2023年高考考前数学押题密卷（新高考Ⅰ卷）含答案

2023年高考考前押题密卷（新高考□卷）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答

案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知集合人=卜|/一28一8＜0},B=\X|lg（x+2）＞0},则AcB=（）

A.（0,4）B.（-1,4）C.[-1,4）D.（-1,4]

2.已知复数a+3i=4+历，则"^=（）

5+12i

5c7八911

A.—B.—C.—D.—

13131313

3.某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台

剧，爵士舞，要求歌唱与民族舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目.则不

同的演出安排方案共有（）

A.720种B.3168种C.1296种D.5040种

4.若二项式|2x+N*）的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式

的有理项中第A项的系数最大，则4=（）

A.5B.6C.7D.8

5.已知数歹1以“=〃一1+4，包=等若对任意的%）（九一4）＜0,则实

Z7?—1Z

数几的取值范围是（）

6.定义在R上的函数〃x）=2sin（0x+LeN*）满足在区间卜沈）内恰有两个零

点和一个极值点，则下列说法正确的是（）

A.f(x)的最小正周期为5

B.将f(x)的图象向右平移;个单位长度后关于原点对称

C./(力图象的一个对称中心为信o]

D./⑺在区间上单调递增

7.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶

等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征.其

中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是

qc,空气的温度是为c,经过t分钟后物体的温度为。口，满足公式

+(4-4)—25'.现有一壶水温为92口的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52口

时口感最佳，若空气的温度为12口，那从沏茶开始，大约需要()分钟饮用口感最佳.(参

考数据；ln3»1.099,In2®0.693)

A.2.57B.2.77C.2.89D.3.26

8.刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳

马，一为鳖糯，阳马居二，鳖膈居一，不易之率也意思是说：把一块长方体沿斜线

分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的

叫整麻，两者体积比为2：1,这个比率是不变的.如图所示的三视图是一个鳖膈的三

视图，则其分割前的长方体的体积为()

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆M的方程为：x2+y2+ax+ay-2a-4=(),(aeR),点尸(1,1),给出以下

结论，其中正确的有()

A.过点尸的任意直线与圆M都相交

B.若圆"与直线x+y+2=0无交点，则

C.圆A1面积最小时的圆与圆Q：x2+X2+6工-10>+16=0有三条公切线

D.无论〃为何值，圆M都有弦长为2拉的弦，且被点夕平分

10.直角三角形ABC中，P是斜边3c上一点，且满足BP=2PC，点M,N在过点。的

直线上，若AM=/%A8,/4N=/MCO>0,〃>0）,则下列结论正确的是（）

1215

A.一+—为常数B.私〃的值可以为：机=二,〃==

mn22

C.加+2〃的最小值为3D.登也的最小值为，

11.如图，棱长为2的正四面体A8CD中，分别为棱ADBC的中点，。为线段MN

的中点，球。的表面正好经过点“，则下列结论中正确的是（）

A

A.A。_L平面BCD

B.球O的体积为正兀

3

4

C.球O被平面BCQ截得的截面面积为彳兀

D.球。被正四面体MC£>表面截得的截面周长为强兀

3

12.已知定义在R上的函数,“X）,对于给定集合A,若Wx「x”R,当王-々wA时都

有/、a）-/（X2）eA,则称是“A封闭”函数.则下列命题正确的是（）

A.〃力=幺是“[-1,1]封闭”函数

B.定义在R上的函数/‘（X）都是“｛0｝封闭''函数

C.若f（x）是“｛1｝封闭”函数，则“X）一定是“｛科封闭”函数（keN）

D.若〃x）是可封闭”函数（。2eN*）,则f（x）不一定是"｛"｝封闭”函数

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图是函数〃x)=sin®x+"网苦J的部分图像，则“X)的单调递增区间为

14.某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图(如

图)，估计学生的平均成绩为分

15.圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光

线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦

点.如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP是它的一条对称轴，尸是它的

一个焦点，一光线从焦点/发出，射到镜面上点8,反射光线是BC,若NPEB=120°,

1FBC90?,则该双曲线的离心率等于.

i

16.已知函数/(x)=yjx+2x-2a，若曲线y=+2x上存在点(x0,券)使得

/(/(%))=%，则°的取值范围是.

