2022年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷（附答案详解）

2022年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.已知集合4={x|y=覆},B={%|(i)x>2},则4UB=()

A.{x|-1<%<2}B.(x\x<2}

C.{x\x>-1}D.{x|l<%<2}

2.已知z=+，则在复平面内z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知J：。；*"，贝iJsin(a-9=()

26

A.|B.-|C.-|D.|

4.我国的储书少中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2,…，9填入3x3的方

格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15,如图所示.

一般地.将连续的正整数1,2,3,/填入nxn个方格中，使得每行、每列、

每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的数的和即方

格内的所有数的和为多，如图三阶幻方记为S3=45,那么59=()

洛书幻方

A.3321B.361C.99D.33

5.已知二项式(ax+y)s(a6R)的展开式的所有项的系数和为32,则(严-含］。的展

开式中常数项为()

A.45B.-45C.1D.-1

6.将曲线G：xy=2(%>0)上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的土得到曲

线C2,则上到直线％+16)/+2=0距离最短的点坐标为()

A.(8,》B.(4点C.(8,|)D.(4,i)

7.已知向量五=(cos”,-1),b=(cosx,—4sinx+2)»/(x)=a-b，若Vxe[—

使不等式/(x)S2恒成立，则实数;l的取值范围为()

A.[一先]B.四+8)

C.白+8)D.(一8,一堂U£+8)

8.已知以尸为焦点的抛物线C：y2=2px(p>0)经过点(1,-2),直线1：y=k(x-1)与

C交于4B两点(其中点4在x轴上方)，若|4F|=(3+2或)|FB|,贝北在y轴上的截

距为()

A.2B.1C.—|D.—1

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.已知函数/(乃=品，则()

A.f(x)的定义域为RB./Q)是偶函数

C.函数y=f(x+2022)的零点为0D.当x>0时，f(x)的最大值为1

10.函数/Q)=Asin(3x+s)Q4>0,3>0,取<])的部分图象

如图所示，则()

A./⑶的图象的最小正周期为三

B./⑶的图象的对称轴方程为％=y+2fc7T(kGZ)

C./(x)的图象的对称中心为(*+2k,0)(/cWZ)

D./⑶的单调递增区间为[4k-g,4k+|](kGZ)

11.如图，在四棱锥4一BCEC中，已知EC=BC=4C=

4,BD=1,S.AC1EC,AC1BC,BC1EC,BC1

BD.取BC的中点0,过点。作OQIDE于点0,则()

A.OD1OE

B.四棱锥4—BCE。的体积为40

C.BQ1平面4CQ

D.AQ1BQ

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12.立德中学的“希望工程”中，甲、乙两个募捐小组在2021年国庆假期走上街头分

别进行了募捐活动.两个小组第1天都募得100元，之后甲小组继续按第1天的方法

进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少4元；乙小组采取

了积极措施，从第1天募得的100元中拿出了90元印刷宣传材料，则从第2天起，第

n(n£/V*,n>2)天募得的捐款数为100(1+/)元.若甲小组前n天募得捐款数累

计为1元，乙小组前n天募得捐款数累计为7；元(需扣除印刷宣传材料的费用)，则

()

2

A.Sn=-2n+102n,n<25且neN*

B.7；=lOOn—50(1+/)，n€N*

C.Ss>T5

D.从第6天起.总有5<Tn

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.某校体育节10名旗手的身高分别为175.0,178.0,176.0,180.0,179.0,175.0,

176.0,179.0,180.0,179.0,则中位数为.

14.某中学开展劳动实习，学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬纸片加工

制作成轴截面的顶角为60。，高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球形

冰淇淋(内切)，则该球形冰淇淋的表面积为.

15.已知椭圆W+]=l(a>b>0),F是左焦点，4为下顶点，若上顶点、右顶点到直

a2b2

线4F的距离之比为展ab,椭圆的四个顶点的连线围成的四边形的面积为30,则椭

圆的离心率为.

16.已知函数y=|%2-2%-1]的图象与直线y=m(mGR)有四个交点，且这四个交点

的横坐标分别为a,b,c,d(a<Z?<c<d),则a+b+c+d=；2(d-a)+

(c-b)的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.已知正项等比数列｛an｝的前n项和为Sn,52=3，a2a4=16.

