2022年高考数学痛点问题训练《12 三角形的心的千万应用》（解析版）

专题12三角形的心的千万应用

【基本知识】

名称定义性质

重心三角形各边的中线的交点重心为任意三角形的中线的三分点

外心三角形各边的中垂线的交点外心到三个顶点的距离相等，外接圆的半径

内心三角形各边的角分线的交点内心到各边的距离相等，内切圆的半径

垂心三角形各边的垂线的交点垂心和顶点的连线与对应的边垂直，即为高

1.重心G的性质：（1）重心G是中线的三等分点；（2）GA+GB+GC^Q；

⑶若4%,y）、8（々,>2）、C5，％），则6%+2+/,凹+.'：+-

2.等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。等边三角形四心合一。

3.射影定理：a-hcosC+ccosB

b=acosC+ccosA

c—acosB+bcosA

4.角平分线定理：A£>为AA3C的角平分线，则

ABBD

~AC~~CD

一、求三角形的外接圆的半径

1、直角三角形

（1）如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.

（2）如果三角形一个边的中点到三角形的三个顶点距离相等，那么这个三角形为直接三角形；

2.等边三角形，其外接圆的圆心就是其中心（重心，垂心，内心），设等边三角形的变成为a,则其中线上

为；重心到底边的距离为：三角形的面积为：。

3.任意三角形的外接圆半径，通过正弦定理求解.

二'求三角形的内切圆的半径

1、直角三角形:AABC外接圆。。的半径为空譬.

2

2.一般三角形:利用等面积，已知三边的长度利用公式Js(s-a)(s-b)(s-c)(其中$=彗上)可求面积

112S

已知边和夹角一a方sin8=—c周长r=r=——1

22C周长

三.直角三角形中的结论：

(1)两锐角互余，即A+B=90°。

(2)30°角所对直角边等于斜边的一半。

(3)勾股定理：a2+Z>2=c2.

(4)斜边上的中线等于斜边的一半，外接圆的圆心为斜边的中点，垂心为直角顶点。

(5)如图可得：RtMBCsRtMCDsRtMJBD

(6)由(2)可得直角三角形中的射影定理：

AC2=ADABBC2=BDBACD2=DA-DB

四.平面向量与三角形的心

1.重心(barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比

为2：la

若G为A48C所在平面内一点，^GA+GB+GC=O

oG是三角形的重心，

证明：设80中点为。，则2劭=丽+觉

GA+GB+GC=O<^-GA=GB+GC

:.-GA^2GD,

这表明，G在中线A0上，

同理可得G在中线BE,CF上

故G为AA3C的重心

结论2：

若P为A48C所在平面内一点，则=；（PA+P4+PC）,

<=>G是A4BC的重心

证明:而=；（阳+而+定）=（丐一百）+（所-而）+（所—正）=6

<^GA+GB+GC=6

oG是A43C的重心

2、垂心（orlhocenter）三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：

若H为A46C所在平面内一点，则瓦1丽=丽・阮=近.丽

o"是AABC的垂心

证明:加•“月=〃从从（两一"。）=0

oHBAC^OoHBlAC

同理，有HALCB,HC上AB

故”为三角形垂心。

A

结论4：

若H为AA8C所在平面内一点，则不始+BC=HB+AC^HC'+AB,

0H是AABCfi勺垂心

证明：由而2+BC2=HB2+CA2^,HA2+(HB-HC)2^HB2+(HC-HA)2

<^HBHC=HCHA

同理可证得，雨HB^HBHC^HCHA

由结论3可知命题成立

3、外心(circumcenter)

