2022年河南省焦作市高考理科数学一模试卷及答案解析

2022年河南省焦作市高考理科数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合AutM?-X-2<0},B={x|2x+l<0},则AA8=()

A.，1)B.2)C.(-1)—D.(—2)—

2.(5分)若力=l+3i,则5=()

A.3+iB.3-iC.3+2iD.3-2i

3.（5分）已知命题p：SxGN*,lgx<0,q・.VxGR,cosx^l,则下列命题是真命题的是（）

A.pf\qB.(_*〃)/\qC.pALq)D.—1(pVq)

71

4.(5分)下列函数中，最小正周期为后的是()

XX

A.y—sin-^B.y=sin8xC.y=cos-^D.y=tan(-8x)

5.(5分)设函数/(x)=2*+*的零点为xo，则xoe()

A.(-4,-2)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(2,4)

6.(5分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=与a=2,2sinB=3sinA,

则aABC的面积为（）

3V23y/3「

A.---B.---C.3D.3>/2

22

7.（5分）已知函数f（%）=匈（磊+a）是奇函数，则使得0</（x）<1的x的取值范围是

（）

A.（一8，一场B.（0,否

C.（一2,0）D.（-/0）U舄,1）

8.（5分）某学校计划从包含甲、乙、丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，

若甲、乙、丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（）

A.21种B.231种C.238种D.252种

9.（5分）花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见

的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果.如图所示是一个花窗图案，大圆为两

个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆.若在大圆内随

第1页共22页

机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）

A.V2-1B.2-V2C.3-2V2D.6-4V2

10.（5分）已知函数/（%）=-二+扛2+加@,b>0）的一个极值点为1,则J层的最大值

11.（5分）如图，在正四面体ABCC中，E是棱AC的中点，尸在棱8。上，且8£>=4尸£>,

则异面直线EF与AB所成的角的余弦值为（）

12.（5分）已知椭圆C：次+4=l（a>b>0）的左、右焦点分别为Q，尸2,M为C上一点，

IMF-,\+\MF\

且△"尸1尸2的内心为/（M）,2）,若△“为22的面积为46则］~'——'—?=（）

但也I

35V134

A.-B.-C.---D.一

2323

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知向量Z=（x,-1）,b=（0,5）,若之1日+2引，则％=.

14.（5分）写出一个离心率与双曲线C：/一*=1的离心率互为倒数的椭圆的标准方

程.

15.（5分）计算：2cos50°_吗°°=.

16.（5分）已知三棱锥P-ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且△ABC是底边长

第2页共22页

为3声，面积为六一的等腰三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（12分）某科技公司有甲、乙、丙三个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为点

1

-3

2现安排甲组和乙组研发新产品A,丙组研发新产品B,设每个小组研发成功与否

相互独立，且当甲组和乙组至少有一组研发成功时，新产品4就研发成功.

（1）求新产品A,8均研发成功的概率；

（2）若新产品A研发成功，预计该公司可获利润180万元，否则利润为0万元；若新产

品B研发成功，预计该公司可获利润120万元，否则利润为0万元.求该公司研发A,B

两种新产品可获总利润（单位：万元）的分布列和数学期望.

第3页共22页

18.(12分)已知数列｛斯-1｝是递增的等比数列,。2=5且砧+的=26.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)求数列(也"｝的前n项和S,,.

第4页共22页

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCO的底面ABC。是平行四边形，以JL底面A8CD,PA=

AO=4,NBAO=120°,平行四边形ABC。的面积为4百，设E是侧棱PC上一动点.

（1）求证：CDLAE；

PE

（2）记七="0<2<1），若直线PC与平面ABE所成的角为60°,求人的值.

第5页共22页

20.(12分)已知抛物线r：^=2py(p>0)的焦点F与双曲线2)2-2?=1的一个焦点重

口•

(1)求抛物线「的方程；

(2)过点尸作斜率不为0的直线/交抛物线「于A,C两点，过A,C作/的垂线分别与

)，轴交于B,D,求四边形ABCO面积的最小值.

