专题11.7多边形及其内角和大题专练（重难点培优40题）-【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题11.7多边形及其内角和大题专练（重难点培优40题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________一．解答题（共40小题）1．（2023春•商水县期末）请阅读嘉嘉和琪琪对话，并解决下列问题：（1）嘉嘉说的“多边形内角和为2030”可能吗？不可能．（选填“可能”或“不可能”）（2）问嘉嘉求的几边形的内角和？【答案】（1）不可能；（2）嘉嘉求的是十三边形或十四边形的内角和．【分析】（1）根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°可得多边形内角和都是180的倍数，进而判断即可；（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，依题意可列方程，解方程即可求解．【解析】解：（1）∵多边形内角和公式为（n﹣2）×180°，∴多边形内角和都是180的倍数，∴2030÷180＝11余50，∴多边形内角和不可能为2030°．故答案为：不可能；（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，依题意，可列方程（n﹣2）×180°＝2030°+x﹣y，∵﹣180°＜x﹣y＜180°，∴2030°﹣180°＜（n﹣2）×180°＜2030°+180°，解得125又∵n为正整数，∴n＝13或n＝14，故嘉嘉求的是十三边形或十四边形的内角和．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式．2．（2023春•商水县期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分线交于点E．（1）若∠A＝42°，∠B＝58°，则∠E＝50°．（2）请你探究∠A，∠B，∠E之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）50°；（2）∠A+∠B＝2∠E，理由见解析．【分析】（1）先根据四边形内角和求出∠ADC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠B＝260°，再根据角平分线的性质得∠CDE+∠DCE=12（∠ADC+∠BCD）＝（2）根据角平分线的性质得∠ADC＝2∠CDE，∠BCD＝2∠ECD，根据四边形内角和得∠A+∠B+2（∠EDC+∠ECD）＝360°，所以∠A+∠B+2（180﹣∠E）＝360°，即可得∠A+∠B＝2∠E．【解析】解：（1）∵∠A＝42°，∠B＝58°，∴∠ADC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠B＝260°，∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠CDE=12∠ADC，∠DCE=1∴∠CDE+∠DCE=12（∠ADC+∠BCD）＝∴∠E＝180°﹣130°＝50°；故答案为：50°；（2）∠A+∠B＝2∠E，理由：∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ADC＝2∠CDE，∠BCD＝2∠ECD，∵∠A+∠B+∠ADC+∠BCD＝360°，∴∠A+∠B+2（∠EDC+∠ECD）＝360°，∴∠A+∠B+2（180﹣∠E）＝360°，∴∠A+∠B＝2∠E．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，三角形的内角和定理，角平分线定义等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键．3．（2022秋•建昌县期末）如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．（1）①探究∠AOD与∠BOC的关系：因为∠AOB＝∠COD＝90°，所以∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠BOD，即∠AOD＝∠BOC；②探究∠AOC与∠BOD的关系：因为∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，所以∠AOC+∠BOD＝180°；（2）若将这副三角尺绕点O旋转到如图乙的位置：①直接写出∠AOC与∠BOD的关系：∠AOC＝∠BOD；②探究∠AOD与∠BOC的关系，并仿照（1）①中的探究写出推过程．【答案】（1）①＝，②180°；（2）①∠AOD＝∠BOC．理由见解答；②成立，理由见解答．【分析】（1）①根据等式的性质等式的两边分别加上∠BOD，等式仍然成立，即可得出答案；②根据∠AOB＝∠COD＝90°以及∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠COD＝360°即可得出∠AOC与∠BOD的关系；（2）①根据等式的性质等式的两边分别减去∠BOD，等式仍然成立，即可得出答案；②根据∠AOB＝∠COD＝90°，即可得出∠AOB+∠BOC+∠DOB＝180°．【解析】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝90°∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠BOD即∠AOD＝∠BOC②∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠COD＝360°∴∠AOC+∠BOD＝180°．即∠AOC与∠BOD的关系为互补．故答案为：①＝，②180°；（2）①∠AOD＝∠BOC．理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD即∠AOD＝∠BOC；故答案为：∠AOD＝∠BOC；②成立．理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠BOC+∠DOB＝180°．即：∠AOC+∠BOD＝180°，∴∠AOC与∠BOD的关系为互补．【点评】此题主要考查了角的计算以及互补两角的性质，结合等式的性质得出角之间的等量关系是解决问题的关键．4．（2023春•鲤城区校级期中）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，BE、CD交于G点．（1）如图1，若∠A＝90°，①求证：∠EDG＝∠ABC；②作DF平分∠ADC，如图2，求证：DF∥BG．（2）如图3，作DF平分∠ADC，在锐角∠BAD内部作射线AN，交DF于N，若∠AND﹣∠GBC的大小为45°，试说明：AN平分∠BAD．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析．【分析】（1）①根据四边形内角和得出∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，根据邻补角得出∠EDG+∠ADC＝180°，根据补角的性质即可得出结论；②根据角平分线的定义结合∠ABC+∠ADC＝180°，得出∠2+∠4=12∠ABC+12∠ADC=90°，根据∠DFC+∠4＝90（2）延长AB、DF交于点M，求出∠DAN＝135°﹣∠2﹣∠3，∠BAN＝135°﹣∠2﹣∠3，证明∠DAN＝∠BAN，即可证明AN平分∠BAD．【解析】证明：（1）①∵∠C＝90°，∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵∠EDG+∠ADC＝180°，∴∠EDG＝∠ABC；②∵BE平分∠ABC，∴∠1=∵DF平分∠ADC，∴∠3=∴∠2+∵∠C＝90°，∴∠DFC+∠4＝90°，∴∠2＝∠DFC，∴DF∥BG；（2）延长AB、DF交于点M，如图所示：∵∠AND﹣∠GBC＝45°，∴∠AND＝∠2+45°，∴∠DAN＝180°﹣∠AND﹣∠3＝180°﹣∠2﹣45°﹣∠3＝135°﹣∠2﹣∠3，∵BE平分∠ABC，∴∠1=∵DF平分∠ADC，∴∠3=∵∠BFM＝∠CFD＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3，∴∠AMN＝∠ABC﹣∠BFM＝2∠2﹣90°+∠3，∴∠BAN＝∠AND﹣∠AMN＝45°+∠2﹣2∠2+90°﹣∠3＝135°﹣∠2﹣∠3，∴∠DAN＝∠BAN，∴AN平分∠BAD．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，补角和余角的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合．5．（2023春•台儿庄区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度数；（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．