2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知识点编辑）(四十一)

2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知

识点编辑）018

单选题（共8个，分值共：）

1、如图，过抛物线产=2px（p>0）的焦点户的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且

B.y2=2x

C.y2=3x

D.y2—4x

答案：D

解析：

如图根据抛物线定义可知|BD|=a,进而推断出4BCD的值，在直角三角形中求得a,进而根据BD〃FG,利用

比例线段的性质可求得P，则抛物线方程可得.

【本题详解】

如图分别过点4,8作准线的垂线，分别交准线于点E,D

设|BF|=a,则由已知得：\BC\=2a,由定义得：\BD\=a,故/BCD=30。

在直角三角形4CE中，:|4E|=4,|AC|=4+3a

2\AE\=\AC\,,­-4+3a=8,从而得a=g

-.-BD//FG,=求得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.

所以正确答案为：D

2、已知数列佃，，｝的首项是卬=1,前“项和为S“，且5向=25,+3〃+1(〃€村)，设%=1。区(%+3),若存

k>—；—(/!eN*)

在常数上使不等式(〃+16)c“恒成立，则人的取值范围为()

—,+«I—,+OCI—,+00I

A」9JB.L164」25

答案：C

解析：

首先由数列通项与前“项和的关系得到数列｛4｝的递推关系=24+3,再构造等比数列｛4+卦，求数列

｛4+3｝的通项公式，进一步求出数列｛4｝的通项公式，从而可求数列｛GJ通项公式，代入所求式子

%T

(〃+16)q,,分子、分母同除以"构造基本不等式即可求出("+16)c”的最大值，从而求出土的范围.

【本题详解】

由S”+i=2S”+3〃+l,则当〃22时,得S”=2S“T+3(〃-1)+1,

两式相减得“向=2%+3,变形可得：*|+3=2&+3),

又4+3=4a1+%=S)=2sl+3x14-1=6所以%=5〃,+3=2(44-3)

二数列｛4+3｝是以4为首项、2为公比的等比数列，故。，,+3=4X2"T=2"：

所以q=bg2(a“+3)="+l,

cn-1_n_n_1<1_1

(n+16)c„-(n+16)(n+l)-n2+17n+16~~J6~~T-8+17-25

所以〃，当且仅当"=4时等号成立，故25.

所以正确答案为：C.

【点睛】

关键点点睛：构造等比数列｛”"+3｝求｛%｝的通项公式，即可得｛GJ通项公式，再由不等式恒成立，结合基

%7

本不等式求(〃+i6)q,的最值，即可求参数范围.

2

3、设函数""一丁"，xe(0,6),仆)的图像上的两点4(不)1),8(电，力)处的切线分别为/,,/*

2

且西＜刍，4,4在y轴上的截距分别为4,4,若4〃4,则4-2的取值范围是()

--In2,2In2--,l+ln2

A.3B.

1-ln2,0

C.D.(1+皿2,2)

答案：C

解析:

利用导数求切线方程，结合两条切线平行，得到不电的取值区间；再利用一阶导数求出相应点的切线方程,

再求y轴上的截距，然后确定仇一仇的单调性，然后就可以确定它的取值范围.

【本题详解】

/(x)=~+lnx=--^-+—=^-2^

因为x而出/£(06)，所以，X-XX2

、21

Axp-+lnx,y--+lnx,--7+—(xf)

1%不xj

在点,处的切线方程为:

2(21]

B—FIny--+lnx=(x-%2)

2r+—

在点I&XI-X2)

处的切线方程为:\27

211(2}4,,

(一玉)+—FInXj=—4-lnXj-1h=4

—F+一X-----1-Inx-1

4Jx2

所以%・2

Z?(x)=—+lnx-lb'[x\=--^+二土，

令/，则xxx

444--Llni

bb

x-2=—4-lnXj-1--+Inx2-1=一

77x2

2121

----T+—=------rH------

又因为4〃4,所以为为x2x2且X1<4vx2

111x,x..„

—+—————---]>0

x

所以W\2x22x{>22vX1v4Vx2V6

c812

4-仇=2---+ln

Xx^2—2

所以E2)42

Q281盯

g(x)=h-h=2---blng'(x)--------------=G-<0

2x~x-2X2(X-2)

令xX-2,xc(4,6)则

Q2

g(x}=b.-b2=2——+ln

所以“X-2在(4,6)单调递减

3

(/?1-ft2)ef|-ln2.0

所以

所以正确答案为：C

4、我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为"五行".古人构建了金生水、

水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论随机任取"两行"，则取出的"两行"相生的概率是()

111

1

---

2-3U45

A.B.D.

