2022年湖南省中考数学模拟检测试卷（含答案）

北京中考数学模拟检测试卷

（含答案）

（时间：120分钟分数：120分）

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.在2018政府工作报告中，总理多次提及大数据、人工智能等关键词，经过数年的爆发

式发展，我国人工智能在2017年迎来发展的“应用元年”，预计2020年中国人工智能

核心产业规模超1500亿元，将150000000000用科学计数法表示应为

A.1.5x102B.1.5x101°C.1.5x10"D.1.5xl012

2.如果代数式之二马的结果是负数，则实数x的取值范围是

X'+1

A.x>2B.x<2C.xw-1D.尤<2且xN-1

3.下列各式计算正确的是

A.a+la=3a4B.a2-a3=o'C.a'-J-cT=aD.(o2)3=

4.边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则NA8。的度数为

6.数轴上分别有4B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，同bc<0,

ABC

则原点的位置；b~~^^

A.点A的左侧B.点A点B之间C.点B点C之间D.点C的右侧

7.如图，已知点A,B,C,。是边长为1的正方形的顶点，连接任意两点均可得到一条线

段，以下的树状图是所有可能发生的结果，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,

取到长度为1的线段的概率为

开始

4?

1个顶点

B另一顶点

8.某中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在200米的环形跑道上进行，下图记

录了跑得最快的一位选手与最慢的一位选手的跑步全过程（两人都跑完了全程），其中x

代表的是最快的选手全程的跑步时间，y代表的是这两位选手之间的距离，下列说不合理

的是

A.出发后最快的选手与最慢的选手相遇了两次；

B.出发后最快的选手与最慢的选手第一次相遇比匕

第二次相遇的用时短；

C.最快的选手到达终点时，最慢的选手还有415米未跑；,、/----------7'46",15）

D.跑的最慢的选手用时4'46".4...............

0ABCX

二、填空题（本题共16分，每小题2分）”

9.两个三角形相似，相似比是如果小三角形的面积是9,那么大三角形的面积是.

2

10.写出一个不过原点，月j随x的增大而增大的函数.

11.如果3/+4a-l=0,那么(2“+Ip-(4—2)(°+2)的结果是

12.某生产商生产了一批节能灯，共计10000个，为了测试节能灯的使用寿命（使用寿命大

于等于6000小时为合格产品），从中随机挑选了100个产品进行测试，有5个不合格

产品，预计这批节能灯有个不合格产品

13.如图，。。的直径CD垂直弦A8于点E,

且CE=2,AB=8,贝I」OB的长为.

14.某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用D了12000元,

《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少

元？

设西游记每套x元，可列方程为.

15.如图：己知用A钻C,对应的坐标如下，

请利用学过的变换（平移、旋转、轴对称）知识

经过若干次图形变化，使得点A与点E重合、

点B与点D重合，写出一种变化的过程.

16.以下是通过折叠正方形纸片得到等边三角形的步骤

取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：如图，先把正方形ABCD对折，折痕为

第二步：点E在线段MD上，将沿EC翻折，

点D恰好落在MN上，记为点P,连接BP

可得△8CP是等边三角形

问题：在折叠过程中，可以得到PB=PC；

依据是.

三.解答题（共7小题，满分56分）

19.（5分）已知分式（一^^一）+—常一，及一组数据：-2,-1,1,2,

x+1X-1X-1

0.

（1）从已知数据中随机选取一个数代替X,能使已知分式有意义的概率是多少？

（2）先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个你喜欢的，且使已知分式有

意义的数代替x求值.

20.（8分）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy,aABC的

三个顶点都在格点上，点A的坐标（4,4）,请解答下列问题：

（1）画出^ABC关于y轴对称的△AiBiCi,并写出点Ai、Bi、Ci的坐标；

（2）将aABC绕点C逆时针旋转90°,画出旋转后的AAzB2c2，并求出点A到

A2的路径长.

21.（8分）为了解2012年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权"笔

试情况，随机抽查了部分参数同学的成绩，整理并制作如下统计图：

请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为;

（2）补全频数分布直方图；

（3）在扇形统计图中，m=,分数段60Wx<70的圆心角=。；

（4）参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推

断他的成绩落在分数段内；

（5）如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该竞赛项目的优

秀率大约是.

22.（8分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处

测得建筑物顶部的仰角是a,然后在水平地面上向建筑物前进了m米，此时自B

处测得建筑物顶部的仰角是依已知测角仪的高度是n米，请你计算出该建筑物

的高度.

23.（13分）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角

顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于

Q.

探究：设A、P两点间的距离为X.

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的

猜想；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关

系，并写出函数自变量X的取值范围；

（3）当点P在线段AC上滑动时，^PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,

指出所有能使APCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不

可能，试说明理由.

24.（14分）已知，抛物线y=ax?+ax+b（a#0）与直线y=2x+m有一个公共点M

（1,0）,且aVb.