(1)求｛an｝的通项公式;

_____8_____

(2)若%=1。。2%1+3"。。2即+4，求数列｛%｝的前n项和7V

18.设AABC的内角4B,C■所对的边分别为a,b,c,(a-b')2=c2-ab.

⑴求C;

(2)若b=5,ccosA=1>求△ABC的面积.

19.北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试,

测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出

3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合

格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.求：

(1)甲、乙两人至多一人测试合格的概率；

(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.

20.如图，在长方体ABCD-&B1GD1中，E,F分别是BC,AG的中点.

(1)证明：EF〃平面CODiG；

(2)若4D==4,求平面4EF与平面EFBi所成角的余弦值.

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21.已知双曲线r：^-y2=i(a>0)的左、右焦点分别为Fi(-c,0),F2(c,0),点

P(X()，M))是「右支上一点，若/为△。尸1尸2的内心，且SA/PFI=SA/PFZ+gsA/FiFz•

(1)求「的方程；

(2)点4是「在第一象限的渐近线上的一点，且4F2_Lx轴，「在点P处的切线I与直线

NF2相交于点M,与直线x=|相交于点N.证明：无论点P怎么变动，总有|NFzl=

y|MF2|.

22.已知函数/(%)=ex—ax(a6R).

(1)若。=2,求f(%)在％=0处的切线方程；

(2)求/'(%)的最值；

(3)若%W[-]+8)时，^[/W+cosx-2]>0,求a的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由4一一>0,解得一2cx<2,

故4={x|y=覆}=(-2,2)，

由《尸22,解得xW-l,

故B={x|G尸>2}={x\x<-1},

故AUB={x\x<2).

故选：B.

由题意解不等式从而化简集合4、B,再求并集即可.

本题考查了集合的化简与运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：・・・z=|倔―1|+9,

-z—/(V3)2+(―I)2+----—2+---i=---P

二在复平面内Z对应的点(|,-》，位于第四象限.

故选：D.

根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解.

本题考查了复数的儿何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,

属于基础题.

3.【答案】C

sin(2a-望)in(2«-)2sin(a-^)cos(a-^)

4ST=-2sin(a-=£

【解析】解：由2nT

1-2COS(^-^)5-cos(a-j)-cos7(a-j)

得sin(a=-|,

故选：C.

利用三角函数的倍角公式进行转化求解即可.

本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用三角函数的倍角公式进行转化是解决本题

的关键，是基础题.

4.【答案】A

【解析】解：根据题意，幻方的每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，

Nn=3[1+2+3+……+（n2-1）+n2]=ix史'?路=史富，

故%=（1+了9=369,•••59=9x369=3321.

故选：A.

根据等差数列的前n项和公式，求出N”的通项公式，然后代入n=9进行计算即可求S9的

值.

本题考查归纳推理，涉及等差数列的前n项和公式，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：令二项式（ax+y），中的x=1,y=1,

可得展开式的所有项的系数和为（a+1）5=32,解得a=1,

则（严一色）1。即（/一2严的展开式的通项公式为T『+I=笫审产々（一圭）r=

令20—gr=0,解得r=8,

所以（一一毒）1。的展开式中常数项为（一1）8或=45.

故选：A.

令二项式（ax+y）5中的x=l,y=l,可求得a的值，代入（公一物】。，求出展开式的

通项公式，令x的指数为0,求出r的值，从而可得常数项.

本题主要考查二项式定理的应用，考查赋值法及二项展开式的通项公式的应用，考查运

算求解能力，属于中档题.

6.【答案】B

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【解析】解：将xy=2化为y=：,

则将曲线G上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的也

得到曲线C2；2y=|,

即C2；y=［(x>0),

要使曲线C2上的点到直线4+16y+2=0的距离最短，

只需曲线C2上在该点处的切线和直线x+16y+2=0平行，

设曲线C2上该点为P(a,》，

因为y'=一点，且无+16y+2=0的斜率为一表，

所以—7=-3

a216

解得Q=4或a=-4(#),

即该点坐标为P(4,》.

故选:B.