三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：

若。是A4BC所在平面内一点，则|方卜\0B\=\0C\o。是A4BC的外心

证明：由外心定义可知命题成立

结论6：

若。是AA3C所在平面内一点，则

COA+OB）BA^（OB+OC）CB^（OC+OA）AC<^。是AABEj外心

证明:•.•（方+丽・丽=（方+OBXOA-丽）=|研-阿

----♦.•I»|2।——*|2...I・]2I——*|2

：.（OB+OC）CB^\OB\-|OC|,（OC+OA）-AC^\OC\-\OA\

故同2T的2T函2—函2=函2T礴

n网=|函=函

故。为澳8球外心

A

4、内心（incenter）三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心，即内切圆的圆心。

结论7：

若P为A48C所在平面一点，则

OP是儿46。勺内心

证明：记通，恁方向上的单位向量分别为不,

/____\

-►—►ABAC—__

OP—OA+4〔।网“+卜1支=AP=4（G+«2）

由平行四边形法则知,（1+豢）在AB,AC边夹角平分线上

即P在N4平分线上同理可得，P在NB,N。的平分线上故P为AABC的内心

结论8：

若P是AABC所在平面内一点,则a西+人而+c定=。

oP是A4B球内心

证明：不妨设丽=4斤

aPA+bPB+cPC^Q^a(PD+DA)+h(PD+DB)+cPC^O

=>(Aa+4。+c)PC+(aDA+bDB)=6

由于定与方，而不共线，则

4a+4b+c=0,aDA+bDB=6

DAb

即==g由角平分线定理，CO是NAC加勺平分线

DBa

同理可得其他的两条也是平分线

故P是A4BC的内心

五.立体几何中的三角形的心

1.三棱锥顶点在底面的射影

条件结论（顶点在底面的射影）

三棱锥的三条侧棱相等外心

三棱锥的三条侧棱互相垂直垂心

三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等（线面角）外心

三棱锥的三个侧面与底面所成二面角相等（二面角）内心

三棱锥的侧棱与底面三角形同交点的边所成角相等（线线角）射影落在对应角的角分线上

2.正四面体与球

如图,设正四面体的棱长为内切球的半径为r,外接球的半径为民取AB的中点O,连接CASE为正四面体的

高,在截面三角形SDC内作一个与边SROC相切，圆心在高SE上的圆。.因为正四面体本身的对称性,内切球

和外接球的球心同为。.此时,CO=OS=R,OE=r,又SE=J，,CE=*z,则有R+r=l|a,R2-户=|CE|2■，解得

DV6y/6

R二——a,r-——a

412

3.正方体与球

（1）正方体的内切球:截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示.设正方体的棱长为〃，则

|OJ|=r=出r为内切球半径）.

（2）与正方体各棱相切的球:截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|=R=wa.

叵

⑶正方体的外接球:截面图为正方形ACCA的外接圆，则|A[O|=R'=3a

4.三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球

（1）若三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的

外接球的球心.即三棱锥Ai-ABiDi的外接球的球心和正方体ABCD-A\B\C\D\的外接球的球心重合.如图，设

M=a，则R与i.

（2）若三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的

外接球的球，心.尺2=必”《=。（/为长方体的体对角线长）.

44

【基本技能】

八个有趣模型—搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(27?)2=〃+匕2+C2,即2/?="2+从+,2,求出火

例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是()

A.16万B.20〃C.24%D.32"

解：V=a2h=16.a-2,47?2=cr+cr+hr=4+4+16=24,S=24〃，选C；

引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

如图(3)-1,取AB,BC的中点£>,E,连接AE,CD，AE,CD交于H,连接S”，则H是底面正三角

形ABC的中心，.•.平面ABC,二

vAC^BC,..CDLAB,二A3,平面SO,

ABVSC,同理：BC1SA,AC1SB,即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2,•/AM1MN.SB//MN,

AMA.SB,vACLSB.SB1平面S4C,

SBISA,SB工SC,­：SBISA,BC1SA,

SA,平面SBC,SALSC,

故三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直。

（4）在四面体S-ABC中，SAL平面ABC,N84C=120°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球

的表面积为（D）Albr及7万C.W乃D.—7T

33

（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何

体外接球的体积为

解析：(4)在AABC中，BC2=AC2+AB2-2ABBCCOS120U=7.

BC_77_2V7

BC=EAABC的外接球直径为2r

sinABACV3V3

2

箸2+4号S当，选D

（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c（a,b,c&R+）,则

ab-\2

<bc=8»abc-24>a-3)b-4<c=2,(27?):=a2+b2+c2=29>S-4^/?2—29TT)

ac-6

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1.题设：如图5,平面ABC

图5

解题步骤:

第一步：将A43c画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直

径A。，连接PZ),则必过球心。；

第二步：q为A4BC的外心，所以。。,平面ABC,算出小圆。的半

径=「(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

—==—^=2r),Oq」PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①RR。=+(2月202H=+0r门:

②R?=r2+OO,2oR=M+OO：

2.题设：如图6,7,8,P的射影是AABC的外心o三棱锥P-ABC的三条侧棱相等o

三棱锥P—ABC的底面AA8C在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点

第一步：确定球心。的位置，取AA3C的外心。厂则P,。,。三点共线；

第二步：先算出小圆Q的半径AQ=「，再算出棱锥的高2。=力(也是圆锥的高);

第三步：勾股定理：Q42=0^2+0,02=>??2=(/z-/?)2+r2,解出R

方法二：小圆直径参与构造大圆。

例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）C

16%

A.3〃B.2〃C.---D.以上都不对

3

解：选C,(V3-/?)2+l=/?2,3-2V3/?+/?2+l=l?2,4-2回=0,

R=《.S=4成216

一71

3

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

1.题设：如图9-1,平面PAC_L平面A8C,且ABLBC（即AC为小圆的直径）

第一步：易知球心。必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径4c=2「；

第二步：在APAC中，可根据正弦定理一生=—2_=上-=2R，求出R

sinAsinBsinC

2.如图9-2,平面尸AC,平面ABC,且（即AC为小圆的直径）

222

OC=OtC+OtOoR2=r2+002oAC=2』R2-OQ2

3.如图9-3,平面尸AC,平面ABC,且A3,5c（即AC为小圆的直径），且P的射影是AA8C的外

心o三棱锥P-ABC的三条侧棱相等o三棱P-ABC的底面A4BC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥

的顶点

解题步骤：

第一步：确定球心。的位置，取AABC的外心。厂则P,。,Q三点共线;

第二步：先算出小圆01的半径4Q=r,再算出棱锥的高P01="(也是圆锥的高);

第三步：勾股定理：OA2=0^2+0,02=>R2^(h-R)2+r2,解出H

4.如图9-3,平面PAC_L平面ABC,且AB_L5C(即AC为小圆的直径)，且PALAC,则

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2=PA2+(2r)2。2/?="投片+(2»2；

②R2=y+00：OR=dr2+OO；

例3(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为2百，则该球的表面积为

(2)正四棱锥S-ABC。的底面边长和各侧棱长都为近，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为—

解：(1)由正弦定理或找球心都可得2R=7,S=4成2=49万,

47r

(2)方法一：找球心的位置，易知厂=1,h=l,h=r,故球心在正方形的中心ABC。处，R=l,V=—

3

方法二:大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是ASAC的外接圆，此处特殊，R/ASAC的斜边是球半径，2R=2,

4万

R=l,V=——

3

(3)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的求面上,AABC是边长为1的正三角形,SC为球。的直径,

且SC=2,则此棱锥的体积为()A

V2

A.V■~T

解:电.亚=也

333436

任意三角形)

第一步：确定球心。的位置，。|是AA3C的外心，则平面ABC；

第二步：算出小圆。।的半径A。=r,00=344(A4=//也是圆柱的高)；

第三步：勾股定理：QI?=4勾2+002=：2=(g)2+产=R=J-+(g)2,解出R

例4(1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,

9

且该六棱柱的体积为底面周长为3,则这个球的体积为

8

解：设正六边形边长为。，正六棱柱的高为/?，底面外接圆的关径为「，则。=,，

2

击石U(6/1\23Acz3V3.9fT2/V32/1\21

底血枳为S—6(—)----,Vg—Sh------h--,h—\3,R—(---)+(一)—1,

4288822

47r

R=l,球的体积为V

3

(2)直三棱柱ABC—A4G的各顶点都在同一球面上，若A6=AC=A4,=2,NB4C=120°,则此球

的表面积等于。

解：BC=2y/3,2r=-2岳“=4,r=2,R=45,S=20万

sin1200

(3)已知AEAB所在的平面与矩形ABC。所在的平面互相垂直，EA=EB=3,AD=2,ZAEB=60°,则

多面体E-ABC。的外接球的表面积为。

E

解析：折叠型，法一："AB的外接圆半径为八=石，00,=1,

_______C/lQO1Q

R=J1+3=2；法二：0,M=,r,=0,D=■——,R2=—I---=4,R=2,S=16%

222244

类型五、折叠模型

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)

图11

第一步：先画出如图所示的图形，将ABCD画在小圆上，找出ABCD和的外心M和”2；

第二步：过和"2分别作平面BCD和平面43。的垂线，两垂线的交点即为球心。，连接OE,OC；

第三步：解△。七”1,算出所|,在火必。。〃］中，勾股定理：OH；+CH；=0C?