试说明：AE∥DC．【答案】（1）100°；（2）见解析．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；（2）根据AE平分∠BAD交BC于点E和AD∥BC，求出∠AEB＝∠BCD，再根据平行线的判定证明即可．【解析】解：（1）∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°；（2）证明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝50°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°，∵∠BCD＝50°，∴∠AEB＝∠BCD，∴AE∥DC．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理，准确进行推理证明和计算．6．（2023春•秦安县期末）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝60°，∠C＝130°，求∠BOD的度数；（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系∠C﹣∠A＝2∠O．【答案】（1）∠1+∠2＝∠A+∠C；（2）145°；（3）∠C﹣∠A＝2∠O．【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；（2）结合（1）的结论，根据∠ABC与∠ADC的平分线，∠A＝60°，∠C＝130°，即可求∠BOD的度数；（3）结合（1）的结论，根据BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．进而可以写出∠A、∠C与∠O的数量关系．【解析】解：（1）猜想：∠1+∠2＝∠A+∠C，理由如下：∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC＝360°，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∴∠1+∠2＝∠A+∠C；（2）∵∠A＝60°，∠C＝130°，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣190°＝170°，∵BO、BO分别平分∠ABC与∠ADC，∴∠OBC=12∴∠OBC+∴∠BOD＝360°﹣（∠OBC+∠ODC+∠C）＝360°﹣85°﹣130°＝145°；（3）∠A、∠C与∠O的数量关系为：∠C﹣∠A＝2∠O，理由如下：∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线，∴∠FDC＝2∠FDO＝2∠ODC，∠EBC＝2∠EBO＝2∠CBO，由（1）可知：∠FDO+∠EBO＝∠A+∠O，2∠FDO+2∠EBO＝∠A+∠C，∴2∠A+2∠O＝∠A+∠C，∴∠C﹣∠A＝2∠O，故答案为：∠C﹣∠A＝2∠O．【点评】此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握多边形外角．7．（2023春•宛城区期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．（1）这个“多加的锐角”是30°．（2）小明求的是几边形的内角和？（3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？【答案】（1）30；（2）12；（3）30°．【分析】（1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可；（2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可；（3）根据正多边形外角和为360°，而每一个外角都相等进行计算即可；【解析】解：（1）12边形的内角和为（12﹣2）×180°＝1800°，而13边形的内角和为（13﹣2）×180°＝1980°，由于小红说：“多边形的内角和不可能是1830°，你一定是多加了一个锐角”，所以这个“多加的锐角是1830°﹣1800°＝30°，故答案为：30；（2）设这个多边形为n边形，由题意得：（n﹣2）×180°＝1800°，解得：n＝12；答：小明求的是12边形的内角和；（3）正12边形的每一个外角都相等，而多边形的外角和始终为360°，所以每一个外角为360°12答：这个正多边形的每一个外角为30°【点评】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是正确解答的前提．8．（2023春•鹤壁期末）【感知】如图1所示，在四边形AEFC中，EB、FD分别是边AE、CF的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角，若∠A+∠C＝220°，则∠BEF+∠DFE＝220°；【探究】如图2所示，在四边形AECF中，EB、FD分别是边AE、AF的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角，试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系，并说明理由；【应用】如图3所示，FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线，若∠A+∠C＝200°，则∠M的度数为80°．【答案】（感知）220°；（探究）∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC，理由见解析；（应用）80°．【分析】（感知）根据四边形的内角和和邻补角的定义即可求出答案；（探究）根据四边形的内角和和邻补角的定义即可求出答案；（应用）根据四边形的内角和和邻补角定义可求出∠BEF+∠DFE的度数，结合角平分线的定义即可求出∠MFE+∠MEF度数，最后利用三角形内角和即可求出∠M的度数．【解析】解：（感知）∵四边形AEFC的内角和为：（4﹣2）×180°＝360°，∠A+∠C＝220°，∴∠CFE+∠AEF＝360°﹣220°＝140°，∵∠CFE+∠DFE＝180°，∠AEF+∠BEF＝180°，∴∠BEF+∠DFE＝180°+180°﹣140°＝220°．故答案为：220°．（探究）∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC，理由如下：∵∠A+∠AEC+∠C+∠AFC＝360°，∴∠A+∠C＝360°﹣（∠AEC+∠AFC）．∵∠AEC+∠BEC＝180°，∠AFC+∠DFC＝180°，∴∠BEC+∠DFC＝360°﹣（∠AEC+∠AFC）．∴∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC．（应用）∵四边形AEFC的内角和为：（4﹣2）×180°＝360°，∠A+∠C＝200°，∴∠CFE+∠AEF＝360°﹣200°＝160°，∵∠CFE+∠DFE＝180°，∠AEF+∠BEF＝180°，∴∠BEF+∠DFE＝180°+180°﹣160°＝200°．∴12∵FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线，∴∠DFM=∠MFE=∴∠MFE+∠MEF＝100°，∴∠M＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80°．【点评】本题考查了四边形内角和，三角形内角和，邻补角和角平分线，解题的关键在于掌握多边形内角和公式，以及相关知识点．9．（2023春•梅江区期末）直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧!【问题探究】（1）①如图1，若AB∥CD，点P在AB，CD内部，∠B＝55°，∠D＝30°，则∠BPD＝85°；②如图2，若AB∥CD，将点P在AB，CD外部，则∠BPD，∠B，∠D之间数量关系：∠BFD+∠D＝∠B（不需证明）；③如图3，写出∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系：∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD（不需证明）．【变式拓展】（2）如图4，五角星ABCDE，请直接写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．（3）如图5，将五角星ABCDE去掉一个角后，∠B+∠C+∠D+∠E+∠P+∠Q是多少？请证明你的结论．【答案】（1）①85°；②∠B＝∠BPD+∠D；③∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；（2）180°；（3）∠B+∠C+∠D+∠E+∠P+∠Q＝360°．