第6页共22页

21.(12分)己知函数f(x)=(x+1)lnx+mx,g(x)=w2x2^1,其中机>0.

(I)讨论函数g(x)的单调性；

(II)若加21,证明：当x>0时，g(x)(%).

第7页共22页

22.（10分）在直角坐标系X。），中，直线/的参数方程是｛；：［：［（£为参数）.以原点O

为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆O的极坐标方程为p2-8=2p（cos0+sin9）.

（1）求直线/的普通方程和圆。的直角坐标方程；

（2）当岐，扪时，求直线/与圆O的公共点的极坐标.

第8页共22页

23.设函数/(x)=|3x-6|+2|x+l|-m(mGR).

(1)当”?=2时，解不等式f(x)>12；

(2)若关于x的不等式/(x)+|x+l|WO无解，求机的取值范围.

第9页共22页

2022年河南省焦作市高考理科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合4={4^-X-2<0},B={x|2x+l<0},则An8=()

1111

A.(―2f1)B.(―2f2)C.(―11—2)D.(—2,一2)

解：因为A={x|?-x-2V0}=(-1,2),B={x|2r+l<0}={x|x<-1),

1

则4n3=(-1,-p.

故选：c.

2.(5分)若力=l+3i,则5=()

A.3+iB.3-zC.3+2iD.3-2i

解:・・・zi=l+3i,

.l+3i(l+3i)i.

・・z=-j-=--=o3-i,

/.z=3+i.

故选：A.

3.(5分)已知命题p：3AGN*,lgx<0,q：VxGR,cosxWl,则下列命题是真命题的是()

A.pf\qB.(_*p)AqC.pALq)D.'(pV^)

解：由，gx<0,得OVxVl,

故命题p：SjtGN*,/gxVO是假命题，

则力〃是真命题，

由cosxWl,得xWR,

故命题q：VxGR,cosx这1是真命题，

则「p/\q是真命题，

故选：B.

n

4.(5分)下列函数中，最小正周期为)的是()

A.y=sin-^B.y=sin8xC.y=cos-^D.y=tan(-8x)

解：A项，7=竽=8兀，故4不符合；

4

第10页共22页

B项，7=兽=?故B不符合；

C项，T=孕=8兀，故C不符合；

4

力项，7=高=不故。符合•

故选：D.

5.(5分)设函数人无)=2丁+5的零点为两，则知€()

A.(-4,-2)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(2,4)

解：因为/。)=2方+看x€R且在R上连续，

又因为y=2,与)，=*在R上均为增函数，

所以/Q)=2丫+:在R上为增函数，

又因为/(0)=1>0,

/(-2)=1-2=_^<o>

所以f(x)=2丫+押零点在区间(-2,7)内,

故选：B.

6.(5分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,若a=2,2sinB=3sinA,

则△ABC的面积为()

3V23V3广

A.---B.---C.3D.3A/2

22

解：因为C=J,a=2,2sinB=3sinA,

由正弦定理得，2b=3a=6,

所以b=3,

故△ABC的面积S=^absinC=^x2x3x^=与

故选：A.

7.(5分)已知函数/(x)=Zg(磊+。)是奇函数，则使得OV/(x)VI的x的取值范围是

()

第11页共22页

A,(-8,一率B・(0，4)

C.(一白,o)D.(一条,0)U(W,1)

解：因为函数/(x)=Eg(磊+a)是奇函数，

所以f(0)=lg(2+a)=0,即2+a=l,解得a=-1,

2

所以/(x)=lg(二^一1)，

27

因为0V/U)VI，所以0</g(--1)VI,即1〈Ay—ivio,

(2

-2>

-r/id7+1°人T(2X(X+1)VO

可化为《1，等价于1

4T一11VOl(llx+9)(x+1)>0

lx+1

Q

解得一五<x<0.

故选：C.

8.(5分)某学校计划从包含甲、乙、丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，

若甲、乙、丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有()

A.21种B.231种C.238种D.252种

解：10人中选5人有C?o=252种选法，其中甲，乙，丙三位老师均不选的选法有0=21

种，

故甲、乙、丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有底0-。=231种.