例5三棱锥P-4BC中，平面P4C_L平面ABC,△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥

P-ABC外接球的半径为.

2421

解析：病=百’百02H

4=22=百’

2八rj22145J15

RD=0、H+r,——I——一，R=-----

3333

1H

法二：0#=73°'=iAH^l,

心从心心+^炉+西号，R=半

类型六、对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（A3=CD,AD=BC,AC=BD）

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为。，"c,AD=BC=x,AB=CD^y,AC=BD=z,列方程组,

a-+b2=x2

22

=y2n(2R)2=a2+b2+C2='+)+Z

c+〃“=z

图12

补充：VA-BCD=abc-工abc义4='abc

63

第三步：根据墙角模型，2R7a2S+c2x-+y-+z-

例如，正四面体的外接球半径可用此法。

例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角

形（正四面体的截面）的面积是.

（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正

三棱锥的体积是（）

解：（1）截面为APCO-面积是收；

⑴题解答图

(2)高〃=R=1,底面外接圆的半径为R=l,直径为2R=2,

设底面边长为。，则2/?=—^=2,"5s3淮

sin6044

1/0

:燧他的体,收为1/=—5/?二卫二

34

(3)在三棱锥A—BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,则三棱锥A—BCD外接球的表面

积为。一K

2

解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,仇c,则"+"2=9,

22222

/+02=4,c+a=16:.2(/+〃+。2)=9+4+16=29,2(a+&+c)=9+4+16=29,

,,,,29,2929

a"+b~+c2=—,4R-=—,S=—n

222

(4)如图所示三棱锥A-38,其中AB=CO=5,AC=5O=6,AO=BC=7,则该三棱锥外接球的表

面积为.

解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c,

2(。2+〃+。2)=25+36+49=110,a2+b2+c2=55,4々=55,5=55%

【55乃；对称几何体；放到长方体中】

(5)正四面体的各条棱长都为正，则该正面体外接球的体积为

解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R=6,

436g

R一冗------------7C,

咚"382

类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型

题设：ZAPB=ZACB=9Q°,求三棱锥P—ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点0,连接

OP,OC,则。4=0B=0C=0P=gAB,.•.。为三棱锥P-A3C外接球球心，然后在0CP中求出半

径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。

例7（1）在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角3-AC-。，则

四面体ABC。的外接球的体积为（）

125125125125

A.7tB.7tC.71D.71

12963

解：（1）2R=AC=5,/?=-,V=3成3=3乃•/,选C

23386

类型八、锥体的内切球问题

1.题设：如图14,三棱锥P-A3C上正三棱锥，求其外接球的半径。

图14

第一步：先现出内切球的截面图，E”分别是两个三角形的外心；

第二步：求DH=1BD,PO^PH-r,PD是侧面A4BP的高；

3

°FPC）

第三步：由APOE相似于APOH,建立等式：—,解出r

DHPD

2.题设：如图15,四棱锥尸-ABC上正四棱锥，求其外接球的半径

图15

第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；

第二步：求/H=PO^PH-r,Pf是侧面APCD的高;

2

第三步：由APOG相似于改尸"，建立等式：—,解出

HFPF

3.题设：三棱锥P-A8C是任意三棱锥，求其的内切球半径

方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为r,建立等式：VP_ABC=VO_ABC+VO_PAB++VO_PBC

^P-ABC=§^MBC.'+§SpAB,厂+§PAC.'+§SPBC,「=§BMBC+^APAB+PAC+^APBc),r

3Vp-ABC

第三步：解出，=

^O-ABC+^O-PAB+^O-PAC+^O-PBC

类型一在三角形中

1.设AABC的内角为A，B,C,ADJ_3c于。.若AABC外接圆半径等于AO,则sinB+sinC的最小

值是

A.0B.2C.y/3D.1

【答案】A

A£)R1

【解析】在RtAACD中，由sinC=——，设圆的半径为R,则AO=R,sinC=---------=-——，

b2RsinB2sinB

由sinB+sinC=sinB+—!—..2.、口=&,当且仅当241?3=1，即sinB=Y^时，取等号，故选：A.