答案：A

解析：

列出随机任取"两行"的所有情况和"两行"相生的情况，由古典概型概率计算公式可得答案.

【本题详解】

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10种，

其中取出的"两行"相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，

所以取出的“两行"相生的概率

所以正确答案为：A.

5、己知函数/(x)=2*+2-*+log3(3N-l),则()

/(logl)>/(-^/3)>/(V2)

A.4

/(-^/3)>/(log1)>/(V2)

B.4

C/(将)>/(-0)>/(1叫；)

/(V2)>/(V3)>/(logl)

D.4

答案：C

解析：

确定函数的定义域，奇偶性，用导数求出其在x>°时的单调性，再比较对数与哥的大小后由函数单调性可得

结论.

【本题详解】

函数片"X)的定义域为{巾“0},关于原点对称，

Hj1w

有/(-x)=2-'+2'+log3(3-1)=2'+2-'+log,(3-1)=/(x)f函数/⑴为偶函数，

1

y=t+-

对于函数y=2"+2,,设r=2',则.t,

在区间（°，+8）上，r=2A>1,是增函数，,/在（1，”）上也是增函数，则y=2，+2T在（0,+8）上是增

函数，

v

对于y=log式3凶-1）,在区间（0,+8）上，y=log3（3-l）（

内部函数〃=3、一］是增函数，外部函数产1叫”是增函数，则yjog.e"-1）在（0,转）上是增函数，

故/0）=2"+27+1<运3（少|一1）在区间（°，+8）上是增函数，

由偶函数的定义得3次）=/阿，,ML,

f（logs；）=/（Togs4）=/（logs4）

对数函数y=logsX为增函数，贝Ijbg，l<logs4<logs5,所以。<lo&4<l

易知夜>1,3>1.闾'=23=8,（时=32=9,则（闾、阿,

所以,0<log54<l<72<^（所以，/㈣>/（&）>川。&4）,

因此，，㈣"（-回小

所以正确答案为：C.

【点^青】

思路点睛：本题考查比较函数值的大小，解题时需先确定函数的奇偶性、单调性，然后应用指数函数、对数

函数的性质得出幕和对数的大小，再由题设函数的单调性条件必得出结论.较为简单的函数可直接应用复合

函数单调性结论得出单调性，较为复杂的函数可利用导数确定单调性.

6、如图所示的木质正四棱锥模型尸一ABCD,过点A作一个平面分别交?B,PC,PO于点E,F,G,若

PE3PFPG

为"S'k=2,则花的值为（）

答案：C

5

解析：

以AC、BD交点。为坐标原点，射线。4。8、0P为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设

A(a,O,O),3(0,a,0),£>(0,-«,0)T。(一"，。，0)(o、b>0),进而写出丽、而、丽、而坐标，可得而，

PF,由A，E，£G四点共面有序=x咫+y而+z咫，设而=义而(0</<1),求，值即可得答案.

【本题详解】

解：建立如图所示空间直角坐标系，设P(°，°功)，A("，°，°),8(0,a，0),力(0,一〃0),。(一a。，。)⑸b>0),

口1而=(O,a,J)PC=(-a,0,-M方=(0,-H同PA^(a,0,-b)

金落=(嘿等叫方U)

,•，，

由题意4瓦£G四点共面，则有-方=、生+)，苏+z防，其中x+y+z=l,

设前=丸方=(O,—Xe(O,l)

(〃,0T)=X„，T)+)[4,0,4+Z(0,—=(W等FZ,_^_?»Z)

-丝=〃

2y=-2

3ax③「

-------a2z=0——2z=0

5

_S"z=_b—+—+2z=l

5252c3

x+y+z=lA=-

由方程组x+y+z=i,即解得4

PG3

所以PDY,

所以正确答案为：C.