先利用函数图象的变换得到曲线对应函数，将曲线C2上点到直线％+16y+2=。的最

短距离转化为曲线C2在某点处的切线和所给直线平行，再利用导数的几何意义进行求解.

本题考查了曲线的图象变换以及曲线在某点处的切线方程的问题，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：由题意得，

/(x)=a-b=cos2x+4sinx—2

=­sin2%+4sinx—1

=—(sinx—2)2+3,

…［一屋］,

.l「1In

：•SITLXGI，

L2，一2J

故当sinx=之时，/'(x)取得最大值,,

•.•对［-不等式/(x)S入恒成立，

4

故选：c.

由数量积化简f(x)=ab=cos2x+4sinx-2，配方化简得f(%)=-(sinx—2)2+3,

从而确定函数的最值，将恒成立问题转化为最值问题即可.

本题考查了平面向量及三角函数的化简与运算，同时考查了转化思想的应用，属于中档

题.

8.【答案】D

【解析】解：由抛物线C：、2=2「%3>0)经过点(1,一2),可得2P=4,解得p=2,

可得抛物线的方程为必=4x,F(1,O),准线方程为％=-1,

设4(孙力),B(x2,y2),

由|4用=(3+2遮)|FB|>|BF|,可得与>1,0<x2<1,k>0,

+1=(3+2V2)(X2+1),即/=(3+2V2)X2+(2+2&)，①

2

由一1)可得//一(2/+4)x+k=0,

可得+*2=2+2,xtx2=1,②

由①②解得勺=3+2<2,x2=3-2V2,k=-1.

故选：D.

将点(1,-2)代入抛物线的方程可得p,可得焦点F的坐标和准线方程，由抛物线的定义

和已知等式可得打>1,0<%2<1,k>0,联立直线2与抛物线的方程联立，运用韦

达定理，解方程可得所求值.

本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和

运算能力、推理能力，属于中档题.

9.【答案】AD

【解析】解：•；/+9>0恒成立，・••/Q)的定义域为R,故A正确；

g)=券=毋x),函数为奇函数，故3错误；

函数丁=/0+2022)=噌嘉黑，零点为一2022,故C错误；

当x>0时，"x)=H=工三不=5,当且仅当x=2,即x=3时等号成立，故。

*x

正确.

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故选：AD.

求出函数定义域判断4判断函数的奇偶性判断B；求得函数y=f(x+2022)的零点判

断C；求出当x>0时，f(x)的最大值判断D.

本题考查函数的定义域、值域、零点及奇偶性，考查运算求解能力，是中档题.

10.【答案】CD

【解析】解：由函数/'(%)=45讥(3%+0)04>0,3>0,|例<》的部分图象可知：

4=3,\T=!-|=1,即7=4,故A错误；

433

所以3=?=%

42

由五点作图法可得三X|+0=M解得8=?

2326

所以/(X)=3s讥©x+£),

No

令"+3=/OT+5,kez,解得x=2k+；,keZ,

ZoZ3

即f(x)的图象的对称轴方程为x=2k+|,k€Z,故8错误；

令"+'=k兀，k&Z,解得x=2k-g,keZ,

所以/(x)的图象的对称中心为(2k—9,0),kez,故C正确；

令一g+2忆兀Sgx+gWg+2/CTT,keZ,解得4k一：WxS4k+；,k€Z,

ZZoZ33

故f(x)的单调递增区间为[4/c-£4k+1](keZ),故。正确.

故选：CD.

由三角函数部分图象，分别求出43,(p,再利用正弦函数的性质逐项判断即可.

本题考查了由三角函数部分图象求解析式，考查了正弦函数的性质，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：如图建立空间直角坐标系,

则0(0,2,0),0(0,4,1),E(0,0,4),B(0,4,0),4(4,0,0),C(0,0,0),

贝I症=(0,-4,3),00=(0,2,1),=(0,—2,4),

设的=ADE=(0,-4A,34)，则Q(0,4-4A.1+34),故页=(0,2-4A,1+3Q，

OQ1DE,.-.'OQDE=0,

•，-0—8+16A+3+9A=0,解得4=g,即Q(0,£,g)，

••屈=(0,一精屈=(-4,果|),

"ODOE=OxO+2x(-2)+1x4=0.OD1OE,故A正确;