四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知数列｛4｝中，4=1,%=舞，〃eN*.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

⑵设b„=log,a；+3”，数列］」，的前n项和S„,求证：S“<?.

也J4

18.在□acosg=bsinA；JacosB=bsinA^口1211（8+：［=2+>/5这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：在一ABC中，角A、B、C的对边分别为“、b、c,A=-,b=丘,且,

求ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=272,PA=PBPC=AC=4,。为NC的

中点.

⑴证明：P0□平面/8C；

CM

⑵若点M在棱上，且二面角例-%-C为30。，求会的值.

CB

20.随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校

园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌''带动"大文明”，同时践行

绿色发展理念.该市某中学有48两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王

同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情

况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚餐）(AA)(AB)(民A)（B，B）

王同学9天6天12天3天

张老师6天6天6天12天

假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率.

（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率;

(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)假设M表示事件"/餐厅推出优惠套餐”,N表示事件“某学生去/餐厅就餐”，

已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去

该餐厅就餐的概率要大，证明：

21.已知椭圆E：+£=l(a>h>0)的离心率为孝，且过点［用.

(1)求椭圆E的方程；

⑵设直线/:x=l与x轴交于点“，过“作直线交£于48两点，4交E于C,。两

\MG\

点.已知直线AC交/于点G,直线80交/于点”.试探究扁是否为定值，若为定值，

求出定值；若不为定值，说明理由.

22.已知函数〃x)=2xlnx-2aX?,aeR.

(1)当求/(x)的单调递减区间；

(2)若〃力44»-12-1在(1,”)恒成立，求实数。的取值范围.

2023年高考考前押题密卷(新高考口卷)

数学•全解全析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={xIX?-2x-8<。},B={x|lg(x+2)>0},则AcB=()

A.(0,4)B.(-1,4)C.[-1,4)D.(-1,4]

【答案】B

【详解】解集合A={X|X2-2X-8<0}=>-2<%<4

解集合6={x|lg(x+2)>0}=x+2>l=x>-l

Ac8=(-1,4)

故选:B.

2.已知复数a+3i=4+Z?i,则土也=()

5+12i

11

D.

13

【答案】A

【详解】根据待定系数法可得a=4,b=3

a+bi4+3i_5633.

则-----------------------j

5+12i5+12i169169

故选：A.

3.某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台

剧，爵士舞，要求歌唱与民族舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目.则不

同的演出安排方案共有()

A.720种B.3168种C.1296种D.5040种

【答案】D

【分析】根据每天演出项目的数量进行分类讨论，由此求得不同的演出安排方法数.

【详解】若三天演出项目数量为2,2,2,则安排方法数为：

C：C：C；x(AJ'_3xC；C；x(A；)'=576.

若三天演出项目数量为3,2,1,则安排方法数为:

C：C；C：xA；x(A；xA；)-C：C；C：xA；x(A；xA；)-C汨xA；x(A；xA；)=3168,

若三天演出项目数量为4,1,1，则安排方法数为:

C：xA；x(A：)—C；xA；x(A：)=1296,

所以不同的演出安排方案共有576+3168+1296=5040种.

故选：D

4.若二项式(〃eN*)的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式

的有理项中第％项的系数最大，则4=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】根据条件可得”=12.写出展开式的通项(।=c；,23rJ告，则当,是偶数时,

该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出发的值.

【详解】由已知可得，〃=12.根据二项式定理，知展开式的通项为

,2r

=C；22-/^,显然当「是偶数时，该项为有理项，

,I2I22H

/•=()时，7]=C；22X=4096X'；厂=2时，4=C：22V=67584-；

8*1166633

r=4时，T5=C^22X=126720X；r=6时，7；=C,22x=59136x；

4

r=8时，7；=C^22=7920；r=10时，几=C；；2%3=264/；

(,6

/'=12时，7]3=C；^2X-=X^.

经比较可得，r=4,即左=5时系数最大,即展开式的有理项中第5项的系数最大.

故选：A.