7、已知圆工2+^=4与X轴的交点分别为A,B,点p是直线/:x-y+4=°上的任意一点，椭圆C以48为焦点

6

且过点尸，则椭圆C的离心率e的取值范围为()

答案：A

解析：

由题意易得椭圆的半焦距C=2,然后求得点以2,0)关于直线/：丫="+4的对称点为"(W),由2a=\A'B\t

此时椭圆’的离心率取得最大值求解.

【本题详解】

..圆V+y2=4与X轴的交点分别为(-2,0),(2,0),不妨令点A(-2,0),92,0),

••椭圆的半焦距c=2.

设点4-2,0)关于直线/：丫=》+4的对称点为4(x1V),

•玲7,解得t'=2,

.­•AX-4,2)

连接AB交直线I于点P,此时2a有最小值，此时的最小值为lABkJc犷+Q-Oj而

当长轴长最小时，椭圆C的离心率取得最大值，

,_2c_2

即，皿一五一2而一行.

7

又-.1ee(O.l)

椭圆C的离心率e的取值范围为

所以正确答案为：A

8、设a,b是实数，集合人川…卜㈠叫，8={*||x—加>3皿用，且AqB,贝山一4的取值范围

为（）

A.[0,4]仁[2,+OO）D[4+00）

答案：D

解析：

解绝对值不等式得到集合A8,再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.

【本题详解】

人A={x||x-a|<l,xwR}={x|a-l<x<a+l}

8={x||x训3”R}={X[X<）-3或x>〃+3}

又ARB,所以。+1必-3或泌+3

即a-bS-4或a-b>4f即\a-b\>4

所以.一目的取值范围为M，/）

所以正确答案为：D

多选题（共4个，分值共：）

9、如图，在平行六面体ABCD-&B1GD1中，AB=AD=AAr,/.DAB=^DAAr=/.BAA^=60°,点M,N

是棱AG，GBi的中点，则下列说法中正确的是（）

8

A.MNLAC^.向量前，BC,西共面

C.C2_L平面C$OD.DM与平面ZBCC所成角的正弦值为誉

答案：AD

解析：

设屈=a,AD=b,AA^=c,用基底向量表示而，宿，求其数量积可判断4若向量丽，而，瓯共面，

则存在唯——对实数九〃使得前=4而+〃两，所以[a+b+c=4b+〃c,无解可判断B；以砧・西。

0,可判断C；平面4BCD的一个法向量为几=a+b—3c,而=西+仄而=，a+c,用向量法可求线面角

的正弦值，可判断D.

【本题详解】

设AB—a,AD=b,AA1-c,AB-AD—AAr—1,则|a|=|b|=|c|=1,a-b=|,b-c=a-c=1,

对于4:丽=3丽=：a-3b,ACl=a+b+c,所以而•褊=©a-]b).(a+b+c)=0,故4正确；

对于B:祠=而+西+时=[a+b+c,BC=b,两=c,

若向量而，前，西共面，则存在唯一一对实数九〃使得前=4而+〃西，

^a+b+c=Ah+fic,则有2=0,显然不成立，所以向量丽，而，两不共面，故B错误；

对于C：4C=a+b—c,BC]=BB14-B1C1=b+c,

所以41c•BCi=(a+b-c)•(b+c)=g+g+1+g-[-1=1。0,所以*G不垂直于^的，所以C错误；

对于D:设平面4BCD的一个法向量为九=a+Ab+〃c,

n-C\f14-+~jU=0

则有f即有1ii，解得4=1，〃=—3,

E・b=0Z+a+'=o

I22"

所以平面/BCD的一个法向量为n=a+b-3c,又两=西+瓦标=|a+c,

设DM与平面48C。所成角为°,

2

则sin。=|cos<n,DM>|=||=|r\=故。正确.

lnllDMlV6xJ^21

所以正确答案为：AD

9

10、设“，b，ceR,且b<4<0,则下列结论一定正确的是（）

11

->-

I2>2

P。Bc>

A.