【分析】（1）①根据平行线的性质即可得出答案；②利用平行线的性质以及三角形的内角和定理可得答案；③利用三角形的外角的性质可得答案；（2）利用三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可；（3）利用三角形的内角和定理以及四边形的内角和是360°进行计算即可．【解析】解：（1）①如图1，过点P作PQ∥AB，∵ABCD，∴AB∥PQ∥CD，∴∠B＝∠BPQ，∠D＝∠DPQ，∴∠BPD＝∠B+∠D＝55°+30°＝85°，故答案为：85°；②如图2，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BQD，又∵∠BQD＝∠D+∠BPD，∴∠B＝∠BPD+∠D，故答案为：∠B＝∠BPD+∠D；③如图3，延长BP交CD于点E，∵∠BPD＝∠D+∠BED，∠BED＝∠QBP+∠BQD，∴∠BPD＝∠D+∠QBP+∠BQD，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D，故答案为：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；（2）如图4，∵∠CMN＝∠A+∠D，∠CNM＝∠B+∠E，又∵∠CMN+∠CNM+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，故答案为：180°；（3）证明：如图5，连接CD，∵∠B+∠E+∠BME＝∠DCE+∠BDC+∠CMD＝180°，∠BME＝∠CMD，∴∠B+∠E＝∠DCE+∠BDC，∵∠PCE+∠DCE+∠BDC+∠BDQ+∠P+∠Q＝360°，∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠P+∠Q＝360°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角，掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．10．（2023春•甘井子区校级月考）如图1是一张长方形的纸片，将这张长方形的纸片沿EF折叠成图1的形状．张明同学发现折叠之后，四边形CDEF与四边形C'D'EF是完全相同的图形，因此折痕恰好是∠DED'的平分线．（1）图1中，若∠DEF＝70°时，求∠EMB的值；（2）将长方形纸片的右边沿着EF折叠，左边沿着EG折叠，如图2所示，若两条折痕形成的夹角∠FEG＝70°，求FC与EA形成的夹角∠FNE的度数．（3）将长方形纸片的右边沿着EF折叠，左边沿着GH折叠，如图3所示，试探究两条折痕形成的夹角∠P与DE、BH形成的夹角∠EOH之间的数量关系．【答案】（1）140°；（2）40°；（3）∠EOH+2∠P＝180°．【分析】（1）根据翻折以及平行的性质即可作答；（2）根据题意，结合翻折可知，∠GEA＝∠GEA'，∠DEF＝∠D'EF，即有∠A'ED＝180°﹣2∠DEF，根据∠FEG＝70°，可得∠DEF﹣∠DEG＝∠FEG＝70°，根据∠DEA＝∠GEA+∠GEA'﹣∠A'ED，可得∠DEA＝2（∠GEA+∠DEG）﹣40°，即可得∠DEA＝40°，再根据DE∥CF，有∠ENF＝∠DEA＝40°；（3）根据题意，结合翻折可知，∠BHG＝∠B'HG，∠DEF＝∠D'EF，根据平行的性质有∠A'ET＝∠ETH，∠D'EF＝∠EFH，根据∠EFH＝∠P+∠FHP，可得∠EFH﹣∠P＝∠B'HG，根据∠EOH＝∠ETH+∠BHT，可得∠EOH＝∠ETH+2∠B'HG，即可得∠EOH+2∠P＝∠ETH+2∠EFH，问题随之得解．【解析】解：（1）∵EF平分∠DED'，∠FED＝70°，∴∠DED'＝2∠FED＝140°，∵AD∥BC，∴∠EMB＝∠DED'＝140°，即所求角度为140°；（2）如图，根据题意，结合翻折可知，∠GEA＝∠GEA'，∠DEF＝∠D'EF，∴∠A'ED＝180°﹣∠DEF﹣∠D'EF＝180°﹣2∠DEF，∵∠FEG＝70°，∴∠DEF﹣∠DEG＝∠FEG＝70°，∴∠DEF＝∠DEG+70°，∵∠DEA＝∠GEA+∠GEA'﹣∠A'ED，∴∠DEA＝2∠GEA﹣（180°﹣2∠DEF），∴∠DEA＝2∠GEA﹣[180°﹣2（∠DEG+70°）]，∴∠DEA＝2（∠GEA+∠DEG）﹣40°，∴∠DEA＝2∠DEA﹣40°，∴∠DEA＝40°，∵DE∥CF，∴∠ENF＝∠DEA＝40°，∴∠ENF＝40°；（3）如图，根据题意，结合翻折可知，∠BHG＝∠B'HG，∠DEF＝∠D'EF，∵A'D'∥B'C'，DE∥CF，∴∠A'ET＝∠ETH，∠D'EF＝∠EFH，∵∠EFH＝∠P+∠FHP，∴∠EFH＝∠P+∠B'HG，即∠EFH﹣∠P＝∠B'HG，∵∠EOH＝∠ETH+∠BHT，∴∠EOH＝∠ETH+2∠B'HG，∴∠EOH＝∠ETH+2（∠EFH﹣∠P），∴∠EOH+2∠P＝∠ETH+2∠EFH，∵∠D'EF＝∠EFH，∠DEF＝∠D'EF，∴∠DEF＝∠EFH，∴∠EOH+2∠P＝∠ETH+∠DEF+∠EFH＝180°，即满足关系∠EOH+2∠P＝180°．【点评】本题考查了长方形翻折、平行线的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，根据翻折找到正确的角的等量关系是解答本题的关键．11．（2023春•襄汾县期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？如图1，在五边形ABCDE中，∠1，∠2是它的两个外角，∠1+∠2＝∠A+∠B+∠C﹣180°．下面是该结论的证明过程（部分）：∵五边形的内角和为540°，∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4＝540°．……（1）按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分．（2）知识应用：如图2，在五边形ABCDE中，EF，DF分别是∠DEH和∠EDG的平分线，若∠A+∠B+∠C＝320°，求∠F的度数；（3）拓展提升：如图3，∠C=∠E=90°，∠ABH=23∠ABF，∠GFH=2【答案】（1）证明见解析过程；（2）110°；（3）120°．【分析】（1）根据五边形内角和表示出∠A+∠B+∠C的值，根据邻补角定义表示出∠1+∠2的值，即可求解；（2）由（1）中的结论，求出∠DEH+∠EDG，再根据角平分线定义求出∠DEF+∠EDF的值，再根据三角形内角和定理即可求解；（3）根据已知条件求出∠ABF+∠BFG的值，再由（1）中的结论，求出∠C+∠D+∠E的值，进而可求∠D的度数．【解析】（1）证明：∵五边形的内角和为540°，∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4＝540°．∴∠A+∠B+∠C＝540°﹣∠3﹣∠4，∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠3﹣∠4，∴∠A+∠B+∠C﹣（∠1+∠2）＝540°﹣∠3﹣∠4﹣（360°﹣∠3﹣∠4）＝180°∴∠1+∠2＝∠A+∠B+∠C﹣180°；（2）解：由（1）得∠DEH+∠EDG＝∠A+∠B+∠C﹣180°，∵∠A+∠B+∠C＝320°，∴∠DEH+∠EDG＝320°﹣180°＝140°，∵EF平分∠DEH，DF平分∠EDG，∴∠DEF=12∠DEH，∠EDF=1∴∠DEF+∠EDF=12（∠DEH+∠EDG）=12∵∠DEF+∠EDF+∠F＝180°∴∠F＝180°﹣70°＝110°；（3）解：∵∠H＝140°，∴∠HBF+∠HFB＝180°﹣140°＝40°，∵∠ABH=23∠ABF，∠GFH=2∴∠ABF+∠BFG＝3（∠HBF+∠HFB）＝3×40°＝120°，由（1）得∠ABF+∠BFG＝∠C+∠D+∠E﹣180°，∴∠C+∠D+∠E＝∠ABF+∠BFG+180°＝120°+180°＝300°，∵∠C＝∠E＝90°，∴∠D＝300°﹣90°﹣90°＝120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了多边形的内角和与多边形的外角，三角形的内角和，阅读题目，理解（1）中的结论是解题的关键．12．（2023春•通许县期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？【答案】见试题解答内容【分析】（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°÷α；（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．【解析】解：（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多边形的每个外角为40°．又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数=36040∴多边形的边数＝9，答：这个多边形的边数是9；（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，当截线为经过对角2个顶点的直线时，多边形的边数减少了1条边，内角和＝（9﹣2﹣1）×180°＝1080°；当截线为经过多边形一组对边的直线时，多边形的边数不变，内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°；当截线为只经过多边形一组邻边的一条直线时，多边形的边数增加一条边，内角和＝（9﹣2+1）×180°＝1440°．