8,3n-7

5.已知数歹风=〃-1+----l)-若对任意的〃eN*,(4—a.)(X—2)<0,则实

2〃一1'"2"-'

数4的取值范围是()

185182H5U

A._LB.C.D.

2'T8,T2'T

【答案】B

【分析】求出为也的最值，由不等式恒成立，求出实数2的取值范围.

OO

【详解】当勺〉/…有〃-1+不三>〃+丁三，由〃WN*,解得〃K2；

2〃-12〃+1

88

当有〃-1+;;-;<«+-由解得〃之3,

2«-12〃+1

111Q1Q

/=£，«=y,

3a2>a3,所以%的最小值为/

3n-73H-4

当有三丁＞下-，由〃eN*,解得〃24；

当£＜〃M，有黄＜学，由“eN*,解得〃V3,

仇=0,/=:，"＞%,所以”的最大值为九="

所以«„的最小值大于b„的最大值，即«„＞与恒成立，

所以(彳一4,)(九-2)＜0解得对任意的〃eN*,么＜4＜。.恒成立，则有

“＜彳＜%，即实数冗的取值范围是6，£).

故选：B

6.定义在R上的函数〃x)=2sin"+5)即N*)满足在区间,屋)内恰有两个零

点和一个极值点，则下列说法正确的是()

A.“X)的最小正周期为：

B.将f(x)的图象向右平移g个单位长度后关于原点对称

C.〃x)图象的一个对称中心为伍0)

D.“X)在区间(-*0)上单调递增

【答案】D

【分析】根据题意可求出。的值，从而可得到/(x)的解析式，再根据解析式逐项分析

即可.

兀J式①兀八

——＜----+—＜0

【详解】依题可知于是3＜。＜6,于是26：,

23虱①it,3几

兀＜——+—＜—

1632

4＜＜y＜5,a)=5,/(x)=2sin,x+§),

对于A,由7=如=磬，则/(x)的最小正周期为g,故A错误；

对于B,将的图象向右平移;个单位长度后得g(x)=2sin(5x+1)，

则g(O)=2sin(D=6,所以g(x)不关于原点对称，故B错误；

对于C,由/用=2sin[V)=-l,所以伍())不是图象的一个对称中心，故C

_,_71玲)，所以“X)在区间,

对于D,由xe|一则5x+一£,0)上单调递增,

故D正确.

故选：D.

7.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶

等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征.其

中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是

用C,空气的温度是%C,经过，分钟后物体的温度为。口，满足公式

，=4+（4-4）53.现有一壶水温为92口的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52口

时口感最佳，若空气的温度为12口，那从沏茶开始，大约需要（）分钟饮用口感最佳.（参

考数据；ln3al.O99,In2«0.693）

A.2.57B.2.77C.2.89D.3.26

【答案】B

【分析】有题意，根据公式，=%+峋一%）/"'代入数据得52=12+（92-葭》"5',变

形、化简即可得出答案.

【详解】由题意得。二^+似-4卜④25',代入数据得52=12+（92-已卜"5',

整理得e心"=_1,即-0.25f=In』=一In2忆-0.693,解得公2.77；

22

所以若空气的温度为12二，从沏茶开始，大约需要2.77分钟饮用口感最佳.

故选：B.

8.刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳

马，一为鳖膈，阳马居二，鳖席居一，不易之率也意思是说：把一块长方体沿斜线

分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的

叫鳖膈，两者体积比为2：1,这个比率是不变的.如图所示的三视图是一个鳖膈的三

视图，则其分割前的长方体的体积为（）

【答案】D

【分析】根据鳖膈的三视图确定长方体的长宽高，计算体积即可.

【详解】根据鳖嚅的正视图得原长方体的长为3,根据鳖席的俯视图得原长方体的宽为

2,根据鳖膈的侧视图得原长方体的高为4,所以长方体的体积丫=3x2x4=24.

