2022年重庆高考数学英语语文试题解析

2022年重庆高考数学试题解析

1.已知集合4={-1,1,2,4},8=卜肛—1区1},则AC|8=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】求出集合8后可求AAB.

【详解】3={x|0WxW2},故AnB={l,2},

故选：B.

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用复数的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【详解】(2+2i)(l-2i)=2+4—4i+2i=6-2i,

故选：D.

3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖

面图，是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别

为票=05景=勺，景=&,£•=%，若%1,%,%是公差为0」的等差数列，且直线

OD]£?C]CJD]DA]

Q4的斜率为0.725,则%=()

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】设OR=0G=CB】=BA=1,则可得关于%的方程，求出其解后可得正确的选

项.

【详解】设。。=DJ=CB[=BA]-1,则CC]=kx,BB}=k2,AAx=%,

DD,+CC,+BB,+蝴

依题意，有匕一0.2=人,左3-0.1=右，且=0.725,

OD,+DC,+CB}+5A,

所以05+3j-03=0725,故匕=0.9,

故选：D

4.已知a=(3,4),可=(l,0),c=a+而，若<a,c>=<瓦c>,贝也=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

,、9+3/+163+/

【详解】解：d=（3+f,4）,cosM]=cos"以即一泄一=百，解得f=5,

故选：C

5.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排

列方式有多少种O

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在i起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,

有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个

位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5

名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

6.角满足sin(a+/7)+cos(a+/7)=20cos(a+?)sin/7,^J()

A.tan(«+/?)=1B.tan(a+/?)=-l

C.tan(a-£)=lD.tan(a-4)=-l

【答案】D

【分析】由两角和差正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】由已知得：

sinacosf3+cosasin6+cosacos£-sinasin/3=2(cosa-sina)sin尸，

即：sinacos13—cosasin/3+cosacos/?+sintzsin/?=0,

即：sin(a-p)+cos(a-p)=0,

所以tan(a-p)=-l,

故选：D

7.正三棱台高为1,上下底边长分别为3g和46，所有顶点在同一球面上，则球的表面

积是()

A.10071B.128TIC.144KD.19271

【答案】A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面半径4，与，再根据球心距，圆面半

径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径4,与，所以2/；=总一,2%=小目一，即

sin60,~sin60

彳=3,4=4,设球心到上下底面的距离分别为4,为，球的半径为A，所以4=J/?2—9,

4=奴_16,故|4一4=1或4+4=1，即收一9一，/?2一］6=1或

,火2_9+&2_16=1，解得代=25符合题意，所以球的表面积为S=4兀火2=100兀.

故选：A.

22

8.若函数/(x)的定义域为R,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),/\l)=l,则工/(%)=

*=1

()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】根据题意赋值即可知函数/(X)的一个周期为6,求出函数一个周期中的

/⑴,/(2),…,〃6)的值，即可解出.

【详解】因为“x+y)+/(x—y)=/(x)/(y)，令x=i,y=。可得，

2/⑴=”1)/(0)，所以"0)=2,令％=0可得，/(y)+/(-y)=2〃y),即

〃>)=/(一y)，所以函数“X)为偶函数，令y=l得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有〃x+2)+/(x)=/(x+l),从而可知

/(x+2)=—/(x—l),/(x—l)=_/(%—4),故/(x+2)=/(x—4),即

〃%)=/(%+6),所以函数“X)的一个周期为6.

因为〃2)=〃1)一/(。)=1一2=—1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的〃1)+/(2)+…+/⑹=0.由于22除以6余4,

22

所以£/㈤=〃1)+/(2)+〃3)+/(4)=1—1—2—1=—3.

k=l

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.函数/(x)=sin(2x+e)(0<e<7t)的图象以中心对称，贝ij()

y=/«在(0,葛)单调递减

A.

尸所)在(卜立兀，五1171

B.有2个极值点

771

C.直线x=L是一条对称轴

6

直线y=且一X是一条切线

D.

-2

【答案】AD

【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出.

