=9=|.

［归纳提升］1.对于古典概型，任何事件A的概率为：

A包含的基本事件的个数平

"A尸基本事件的总数〃-

2.求古典概型概率的步躲为：

(1)判断是否为古典概型：

(2)算出基本事件的总数〃；

(3)算出事件A中包含的基本事件个数m\

(4)算出事件A的概.率，即P(A)=—.

在运用公式计算时，关键在于求出机、〃.在求〃时，应注意这〃种结果必须是等可能的，

在这一点上比较容易出错.

3.对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题需要

的列举出来分析即可.

【对点练习】❷某旅游爱好者计划从3个亚洲国家4,A2,A3和3个欧洲国家囱，

B2,当中选择2个国家去旅游.

(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括Ai但不包括Bi的概率.

［解析］(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：

HA，42)，(Ai,A3),(Ai,Bi),(Ai,&),(Ai,B3),(A2,A3),(A2,B\),(A2,Bi),(A2,

&),(A3,Bi),(A3,Bi),(As,B3),(Bi,Bi),(Bi,83),(%,&)},共15个.

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：

{(Ai,A2),(A,,A3),{A2,A3)},共3个,

31

则所求事件的概率为

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：

{(Ai,Bi),(Ai,B2),(4,83),(A2,Bi),(A2,&),(A2,氏)，(As,B\),(A3,Bi),(A3,

&)},共9个.

包括Ai但不包括Bi的事件所包含的样本点有：

2

{(4,B2),(AI,共2个，则所求事件的概率为p=§.

题型三较复杂的古典概型的概率计算

■典例3某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需

转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设

两次记录的数分别为x,y奖励规则如下：

指针

①若孙W3,则奖励玩具一个；

②若个》8,则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

(1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

［解析］用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Q与点集S=

((X,y)|xGN,yGN,lWxW4,iWy这4)---对应.

因为S中元素的个数是4X4=16,

所以基本事件总数〃=16.

(1)记“孙W3”为事件A,

则事件A包含的基本事件共5个，即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).

所以尸(A)=亮即小亮获得玩具的概率为需

(2)记“孙28”为事件B,“3和＜8”为事件C.

则事件B包含的基本事件共6个，

即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),

所以P(B)=-^=|.

事件C包含的基本事件共5个，

即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),

所以P(C)=磊,

35

因为QB

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

［归纳提升］解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题

的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：

(1)试脸必须具有古典慨型的两大特征—有限性和等可能性.

(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所

有基本事件.

【对点练习】❸甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩

游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各

抽一张.

(1)设(i,力分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间：

(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游

戏是否公平？说明你的理由.

I解析］(1)方片4用4'表示，试验的样本空间为。={(2,3),(2,4),(2,4'),(3,2),(3,4),

(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4‘，2),(4‘，3),(4‘，4)),则样本点的总数为12.

(2)不公平.甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(4‘，2),(4',3)5种，

甲胜的概率为P尸石5，乙胜的概率为尸2=台7因为方5〈五7，所以此游戏不公平.

易错警示

对“有序”与“无序”判断不准而致错

■典例4甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中3道选择

题，2道填空题，甲、乙两人依次抽取1道题.求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率.

［错解］因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，且甲、

乙两人依次抽取1道题的可能结果有10个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为亲=

3

5'

［错因分析］错解中忽略了甲、乙两人依次抽取1道题与顺序有关，甲从5道题中任抽

1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本事件总数应为20.

|正解|因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，而甲、

乙两人依次抽取1道题的可能结果有20个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为&=

3

To-

I误区警示］在计算基本事件的总数时，若分不清“有序”和“无序”，将会出现“重

算”或“漏算”的错误.突破这一思维障碍的方法是交换次序，看是否对结果造成影响，有

影响是“有序”，无影响是“无序”.

【对点练习】❹小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择

题，共3道，另一种是填空题，共2道.

(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概

率；

(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概

率.

［解析］将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填空题依次编号为4,5.

(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间乌={(1,2),(1,3),

(1,4).(1,5),(2,1),(2,3),(2,4).(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的.

设事件A=”所选的题不是同一种题型”，则事件4={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),

12

(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共12个样本点，所以P(4)=而=0.6.