故选：D

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆加的方程为：x*2+y2+ax+ay-2a-4=O,(awR),点尸(1,1),给出以下

结论，其中正确的有()

A.过点P的任意直线与圆M都相交

B.若圆"与直线x+y+2=0无交点，则

C.圆A/面积最小时的圆与圆。：/+>2+6》-10)，+16=0有三条公切线

D.无论。为何值，圆M都有弦长为2夜的弦，且被点P平分

【答案】ACD

【分析】根据点与圆的位置关系判断A选项，通过几何法判断直线与圆的位置关系判

断B选项，根据圆与圆的位置关系判断公切线的条数判断C选项，根据半径的最小值

及垂直弦平分弦判断D选项.

【详解】因为点代入入圆的方程得F+F+Q+a—Za-4=-2<0,所以P(Ll)在圆M内,

所以过点P的任意直线与圆M都相交,A选项正确；

圆M圆心/上,，］/="2+，+8〃虫='2+8“+应,川_?_父直线

<22J22<22；

，—0+2

x+y+2=0.22

a=----/—

VPTF

若圆〃与直线x+y+2=0无交点，~2~2、J2a2+8〃+16,

2

a々+2_________

22>J/+4q+8,|-ct+2|>+4a+8,a2-4a+4>a2+4a+S,a<~—,B

#+『72

项错误；

圆加-=运土区±3,当。=_2时，圆M半径最小则面积最小，

2

圆。：12+V+6x-10y+16=0,Q（-3,5）,R=+1。4'16=3夜,

|MQ|=3yz=4忘=R+r=&+3&,

圆M面积最小时的圆M与圆。外切所以有三条公切线,C选项正确；

无论。为何值，,=/人+&/+162"(“+2)2+8=&,2=2立所以圆刀都有弦长

2~2

为2近的弦，

阿尸|[]闾+(闾=百+2〃+2“=信+产6,

d=y/7^=y+716_2/2+；a+8=b+2a+2,d=M，

因为垂直弦平分弦，圆M都有弦长为2近的弦，且被点P平分，故D选项正确.

故选:ACD.

10.直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足BP=2PC，点M，N在过点户的

直线上，若4W="丛8,AN=〃AC,(,〃>(),〃>()),则下列结论正确的是()

1215

A.上+4为常数B.相，〃的值可以为：〃2=：,〃=：

mn22

C."Z+2”的最小值为3D.今吹的最小值为，

、VABC9

【答案】ACD

1?

【分析】作出图形，由8尸=2PC可得出AP=§A8+§AC,根据三点共线的结论得出

|2

一+-=3,由此判断A,B,结合基本不等式可判断CD.

mn

【详解】如下图所示：

由BP=2PC，可得AP_AB=2（AC_AP）,

AP=-AB+-AC,

33

若AN=nAC9（机>0,〃>0）,

则A5JAM,AC=-ANf

mn

AP=—AM+—AN,

3m3n

M、P、N三点共线，

-----1----=1,—I—=3,

3tn3nmn

故A正确；

当m=1，九=1•时，-+-=^^3,所以B错误;

22mn5

2n2in5.2n2m5.

Qm+2〃=（+卷—+—+->2.---------+—=3,

3m3n33m3n3

当且仅当m=〃=1时，等号成立，C正确;

..ABC的面积SABC=^AB-AC,.AMN的面积SAMN=^AM-AN,

AM-4N

所以产=mn,

）VA8CABAC

因为1+2=3,所以2_L.2«3,当且仅当〃?=：2,〃=］4时等号成立,

mnvmn

8

>24

-9-当且仅当〃?=：,〃=三时等号成立,

?48

所以当机时，小〃取最小值，最小值为

339

所以少处的最小值为，，D正确；

、VABC9

故选：ACD.

11.如图，棱长为2的正四面体A8C。中，分别为棱4X3C的中点，。为线段MN

的中点，球。的表面正好经过点M,则下列结论中正确的是（）

A.AOJ_平面BCD

B.球。的体积为农兀

3

4

C.球。被平面3C。截得的截面面积为］兀

D.球。被正四面体A6C。表面截得的截面周长为更兀

3

【答案】ABD

【分析】设瓦尸分别为何,8的中点，^ME,EN,NF,MF,EF,AN,DN,根据线面垂

直的判定定理可判断A；求出球的半径，计算球的体积，判断B；求出球。被平面BCO

截得的截面圆的半径，可求得截面面积，判断C；结合C的分析，利用圆的周长公式可

判断D.