答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是1080°或1260°或1440°．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，运用方程求解比较简便．第2问在理解剪掉多边形的一个角的含义时，确定其剩余几边形是关键．13．（2023春•泰兴市校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F．（1）若∠A＝∠C＝90°，试说明DF∥BE．（2）若DF∥BE，则结论“∠A＝∠C＝90°”一定成立吗？说明你的理由．【答案】（1）详见解答；（2）详见解答．【分析】（1）根据四边形内角和得到∠ABC+∠ADC＝180°，再根据角平分线定义得到∠ABE=12∠ABC，∠ADF=12∠ADC，则∠ABE+∠ADF＝90°，加上∠AFD+∠ADF＝90°，利用等角的余角相等得∠AFD＝∠ABE，然后根据平行线的判定定理得到（2）先根据∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F得∠ABE=12∠ABC，而∠ADF=1【解析】解：（1）DF∥BE，理由：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵BE是∠ABC、DF是∠ADC的平分线，∴∠ABE=12∠ABC，∠ADF=1∴∠ABE+∠ADF＝90°，而∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝∠ABE，∴DF∥BE；（2）不成立，理由：∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠∵∠ADF＝∠AFD=12∠∵BE∥DF，∴∠ABE＝∠AFD＝∠CBE，∠ADF＝∠CDF＝∠CEB，∵∠C+∠CEB+∠CBE＝180°＝∠A+∠AFD+∠ADF，∴∠A＝∠C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质以及角平分线的定义是正确解答的前提．14．（2023春•玄武区期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形．（1）已知四边形ABCD是对补四边形．①若∠BAD＝65°，则∠BCD＝115°．②如图①，∠BAD、∠BCD的平分线分别与BC、AD相交于点E、F，且∠D＝90°，求证：AE∥CF；（2）如图②，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，且AC平分∠BAD，∠ABC＝∠BEC，CF平分∠BCD，与AD交于点F，且CF⊥BD于点G，则四边形ABCD是对补四边形吗？请说明理由；（3）已知四边形ABCD是对补四边形，其三个顶点A，B，D如图③所示，连接AB，AD．若AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，且直线AE，CF交于点O（与点C不重合），请直接写出∠AOC与∠D之间的数量关系．【答案】（1）①115；②见解答；（2）见解答；（3）∠AOC﹣∠D＝90°或∠D+∠AOC＝90°或∠D﹣∠AOC＝90°【分析】（1）①由对补四边形的定义：有一组对角互补，进行计算即可得到答案；②由对补四边形的定义及角平分线的定义可得∠DAE+∠DCF＝12（∠BAD+∠BCD）＝90°，由同角的余角相等可得∠EAD＝∠CFD，从而即可得证；（2）由角平分线的性质、三角形外角的定义以及同角的余角相等可求得∠BAD+∠BCD＝2（∠1+∠BCG）＝180°，从而即可得到四边形ABCD是对补四边形；（3）根据题意画出图形，再根据对补四边形的定义、角平分线的性质、四边形的内角和为360°，以及三角形外角的定义，进行计算即可得到答案．【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是对补四边形，∠BAD＝65°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115②∵∠BAD+∠BCD+∠B+∠D＝360°，又∵四边形ABCD是互补四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠EAF+∠ECF＝90°，∵∠ECF＝∠3，∴∠EAF+∠3＝90°，在Rt△CDF中，∠D＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠EAF＝∠2，∴AE∥CF．（2）四边形ABCD是对补四边形理由：∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC＝∠1+∠3，又∵∠ABC＝∠BEC，∴∠2+∠3＝∠1+∠3，∴∠1＝∠2，∵CF⊥BD，∠BGC＝90°，在Rt△BGC中，∠BGC＝90°，∴∠2+∠BCG＝90°，又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BCG＝90°，∵AC、CF分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠BAC＝2∠1，∠BCD＝2∠BCG，∴∠BAC+∠BCD＝2（∠1+∠BCG）＝180°，∴四边形ABCD是对补四边形．（3）第一种答案：∠AOC﹣∠D＝90°∵四边形ABCD是对补四边形，∴∠B+∠D＝180°，∠A+∠C＝180°，∵AE、CE分别为∠BAD和∠BCD的角平分线，∴∠1+∠2＝90°，∵四边形内角和为360°，∴在四边形ABCO中∠B+∠AOC＝270°，即∠AOC＝270°﹣∠B，∵∠B+∠D＝180°，∴∠AOC＝270°﹣（180°﹣∠D），即∠AOC﹣∠D＝90°；第二种答案：∠D+∠AOC＝90°∵四边形ABCD是互补四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵AE、CF为角平分线，∴∠1+∠2＝90°，∵在AFO中，∠AFO＝180°﹣∠2﹣∠AOC，在△CDF中，∠AFO＝1+∠D，∴∠1+∠D＝180°﹣∠2﹣∠AOC，即∠D+∠AOC＝90°；第三种答案：∠D﹣∠AOC＝90°∵四边形ABCD是对补四边形，∴∠B+∠D＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，∵AE、CF为角平分线，∴∠1+∠2＝90°，∵在△OEC中，外角∠BEA＝∠AOC+∠2，在△ABE中，∠BEA＝180°﹣∠1﹣∠B，∴∠AOC+∠2＝180°﹣∠1﹣∠B∵∠B＝180°﹣∠D∴∠AOC+∠2＝180°﹣∠1﹣180°+∠D即∠D﹣∠AOC＝90°．【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和与外角性质是解题的关键15．（2023春•杞县期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于180°，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．如图①．在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．解决问题：（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BPC＝120°；（直接写出答案）（2）若∠BAC＝100°，求出∠BPC的度数：拓展延伸：如图②，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，直接写出∠BPC与∠A+∠D的数量关系．【答案】（1）120°；（2）140°；（3）∠BPC=12（∠A+∠【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；（3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系．【解析】解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，∴∠PBC=12∠ABC=12×40°＝20°，∠PCB=12∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣20°﹣40°＝120°；故答案为：120°；（2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°-12（180°﹣∠BAC）＝90°+1∵∠BAC＝100°，∴∠BPC＝90°+12∠BAC＝90°+12（3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°-12（360°﹣∠A﹣∠D）=12（∠A【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．