(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间。2={(1,1),(1,2),

(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),

(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共25个样本点，而且这些样

本点发生的可能性是相等的.

设事件8="所选的题不是同一种题型"，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共

12

12个，所以尸(8)=3=0.48.

10.1.4概率的基本性质

素养目标定方向

素养目标学法指导

1.熟练掌握性质1,性质2.(数学抽象)

当直接求某一事件的概率较为复

2.会判断两个事件的互斥与对立关系.(逻辑推理)

杂时，可转化为求几个互斥事件的

3.能够利用性质3(互斥事件的概率公式)，性质4(对立

概率之和或其对立事件的概率，体

事件的概率公式)求解概率问题.(数学运算)

验了正难则反的思想.

4.能够解决实际生活中的概率问题.(数据分析)

必备知识,探新知

知识点概率的基本性质

性质1对任意的事件A,都有P(A)/O.

性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P9=1,2。)=0.

性质3如果事件A和事件B互斥，那么尸(AUB)=P(A)+P(B).

性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(8)=l-P(A),P(A)=」一

P(B).

性质5如果AUB,那么性A)_W_P(B).

性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)-

P(ACB).

［知识解读］1.概率的加法公式

(1)当A与8互斥(即AB=。)时，有尸(AUB)=P(A)+P(B),这称为互斥事件的概率加法

公式.

(2)一般地，如果4,A2,A”是两两互斥的事件，则尸(AU/UU…UA,“)=P(4)+

P(A2)+-+P(Am).

(3)P(A)+P(A)=1.

2.求复杂事件的概率通常有两种方法

(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；

(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.

关键能力攻重难

题型探究

题型一互斥事件概率公式的应用

■典例1(1)抛掷一个骰子，观察出现的点，设事件A为''出现1点”，3为“出

现2点”.已知P(4)=P(5)=/求出现1点或2点的概率.

(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红

31

球，2只白球”，事件8表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知尸(A)=%,P(B)=j,

求这3只球中既有红球又有白球的概率.

［解析］⑴设事件C为“出现1点或2点”，因为事件48是互斥事件，由C=AUB

可得P(O=P(A)+P(B)=/+3=g,所以出现1点或出现2点的概率是g.

314

(2)因为A,B是互斥事件，所以「(AU8)=P(A)+P(B)=m+5=§,所以这3只球中既

有红球又有白球的概率是三4

［归纳提升I(1)公式P(AUB)=P(A)+P(B),只有当A、8两事件互斥时才能使用，如

果A、8不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“AU8”的意义.

【对点练习】❶经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：

排队人数012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？

(2)至少3人排队等候的概率是多少？

I解析］记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”

为事件C,“3人排队等候”为事件。，“4人排队等候”为事件£,“5人及5人以上排队

等候”为事件尸，则事件A,B,C,D,E,尸两两互斥.

(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=AUBUC,

所以P(G)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)法一：记''至少3人排队等候”为事件H,则H=Z)UEUF,

所以尸(W)=P(OUEUF)=P(0)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

法二：记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(，)=l-P(G)

=0.44.

题型二概率一般加法公式(性质6)的应用

■典例2甲、乙、丙、丁四人参加4X100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四

棒的概率.

［解析］设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，

则尸(A)=；,P(B)=；.

记甲跑第X棒，乙跑第y棒，则结果可记为(x,y),共有12种等可能结果：(1,2),(1,3),

(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).

而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能.即(1,4).

故尸(AnB)=*.

所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率

P(AUB)=尸(A)+P(B)~P(AAB)=1+1-^=p7，

［归纳提升］(1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：

在公式P(AUB)=P(A)+P(B)中，事件A,8是互斥事件；在公式P(AU2)=P(A)+P(B)-

P(AA8)中，事件A,B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助图形理解.

(2)利用概率的一般加法公式P(4U8)=P(A)+P(B)—P(ACIB)求解的关键在于理解两个

事件A,B的交事件ACB的含义，准确求出其概率.

【对点练习】❷在对200家公司的最新调查中发现,40%的公司在大力研究广告效果,

50%的公司在进行短期销售预测，而