【详解】设E,尸分别为AB,8的中点，连接ME,EN,NF,MF,EF,AN,DN,

则EM//BD,NF//BD,EM=gBD,NF=；BD,

故EM〃NF,EM=NF,则四动形MENF为平行四边形，

故EF,MN交于一点、,且互相平分，即O点也为EF的中点，

又AB=AC,DB=£)C,故/W_LBC,£W_LBC,

ANDN=N,AN,DNu平面AND,故8c工平面AND,

由于OeMN,MNu平面AND,则AOu平面A7V£),

故8CJ.AO,结合O点也为E尸的中点，同理可证。C_LA。，

BCZ)C=C,BC,DCu平面BCD,故AO,平面BCD,A正确；

由球。的表面正好经过点加，则球。的半径为OM,

棱长为2的正四面体ABCD中，AN=DN=6,M为AO的中点，

故MN^Nb2-Mb1=>/^T=0，

则所以球。的体积为3；tX(OM)3=3兀X(Y^)3=,B正确;

23323

由8c工平面AN£),8Cu平面8C£),故平面4V£)L平面8cO,

平面4V£>C平面8Cr>=ON,由于AO,平面BCD,

延长AO交平面BCD于G点，则OGL平面38,垂足G落在ON上，

且G为正△BCD的中心，t^NG=-ND=—,

33

所以OG=>JON2-NG2="亭2_吟¥=骼，

故球。被平面BCD截得的截面圆的半径为„)2一(4)2=*,

则球。被平面BCD截得的截面圆的面积为Ttx(立产=1,C错误；

由A的分析可知，O也为棱AC8。中点连线的中点，

则球O与每条棱都交于棱的中点，结合C的分析可知，

球。被正四面体A8CD的每个面截得的截面都为圆，且圆的半径都为亚，

3

故球。被正四面体ABCD表面截得的截面周长为4义2兀乂且=逑兀，D正确，

33

故选：ABD

12.已知定义在R上的函数/(x),对于给定集合A,若当士-XzWA时都

有〃XJ-〃X2)WA,则称〃x)是“A封闭”函数.则下列命题正确的是()

A./(力=/是"[-1』封闭"函数

B.定义在R上的函数f(x)都是“{0}封闭”函数

C.若f(x)是“{1}封闭”函数，则“X)一定是“{&}封闭”函数(AeN*)

D.若〃x)是回封闭”函数(a,0eN*),则f(x)不一定是“卜必}封闭”函数

【答案】BC

【分析】A特殊值％=4,%=3判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C根据定

义得到VxeR都有/(x+l)=/(x)+l,再判断所给定区间里是否有/(9+6-/(々)=%

成立即可判断，D选项可判断出其逆否命题的正误，得到D选项的正误.

【详解】对A：当%=4,电=3时,芭-々=1€[-1,1],而〃占)一/(々)=16-9=7任[-1,1],

A错误；

对B：对于集合{0},W尤|,吃eR使药-与=0,即玉=々，必有/区)-/(々)=。，

所以定义在R上的函数f(x)都是“{0}封闭”函数，B正确；

对C：对于集合{1},VX1,修©R使芭-々e{l},则玉=马+1,

而〃x)是“{1}封闭”函数，则/(々+1)-/*2)=1，即VXGR都有/8+1)=/&)+1,

对于集合{%},eR使玉一毛e{Q,则％=々+左，kwN*,

Mf(X2+k)=f(x2+k-l)+l,f(x2+k-l)=f(x2+/c-2)+l,...,/(^+l)=/(x,)+l,

所以/(x?+k)+f(x2+k—l)+...+f(x2+l)=f(x2+k—l)+f(x2+k—2)+...+f(x2)+k—i,

即f(%+幻=f(%)+=，故f(%+幻-f(々)=%，一定是“因封闭”函数(壮N"),

C正确；

对D,其逆否命题为,若〃尤)是“{砌封闭”函数，则〃x)不是“卜,目封闭”函数

(a,6eN")，只需判断出其逆否命题的正误即可，

\/芭,々GR使为一々=。方，则/(占)一/(々)=。6,

ab>a

若诞£句,则,Wb,

a<b

由〃Z?WZ?解得aKl,因为awN"，所以。=1,

即7内,电eR使x-&=ab=be[a,b],则f(x})-f(x2)=ab=be[a,b\,

满足〃X)是“[4〃]封闭”函数(a,beN"),

故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛:对于C,根据给定的条件得到VxeR都有/&+1)=/(x)+1,VxeR