16．（2023春•成华区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝α，∠BCD＝β，延长AB到点E，AF是∠DAB的平分线，BG是∠CBE的平分线．（1）如图1，当AF∥BG时，求证：α+β＝180°（2）如图2，当α+β＞180°时，直线AF交直线BG于点M，问∠AMB与α，β之间有何数量关系？写出你的结论并证明；（3）如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，那么∠AMB与α，β之间又有何数量关系？请直接写出结论，不用证明．​【答案】（1）证明见解答；（2）2∠AMB＝α+β﹣180°，证明见解答；（3）2∠AMB＝180°﹣α﹣β．【分析】（1）AF是∠DAB的平分线，BG是∠CBE的平分线，得∠BAD＝2∠BAF，∠EBC＝2∠EBG，由AF∥BG，得∠BAF＝∠EBG，所以∠BAD＝∠EBC，则AD∥BC，所以α+β＝180°；（2）延长AD、BC交于点H，由∠EBM=12∠EBC，∠BAM=12∠BAD，得∠AMB＝∠EBM﹣∠BAM=12（∠EBC﹣∠BAD）=12∠H，则2∠AMB＝∠H＝180°﹣（∠HDC+∠HCD）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣（3）延长DA、CB交于点L，由∠ABM＝∠EBG=12∠EBC=12∠ABL，∠BAF=12∠BAD，得∠AMB＝∠BAF﹣∠ABM=12（∠BAD﹣∠ABL）=12∠L，则2∠【解析】（1）证明：∵AF是∠DAB的平分线，BG是∠CBE的平分线，∴∠BAD＝2∠BAF，∠EBC＝2∠EBG，∴AF∥BG，∴∠BAF＝∠EBG，∴2∠BAF＝2∠EBG，∴∠BAD＝∠EBC，∴AD∥BC，∴α+β＝180°．（2）解：2∠AMB＝α+β﹣180°，证明：如图2，延长AD、BC交于点H，∵∠EBM=12∠EBC，∠BAM=1∴∠AMB＝∠EBM﹣∠BAM=12（∠EBC﹣∠BAD）=1∴2∠AMB＝∠H，∵∠H＝180°﹣（∠HDC+∠HCD）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°，∴2∠AMB＝α+β﹣180°．（3）2∠AMB＝180°﹣α﹣β，证明：如图3，α+β＜180°，延长DA、CB交于点L，∵∠ABM＝∠EBG，∠EBC＝∠ABL，∴∠ABM＝∠EBG=12∠EBC=1∵∠BAF=12∠∴∠AMB＝∠BAF﹣∠ABM=12（∠BAD﹣∠ABL）=1∴2∠AMB＝∠L，∵∠L＝180°﹣α﹣β，∴2∠AMB＝180°﹣α﹣β．【点评】此题重点考查角平行线的性质、平分线的定义、三角形的内角和等于180°、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．17．（2023春•历下区期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．（1）该五边形广场ABCDE的内角和是540度；（2）她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是360度；（3）如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若MA∥EN，且∠1+∠2＝200°，求行程中小红身体转过的角度的和（即∠3+∠4+∠5的值）．【答案】（1）540；（2）360；（3）∠3+∠4+∠5＝160°．【分析】（1）根据多边形内角和公式计算即可；（2）根据多边形外角和都是360°可得；（3）延长NE构成新的四边形，根据外角和360°减去200°即可得出结果．【解析】解：（1）根据多边形内角和公式（n﹣2）•180°得，五边形内角和为（5﹣2）×180°＝540°；故答案为：540．（2）根据多边形外角和都是360°，跑完一圈，跑步方向改变的角度的和，360°；故答案为：360．（3）延长NE交AB于点F，∵MA∥EN，∴∠1＝∠6，∠1+∠2＝200°，∠6+∠2＝200°，∵在五边形FBCDE中，∠6+∠3+∠4+∠5+∠2＝360°，∠3+∠4+∠5＝160°．【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和以及平行线的性质，熟记内角和公式是求内角和的关键．18．（2023春•海沧区校级期中）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，点E在AB边上，DE平分∠ADC，且∠ADE＝∠DEA．（1）求证：AD∥BC；（2）如图2，DF⊥BC交BC边于点G，交AB边的延长线于点F，且DB平分∠EDF．若∠BDC＝42°，求∠F的度数．【答案】（1）见解答；（2）∠F＝26°．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CDE＝∠ADE，再结合已知条件可得∠CDE＝∠DEA，从而得出CD∥AB，根据平行线的性质以及已知条件可得∠B+∠A＝180°，从而证得AD∥BC；（2）由垂直的定义可得∠BGF＝90°，由AD∥BC可得∠ADF＝∠BGF＝90°，由CD∥AB可得∠CDF＝∠F，∠EDB＝∠BDF＝x°，∠CDF＝∠F＝y°，则∠EDF＝2x°，∠ADE＝∠EDC＝（2x+y）°，由∠ADF＝∠ADE+∠EDF，得2x+y+2x＝90，得出y＝90﹣4x，再根据∠BDC＝42°求解即可．【解析】（1）证明：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠DEA，∴∠CDE＝∠DEA，∴CD∥AB，∴∠B+∠C＝180°，又∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）解：∵DF⊥BC，∴∠BGF＝90°，又∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠BGF＝90°，∵CD∥AB，∴∠CDF＝∠F．设∠EDB＝∠BDF＝x°，∠CDF＝∠F＝y°，则∠EDF＝2x°，∠ADE＝∠EDC＝（2x+y）°，由∠ADF＝∠ADE+∠EDF，得2x+y+2x＝90，∴y＝90﹣4x，∵∠BDC＝42°，∴x+y＝42°，解得x＝16°，y＝26°，∴∠F＝26°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．19．（2023春•朝阳区校级期中）已知，如图，AD与BC交于点O．（1）如图1，判断∠A+∠B与∠C+∠D的数量关系：∠A+∠B＝∠C+∠D，并证明你的结论．（2）如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度数为540°．（3）如图3，若CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，CF与DE交于点M，∠E+∠F＝50°，请直接写出∠A+∠B＝100°．【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）540°；（3）100°．【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得结论；（2）利用（1）的结论以及五边形的内角和计算方法进行计算即可；（3）利用角平分线的定义以及（1）的结论可得∠A+∠B＝∠OCD+∠ODC＝2（∠E+∠F）即可．【解析】解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝180°＝∠COD+∠C+∠D，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，连接AB，由（1）得，∠OBA+∠OAB＝∠C+∠D，∴∠DAM+∠CBE+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度数为五边形ABEFM的内角和，即（5﹣2）×180°＝540°，故答案为：540°；（3）∵CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴∠MCD=12∠OCD，∠MDC=1由（1）可得，∠E+∠F＝∠MCD+∠MDC，∴12∠OCD+12∠ODC∴∠OCD+∠ODC＝100°，∴∠A+∠B＝∠OCD+∠ODC＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及角平分线的定义，掌握三角形内角和是180°，角平分线的定义以及多边形内角和的计算方法是正确解答的前提．20．（2023春•南京期中）研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？【回顾】如图①，请直接写出∠ACD与∠A、∠B之间的数量关系：∠ACD＝∠A+∠B．