2sinBV22

2.在ZXABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2石，且

/c________3

2asinCcos5=osinA—人sinB+J/?sinC，点。满足函+砺+优=0，cosZCAO=-,则

28

△ABC的面积为（）

A.半B.375C.572D.V55

【答案】D

J5

【解析】由2。sinCeosB=asinA-Osin8+——OsinC，

2

可得2acx土上土=°2一/+@从，邺c=J.又c=2布,所以b=4.

2ac22

因为西+砺+元=0，所以点。为△ABC的重心,

所以通+/=3而，所以通=3而一部，

两边平方得廊『=9］而『一6|叫|狗cosNCA。+|/F

3

因为cosNC4O=2所以再『=9|而『-6|AO||ACx-+AC\2,

8

于是9|布「一9画卜4=0,所以画卜1,

△AOC的面积为;x[而冈羽xsinNC4O=gx3x4x

因为ZVIBC的面积是△AOC面积的3倍.故ZVIBC的面积为病.

3.已知AABC的内角A，B,C的对边分别是“，b,c,且d+/—cZMacosB+^cosAbHc,

若AABC的外接圆半径为2叵，则AABC的周长的取值范围为（）

3

A.（2,4]B.（4,6]C.（4,6）D.（2,6]

【答案】B

【解析】

因为（/+尸一＜?）•（acosB+Z?cosA）=abc,所以2abeosCsinAcosB+sinBeosA^=absinC,

2cosc♦sin(A+8)=si/C,2cosc=1,C=^,c=2x~~~xs^n

2122aa+

因U七c?=cr+b-labcosC=a+b-ab=^a+b^-3ab>(<a+b^-?>>S—^~=^^

（"+'）'2?,。+人44，因为“+人＞。=2,所以。+8+。€（4,6],选B.

4—

类型二在平面向量中

1.在ZVLBC中，他=3,AC=5，点N满足丽=2配，点。为AABC的外心，则丽.亚的值为（）

1759

A.17B.10C.—D.—

26

【答案】D

【解析】取AB的中点E，连接0E,

A

C

因为。为A4BC的外心，0EJ.A8,.•.布•赤=0,•丽=2祝,.•.BM=§近，

________2____7____1__2__

：.AN=AB+BN=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

3333

.♦.衣.丽=6而+前)丽=:|砌2=：,

______1_____.25

同理可得4O,AC=—|AC『二一，

22

―.—.(1—.2—一•1---.2—•—•1922559

AN-AO=\-AB+-AC•A0=-AO+—AC-AO=—x'+—x三=二故选：D.

U3J3332326

2.已知点G是AABC内一点，满足GZ+G豆+6心=6，若NBAC=。，AB»AC=1-则所（的最小值是

（）

y/3

、«RD.^2C.DU."

3---------------2----------------3----------------2

【答案】A

【解析】因为GX+而+GC=。，所以G是AABC重:心，因此A5=AB+AC

从而码举那=1VAB2+AC2+2AB?—>1J口口+

坤ABT拉髭

R吟，选A.（当且仅当|AB|=|AC|时取等号）

3.已知AABC的边AB，AC的长分别为20,18,N84C=120。，则AABC的角平分线AO的长为（)

A常9018090

B.—C.---D.一V3

191919

【答案】C

【解析】

如图，因为A。是AABC的角平分线,

BDAB2010寸,、，亦f罚不

所以---=----=—=—,所以A,D=AB+BD—A.BH---BC

DCAC18919

=AB+—(AC-AB\=-AB+-AC,^AD=-AB+-AC.

19v)19191919

2

两边平方得而2=-L81X202+100X182+2X10X9X18X20X180

19

所以AO=|而卜产，故选C.

4.如图，圆。是边长为2月的等边三角形ABC的内切圆，其与边相切于点。，点〃为圆上任意一点,

丽=》丽+），而（x,yeR）,则2x+y的最大值为（）

A

A.V2B.y/3c.2D.2^2

【答案】C

【解析】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系,

设内切圆的半径为1，以(0,1)为圆心，1为半径的圆：

根据三角形面积公式得到工x鼠长xr=S=工xA3xACxsin60°,

22

可得到内切圆的半径为1；

可得到点的坐标为：3bG,0),C(G,0),A(0,3),D(0,0),M(cosai+sine)

的=(cos6+G,l+sine),丽=(33),而=(G,0)

故得到BM=(cos0+V3,l+sin8)=(gx+Gy,3x)

故得到cos0=>/3x+V3y-百,sin。=3x—1

1+sin。

x=---------

3.cos0sin。42./八、4,八

9X—厂+—+—=—sin（e+°）+—<2.

cos。sin。23333

一

故最大值为：2.故答案为C.