有f(x+a)=/(x)+力恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图是函数〃x)=sin(s+e)(附<j的部分图像，则〃x)的单调递增区间为

3兀兀

【答案】E-jpE+丘,keZ

【分析】运用三角函数的周期公式及五点法求得。、。的值，结合同增异减求得其单调

递增区间.

【详解】由图知，y=^--(-7)=?-解得：?=兀，

41264

所以1。1=1=2,解得：。=±2,

□当3=-2时，/(x)=sin(-2x+e),

7T7127r

则-2x五+。=2+2碗，kwZ,解得：(p=-^-+2lcjt,kwZ,

又因为Wl音,

所以夕无解，故舍去；

□当0=2时，/(x)=sin(2x+p),

JkTTTT

则2x\-(p=—F2kn,k£Z,解得：(p——,kEZ,

1223

又因为网苫，

所以P=3,

综述：&>=2且(p=—,

7T

所以f(x)=sin(2x+§),

7T717r

---F2/CJIW2xH—W—F2/CTL,k£Z,

232

Sir7T

解得：----1-kit«x《---Fkitk£Z、

1212f

所以〃x)的单调递增区间为-普+E*+E,keZ.

故答案为：卜5五IT+阮兀五+叫，keZ.

14.某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图(如

【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可.

【详解】由直方图知：平均成绩为

(95x0.03+105x0.04+115x0.015+125x0.01+135x0.005)x10=107分.

故答案为：107

15.圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光

线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦

点.如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP是它的一条对称轴，厂是它的

一个焦点，一光线从焦点下发出，射到镜面上点8,反射光线是8C,若NP必=120。，

?FBC90?,则该双曲线的离心率等于.

【答案】g+1/l+g

【分析】反射光线BC的反向延长线经过双曲线的另一个焦点片，由题中条件可得

/①隹=60。，/尸M=90。，在直角三角形耳8尸中，忸凰=Qc,\BF\=c,由双曲线

的定义可得|跖|-忸同=2"，所以Gc-c=2a,即可求得答案.

【详解】在平面直角坐标系中，如图，

反射光线BC的反向延长线经过双曲线的另一个焦点片，

由NPF8=120。，？FBC90?,可得/8鹏=60。，ZFB^=90°,

在直角三角形耳中，|即|=|耳尸|sin&r=辰，忸同=|4F|cos600=c,

由双曲线的定义可得忸制-忸q=2,所以&-c=2a,即(G-1)C=2"，

2I-

所以"c厂京

故答案为：G+1.

16.已知函数/(x)=&+2x—%,若曲线y=-f+2x上存在点(为,%)使得

/(/(%))=%，则。的取值范围是.

【答案】[0』

【分析】设/(%)=，，则/(，)=%,换元将问题转化为f(x)=Jl+2x-2a=x有解的

问题，即可得出答案.

【详解】若曲线丁=一犬+2%上存在点(％%),故为=-X02+2X°41,

设〃%)=乙则/")=%，即&%)、®,。都在y=/(x)图象上，不难发现该两点关于

y=x对称，故jY+2x—故=x(xe[0,l])有解

=丁-X?+2x=2a(xe[0,l])有解，

4-/?(%)=A3-x2+2x=>h\x)=3x2-2x+2,A=22-4X2X3<0>即"(x)>0n/?(x)在

[0,1]上单调递增，所以2。«/?(0),碎)]=(0,2]=。€[0,1]

故答案为：[0』

四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知数列｛4｝中，4=1,4=$,〃eN'.

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

⑵设"=1。824+3〃，数列的前〃项和5〃，求证：S„<|.

4

n(n-l)

【答案】⑴凡=2一厂

(2)证明见解析

【分析】(1)由符=q,5eN”)，得到也=2"(〃eN"),再利用累乘法求解;

2an

⑵由(1)易得卜法片HL)，再利用裂项相消法求解.