2兀=sin(与+夕)=0,所以4当兀+夕=%兀，keZ,

【详解】由题意得：f

3

4兀

即9=--—+hr,A:GZ,

又。<(p<it,所以k=2时，夕=笄2无，故/(x)=sin12x+当).

3

LC2兀2兀3兀

时,2x+—£，由正弦函数y=sin〃图象知y=f(x)在

对A,当T'T

5兀1

0,而上是单调递减;

兀1171L小2兀715兀

对B,当XG口寸，2工+G,由正弦函数y=sin“图象知y=/(x)只

2'T

57r5

有1个极值点，由2》+2胃7r=3兀/，解得x—,即％=上为函数的唯一极值点;

1212

7兀2兀7兀771

对C,当尤=」时-，2X+—=3TI,/(—)=0,直线光=」不是对称轴;

6366

对D,由y'=2cos12x+g-U2兀

=-1得：cosI2x4——

2

…,rC2兀2兀--2714兀c,,~

解得2xH-F2kli或2xH-F2ATT,keZ,

3333

兀

从而得：X=E或x=—+&7t,ZwZ,

3

所以函数y=/(x)在点(o,*)处的切线斜率为女=y'Lo=2cos笄=—1，

切线方程为：y-*=—(X—0)即y=^—X.

故选：AD.

10.已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,

点4在第一象限，点M(p,0),若IAFRAMI,则()

A.直线A8的斜率为26B.\OB\=\OF\

C.\AB|>4|(?F|D.ZOAM+ZOBM<1SQ°

【答案】ACD

【分析】由|A目=|40］及抛物线方程求得&子,冬)，再由斜率公式即可判断A选项;

表示出直线A8的方程，联立抛物线求得即可求出|。目判断B选项；由抛

物线的定义求出|AB|=答即可判断C选项；由砺.砺<0，M4.碗<0求得NAQB,

为钝角即可判断D选项.

对于A,易得F（事,0）,由|4尸|=|40|可得点A在用心的垂直平分线上，则A点横坐标

为万+

2-T

代入抛物线可得丁=2/?=g/,则&军警），则直线AB的斜率为

瓜P

—_-=2\/6,A正确;

3£_£

42

L1P

对于B,由斜率为2娓可得直线AB的方程为尤=南＞+5,联立抛物线方程得

212八

>~mpy~p=o.

p,则必=一也，代入抛物线得

=2p・再，

乎=B错误;

对于C,由抛物线定义知：四=学+与+〃=答＞2，=41M,C正确;

对于D,西.丽=（,,当）.（不一殍）=,（+殍・卜殍卜—乎＜。，则

Z4O3为钝角,

又

丽丽=（.,冬.（_羊_争T上第+冬卜季,率〈0,

则NAM8为钝角，

又ZAO8+NAM8+NQ4M+NO8M=360，则NOAM+N08M<180，D正确.

故选：ACD.

11.如图，四边形A8CD为正方形，ED±¥®ABCD,FB〃ED,AB=ED=2FB,记

三棱锥E-AC。，F-ABC,尸一ACE的体积分别为K，%,匕，贝U()

A.匕=2%B.匕=2匕

C,匕=匕+匕D.2匕=3Vl

【答案】CD

【分析】直接由体积公式计算X，%,连接BO交AC于点"，连接由

%=匕.EFM+yC-EFM计算出X,依次判断选项即可.

【详解】

设A6=EQ=2E6=2«,因为即，平面A8CQ,FB\\ED,贝ij

11114

Vj=-.ED.SACD=--26Z.--（2«）-=-«\

23

^=1-Ffi-SiABC=1-«--（2a）=1a,连接80交AC于点M,连接易

得3O_LAC,

又平面ABC。，ACu平面ABO）,则E0J.AC,又EDC\BD=D,ED,BDu

平面BDEF，则AC,平面3。£尸，

又BM=DM=，BD=Oa,过尸作/GJ.OE于G,易得四边形3OGF为矩形，则

FG=BD=2y/2a,EG=a,

EM2+FM2=EF2>则EMLFM，S.EFM=GEMFM=当。2,AC=20a，

则匕=%.EFM+%.EF”=；ACS.EFM=2a3,则2%=3匕，匕=3匕，％=■+%，故

A、B错误；C、D正确.