【探究】如图②，∠DCE是四边形ABCD的外角，求证∠DCE＝∠A+∠B+∠D﹣180°．【结论】若n边形的一个外角为x°，与其不相邻的内角之和为y°，则x，y与n的数量关系是y﹣x＝180（n﹣3）．【答案】【回顾】∠ACD＝∠A+∠B；【探究】见解析；【结论】y﹣x＝180（n﹣3）．【分析】【回顾】根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案；【探究】根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论；【结论】根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案．【解析】解：【回顾】∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠A+∠B；故答案为：∠ACD＝∠A+∠B；【探究】∵∠A+∠B+∠D+∠BCD＝360°，∠DCE+∠BCD＝180°，∴360°﹣（∠A+∠B+∠D）＝180°﹣∠DCE，∴∠DCE＝∠A+∠B+∠D﹣180°．【结论】∵n边形的某一个外角的度数是x°，∴与这个外角相邻的内角是（180﹣x）°，∵与这个外角不相邻的所有内角的和是y°，∴（180﹣x）+y＝（n﹣2）180，整理得：y﹣x＝180（n﹣3），故答案为：y﹣x＝180（n﹣3）．【点评】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）．21．（2023春•九龙坡区校级期中）如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠DCB，点E是边AD上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．（1）求证：①AB∥CD；②2∠P+∠ECB＝180°；（2）如图2，∠BCP的平分线交AD于点F，若4∠P＝3∠DEC，3∠D＝2∠DFC，求∠PCF的度数．【答案】（1）①证明见解答；②证明见解答；（2）54°．【分析】（1）①根据平行线的性质和等量代换可得：∠ABC+∠DCB＝180°，从而得结论；②如图1，过点P作PG∥CD，根据平行线的性质得：∠ABP＝∠BPG，∠DCP＝∠CPG，由角平分线的定义，角的和差，三角形的内角和定理可得结论；（2）如图2，设∠P＝3x，∠DEC＝4x，∠D＝2y，∠DFC＝3y，根据△BPC中三角形的内角和定理可得x的值，由平行线的性质和角平分线的定义表示∠CBP＝y，∠BCP＝2∠BCF＝6y，列方程可得y的值，从而可以解答．【解析】（1）证明：①∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝∠DCB，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥CD；②∵BP平分∠ABC，CP平分∠DCE，∴∠ABP＝∠CBP，∠DCP＝∠ECP，如图1，过点P作PG∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PG，∴∠ABP＝∠BPG，∠DCP＝∠CPG，∴∠BPC＝∠BPG+∠CPG＝∠ABP+∠DCP＝∠PBC+∠ECP，在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠ECP+∠ECB＝180°，∴2∠BPC+∠ECB＝180°；（2）解：如图2，设∠P＝3x，∠DEC＝4x，∵AD∥BC，∴∠ECB＝∠DEC＝4x，由（1）知：2∠P+∠ECB＝180°，∴6x+4x＝180，∴x＝18°，∴∠P＝54°，∵3∠D＝2∠DFC，∴设∠D＝2y，∠DFC＝3y，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠D＝180°，∠BCF＝∠DFC＝3y，∴∠ABC＝∠D＝2y，∴∠CBP＝y，∵CF平分∠BCP，∴∠BCP＝2∠BCF＝6y，△BCP中，∠CBP+∠P+∠BCP＝180°，∴y+54°+6y＝180°，∴y＝18°，∴∠PCF＝3y＝3×18°＝54°．【点评】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质与判定，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用相关定义与性质求解角的度数是解题的关键．22．（2022秋•东丽区期末）如图1：BE平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E．（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，求∠E的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MBCN，如图2，猜想∠E，∠M，∠N的关系并证明．【答案】（1）∠E＝25°；（2）∠E=【分析】（1）由角平分线定义得到∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，由三角形外角性质得到∠ACD＝∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠（2）延长BM和CN相交于点A，进一步得到∠A＝∠BMN+∠MNC﹣180°，由（1）的结论即可得到答案．【解析】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠EBC=12∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠EBC，∴12∴12∴12∴12∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，∴∠A＝50°，∴∠E＝25°；（2）证明：∠E=延长BM和CN相交于点A，∵∠A+∠AMN+∠ANM＝180°，∠AMN+∠BMN＝180°，∠ANM+∠MNC＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣∠BMN+180°﹣∠MNC）＝∠BMN+∠MNC﹣180°，∵由（1）知∠E=∴∠E=【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质定理，理清各角之间的关系是解题的关键．23．（2022秋•海城市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G．（1）求证：BG平分∠ABE．（2）若∠DCE＝105°，∠DAB＝60°，求∠BGC的度数．【答案】（1）证明见详解；（2）35°．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAE＝∠E，再根据角平分线的性质得出∠DAE＝∠BAE，从而得出∠E＝∠BAE，最后根据等腰三角形的性质即可得出BG平分∠ABE；（2）根据∠DAB＝60°，AD∥BC，得出∠ABE＝120°，再根据角平分线的性质得出∠GBE＝60°，从而得出∠DCE＝105°，最后根据∠BGC＝∠DCE﹣∠GBE即可得出答案．【解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠E＝∠BAE，∴AB＝BE，∵BG⊥AE，∴BG平分∠ABE；（2）解：∵∠DAB＝60°，AD∥BC，∴∠ABE＝120°，∵BG平分∠ABE，∴∠GBE＝60°，∵∠DCE＝105°，∴∠BGC＝∠DCE﹣∠GBE＝105°﹣60°＝35°．【点评】此题考查了多边形的内角与外角以及平行线的性质，熟记平行线的性质以及三角形的性质是解题的关键．24．（2022秋•兴城市月考）探究一：（1）如图1，在△ABC中，∠A＝64°，BP，CP分别是两个内角∠ABC，∠ACB的角平分线，则∠P＝122度．（2）如图2，在△ABC中，∠A＝70°，BP，CP分别是两个外角∠CBD，∠BCE的角平分线，则∠P＝55度．探究二：（1）如图3，在△ABC中，BP是三角形内角∠ABC的角平分线，CP是外角∠ACD的角平分线．请说明∠P和∠A之间的数量关系？并证明你的结论．（2）如图4，在四边形ABCD中，BP是内角∠ABC的角平分线，CP是外角∠DCE的角平分线，请直接写出∠P与∠A，∠D之间的数量关系．（不用说明理由）【答案】探究一：（1）122．（2）55．探究二：（1）∠A＝2∠P；证明见解答．（2）∠P=12（∠A+∠D）﹣【分析】探究一：（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得答案；（2）根据角平分线的定义、平角定义以及三角形内角和定理即可求得答案；探究二：（1）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果；（2）根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠P+∠【解析】解：探究一：（1）如图1，∵∠A＝64°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝116°，∵BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB）=12∵∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠P＝180°﹣58°＝122°，故答案为：122．