5.已知R/AABC，AB=3,BC=4,CA=5,P为△ABC外接圆上的一动点，且而=》而+,

则x+y的最大值是()

545

A.-B.-C叵D.-

43'~6~3

【答案】B

【解析】以AC的中点为原点，以AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,

则AABC外接圆的方程为炉+/=(1)2,设尸的坐标为(geosegsin9

4I?39

过点、B作BD垂直工轴，VsinA=—,AB=3BD—ABsinA——,AD—AB-cosA=—x3=—,

OD^AO-AD^-••・«珂c加

2I/，

,45=AC=（5,0）,=|—cos^+—sin^

（222

9129412

-cos6>+-,-sin^|=x+y（5,0）=—x+5y,—x

222J

5八525.八

・・一COS夕H----x+5y,-sin^=—x,Ay=-cos^--sin^+-,x=—sing,

22525-28224

1215/134

x+y=—cos6+—sing+—=—sin（6+e）+—,其中sin/=一,cos9=—

232625

当sin（e+0）=l时，x+y有最大值，最大值为之+，=&,

623

故选：B.

类型三在解析几何中的应用

1.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离

是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.己知AABC的顶点A(4,0),B(0,2),

且AC=3C,则AA6C的欧拉线方程为()

A.x-2y+3=0B.2x+y-3=0C,x-2y-3=0D.2x-y-3=0

【答案】D

【解析】因为AC=3C，可得：A43C的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上

4(4,0),3(0,2),则A,8的中点为(2,1)

2-01

-5'所以A3的垂直平分线的方程为：y-l=2(x-2),即y=2x-3.故选：D

2.已知双曲线3•-4=l(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A，B,P为双曲线左支上一点，AABP为等腰

ab'

三角形且其外接圆的半径为右4,则该双曲线的离心率为()

A后RV15rV15nV15

5432

【答案】C

【解析】由题意知等腰AWP中，|AB|=|AH=2a,设NA3P=NAPB=8,则/片AP=2。，其中。必

为锐角・•••△ABP外接圆的半径为6a，•••2行。=当，.,.sin6»=且，cos^=—.

sin655

..V5275_4Me,2也、2.3

,,sin2。=2x—x-----——,cos2。=2x(------)—1=—•

55555

设点P的坐标为O,y),5JiJx=-(a+|AP|cos26)==|AP|sin20=^f

故点p的坐标为(一四,包).由点p在双曲线上得(3)2(y)21整理得与=2,

55—^3--------73—=1a23

22

已知椭圆二+与=

3.1(a>h>0)的左、右焦点分别为6，F2,点尸为椭圆上不同于左、右顶点的任意

a2b2

一点，/为bPF[F]的内心，且S&[pF\=4sAy尸百—SRPF?,若椭圆的离心率为e,则4=()

12个

A.-B.-C.cD.2。

ee

【答案】A

【解析】设记内切圆的半径为r则554=]・|尸用，5根%=；广|产用，5加的=；八|耳目•

I1I

SS

vhiPF,~AIPF2>：.-r-\PFl\=-r-\FlF2\--r-\PF2\

整理得/耳闾=|尸耳|+|尸闾二•尸为椭圆上的点，.•.42=勿,解得力=上故选:A

22

4.已知点尸为双曲线鼻-斗=13>0,6>0)右支上一点，点Q,尸2分别为双曲线的左右焦点，点/是△PFIF2

的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有SIPF-SIPF>—SIFF成立，则双曲线的离心率取值范围是（）

A.（1,6）B.（1,272）

C.（1,2721D.（1,V21

【答案】A

【解析】设△*记的内切圆的半径为「，则“"G=；|PQr,S△帙=g|P段忻用

因为SA呻—SA帙之力5所以附日尸玛/宁山周，

由双曲线的定义可知归周一归周=2a,比用=2c,

所以受c，即又由e=£>l,所以双曲线的离心率的取值范围是（1,J5],故选D.

2aa

r2丫2

5.双曲线二―二>=13>0