故选：B.

9.(5分)花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见

的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果.如图所示是一个花窗图案，大圆为两

个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆.若在大圆内随

机取一点，则该点取自阴影部分的概率为()

A.V2-1B.2-V2C.3-2A/2D.6-4立

解：设大圆的半径为R,则等腰直角三角形的边长分别为2R,或R,aR,

设等腰直角三角形的内切圆的半径为r,

第12页共22页

则二(2R+V2R+V2/?)/-1XV2/?x^2R,

22

解得r=(V2-DR,

则阴影部分的面积为2乂皿乂/=如[(e一1)R]2=2(3-2V2)TTR2,

大圆的面积为nW,

则该点取自阴影部分的概率为P=2(3-2饮7?2=6_4近，

故选：D.

10.(5分)已知函数/'(x)=-炉+*/+bx(a,b>0)的一个极值点为1,则a2b2的最大值

为()

解：由/(%)=-A3+"2+匕％,则/a)=-

由题意可知，/(1)=0,即a+A=3,tz>0,Z?>0,

所以a2/w(竽)4=翳当且仅当a=b=|时取等号，

0-1

所以前的最大值密

故选：D.

11.(5分)如图，在正四面体A8CZ)中，E是棱AC的中点，F在棱BD上,且BD=4FD,

则异面直线EF与AB所成的角的余弦值为()

C

V3V211

A.—B.—C.一D.-

3223

解：设AB=4,建立如图所示的空间直角坐标系，

2V3476473

则F(0,1,0),B(0,-2,0),C(2V3,0,0),A(---,0,---),E(----,0

333

2V6

---),

3

第13页共22页

~T2>/34V6-4732V6

则84=(—，2,—),FE=(—，],-----),

3333

设易，尾的夹角为e,

8

-

3

==

则COS0=-4,2X3

曲前

则异面直线EF与AB所成的角的余弦值为5

故选：C.

|MFI|+|MF2|

且△MQF2的内心为/（即，2）,若的面积为44则・~1^1()

357134

A.-B.-C.—D.-

2323

解：由题意可得，△MQP2的内心/Go,2）到x轴的距离就是内切圆的半径.

又点M在椭圆C上，由椭圆的定义，得IMF/+\MF2\+IF/2I=2a+2c,SAMF1Fz=

1

2(2a+2c)x2=2(a+c)=4b,即a+c=2b.

又c=ea,所以b=。(沫―,

因为。2=/+02,

所以广(1})]24-a2e2=a2,BP(l+e)2+4^2=4,

所以5，+2e-3=0,解得e=|或-1（舍去）,

所以驾毕2a15

K1^2l2ce3

故选:B.

第14页共22页

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)已知向量Q=(%,—1)，6=(0,5),若QJ.(Q+26),则x=土3.

解：,.•向量2=(%,-1),b=(0,5),a1(a4-2h),

Aa*(a+26)=a2+2a-b=^+1+2(0-5)=0,

则x=±3,

故答案为：±3.

14.(5分)写出一个离心率与双曲线C：%2一吟=i的离心率互为倒数的椭圆的标准方程

x2y2

一+-=1(答案不唯一)•

43--------------------------

解：双曲线C：%2一［=1的离心率为e=¥=2,则椭圆的离心率为去

X2V2

所以椭圆的标准方程可以为一+—=1.

43

X2V2

故答案为：一+J=1(答案不唯一).

43

15.(5分)计算：2cos50°一强界=—.

2-2―

si九04。

解：2cos500-=2cos50。一co^0°=2cos50。-=

4sin500cos500—sin400_2si980°—si兀40°_2cosl00—sin40o2cos(40。-30。)一sizi40。_

2cos40。-2cos40。-2cos40。2cos40。

V3

2,

故答案为：

16.(5分)已知三棱锥P-ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且△ABC是底边长

3\/41

为3VL面积为丁的等腰三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为34n.