故选：CD.

12.对任意x,y,x2+y2-xy=1,则（）

A.x+y41B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为土电】〈竺之Ca,blR）,由f+丁一孙=1可变形为，

\2J2

z\2

（%+丁）2-1=3孙43忙上，解得一2Vx+yW2,当且仅当x=y=-1时，

、2J

x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确；

22

由f+y2一砂=1可变形为1+丫2）_]=孙4^^二，解得％2+/42,当且仅当

*=y=±l时取等号，所以C正确；

因为/+;/一孙=1变形可得(x--+—=1>设x-2=cos6,^^y=sin。，所以

2)422-

八1・八2.

X=cos0H—产sin0,y=siin。，因此

X2+y2=cos?O+gsin?。+姬=sin6cos。=l+^=sin2^--cos2^+—

5633

+—sinf2^——^G—,2,所以当％=2^.,y=—2^.时满足等式，但是f+ybl不

33I6八3」3-3

成立，所以D错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X服从正态分布N（2,CT2）,且P（2<XW2.5）=0.36,则

P（X>2.5）=.

7

【答案】0.14##—.

50

【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.

【详解】因为X~N（2,b2）,所以尸（X<2）=尸（X>2）=0.5,因此

P（X>2.5）=P（X>2）-P（2<X<2.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案为：0.14.

14.写出曲线y=In|x|过坐标原点的切线方程：,.

【答案】①.y=L②.y=--x

ee

【分析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为（Xo/nxo）,求出函数导函数，

即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出％,即可求出切线

方程，当》<（）时同理可得；

【详解】解：因为y=ln|x|,

当x>0时y=lnx,设切点为（拓,In%），由y'='，所以了'忆与=’-，所以切线方程为

y-lnxo=—（x-x0）,

xo

又切线过坐标原点，所以-In/=」■（一/）,解得Xo=e,所以切线方程为

y-l=-（x-e）,BPy=-x；

ee

当x<0时y=ln(-x),设切点为(/In(一玉))，由y'=L所以所以切线

X芭

方程为)'-ln(—xj='(x-xj,

X]

又切线过坐标原点，所以-In(一玉)=-!■(-xj,解得占=-6,所以切线方程为

x\

y-1=—(x+e),即y=--x；

-ee

故答案为：y=-x；y=­x

ee

15.已知点A(—2,3),5(0,a),若直线A8关于y的对称直线与圆

(x+3)2+(y+2)2=1存在公共点，则实数a的取值范围为.

-

【答案】m13-

【分析】首先求出点A关于y=a对称点A'的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直

线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】解：4(-2,3)关于丁=。对称的点的坐标为4(一2,2。-3),B(0,a)在直线y=a

上，

所以A8所在直线即为直线/，所以直线/为y=——x+a,即(a-3)x+2y-2a=0；

一2

圆C:(x+3y+(y+2)2=l,圆心。(一3,-2),半径「=1,

\-3(a-3]-4-2a\

依题意圆心到直线/的距离d=­~]」W1,

V(«-3)+22

.13「13一

即(5—5a)~<(a—3)9+22,解得即aw；

ri3-

故答案为：

16.已知椭圆「+?=1,直线，与椭圆在第一象限交于A,3两点，与x轴，y轴分别交于

63

M,N两点,且|M4|=|N3|,|MN|=2jL则直线/的方程为.