C.a->b-Qab>a+b

答案：AD

解析：

根据不等式的性质判断AD,列举例子判断BC.

【本题详解】

11

—>—

A.Q匕<。<0,同除而可得8a,A正确；

B.当。2=0时，ac2=bc2,B错误；

C若a=T为=-2,此时有从，c错误；

故而>口正确.

Dab>0,a+b<0a+b,

所以正确答案为：AD.

11、对于事件A,B,下列命题正确的是（）

A.如果A,B互斥,那么［与&也互斥B.如果A,B对立，那么X与为也对立

C.如果A,8独立，那么X与R也独立D.如果A,8不独立，那么N与旌也不独立

答案：BCD

解析：

A.利用互斥事件的定义判断；B.利用对立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用相互独立

事件的定义判断.

【本题详解】

A.如果A,8互斥，由互斥事件的定义得N与至不一定互斥，故错误；

B.如果A,B对立，由对立事件的定义得N与R也对立，故正确；

C.如果A,8独立，由相互独立事件的定义得X与元也独立，故正确；

D.如果A,8不独立，由相互独立事件的定义得7与》也不独立，故正确；

故答案为：BCD

12、下表记录了某地区一年之内的月降水量

月份123456789101112

月降水量

584853465656517156536466

/mm

对于上述表格中的数据，说法正确的是（）

10

A.该年份月降水量的极差是25mmB.该年份月降水量的众数是53mm和56mm

C.该年份月降水量的25%分位数是52mmD.该年份月降水量的中位数是56mm

答案：ACD

解析：

A.利用极差的定义判断；B.利用众数的定义判断；C.利用百分位数的定义判断；D.利用中位数的定义判断.

【本题详解】

A.该年份月降水量的极差是71-46=25mm,故正确；

B.该年份月降水量的众数是56mm,故错误；

C.该年份月降水量从小到大为46,48,51,53,53,56,56,56,56,58,64,66,71,12x25%=3,

所以年份月降水量的25%分位数是2,故正确；

D.该年份月降水量从小到大为46,48,51,53,53,56,56,56,56,58,64,66,71,

所以该年份月降水量的中位数是2,故正确；

所以正确答案为：ACD

填空题(共3个，分值共：)

13、已知某地一天的温度y(单位：°C)与时间t(单位：h)近似地满足y=10-8sin^(0WtW24),则

该地这一天的最大温差为℃.

答案：16

解析：

求出函数y=10-8sin^|(0<t<24)的最大值和最小值，即可得解.

【本题详解】

因为则所以，

0<t<24,0<§<271,ymax=18,ymin=2,

所以最大温差为=18-2=16(°C).

故答案为：16.

14、已知幕函数f(x)=(m2+m-I)-1在(0,+8)上为减函数，则/(-2)=.

答案：:##

4

解析：

根据题意可得出关于实数m的等式与不等式，解出a的值，可得出函数人支)的解析式，即可求得/(-2)的值.

【本题详解】

由已知有］租2+巾_?=1,解得m=_2,故f(x)=x-2,所以八—2)=；.

Im<04

故答案为：

4

15、己知扇形的圆心角为Q=3,半径为r=2,则扇形的面积S=.

11

答案：6

解析：

由扇形的孤长公式、面积公式可得答案.

【本题详解】

因为扇形的孤长为]=ar=6,所以S==6.

故答案为：6.

解答题(共6个，分值共：)

16、某教练统计了甲、乙两名三级跳远运动员连续5次的跳远成绩(单位：米)，统计数据如图所示.

甲运动员||乙运动员

8~~9

4221135

(1)分别求甲、乙跳远成绩的平均数；

(2)通过平均数和方差分析甲、乙两名运动员的平均水平和发挥的稳定性.

答案：

(1)x甲=11,x乙=11

(2)答案见解析

解析：

(1)利用平均数的定义直接求解即可；

(2)利用方差公式求出甲、乙两名运动员的方差，利用方差越小数据越稳定判断即可.

(1)

根据题意可知》*=*8+9+12+124-14)=11,

xz=1(7+9+ll+13+15)=11.