（2）如图2，∵∠A＝70°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∵BP，CP分别平分∠DBC，∠ECB，∴∠PBC=12∠DBC，∠PCB=1∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠=12（180°﹣∠ABC+180°﹣∠＝180°-12（∠ABC+∠＝180°-12＝125°，∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣125°＝55°，故答案为：55．探究二：（1）∠A＝2∠P．理由如下：如图3，∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是外角∠ACD的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCD=1∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角，∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴12∠ACD=12∠ABC+∴12∠ABC+12∠A＝∠PBC+∴∠A＝2∠P；（2）∠P=12（∠A+∠D）﹣如图4，由四边形内角和定理得∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，∠PCE＝∠P+∠PBC，∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=1∴∠P+∠PBC=12（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）=12（∠A+∠D）+1∴∠P=12（∠A+∠D）﹣【点评】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，补角的定义，三角形的内角和定理等，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解．25．（2022春•南关区校级期中）【结论探究】如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP相交于点P，则有结论：∠P=12∠请完成上述结论的证明过程：∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=12∠ABC∵CP平分∠ACD，∴∠PCD=12∠∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC=12∠ACD-12∠ABC请直接应用上面的结论解决下面问题：【结论应用】如图2，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC的平分线BE与外角∠ACD的平分线CE相交于点E，外角∠HBC的平分线BF与EC的延长线相交于点F，求∠F的度数．【拓展应用】如图3，已知四边形ABCD与四边形BCEF，BF平分角∠ABC，CE平分外角∠DCH．①若∠A＝100°，∠D＝142°，则∠E+∠F＝211°；②若∠A+∠D＝α，∠E+∠F＝β，则α＝2β﹣180°（用含β的代数式表示）．【答案】结论探究：ABC，A，ABC；结论应用：55°；拓展应用：①211，2β﹣180°．【分析】结论探究：由角平分线的定义，三角形外角的性质，即可证明；结论应用：由角平分线定义推出∠EBF＝90°，应用结论探究中的结论，即可得到答案；拓展应用：延长BA，CD交于M，延长BF，CE交于N，由结论探究中的结论，即可解决问题．【解析】解：结论探究：∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=12∠∵CP平分∠ACD，∴∠PCD=12∠∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC=12∠ACD-12∠ABC故答案为：ABC，A，ABC．结论应用：如图2，∵BE平分∠ABC，BF平分∠CBH，∴∠EBC=12∠ABC，∠FBC=1∴∠EBC+∠FBC=12（∠ABC+∠∴∠EBF=12∠ABH=12∵∠E=12∠A=12∴∠F＝90°﹣∠E＝55°；拓展应用：如图3，延长BA，CD交于M，延长BF，CE交于N，①∵∠BAD＝∠M+∠ADM，∠ADC＝∠M+∠MAD，∴∠BAD+∠ADC＝∠M+∠ADM+∠MAD+∠M＝180°+∠M，∴∠M＝∠BAD+∠ADC﹣180°＝100°+142°﹣180°＝62°，∴∠N=12∠M＝∴∠BFE+∠CEF＝180°+∠N＝211°，故答案为：211；②由①知∠M＝∠BAD+∠ADC﹣180°，∴∠M＝α﹣180°，∴∠N=12∠M=12∵∠BFE+∠CEF＝180°+∠N＝180°+12α﹣∴β=12α∴α＝2β﹣180°．故答案为：2β﹣180°．【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，关键是应用三角形外角的性质，探究得到的结论．26．（2022春•泰兴市期中）已知：如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∠ABE，∠ADF是四边形ABCD的外角．（1）求∠ABE+∠ADF的度数；（2）直线l1，l2分别经点B，D，且l1，l2分别平分∠ABE，∠ADF，①如图2，若l1∥l2，求∠C的度数；②若l1与l2相交于点M，设∠C＝α，∠BMD＝β，试探究α与β的数量关系，并说明理由．【答案】（1）∠ABE+∠ADF＝180°；（2）①∠C＝90°，②α+β＝90°或α﹣β＝90°．【分析】（1）通过题意得∠A+∠C＝180°，再由补角定理可直接得到∠ABE+∠ADF的度数；（2）①延长BA至l2于点G，通过平行线内错角相等得∠DGB＝∠GBH，再由角平分线的性质可得到解答；②有两种答案，都要连接BD，把各个需要求的角表达出来，再通过角平分线、对顶角相等对角的转换，最后进行相加减即可得到答案．【解析】解：（1）在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADF+∠ADC＝∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ABE+∠ADF＝180°；（2）①延长BA至l2于点G，如图：∵l1∥l2，∴∠DGB＝∠GBH，∵∠BAD＝∠AGD+∠ADG，∴∠BAD＝∠GBH+∠ADG，∵l1，l2分别平分∠ABE，∠ADF且由（1）知∠ABE+∠ADF＝180°，∴∠BAD＝∠GBH+∠ADG＝180°÷2＝90°，∴∠C＝∠BAD＝90°；②一：如图，连接BD，由图可得∠BMD＝∠MBD∠+MDB＝180°﹣（∠MBA+∠ABD+∠MDA+∠ADB），∠A＝180°﹣（∠ABD+∠ADB），∵∠ABE+∠ADF＝180°且MB，MD分别平分∠ABE，∠ADF，∴∠A﹣∠BMD＝∠MBA+∠MDA＝90°，∵∠C+∠A＝180°，∴∠A＝180°﹣∠C，∴∠C+∠BMD＝90°＝α+β＝90°；二：连接BD，如图由图可得∠M＝180°﹣（∠CBD+∠CBM+∠CDB+∠CDM），∠C＝180°﹣（∠CBD+∠CDB），∵∠CBM＝∠PBE，∠CDM＝∠QDF（对顶角相等）且PM，MQ分别平分∠ABE，∠ADF，∴∠M＝180°﹣（∠CBD+∠CDB+90°），∵∠CBD+∠CDB＝180°﹣∠C，∴∠M＝180°﹣（180°﹣∠C+90°）＝∠C﹣90°，∴∠C﹣∠M＝90°＝α﹣β＝90°．【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握有关补角的计算、平行线的内错角相等、角平分线的性质、对顶角相等和三角形内角和定理是解决此题的关键．27．（2022春•宿城区校级期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】（1）如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=12∠请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；【变式拓展】（3）如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．①已知∠A＝150°，∠D＝80°，求∠E+∠F的度数；②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．