【答案】x+42y-2s/2=0

【分析】令A8的中点为E，设A（x,,yJ,B（x2,y2）,利用点差法得到&在・怎8=一；，

设直线A8：y=^+〃?，k<Q,m>0,求出M、N的坐标，再根据|MN|求出2、m,

即可得解；

【详解】解：令AB的中点为E，因为所以|阿=加同，

2229

设8（孙％），则工+』-=1，MI%1

6363

所以日一互=o,即乜二Jgq)+EtMU二M.=o

663363

所以即后设直线A3:y=fcx+m,k<0,m>0,

(%-XQ)(%+%7)22

m

令元=()得y=〃2,令y=o得x=一一,即M,0,N(0,m),所以E

k

m

即Ax上一=—1，解得上=_也或％=也（舍去），

_rn_222

~2k

又|M/V|=2jL即|"N|=.+（行前=2G，解得机=2或加=一2（舍去）,

所以直线AB:y=-半x+2,即x+0y—20=O；

故答案为：x+y/2y-2yf2=0

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

17.已知｛%｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且4=4

（1）证明：q=4；

（2）求集合视优=。,“+%,14根〈500｝中元素个数.

【答案】（1）证明见解析；

（2）9.

【分析】（1）设数列｛4｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得加=2-2,即可解出.

【小问1详解】

6+d_2bl=4+2d—4/?.✓/

设数列｛叫的公差为"‘所以'1+。-24=幽4+31）'即可解得’i=3,

所以原命题得证.

【小问2详解】

由（I）知，伪=q='1•，所以仇=。,”+4。4X2*T=4+（/n-l）d+G,即2"T=2m，

亦即加=2"2€11,500],解得2W&K10,所以满足等式的解左=2,3,4,…,10,故集合

｛攵也=4"+4/＜加＜500｝中的元素个数为10—2+1=9.

18.记AABC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别以。，b,c为边长

的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,已知S,-5,+S.=—,sinB=-.

23

（1）求AABC的面积；

5

（2）若sinAsinC=——，求从

3

【答案】（1）—

8

⑵?

【分析】（1）先表示出S,S2,S3,再由S「S2+S3=曰求得一〃=2,结合余弦

定理及平方关系求得在，再由面积公式求解即可；

（2）由正弦定理得—^—=——即可求解.

sin-8sinAsinC

【小问1详解】

由题意得51=S邑=@°2,则

'2242434

CC,C626t2___62如

S,-S.+S,=——abl+——c=——，

1234442

即/+/一尸=2,由余弦定理得cosB=a-",整理得accos8=1,则cosB>0,

2ac

【小问2详解】

由正弦定理得：r”=/一=—J,则

smBsinAsinC

372

2

bacac_9riub3,3.n1

sin2BsinAsinCsinAsinC&4'sin/?22"2-

T

19.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数

据频率分布直方图.

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)估计该地区一人患这种疾病年龄在区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区

总人口的16%,从该地区任选一人，若此人年龄位于区间［40,50),求此人患该种疾病的

概率.(样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到

0.0001)

【答案】(1)44.65岁；

(2)0.89；

(3)0.0014.

【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

(2)设4={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},根据对立事件的概率公式

P(A)=1-P(A)即可解出;

(3)根据条件概率公式即可求出.

【小问1详解】

平均年龄亍=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.012+75x0.006+85x0.002)x10=44.65(岁).

【小问2详解】

设A=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70）｝，所以

P(A)=l-P(A)=l-(0.001+0.002+0.006+0.002)xl0=l-0.11=0.89.

【小问3详解】

设8=｛任选一人年龄位于区间［40,50)｝,C=｛任选一人患这种疾病｝,

则由条件概率公式可得

P(C⑶=3==0.001x0.23=00014375，0.0014.

P(B)16%0.16

20.如图，P。是三棱锥P—ABC的高，PA=PB，ABVAC,E是尸8的中点.