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a=-l时，直线y=-2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点

对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t>0）,若线段GH与抛物线有

两个不同的公共点，试求t的取值范围.

25.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c（c>0）的图象与x轴交于A、B两点（点

A在点B的左侧），与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若

OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式，并写出m的取值

范围；

（3）探索：线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形？如果存在，求

出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.

数学答案及评分参考

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

题号12345678

答案CBCADCDD

二'填空题（本题共16分，每小题2分）

题号91011121314

答案不唯一

答案3665005100(X4-16)+80x=l2000

例：

题号15

答案不唯一（例：先将4ABC以点B为旋转中心顺时针旋转90,再将得到的图形向右平移2个单

答案

位向下平移2个单位即可）

题号16

答案线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

三.解答题（共7小题，满分56分）

以（5分）已知分式（会婚）+七,及一组数据：-2,--，2,

0.

（1）从已知数据中随机选取一个数代替x,能使已知分式有意义的概率是多少？

（2）先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个你喜欢的，且使已知分式有

意义的数代替x求值.

【分析】（1）根据分式有意义的条件及概率公式即可得出结论；

（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，由分式有意义的条件选出合

适的x的值代入进行计算即可.

【解答】解：（1）•••分式有意义，

.'.X2-1W0,即xW±l,

...使已知分式有意义的概率=1•；

5

x(x-l)+x+l

(2)原式=-(x+1)(x-1)

(x+1)(x-1)

=x2-x+x+1

=x2+l,

当x=0时，原式=1.

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的

关键.

20.（8分）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy,AABC的

三个顶点都在格点上，点A的坐标（4,4）,请解答下列问题：

（1）画出aABC关于y轴对称的△AiBiJ,并写出点Ai、Bi、J的坐标；

（2）将aABC绕点C逆时针旋转90°,画出旋转后的4A2B2c2，并求出点A到

A2的路径长.

【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；

（2）分别作出点A、B绕点C逆时针旋转90。得到其对应点，再顺次连接可得,

绕后利用弧长公式计算可得答案.

(2)如图所示，^A2B2c2即为所求，

22O

CA=71+3=VTO^ZACA2=90,

...点A到A2的路径长为"三塞=与儿

1802

【点评】本题主要考查作图-轴对称变换、旋转变换，解题的关键是熟练掌握轴

对称变换和旋转变换的定义和性质及弧长公式.

21.(8分)为了解2012年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目"知识产权〃笔

试情况，随机抽查了部分参数同学的成绩，整理并制作如下统计图:

请根据以上图表提供的信息，解答下列问题:

(1)本次调查的样本容量为为0

(2)补全频数分布直方图；

(3)在扇形统计图中，m=30,分数段60WxV70的圆心角=36°；

（4）参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推

断他的成绩落在80WxV90分数段内；

（5）如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该竞赛项目的优

秀率大约是60%.

【分析】（1）利用第一组的频数除以频率即可得到样本容量；

（2）根据80WXV90组频数即可补全直方图；

（3）904-300即为70WxV80组频率，可求出m的值，利用360。乘以对应的比

例求得分数段60<xV70的圆心角；

（4）根据中位数定义，找到位于中间位置的两个数所在的组即可.

（5）将比赛成绩80分以上的两组数的频率相加即可得到计该竞赛项目的优秀率.

【解答】解：（1）此次调查的样本容量为30・0.1=300；

（2）第三组的频数是300-30-90-50=120.

八频数（人）

120----------------------------------

90-------------I----------------

60----------1---

30--------—.一—一"一-［一.

引M6/70£分数（分）

（3）70Wx<80一组的百分比是：=0.3=30%,则m=30,

JUU

分数段60Wx<70的圆心角是360°X券=36°；

故答案是:30,36；

（4）中位数为第150个数据和第151个数据的平均数，而第150个数据和第151

个数据位于80Wx<90这一组，故中位数位于80WxV90这一组，

故答案是：80WXV90；

（5）将80^x<90和90^x^100这两组的频率相加即可得到优秀率，优秀率为

60%.

【点评】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频率分布表、中位数等

知识，要具有读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计

图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决

问题.

22.（8分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处

测得建筑物顶部的仰角是a,然后在水平地面上向建筑物前进了m米，此时自B

处测得建筑物顶部的仰角是依已知测角仪的高度是n米，请你计算出该建筑物

的高度.

【分析】首先由题意可得BE=一笔，AE=TI,又由AE-BE=AB=m米，即可

tanptana.

得T——4=m，继而可求得CE的长，又由测角仪的高度是n米，即可求

tanatanp

得该建筑物的高度.

【解答】解：由题意得：AE=备,

VAE-BE=AB=m米,

CECE

=m（米）,

tanatanp

.CE_Rtma.tan6

（米），

tan8-tanCI

VDE=n米,

・rotanCI*tanP

，・CD=-------p---------—+n（米）.

tanp-tana

.••该建筑物的高度为：吁+n）米.

tanP-tand

【点评】此题考查了仰角的应用.注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角

形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.