因为直角梯形BCED的面积S=(EC+B?CB=(4+^4=I。,

AC1CE,AC1BC,CECBC=C,可得AC_1面8。£

四棱锥高h=AC=4,

所以四棱锥体积V=q/iS=[x4xlO=掾,故8不正确；

■■CA-BQ=(4,0,0)•(0,-睛=0,CQBQ=(0,拳凯(0,一矍)=-§+§=0,

BQ1.CA,BQ1CQ,又CAnCQ=C,；.BQ_L平面ACQ,故C正确；

■.•AQ-BQ=(-4,y,|)•=0,AQ^BQ,即AQ_LBQ,故。正确.

故选：ACD.

建立空间直角坐标系，利用OQIDE求出Q点坐标，再根据向量的数量积运算证明垂直

可判断4CD,对于B根据棱锥的体积公式计算即可判断.

本题主要考查锥体体枳的计算，线面垂直的判定，空间向量及其应用等知识，属于中等

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题.

12.【答案】ACD

【解析】解：设｛an｝代表甲组第n天所得的捐款，且即>0,

由题意可知，的=100,d=-4,an=+(n-l)d=—4n+104>0,解得n<26,

即n<25,

Sn=出詈=一2/+i02n,nW25且neN*,故A正确，

设｛bn｝代表乙组第n天所得的捐款，

由题意可得，bn=1100(-1+_L.)n>2.

则数列%的前n项和7；=4+与+•••+为

=100+100(1+§+100(1+专)+-+100(1+蜀

=100+100(71—1)+100©1+12+•••+1/)

1

-1

=100n—90+100,3(1———)

1-1、3n-17

1

—100n—40—50-3-T，九EN*,故B错误，

2

Ss=-2X5+102X5=460,T5=500-40-|^=460-|^<S5>故C正确，

2

令％=Sn-Tn=-2n+102n-lOOn+40+券=篇+40+2n-2n2,

•••C6=|^+40+12-72<0,

又••・d+i-1)+2-2-4n=-4n<0,7为递减函数，

•••cn<c6<0,即Sn-Tn<0,

故土<〃，故o正确.

故选：ACD.

对于4结合等差数列的前n项和公式，即可求解，对于8,结合等比数列的前n项和公

式，即可求解，对于C,将几=5分别代入等差数列的前n项和公式，以及等比数列的前

n项和公式，即可求解，对于D,结合函数的单调性，即可求解.

本题主要考查函数与数列的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于难题.

13.【答案】178.5

【解析】解：某校体育节10名旗手的身高从小到大为:

175.0,175.0,176.0,176.0,178.0,179.0,179.0,179.0,180.0,180.0,

•••中位数为四产178.5.

故答案为：178.5.

利用中位数的定义直接求解.

本题考查中位数的求法，考查中位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.【答案】167r

【解析】解：根据题意，画出图象,

故在RtzMOiC中，AC=4V3，OjC=2V3，

设内切球的球心为。，

贝Ijno=。。1=R,

在RtAAD。中，Z.OAD=30°,

所以：2R=6-R,

解得R=2,

所以S表=4・攵•R2=167r.

故答案为：16兀.

直接利用锥体和球体的关系的应用求出内切球的半径，进一步求出球的表面积.

本题考查的知识要点：圆锥体和球体的关系，球的表面积公式，主要考查学生的运算能

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力和数学思维能力，属于基础题.

15.【答案】|

【解析】解：令椭圆左焦点F(—c,O)(c="］京)，

而/(0,-b),则直线四方程为：合+$=1,mx+cy+bc=0,

2bc

又上顶点、右顶点分别为(0,b),(见0),依题意有：焉后=与=名，即今=&ab,

•—・C4rC•1.十eX।vXOO

a

又椭圆的四个顶点的连线围成的四边形的面积为30,即2ab=30,解得ab=15,

则有黑=|，解得e=m,

所以椭圆的离心率为e=

故答案为：

设出椭圆左焦点坐标，求出直线4F方程，利用给定条件列式并求出必即可求解作答.

本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆离心率的求解等知识，属于基础题.

