广东省江门市江海区礼乐中学2023-2024学年数学高一上期末调研试题含解析

广东省江门市江海区礼乐中学2023-2024学年数学高一上期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B.C. D.2．定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（）A.恒大于0 B.恒小于0C.可正可负 D.可能为03．下列命题中，其中不正确个数是①已知幂函数的图象经过点，则②函数在区间上有零点，则实数的取值范围是③已知平面平面，平面平面，，则平面④过所在平面外一点，作，垂足为，连接、、，若有，则点是的内心A.1 B.2C.3 D.44．过点A（3，4）且与直线l：x﹣2y﹣1＝0垂直的直线的方程是A.2x+y﹣10＝0 B.x+2y﹣11＝0C.x﹣2y+5＝0 D.x﹣2y﹣5＝05．已知集合，则集合中元素的个数是（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个6．已知关于的方程在区间上存在两个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7．16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知，，设，则所在的区间为（是自然对数的底数）（）A. B.C. D.8．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.9．设集合，集合，则等于（）A(1,2) B.(1,2]C.[1,2) D.[1,2]10．若函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位，纵坐标保持不变，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为__________12．计算：（）0+_____13．已知，，则______.14．两平行直线与之间的距离______.15．函数的单调减区间是_________.16．函数的值域是__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程18．已知为奇函数，且（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明19．已知二次函数.（1）若在的最大值为5，求的值；（2）当时，若对任意实数，总存在，使得.求的取值范围.20．已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.（1）求证A1C⊥平面EBD；（2）求二面角B1—BE—A1的正切值.21．已知，函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（Ⅲ）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】可分析单调递减,即将题目转化为在上单调递增,分别讨论与的情况,进而求解【详解】由题可知单调递减,因为在上单调递减,则在上单调递增,当时,在上单调递减,不符合题意,舍去；当时,,解得,即故选C【点睛】本题考查对数函数的单调性的应用,考查复合函数单调性问题,考查解不等式2、A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知选A3、B【解析】①②因为函数在区间上有零点，所以或,即③平面平面，平面平面，，在平面内取一点P作PA垂直于平面与平面的交线,作PB垂直于平面,则所以平面④因为,且,所以,即是的外心所以正确命题为①③,选B4、A【解析】依题意,设所求直线的一般式方程为,把点坐标代入求解,从而求出一般式方程.【详解】设经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为,把点坐标代入可得:,解得,所求直线方程为:.故选:A【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5、C【解析】根据，所以可取，即可得解.【详解】由集合，，根据，所以，所以中元素的个数是3.故选：C6、C【解析】本题首先可根据方程存在两个不同的实数根得出、，然后设，分为、两种情况进行讨论，最后根据对称轴的相关性质以及的大小即可得出结果.【详解】因为方程存在两个不同的实数根，所以，，解得或，设，对称轴为，当时，因为两个不同实数根在区间上，所以，即，解得，当时，因为两个不同的实数根在区间上，所以，即，解得，综上所述，实数的取值范围是，故选：C.7、A【解析】根据指数与对数运算法则直接计算.【详解】，所以故选：A.8、A【解析】因为，且各段单调，所以实数的取值范围是，选A.点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解9、B【解析】由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.10、B【解析】由题设可得，根据已知对称性及余弦函数的性质可得，即可求的最小值.【详解】由题设，关于轴对称，∴且，则，，又，∴的最小值为.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4050【解析】设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益：当时，最大，最大值为，即当每车辆的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是，故答案为.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是：将租赁公司的月收益表示为关于每辆车的月租金的函数，然后利用二次函数的性质解答.12、【解析】根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.【详解】依题意，原式.故答案为：【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13、【解析】把已知的两个等式两边平方作和即可求得cos（α﹣β）的值【详解】解：由已知sinα+sinβ＝1①，cosα+cosβ＝0②，①2+②2得：2+2cos（α﹣β）＝1，∴cos（α﹣β），故答案为点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题14、2【解析】根据平行线间距离公式可直接求解.【详解】直线与平行由平行线间距离公式可得故答案为:2【点睛】本题考查了平行线间距离公式的简单应用,属于基础题.15、##【解析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.【详解】令，根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.故答案为：.16、【解析】利用换元法，将变为，然后利用三角恒等变换，求三角函数的值域，可得答案.【详解】由，得，可设，故，不妨取为锐角，而，时取最大值），，故函数的值域为，故答案为:.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25（2）yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝0【解析】（1）设圆心C（a，b），半径为r，然后根据条件建立方程组求解即可；（2）分直线l经过原点、直线l不经过原点两种情况求解即可.【小问1详解】根据题意，设圆心C（a，b），半径为r，标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上，则有，解可得，则圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，小问2详解】若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，分2种情况讨论：①直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有5，解得k，此时直线l的方程为yx；②直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y﹣m＝0，则有5，解得m＝7+5或7﹣5，此时直线l方程为x+y+57＝0或x+y﹣57＝0；综合可得：直线l的方程为yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝018、（1）；（2）递减，见解析【解析】(1)函数是奇函数，所以，得到，从而解得；(2)在区间上任取两个数，且，判断的符号，得到，由此证明函数的单调性.详解】(1)由题意知，则，解得；(2)函数在上单调递减，证明如下：在区间上任取两个数，且，因为，所以即，，所以即，函数在上单调递减.【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数，利用定义证明函数的单调性，属于基础题.19、（1）2；（2）.【解析】（1）时，；当时，根据单调性可得答案；（2）依题意得，当、时，利用的单调性可得答案；当和时，结合图象和单调性可得答案.【详解】（1）当时，，因为，故，；当时，对称轴，在上单调递减，所以，不合题意，舍去，综上可得：.（2）依题意得：，即，.①当时，对恒成立，所以，即；②当时，对恒成立，所以，即；③当时，对恒成立，所以，即；④当时，对恒成立，所以，即；综上所述，的取值范围为.【点睛】本题考查了二次函数恒成立的问题，所谓“动轴定区间法”，轴动区间定：比较对称轴与区间端点的位置关系，根据函数的单调性数形结合判断取得最值的点，需要分类讨论.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先证明平面，则，再证明平面，则，从而即可证明A1C⊥平面EBD；（2）由平面，又，则，进而可得是二面角平面角，在中，求出，即可在中求出，从而即可得答案.【小问1详解】证明：平面，，又，，平面，，又平面，，且，，平面，，又，A1C⊥平面EBD；【小问2详解】解：平面，又，是二面角的平面角，在中，，在中，，.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）当时，利用对数函数的单调性，直接解不等式即可；（Ⅱ）化简关于的方程，通过分离变量推出的表达式，通过解集中恰有一个元素，利用二次函数的性质，即可求的取值范围；（Ⅲ）在上单调递减利用复合函数的单调性求解函数的最值，令，化简不等式，转化求解不等式的最大值，然后推出的范围.【详解】（Ⅰ）当时，，∴，整理得，解得．所以原不等式的解集为.（Ⅱ）方程，即为，∴，∴，令，则，由题意得方程在上只有一解,令,,转化为函数与的图象在上只有一个交点.则分别作出函数与的图象，如图所示结合图象可得，当或时，直线y=a和的图象只有一个公共点，即方程只有一个解所以实数范围为.（Ⅲ）因为函数在上单调递