（2）若NABO=NC8O=30°,PO=3,24=5,求二面角C—AE—8的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

、11

（2）——

13

【分析】（1）连接80并延长交AC于点。，连接04、PO,根据三角形全等得到OA=OB,

再根据直角三角形的性质得到AO=OO,即可得到。为8。的中点从而得到。七〃P。，即

可得证；

（2）过点A作Az〃OP,如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值,

再根据同角三角函数的基本关系计算可得；

小问1详解】

证明：连接B。并延长交AC于点Q,连接Q4、PD，

因为PO是三棱锥。一ABC的高，所以PO_L平面ABC,AO,BOu平面A8C,

所以POLAO、POA.BO,

又PA=PB，所以△尸Q43△P08，即Q4=QB,所以NQ48=NQ84，

又即/班C=90。，所以NOW+N(MD=90°,ZOBA+ZODA^90°,

所以NQa4=NQ4Z>

所以AO=£>O,即AO=£)O=OB,所以。为3。的中点，又E为尸3的中点，所以

OE//PD,

又。石2平面尸AC,PDu平面PAC，

所以0E〃平面P4C

【小问2详解】

解：过点A作Az〃OP,如图建立平面直角坐标系，

因为PO=3,AP=5,所以Q4=JAP?_pc>2=4,

又NO胡=NO3C=30°,所以30=204=8,则AD=4,AB=4B

所以AC=12,所以0（2百,2,0）,8（4百,0,0）,网2百,2,3）,C（0,12,0）,所以

则在二36,1,2,AB=（473,0,0）,AC=（0,12,0）,

_n-AE=3^x+y+-z=0

设平面AES法向量为〃=（x,y,z）,则12，令z=2,则

n•AB=4=0

丁=-3,x=0,所以〃=（0,—3,2）；

'一r3

、一—一/、比•AE=3>/3Q+/?+—c=04l

设平面AEC的法向量为加=（a,/?,c）,则v2,令〃=百，则

m-AC=12b=0

c=-6,b=0,所以初二(6,0,-6)；

—124^/3

所以小〃/--，-加-\)n=-t而n=而砺=一千

设二面角。一AE—3为。，由图可知二面角。一AE-3为钝二面角,

所以cos6=—迪，所以sin£=Jl—cos2e=U

1313

故二面角C—AE—3的正弦值为口；

13

比2v2l

21.设双曲线C:*•-方=l(q>0,b>0)的右焦点为22,0),渐近线方程为y=±JL：.

(1)求C的方程；

(2)过尸的直线与C的两条渐近线分别交于4,B两点，点产(占,%),。(%,％)在C上,

且%>々>。,%>0.过P且斜率为-百的直线与过。且斜率为G的直线交于点M,请

从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立:

①M在AB上；②PQ〃4B：③|M4|=|M6|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

2

【答案】(1)尤2_匕=]

3

(2)见解析

【分析】（1）利用焦点坐标求得C的值，利用渐近线方程求得。涉的关系，进而利用。，"C

的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；

（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M（x0,y。），由

8左2

③=等价分析得到/+%为=2=；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，

K-D

结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率旭=也，由②PQ//AB等价转

%

化为60=3/，由①M在直线上等价于⑥（）=-（%—2）,然后选择两个作为已知条

件一个作为结论，进行证明即可.

【小问1详解】

右焦点为/（2,0）,.•.c=2「.渐近线方程为y=±石x,...2=6，.♦.匕=J5a，

a

••c2=a2+b2=4/=4，；・a=1，h=V3•

2

，C的方程为：％2—21=1；

3

【小问2详解】

由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零：

若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线A3的斜率不存在，则由双曲线的对称

性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、。关于x轴对称，与从而玉=々，

己知不符；

总之，直线AB的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为A,直线48方程为y=《（》一2）,

则条件①M在上，等价于%=左（与一2）000=*（七-2）；

两渐近线的方程合并为3炉—丁=0,

联立消去y并化简整理得：（左2—3卜2-4公尤+4*=o

设4（七,%）,3（彳3，乂），线段中点为N（4，yv），则

&+Z2k2,6k

XN--~一~Ti一~^N_k«N-2）一万~~-）

2k-3k-3

设M（Xo,%），

则条件③I=忸叫等价于（毛_%3）2+（%_%）2=5_£）2+（为_%）2,

移项并利用平方差公式整理得：

（不—Z）[2%—（七+Z）]+（y3-%）[2%—（必+”）]=0,

[2工0-（工3+*4）]+'3_）4[2%-（%+%）]=°,即/一%N+4（为一为）=°.

