天津市师中师教育集团2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题(含答案)

师中师第三次月考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.“”是“方程表示圆的方程”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（）A.64 B.65 C.66 D.674.函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.5.已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.6.已知某地市场上供应的洗衣机中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%.甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是（）A.0.16 B.0.72 C.0.76 D.0.887.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于（）A. B. C. D.8.已知函数，则有下列结论：①的最小正周期为②f的图像关于点对称③在单调递增④把的图像上的所有点向右平移个单位长度，再向上平移个单位，可得到的图像，其中所有正确结论的编号是（）A.①④ B.②④ C.①③ D.①③④9.已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共30分）10.是虚数单位，则复数__________.11.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为，则二项展开式中的常数项为__________.12.设函数，则的值为__________.13.2023年深秋，鼻病毒、肺炎支原体、呼吸道合胞病毒、腺病毒肆虐天津各个高中.目前病毒减员情况已经得到缓解，为了挽回数学课程，市教委决定派遣具有丰富教学经验的四支不同的教师队伍A、B、C、D，前往四所高中E、F、G、H进行教学指导，每支教师队伍到一所高中，那么总共有_________（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A教师队伍被派遣到H高中，那么此时B教师队伍被派遣到E高中的概率是________.14.已知，，两圆和只有一条公切线，则的最小值为__________.15.如图，在四边形中，，，，，，则___________；设，则___________.三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题14分）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且.（Ⅰ）求.（Ⅱ）若，，求的面积.（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值.17.（本小题15分）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点.若，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题15分）已知为数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，若，求的最小值.19.（本小题15分）已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列，（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和；（3）若数列满足，求证：.20.（本小题16分）已知函数.（1）若，恒成立，求的取值范围；（2）证明：对任意，；（3）讨论函数零点的个数.师中师第三次月考答案【答案】1.C2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.A9.C10.11.24012.613.24；14.915.0；616.解：（Ⅰ）因为，所以，所以，由正弦定理可得，；（Ⅱ）由余弦定理可得，，整理可得，，解可得，，因为，所以.（Ⅲ）由于，.所以.17.（1）证明：设为的中点，连接，，∵F，G分别是，的中点，四边形是矩形，∴，，又∵为的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）解：因为平面，则F到平面的距离等于点A到平面的距离，设点A到平面的距离为h，∵平面，平面，平面，∴，，∵，，点E为中点，则，，，则，，因为，即，解得，∴F点到平面的距离为；（3）解：∵平面，平面，∴平面平面，又，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又，是的中点，∴，∵，平面，平面，∴平面.由，∴平面，∵平面，则平面平面，在平面内，过作于H，又平面平面，平面，则平面，∴是与平面所成的角∵在中，，，∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.18.解：（1）当时，，解得，，所以，即，又因为，所以，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）由（1）可得，所以，因为，即，所以，因为，所以，所以的最小值为10.19.解：（1）数列满足，，所以（常数），故数列是首项为1，公差为1的等差数列，故.数列是公比为的正数的等比数列，，且，，8成等差数列.所以，解得.所以数列是首项为2，公比为2的正数的等比数列.所以.故：，.（2）数列满足，由（1）得，，所以，∴；（3）证明：数列满足，所以，故.20.解：（1），（ⅰ）当时，，，函数在单调递减，所以恒成立；（ⅱ）当时，，，函数在单调递减，所以恒成立；（ⅲ）当时，有两根，且.不妨设，则函数在单调增，这与矛盾，所以不成立，综上可得.（2）由（1）