16.【答案】44^/5

X=Q,X=d是方程--2x-1=7H的两根,

则a+d=2,ad=-1—m9

x=b,x=c是方程/_2x—1=—m的两根,

则b+c=2,=-14-?n,

・•・a+b+c+d=4.

d>a=>d—a>0,

・•・d-Q=J(d—a)2=J(d+a)2—4ad=2,2+m,

c>b=>c—b>0,

：.c—b=-by=J(>+b)2-4bc=2,2-m,

：•2(d-ci)+(c—b)=4,2+7n+2V2—??i,

令f(m)=4>/2+m+2、2—m,0<m<2,

则/(m)=寨需

令8—4?n>2+7n,解得0VmV此时/'(m)>0,/(m)单调递增，

令8-2?n>2+7n,解得3Vm<2,此时/'(zn)V0,/(m)单调递减，

•・・/(m)max=/(|)=4遍.

故答案为：4；4A/5-

根据对称性可求a+b+c+d,利用韦达定理和函数单调性可求2®-a)+(c-b).

本题考查了韦达定理、利用导数求函数的最值、转化思想及数形结合思想，难点在于将

2(d-a)+(c-b)转化为求函数/(m)=4(2+m+272-m,0<m<2的最值，属于

中档题.

17.【答案】解:(1)由已知可得,设等比数列｛的J的公比为q,

因为a”>0,a2a4=(。3)?=16,

所以CZ3=4或a3=-4(舍去)，

又S2=1

可得，/i(i+q)=：解得卜1=:

•q2=4lq=4

nnn2

所以an=Qi•qT=J-4t=4-,

n

故｛小｝的通项公式为Qn=4-2(n6N*).

n2

(2)由第(1)问可知,an=4-(ne/V*),

n+12n+2n+22n+4

所以20g2册+3=log2^=log22=2n+2,log2an+4=log24=log22=

2n+4,

______«___________s=_<_f______-'i

所以b“loa==2

log2o.n+3'92n+4(2n+2)(2n+4)___(n+l)(n+2)^n+lzi+2，'

第16页，共23页

所以7"=2[^_/+0_3+©_a+_+（；^—+）]=2（：-+）=意

数列｛%｝的前n项和〃为焉56N*）.

【解析】（1）由已知，设出数列公比，根据条件列出方程组，通过解方程即可求解出由和

q,然后利用等比数列通项公式即可求解；

（2）由第（1）问求解出的通项公式，代入到bn中化简并进行裂项，然后求解其前n项和.

本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求数列的前n项和的问题，属于中档题.

18.【答案】解：（1）因为（。一b）?=（?2-。上可得M+炉一c?=ab,

又CG（0,7T）,

所以C=g.

cbc5

（2）因为b=5,ccosA=l,由正弦定理可得前=sin（江-4），所以逅=£—+-T

33222

可得A/^CCOSA+csinA=5>/3>

因为ccosA=1,

所以csinA=4V3>

所以S—BC=^bcsinA=x5x4>/3=10A/3.

【解析】（1）根据条件化简已知等式，进而利用余弦定理即可求解cost；的值，结合C的范

围即可求解C的值.

（2）由正弦定理及ccosA=1,可得csinA=4次，利用三角形的面积公式即可求解.

本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考

查了计算能力和转化思想，属于中档题.

19.【答案】解：（1）甲测试合格的概率为至野=|,

C103

乙测试合格的概率为受著=a

故甲，乙两人都测试合格的概率为|入孩=第

故甲，乙两人至多一人测试合格的概率p==

4745

(2)由题可知，甲答对的试题数X所有可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=q=P(X=1)="祭=

,)[30，'>』10"

P(X=2)=警=：,P(X=3)=旨=[,

Jo4Jo0

故X的分布列为：

X0123

1311

P

301026

故E(X)=lx卷+2X：+3XL.

【解析】(1)根据已知条件，求出甲和乙测试合格的概率，再结合相互独立事件的概率

乘法公式，以及对立事件概率和为1,即可求解.

(2)由题可知，甲答对的试题数X所有可能取值为0,1,2,3,分别求出对应的概率，

即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解.

本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题.