X3一七

8女2

即为+机=为；

由题意知直线PM的斜率为Y,直线QM的斜率为6,

...由X—%=一6（％一毛），％一%=总（％2一X。），

•'1X一%=-V3（X|+x2-2x0）,

所以直线PQ的斜率m="&=_卢（二+工2二2一）,

直线PM:y=-V3（x-x0）+y0,即y=%+6小一gx,

代入双曲线的方程3/一y2-3=0,即（61+），）（出彳一丫）=3中,

得：（%+6%）[2②一卜o+岳。）=3,

，条件②PQ//AB等价于机=&oky0=3x0,

综上所述：

条件①M在AB上，等价于配=/(%—2)；

条件②PQ//AB等价于ky°=3/；

oJL2

条件③14V7|=忸闸等价于/+kyQ=

k—3

选①②推③:

2k18小

由①②解得:%=='.."。+"。=%=口？；念成立;

选①③推②:

2k2,6k2

由①③解得:

%=正万砥氏2-3

，60=3%,.•.②成立;

选②③推①：

,6k2.「6

由②③解得：x=——

0°r一3吼=二'八E

机=/(小一2),.♦.①成立.

22.已知函数/(》)=比3-61

(1)当。=1时，讨论A*)的单调性；

(2)当x>0时，/(x)<-1,求a的取值范围;

111

(3)设〃eN*，证明:IH—/一•H1—/>ln(n+l).

JF+16+2J/+L

【答案】(1)/(X)的减区间为(7,0),增区间为(0,+8).

1

(2)a<-

2

(3)见解析

【分析】(1)求出，讨论其符号后可得/(x)的单调性.

(2)设〃(x)=xe'"-e'+l,求出〃"(x),先讨论a〉Q时题设中的不等式不成立，再就

结合放缩法讨论"(X)符号，最后就结合放缩法讨论〃(x)的范围后可得参数

的取值范围.

(3)由⑵可得小<一；对任意的石恒成立，从而可得ln(〃+l)—In”<1事=对

\ln~+n

任意的〃GN*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.

【小问1详解】

当a=l时，/(x)=(x—l)e，，则/(x)=xe*,

当x<0时，/<x)<0，当x>0时，用工)>0,

故“X)的减区间为(—8,0),增区间为(0,+8).

【小问2详解】

设/z(x)=Ae"—ev+l,则〃(0)=0,

又/z'(x)=(l+or)e"r_e*,设g(x)=(l+(zx)e""—e',

贝|Jg'(x)=(2a+«2x)eav-ev,

若a>；,则g'(())=2a—1>0,

因为g'(x)为连续不间断函数，

故存在与e(0,+8),使得Vxe(O,x(J,总有g4x)>0,

故g(x)在(0,x。)为增函数，故g(x)>g(O)=。，

故/z(x)在(0,%)为增函数，故〃(力>力(。)=一1,与题设矛盾.

若0<a色，则〃'(x)=(1+办)产—e'=,

下证：对任意x〉0,总有ln(l+x)<x成立，

证明：设S(x)=ln(l+x)-x,故S(x)=f--1=/<0,

故S(x)在(0,M)上为减函数，故5(x)<S(())=0即ln(l+x)<x成立.

ttr+ln(,+<u)vav+<Hrtttv

由上述不等式有e-e<e'-e=e2-e<0，

故〃'(x)WO总成立，即/z(x)在(O,+8)上为减函数，

所以/i(x)</z(O)=-1.

当时，，有〃'(x)=em-ex+caem<1—1+0=(),

所以/z(x)在(0,+。。)上为减函数,所以及(%)<力(0)=-1.

综上，aS—.

2

【小问3详解】

取。=g,则Vx>0,总有底；"_/+]<0成立，

令则f>1,』=e\x=21nr,

故24nf<产一1即对任意的f>1恒成立.

t

所以对任意的〃GN*，有21n

整理得到：ln(n+l)-ln»<1,

7n+n

故/1++…+>In2-In1+In3-In2+•

VfTT历I77金

=ln(〃+l),

故不等式成立.