解：三棱锥P-ABC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，

如图，

设PA=BC=3>/2,P3=AC=PC=48=x,长方体交于一个顶点的三条棱长为a,b,c,

则SAABC=/x3夜x—(挈尸=嘤，解得x=5.

由题得a2+b2=PA2=(3V2)2=18,

a1+c1=AC2=25,b2+c1=PC2=25,

第15页共22页

解之得a=3,b=3,c=4.

Ja2+f)2+c2_柠+32+42_734

所以该三棱锥的外接球的半径为R=

所以该三棱锥的外接球的表面积为S=4兀/?2=4兀义(学产=347r.

故答案为:34n.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

17.(12分)某科技公司有甲、乙、丙三个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为1,

13

-，现安排甲组和乙组研发新产品4丙组研发新产品B,设每个小组研发成功与否

25

相互独立，且当甲组和乙组至少有一组研发成功时，新产品4就研发成功.

(1)求新产品A,B均研发成功的概率；

(2)若新产品4研发成功，预计该公司可获利润180万元，否则利润为0万元；若新产

品8研发成功，预计该公司可获利润120万元，否则利润为0万元.求该公司研发A,B

两种新产品可获总利润(单位：万元)的分布列和数学期望.

解：(1)设新产品研发成功为事件M,新产品B研发成功为事件N,

则P(M)=1-(1-1)(1-i)=|,P(N)=|,

故P(MN)=P(M)P(N)=叁|=|.

(2)设该公司研发A,3两种新产品可获总利润为随机变量X,

则X所有可能取值为0,120,180,300,

P(X=0)=(1一|)(1—1)=卷

231

P(X=120)==

234

P(X=180)=可x(1—耳)=,

第16页共22页

2

P(X=300)=1-P(X=0)-P(X=120)-P(X=180)=j,

故X的分布列为：

X0120180300

P2142

155155

故E(X)=0x+120x1+180x+300x|=192.

18.（12分）已知数列｛的-1｝是递增的等比数列,“2=5且俏+的=26.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

（2）求数歹（］｛m〃2｝的前n项和S”.

解：（1）由于数列｛斯-1｝是递增的等比数列，

所以（。3-1产=（a2-l）（a4-1）；

由于42=5且43+44=26,

整理得公比＜7=温=2,

所以ai-1=2,

故"1=3；

所以册一1=(即一1)x2n-1,

整理得a”=2n+l；

n

(2)由(1)得：nan=n-2+n；

所以7；=1x2+2x22+3x23+…+n-2%①，

234n+1

2Tn=lx2+2x2+3x2+...+n-2,②，

12nn+1

①-②得：-Tn=(2+2+...+2)-n-2,

整理得及=(n-l)-2n+1+2,

所以%="+(1+2+…+n)—(n—l)2n+1+++1+2.

19.(12分)如图，四棱锥P-ABC。的底面ABC。是平行四边形，B4_L底面A8GD,%=

AD=4,ZBAD=UO°,平行四边形A8CO的面积为4旧，设E是侧棱PC上一动点.

(1)求证：CDA.AE；

第17页共22页

(2)记—=A(0<A<1)>若直线PC与平面A8E所成的角为60°,求入的值.

解：(1)证明：平行四边形A8CD的面积为4百，AO=4,ZBAD=120°,

所以4XA8Xsinl20°=4百，解得AB=2,

在△ACO中，由AO=4,CD=2,N4OC=180°-ZBAD=60°,

得AC2=AD2+CD1-2ADXC£>・cos60°=16+4-8=12,

：.AC2+CD2=12+4=16=AD2,：.AC±CD,

V：.PALCD,又％nAC=4,.♦(。_1_平面外。，又ACu平面RIC,

：.CDLAE-,

(2)以A为坐标原点，以AB,AC,AP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

:%=4,A8=2,AC=V12=273,

AA(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,4),C(0,2®0),

PETT

设E(x,y,z),由正=4(。4VI)，得PE=XPC,

(x,y,z-4)=A(0>2y/3,-4),

；.x=0,y=26入,z=4-4入，即点E(0,2例,4-4人)，

：.AB=(2,0,0),AE=(0,2V3X,4-4A),PC=(0,2痘,-4),

第18页共22页

设平面ABE的一个法向量为蔡=(x,y,z),

，TT厂

rji||九,AB=2x=0z,1[71>|八v3A

贝小r-，令y=l,则x=0,z=TJT?)