【答案】（1）证明见解析过程；（2）70°；（3）①205°；②2（∠F+∠E）＝∠A+∠D+180°．【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案；（2）先推导出∠AEC=12∠ABC=20°，再推导出∠EAC+∠（3）①延长BA，CD交于点M，延长CE、BF交于点N，可得∠N=②根据∠N=【解析】解：（1）∵∠EBC+∠EBD＝180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，∴∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB，∴∠EBD＝∠E+∠ECB，同理可得：∠ABD＝∠A+∠ACB，又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，∴∠EBD=∴12即∠E=∴∠E=（2）∵∠ABC＝40°，∴∠AEC=∵∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，∴∠EAC+∠∴∠F＝180°﹣90°﹣20°＝70°；（3）①延长BA，CD交于点M，延长CE、BF交于点N，如图所示，∵BF、CE平分∠ABG，∠DCB，∴∠N=∵∠BAD＝150°，∠ADC＝80°，∴∠M＝180°﹣（180°﹣150°）﹣（180°﹣80°）＝50°，∴∠N＝25°，∴∠AEF+∠BFE＝360°﹣（180°﹣25°）＝205°；②∵∠AEF+∠BFE＝360°﹣（180°﹣∠N）＝180°+∠N，∠BAD+∠ADC＝180°+∠M，又∵∠N=∴∠AEF+即：2（∠F+∠E）＝∠A+∠D+180°．【点评】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键．28．（2022春•江都区期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A'的位置，（1）探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．（2）如果点A落在四边形BCDE外点A''的位置，∠A与∠1、∠2之间的数量关系有何变化，请说明理由．【答案】（1）2∠A＝∠1+∠2；（2）∠A=12（∠2﹣∠【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，代入∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）先根据翻折的性质表示出∠1、∠2，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【解析】解：（1）2∠A＝∠1+∠2，理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．（2）∵沿DE折叠A和A'′重合，∴∠AED＝∠A′'ED，∠ADE＝∠A′'DE，又∵∠1＝∠A'ED﹣∠BED＝∠AED﹣（180°﹣∠AED）＝2∠AED﹣180°，∠2＝180°﹣2∠ADE，∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∴12∠1+90°+90°-12∠2＝180即∠A=12（∠2﹣∠【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．29．（2022春•南关区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠B＝120°，点E、F分别是边AD，BC上的点，点P是一动点，令∠PED＝∠1，∠PFC＝∠2，∠EPF＝∠α．初探：（1）如图①，若点P在线段CD上，且∠α＝70°，则∠1+∠2＝110°；（2）如图②，若点P在线段CD上运动，试探究∠1+∠2与∠α之间的关系，并说明理由；再探：（3）如图③，若点P在线段DC的延长线上运动，则∠1，∠2，∠α之间的关系为∠1﹣∠2＝∠a+40°；（4）若点P运动到四边形ABCD的内部，直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的关系为∠1+∠2＝∠a+40°．【答案】（1）110；（2）∠1+∠2＝∠a+40°，理由见解答；（3）∠1﹣∠2＝∠a+40°；（4）∠1+∠2＝∠a+40°．【分析】（1）根据多边形4ABFPE的内角和等于540°，∠AEP＝180°﹣∠1，∠BFP＝180°﹣∠2即可得到答案；（2）根据多边形ABFPE的内角和等于540°，∠AEP＝180﹣∠I，∠BFP＝180°﹣∠2即可得到答案；（3）根据多边形4BFPE的内角和等于540°，∠AEP＝180°﹣∠I，∠BFP＝180°+∠2即可得到答案；（4）过点P作MN∥BC，构造出（2）的条件，即可得到答案．【解析】解：（1）∠AEP＝180°﹣∠1，∠BFP＝180°﹣∠2，在多边形ABFPE中，∠A+∠B+∠AEP+∠BFP+∠a＝540°，∴∠A+∠B+180°﹣∠1+180﹣∠2+∠α＝540°，∴∠1+∠2＝100°+120°+360°+70°﹣540°＝110°，故答案为：110；（2）∠1+∠2＝∠a+40°；理由：由（1）得∠1+∠2＝100°+120°+360°+∠a﹣540°＝∠a+40°，∴∠1+∠2＝∠a+40°；（3）在多边形ABFPE中，∠AEP＝180°﹣∠1，∠BFP＝180°+∠2，∠A+∠B+∠AEP+∠BFP+∠L＝540°，∴∠A+∠B+180°﹣∠1+180+∠2+∠a＝540°，∴∠1﹣∠2＝100°+120°+360°+∠a﹣540°，∴∠1﹣∠2＝∠a+40°，故答案为：∠1﹣∠2＝∠a+40°；（4）如图所示，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交DC于点N，由（2）得∠1+∠2＝∠a+40°，故答案为：∠1+∠2＝∠a+40°．【点评】本题考查多边形的性质，熟知多边形的内角和是解题的关键．30．（2022春•慈溪市校级期中）若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4．（1）求出图中格点四边形DEFG对应的S＝3，N＝1，L＝6；（2）已知格点多边形的面积可表示为S＝N+aL+b，N＝82，其中a，b为常数若某格点多边形对应的N＝82，L＝38，求S的值．【答案】（1）3，1，6；（2）100．【分析】（1）直接观察图形即可得出结论；（2）①先根据图形得出图中格点三角形ABC的面积为1，格点四边形DEFG的面积为3，进而代入格点多边形的面积公式即可求出a，b；②代入①中得出的格点多边形的面积公式即可得出结论．【解析】解：（1）观察图形，可得S＝3，N＝1，L＝6；故答案为：3，1，6；（2）由图知，图中格点三角形ABC的面积为1，格点四边形DEFG的面积为3，∵格点多边形的面积S＝N+aL+b，∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得4a+b=11+6a+b=3∴a=1（3）由（2）知，a=12，b＝﹣∴S＝N+12L﹣将N＝82，L＝38代入S＝N+12L﹣1，得S＝82+12×38【点评】本题考查新定义的理解，也考查了学生分析、解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是解本题的关键．31．（2022春•慈溪市校级期中）若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的袼点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4．（1）求出图中格点四边形DEFG对应的s＝3，N＝1，L＝6；（2）已知格点多边形的面积可表示为s＝N+aL+b，其中a，b为常数．若某格点多边形对应的N＝82，L＝38，求S的值．【答案】（1）3，1，6；（2）100．【分析】（1）直接观察图形即可得出结论；（2）先根据图形得出图中格点三角形ABC的面积为1，格点四边形DEFG的面积为3，进而代入格点多边形的面积公式即可求出a，b；代入a，b得出的格点多边形的面积公式即可得出结论．【解析】解：（1）观察图形，可得S＝3，N＝1，L＝6；故答案为：3，1，6；（2）由图知，图中格点三角形ABC的面积为1，格点四边形DEFG的面积为3，∵格点多边形的面积S＝N+aL+b，∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得4a+b=11+6a+b=3解得：a=1∴S＝N+12L﹣将N＝82，L＝38代入S＝N+12L﹣1，得S＝82+12×38【点评】本题考查新定义的理解，也考查了学生分析、解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是解本题的关键．32．（2022春•鲤城区校级期中）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如图1，