20.【答案】⑴证明：在长方体ABC。-A181c也中，如图,

连接力C,BD交于点0,则。是4C,BD的中点，连接OE,OF.

又因为F为AC的中点，

所以OF〃CC「

因为OFC平面CDDiCi，CQu平面CCDiG，

所以0/7/平面CD%

又E是BC的中点，

所以OE〃CD.

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因为0E仁平面CDQCi，CDu平面CDDiG，

所以OE〃平面CDDiG.

因为OFCOE=0,OEu平面OEF,OFu平面OEF,

所以平面OEF〃平面CDDiG.

因为EFu平面OEF,EFC平面CDDiG，

所以EF〃平面CDDiQ.

(2)解：连接B]E,B/,AE,以4为坐标原点，AB,AD,A公所在直线分别为x,y,z

因为在长方体ABCD-&BiQDi中，AD=^AA1=^AB=4,

所以4。=4,/L4i=3,AB=3,

所以E(3,2,0),?(|,2,|),&(3,0,3),

所以前=(一|,0,|),AE=(3,2,0).B^E=(0,2,-3)，

设平面AEF的法向量为记=(x,y,z),

(n-EF=--%i+\z1=0,3

则_,22令为=则％]=-1,Zi=-1,

n♦AE=3%i+2yl=0,

所以五=(一1,|,―1),

设平面EF/的法向量为沅=。2，%，22)，

,-EF=--x+-z=0.3.

则1,2222,令丫2=J，则n％2=1，Z2=1,

m-B]E=2y?-3z2=0

所以沆=(l,l,l),

设平面4EF与平面EFBi所成角为。，

八|n-m|1(-琮，-1>(琮，1)11

所以C°S|n|-|m|J(_1)2+(1)2+(_1)2,J12+(1)2+1217'

所以平面4EF与平面EFBi所成角的余弦值为春.

【解析】(1)先证明平面。EF〃平面CDDiG，再由面面平行的性质证明EF〃平面CDDiG；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求平面的夹角的余弦值即可.

本题主要考查线面平行的证明，面面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题.

21.【答案】(1)解:设APFiFz的内切圆半径为r,

则另小七=?|PFi|r,SA/pF2=?仍尸2匕54叫七=?|FiF2|r,

因为SA/PR=SZPF?+苧SA/6七,

所以沙Fi|r=1|P/2共+弓,扑/2上

即IP&I=伊现+争尸舟，可得IP&I-"I=争&61，

所以明詈!=?,

16尸212

由双曲线的定义和几何性质，得四=更，

2c2

又小=。2一1,解得小=3,

2

所以厂的方程为^•一y2=i.

(2)证明：由题意可知，直线I的斜率存在，设直线/的方程为y-y°=卜。一出)•

由正_y2=l可得2=丈_1=上.

由题意知火工0.

若点P在双曲线右支的上半支上，则丫=零，

所以y'=酝9j=叵疹f故"vs-

因为年_yo=l,所以诏_3=3端一后向-3y0;

若点P在双曲线右支的下半支上，则、=一零，

k=Xo=配

同理可得后而3yo.

综上，k=含，代入直线/的方程得、一为=含0-与)，

3yo3yo

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即XoX-3yoy=就一3据,

由£-yo=1>可得就一3yo=3,

所以直线，的方程为-3yoy=3,即y=吟(见>遮),

因为直线NF2的方程为x=2,

所以直线，与直线4尸2的交点M(2,等),

直线l与直线x=I的交点N©,2

_2XQ—3

所以IMF2I

31yoi

^2

21｛号-1+密-4%o+4

\NF\=(2-2二|1,1(Xo-2)

22IyoI

以就T2*O+9

=2/3,V32XQ—3

~2't3|y|=y|MF|1

-231yoi02

即INF2I=苧IMF2I得证.

【解析】⑴根据三角形面积公式及双曲线定义化简可得蔡=号，求出a即可得出方程;

(2)利用导数的几何意义求出切线斜率并化简可得k=效，求出切线及切线与直线的交

点，利用两点间距离公式并结合双曲线方程化简可得四%|=日阿尸21

本题主要考查双曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中等题.

22.【答案】解：(1)当a=2时，/(%)=ez-2x