n-AE=2V3Ay+(4-44)z=0

•.•直线PC与平面ABE所成的角为60°,

--In-PCI2点一嚼

.♦.sin60°=|cos<n,PC>\=7f=-----1衿=与,

2V7XJl+(2^)2

化简得(7A-2)(7A-6)=0,解得入=:或入=%

.••当入=，或入=*直线PC与平面ABE所成的角为60°.

20.(12分)已知抛物线「：/=2py(p>0)的焦点F与双曲线2』-2/=1的一个焦点重

合.

(1)求抛物线「的方程；

(2)过点尸作斜率不为0的直线/交抛物线「于A,C两点，过A,C作/的垂线分别与

y轴交于B，D,求四边形ABC。面积的最小值.

解：(1)由2夕-2?=1要可得双曲线的上焦点为尸(0,1),

.♦弓=l,p=2,...抛物线「的方程为/=4y；

(2)设过点尸作斜率不为0的直线/的方程为)，="+1,由对称性不妨设女>0,

设A(xi,yi),B(必M，

V—kx1

2〃,可得x2-4fcc-4=0,：.X\+X2=^k,：.X\X2=-4,

{xz=4y

A|xi-%2|=J(%]+x,)2—41]%2=V16k2+16,

过A与直线/垂直的直线方程为尸一了G-Xi)+yi,令x=0,得冲=一讲i+yi=-讲|+H1+1,

KKK

111

过与直线/垂直的直线方程为产一丁)，令%=°，得)-讲；，

C,K(172+”'D=K2+*)2=-7KX2+te+l

111111

：.\BD\=(-+k)|xi-X2|,：.SABCD=1|BD|Xlxi|4-i|BD|X|x2|=||BD|X-x2|=7(7+%)

kLLL乙k

]

田-X2/=8(—+攵)(F+l),

k

令尸(-+k)(必+1)d+2k+R,则y=-当+2+3必=(3)2—1犷+1),

kk//

当ke(0,f)时，<<0,当品(手，+8)时，y'>0,.,.当仁堂时，y„M=增用,

第19页共22页

128V3

故四边形A8CD面积的最小值为-----.

9

21.(12分)已知函数/(比)=(x+1)Inx+nu,g(x)=w2x2Z1,其中〃>0.

(I)讨论函数g(x)的单调性；

(II)若“21,证明：当x>0时，g(x)2/(x).

解：(I)由题可知g'(x)-x(x+2),

令g'(x)<0,得-2cxV0,令g'(x)>0,得xV-2或%>0,

故函数g(x)在(-8,-2)和(0,+8)上单调递增，在(-2,0)上单调递减；

(II)证明：由g(x)河(x)得nrj?ex1-(x+1)Inxm20,

令f(〃z)=tn2x2ex1-(x+1)Inx-tnx,将1(〃?)看作关于m的二次函数，其图象的对

x

称轴为

m—2x2ex-1>

令可得bf,易知函数"⑴=环1在O+8)上单调递增，

1

又“(0)=0,u(1)=1,故存在对X06(0,1),满足〃(xo)

(/)当xe[xo,+8)时，

所以~、丫1<1,此时t(加)(1)।-(x+1)Inx-x,

2x2ex-i

此时需证力(x)i-(x+1)Inx-.

h'(x)=(7+2%)/i-g-/依-2,设p(x)=hr(x),

111llxl

则(无)=(/+4工+2)，“+丁——>(7+4x+2)・一+——-=—+—+2.

%，%2xX2X2X2

显然当尤>0时，p(x)>0,从而/?'(x)单调递增，

又〃'(1)=0,

所以当OVxVl时，h’(x)<0；当x>l时，hf(x)>0,故〃(%)2也(1)=0.