2022年重庆高考物理试题解析

1.如图所示，吸附在竖直玻璃上质量为m的擦窗工具，在竖直平面内受重力、拉力和摩擦

力（图中未画出摩擦力）的共同作用做匀速直线运动。若拉力大小与重力大小相等，方向水

平向右，重力加速度为g,则擦窗工具所受摩擦力（）

C.方向竖直向上D.方向水平向左

【答案】B

【详解】对擦窗工具进行正视图的受力分析如图所示

水平方向上拉力F与擦窗工具所受滑动摩擦力森等大反向，竖直方向上重力mS与擦窗工

具所受静摩擦力益等大反向，所以擦窗工具所受摩擦力方向如图中,所示，大小为

f=J储+篇=圆g

故选Bo

2.如图为某同学采用平行板电容器测量材料竖直方向尺度随温度变化的装置示意图，电容

器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化上下移动，两极板间电压不变。若材料温度降低

时，极板上所带电荷量变少，则（）

1=■~d

接外电路

I]।_I——9

—被测材料

J____L

：加热器：

II

/）/〃〃/〃〃/，//

A.材料竖直方向尺度减小B.极板间电场强度不变

C.极板间电场强度变大D.电容器电容变大

【答案】A

【详解】D.根据题意可知极板之间电压U不变，极板上所带电荷量。变少，根据电容定义

式。=尚可知电容器得电容C减小，D错误；

BC.根据电容的决定式。=万一可知极板间距d增大，极板之间形成匀强电场，根据

4ikd

E=4可知极板间电场强度E减小，BC错误；

a

A.极板间距d增大，材料竖直方向尺度减小，A正确。

故选A。

3.低压卤素灯在家庭电路中使用时需要变压器降压。若将“12V50W”的交流卤素灯直

接通过变压器（视为理想变压器）接入电压为220V的交流电后能正常工作，则（）

A.卤素灯两端的电压有效值为6&VB.变压器原、副线圈的匝数比为

55:3

C.流过卤素灯的电流为0.24AD.卤素灯的电阻为968Q

【答案】B

【详解】A.卤素灯上标记的额定电压12V即为卤素灯两端的电压有效值，A错误；

B.根据理想变压器的原理可知

.._22055

4U、123

B正确；

C.流过卤素灯的电流为

,P50W25

I=—==—AA

U12V6

C错误；

D.卤素灯是非线性元件，电阻随着电压不同而改变，D错误。

故选Bo

4.在测试汽车的安全气囊对驾乘人员头部防护作用的实验中，某小组得到了假人头部所受

安全气囊的作用力随时间变化的曲线（如图）。从碰撞开始到碰撞结束过程中，若假人头部

只受到安全气囊的作用，则由曲线可知，假人头部（）

F/N

Or/ms

A.速度的变化量等于曲线与横轴围成的面积B.动量大小先增大后减小

C.动能变化正比于曲线与横轴围成的面积D.加速度大小先增大后减小

【答案】D

【详解】AB.由题知假人的头部只受到安全气囊的作用，则F—t图像的面积即合外力的冲

量，再根据动量定理可知F—t图像的面积也是动量的变化量，且图线一直在t轴的上方，

则动量的大小一直增大，AB错误；

C.根据动量与动能的关系有纥="，而F—t图像的面积是动量的变化量，则动能的变

2m

化量与曲线与横轴围成的面积不成正比，C错误；

D.由题知假人的头部只受到安全气囊的作用，则根据牛顿定律可知。^尸，即假人头部的加

速度先增大后减小，D正确。

故选D。

5.2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托

卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水

平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E,磁感应强度大小为8。若某电荷

量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为V1,垂直于

磁场方向的分量大小为火，不计离子重力，则()

A.电场力的瞬时功率为qEyjv；+v；B.该离子受到的洛伦兹力大小为qviB

C.V2与vi