(2)

s'=|[(8-ll)2+(9-11)2+(12-11)2+(12-ll)2+(14-ll)2]=4.8,

s；=|[(7-ll)2+(9-ll)2+(11-11)2+(13-11)2+(15-ll)2]=8.

22

■:x甲=X乙,S甲<s乙,

•・・甲、乙两名运动员的平均水平相当，甲的发挥更稳定.

17、新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病，2020上半年我国疫情严重，在党的正

确领导下，疫情得到有效控制，为了发展经济，国家鼓励复工复产，某手机品牌公司响应国家号召投入生产

某款手机，前期投入成本40万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x万部

(400—kx,0<x<40

并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万元，且满足关系式R(x)=840040000、4n，已知该公司一

年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万元.

12

(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式；

(2)当年产量为多少时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

答案：

(-6x2+384%-40,0<x<40

(1)

勿(乃=18360-16x-^222,%>40

1X

(2)当x=50,W取得最大值为6760万元

解析：

(1)根据题意求出k值，分段分别求出利润W(x)(万元)关于产量无(万部)的函数关系式，再分段写出利

润(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式即可；

(2)当0c40时，iy(x)=-6x2+384x-40,利用二次函数求出最大值，当x>40时，VK(x)=

8360-16%利用基本不等式求出最大值，再比较两者的大小，取较大者即为小。)的最大值.

(1)

因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万元.

所以2(400-2k)-40—2x16=704,解得k=6,

(400-6%,0<%<40

则R(x)=I8400_40000%>40

根据题意有IV(%)=%/?(%)—16%-40,

当0Vx440时，IV(x)=%(400-6%)-16%-40=-6x2+384%-40,

当尤>40时，W(%)=%(2^2—'詈。)—16%—40=8360—16%—的：。。,

[―6%2+384%—40,0<%<40

所以W(x)=j8360—16x—竺吧,x>40-

IX

(2)

①当0<xW40时，W=-6(x-32)2+6104,所以%⑺=〃(32)=6104；

②当x>40时，IV(%)=8360-16x-

由于谈+16x>2/4ooooxl6x=IGO。，

X\X

当且仅当等=16x,即x=506(40,+8)时，取等号，所以此时W的最大值为6760.

综合①②知，当x=50€(40,+8),IV取得最大值为6760万元.

18、在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品,

保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质

量管理，不定时抽查口罩质量.该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分

成以下五组：[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到相应的频率分布直方图.

13

(1)根据频率分布直方图，求。的值，并估计该厂生产的口罩质量指标值的平均值和第60百分位数：

(2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取20个口罩，再从这20个口罩中质量指标值位于

［120,130)U［140,150］的口罩中随机抽取2个，其质量指标值分别为m、n,求事件-n|>10"的概率.

答案：

(1)a=0.02,平均值为124,第60百分位数为126；

⑵-

21

解析：

(1)根据频率之和为1可求a的值，根据平均数的计算方法可估计平均数，根据百分位数的方法可计算百分

位数；

(2)根据分层抽样得到口罩的个数，然后根据古典概率计算即可求解.

(1)

由直方图可知，(0.005+0.01+a+0.025+0.04)x10=1,

a——0.02

该厂生产的口罩质量指标值的平均值为(105x0.005+115x0.04+125x0.025+135x0.02+145x

0.01)X10=124.

记第60百分位数为X,则(x-120)X0.025=0.15

x-126

故平均值为124和第60百分位数为126；

(2)

质量指标值位于［120,130)的口罩个数为20x0.025x10=5个，

记为a,b,c,d,e,质量指标值位于［140,150］的口罩个数为20x0.01x10=2个，记为4B从这7个口罩

中随机抽取2个的所有可能情况有：

ab、ac、ad、ae、aA、aB、be、bd、be、bA、bB、cd、ce、cA.cB、de、dA,dB、eA、eB、AB,共21

种，

其中事件>10"的所有可能情况有：乙4、bA、cA,dA.e4、aB、bB、cB、dB、eB,共10种，

故事件-九I>10〃的概率为P=

14

19、求解下列问题：

(1)已知b<a<0,比较三与:的大小；