23.（13分）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角

顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于

Q.

探究：设A、P两点间的距离为x.

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的

猜想；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关

系，并写出函数自变量x的取值范围；

（3）当点P在线段AC上滑动时，^PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,

指出所有能使^PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不

可能，试说明理由.

【分析】（1）PQ=PB,过P点作MN〃BC分别交AB、DC于点M、N,可以证明

RtAMBP^RtANPQ；

（2）S四边形PBCQ=SAPBC+SAPCQ分别表示出4PBC于APCQ的面积就可以.

（3）ZiPCQ可能成为等腰三角形.①当点P与点A重合时，点Q与点D重合,

PQ=QC,

②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，就可以用x表示出面积.

【解答】解：（1）PQ=PB,（1分）

过P点作MN〃BC分别交AB、DC于点M、N,

在正方形ABCD中，AC为对角线，

，AM=PM,

XVAB=MN,

，MB=PN,

VZBPQ=90°,

/.ZBPM+ZNPQ=90°；

XVZMBP+ZBPM=90°,

，NMBP=NNPQ,

在RtAMBP^RtANPQ中，

[ZPMB=ZPNQ=90°

VBM=PN

IZMBP=ZNPQ

/.RtAMBP^RtANPQ,（2分）

，PB=PQ.

+

（2）"."S四边形PBCQ=SAPBCSAPCQ>

VAP=x,

/.AM=^X,

2

/.CQ=CD-2NQ=1-扬,

又七.二冬加乂丹・1・（1-乎x）=*-亚x,

4

SAPCQ=yCQ«PN=y（1-折）・（1-亨（），

,12.372+1

24x2

・•・S四边形PBCQ=；X?一V^+L（OWxW~^）.

（4分）

乙乙

（3）APCQ可能成为等腰三角形.

①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，

PQ=QC,此时,x=0.（5分）

②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，（6分）

有：QN=AM=PM=^x,CP=V^-x,CN=^：P=1-返x,CQ=QN-CN=^x-（1

2222

...当亚-x=-1时，x=l.（7分）.

【点评】此题主要考查正方形及直角三角形的性质及全等三角形的判定方法的综

合运用.

24.(14分)已知，抛物线y=ax?+ax+b(aWO)与直线y=2x+m有一个公共点M

(1,0),且aVb.

(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示)；

(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式；

(3)a=-l时，直线y=-2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点

对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有

两个不同的公共点，试求t的取值范围.

【分析】(1)把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示

出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；

(2)把点M(1,0)代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析

式，消去y,可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a

<b,判断aVO,确定D、M、N的位置，画图1,根据面积和可得△DMN的面

积即可；

(3)先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2,先联立方程组可求得当GH

与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t

的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围.

【解答】解:(1)..,抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),

a+a+b=O,即b=-2a,

/.y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+-1-)2-

•••抛物线顶点D的坐标为(-★,-半)；

(2)•.•直线y=2x+m经过点M(1,0),

0=2X1+m,解得m=-2,

y=2x-2,

,fy=2x-2

则2.

y=ax+ax-2a

得ax2+(a-2)x-2a+2=0,

...(x-1)(ax+2a-2)=0,

解得x=l或x=2-2,

a

***N点坐标为(―-2,--6),

aa

Va<b,艮|Ja<-2a,

Aa<0,

如图1,设抛物线对称轴交直线于点E,

♦・•抛物线对称轴为炸-缜二-士，

Naz

二・E(--3)，

2

94

VM(1,0),N(—-2,--6),

aa

设△DMN的面积为S,

•cc+c_1I21.9a/i_27327

.•S=SADEN+SDEM--I(r--2)~1•~—--C-3)|=——------—

A2a44a8

(3)当a=-1时，

抛物线的解析式为:y=-x2-x+2=-(x-y)2+-1,

f2

有［产-x-x+2,

y=-2x

-x2-x+2=-2x,

解得:Xi=2,X2=-1,

AG(-1,2),

,点G、H关于原点对称，

AH(1,-2),

设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t,

-x2-x+2=-2x+t,

x2-x-2+t=0,

△=1-4(t-2)=0,

当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1,0）,

把（1,0）代入y=-2x+t,

t=2,

•••当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2WtV?.

4

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、

根的判别式、三角形的面积等知识.在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是

解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题

的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关

键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大.

25.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c（c>0）的图象与x轴交于A、B两点（点

A在点B的左侧），与y轴交于点C,且0B=0C=3,顶点为M.

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若

OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式，并写出m的取值

范围；

（3）探索：线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形？如果存在，求

出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.

【分析】（1）可根据OB、0C的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即

可求出抛物线的解析式.

(2)可将四边形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC两部分来求解.先

根据抛物线的解析式求出A点的坐标，即可得出三角形AOC直角边0A的长，据

此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S