【详解】(1)解：因为4=1,芳=45eN*),

所以也=2"("€N"),

a„

匚Ul、1,1""""T“2„+2+n(n-l)

所以"-*7*7"…Ta'=2"-'-2"-2•・…2'-1=2I+<"-'>=2"

n-In—21

当〃=1时，4=1满足条件,

“（〃一1）

所以。〃=2丁

(2)因为a=log2。；+3〃=〃(〃+2),

所以广花匕HJa，

所以s,尸』a一——)=1(1+1一一!.....-)=i(-一一5..........-),

2324/?n+222n+in+222n+1〃+2

3

所以5“.

4

18.在□acosg=6sinA；□acosB=Z?sinA；□tan(B+：)=2+6这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：在中，角A、B、C的对边分别为“、b、c,A=1,b=应,且，

求一MC的面积.

注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

【答案】条件选择见解析，答案见解析

【分析】若选，利用正弦定理求出角8的值，分析可知，"C是边长为血的等边三角

形，结合三角形的面积公式可求得该三角形的面积；

若选口，利用正弦定理可得出tanB的值，结合角8的取值范围可求得角B的值，求出

sinC的值，利用三角形的面积公式可求得结果；

若选口，利用两角差的公司结合角B的取值范围可求得角8的值，分析可知一MC为直

角三角形，求出。的值，利用三角形的面积公式可求得该三角形的面积.

【详解】解：若选：：因为。cosO=Z?sinA,由正弦定理可得sinAcosO=sinAsinB,

22

因为A、Z?e(O,7T),则0<?<5，所以，sinA>0,cosy>0,

则cosg=2sin与cos与可得sin，=:,所以，与=匕解得B=f,

22222263

因为A=5，b=E，所以，..A3C是边长为0的等边三角形，

所以，AHC~—^csinA=—x2x—=-；

ABC2222

若选口，因为acosB=Z?sinA,由正弦定理可得sinAcosB=sinAsinB,

因为A、BG（0,7T）,则sinA>0,cosB=sinB>0,所以，tanB=1,则B=（,

abftsinAH

由正弦定理,所以，a=—r=-K-=J3,

sinAsinBsinBV2

2

6316y/6+y/2

sinC=sin(A+B)=sinAcosB4-cosAsinB=-------X----------F—X-------=--------------------，

22224

所以，S~wc=；obsinC=；xGx血XA/6+>/2=3+^

44

兀

tanB+--tan—

若选口，因为tanB=tan[B+：J-：兀442+A/3-1_^

4-(n兀)兀-1+2+6-3'

1+tanB+—tan

44

因为3e（O,兀），故B=,又因为A=,所以，C=p

所以，4?C为直角三角形，贝般=3=20,则4=招一。=痴五=后,

所以‘。必=；X指X&=6.

19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=272,PA=PB=PC=AC=4,。为4c的

⑴证明：PO平面Z8C；

CM

⑵若点M在棱8C上，且二面角M-PA-C为30。，求会的值.

Co

【答案】（1）证明见解析

⑵I

【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到PO_LAC,由勾股定理逆定理得到30,PO,

从而证明出线面垂直;

（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设C黑M=4，利用空间向量及二面角列出

CD

方程，求出答案.

【详解】（1）在△PAC中，PA=PC=4,。为/C的中点.

则中线PO_LAC,且AO=CO=2,OP=26;

同理在..ABC中有AB?+BC2=AC2,则ABJ.BC；

因为AB=3C=2&,。为/C的中点.

所以80人AC且80=2；

在；PO8中有尸。2+8。2=8尸，则3OLPO,

因为ACcBO=O,AC,80u平面/8C,

所以P。□平面/BC.

(2)由(1)得尸0口平面N8C,故建立如图所示空间直角坐标系O-?z,

则8(2,0,0),C(0,2,0),40,-2,0),P(0,0,2®

、eCM..

设下「2，则nCM=/LCB,

CD

而CB=(2,-2,0),PA=(0,-2,-2扬,PC=(0,2,-2折,

:.CM=ACB