江西省宜春市铜鼓中学高三上学期第三次阶段性测试数学试题

铜⿎中学

20222023

学年⾼三上学期第三次阶段性测试数学试卷⼀单选题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共0分）1.已知复数

z满⾜ ，则 （ ）B.D.2.若 ，则 等于（ ）B.或

C. D.或3.已知是两个不同 平⾯，是两条不同的直线，则（ ）A.若且 ，则B.若且 ，则C.若，则D.若 异⾯，则4.设数列的公⽐为，则且 是是递减数列的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件5.由于我国与以美国为⾸的⻄⽅国家在科技领域内的竞争⽇益激烈，美国加⼤了对我国⼀些⾼科技公司的打压为突破⻄⽅的技术封锁和打压我国的⼀些科技企业积极实施了独⽴⾃主⾃⼒更⽣的策略在⼀些. “ ” ，实现芯⽚制造的国产化，加⼤了对相关领域取得了骄⼈的成绩我国某科技公司为突破芯⽚卡脖⼦问题产 ⼊若业的研发投产 ⼊若

2020

年全年投⼊芯⽚制造⽅⾯的研发资⾦为

120年投⼊的研发资⾦⽐上⼀年增⻓9%，则该公司全年投⼊芯⽚制造⽅⾯的研发资⾦开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：.A.2024年

B.2025年

C.2026年

D.2027年6. ，过与双曲线的⼀条渐近线平⾏的直线已知 分别为双曲线 的左 右焦点交双曲线于点 ，若，则双曲线的离⼼率为（ ）A3 B. C. D.2b （osα

sinα

c （inα

cosα（ ）7.已知 ，＝ c

） ，＝ s ） ，则＜＜ a b＜8.已知，关于的⽅程( )有四个不同的实数根，则的取值范围为（ ）B. C. ⼆ 多选题

（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共0分部分选对得2分，有错误选项得0分，全部选对得

5分）如图 ，，

M N ，则满⾜ ∥，则满⾜ ∥平⾯ 的有（ ），B.D.10.已知直线

： 确的是（ ）A.直线恒过点，直线被圆 截得的最短弦⻓为若点是圆 上⼀动点， 的最⼩值为已知

三个内⻆A，，

的对应边分别为，，B C⾯积 最⼤值为

a b c，且 ， （ ）的最⼤值为的取值范围为D.12.已知数列 满⾜

（ 且 ，则下列说法正确的是（ ），且B. 16若数列 的前

项和为

540 ，则数列 的前 项中的所有偶数项之和为n当

是奇数时，三填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共0分）13.已知定义在

上的奇函数

时，时，的值为．14.已知是⾮零向量，，，在 ⽅向上的投影向量为 ，则 ．15.已知

．，函数 在 单调递减，则 取值范围为．16.设抛物线 焦点为

，准线为，过抛物线上⼀点A作的垂线，垂⾜为，设为与 的⾯积为 .为四 解答题

（本⼤题共6题，共70分）17.1

在中，⻆所对的边分别为，已知.；（）求 的⼤⼩2 于把 （.的最⼩值18.1

.已知函数 和 在 处有相同的导数；（）求2 ，是的值（）设 是 的极⼤值点 .19.1

设各项均不为零的数列 的前n项和为，，且 ．；（）求数列 的通项公式2 ，当最⼤时，求n的值．（）令20. ，直三棱柱中，点D

E 分别为棱 的中点，如图 ，，．1 A D

E三点的平⾯交于F，求 的值；（）设过，，2 H 上，当 的⻓度最⼩时，求点H到平⾯ 的距离．（）设21.

在线段.已知函数1

上单调递增，求实数的取值范围；（）若函数 在2 个数（）讨论函数 的零点 .22. ： .

圆 的圆⼼坐标是，已知椭圆 动过点 作圆 的两条切线分别交椭圆于 和 两点，记直线 .1 ：；（）求证2 ，作，垂⾜为 .

否存在定点，使得为定值？（）若 为坐标原点 是铜⿎中学

20222023

学年⾼三上学期第三次阶段性测试数学试卷⼀单选题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分）zz已知复数满⾜555534i 555534i D.435555

3 26 i

z，则 （ ）B.

4 3iC. iA【答案】【解析】【分析】根据复数的运算法则和模的定义即可求出复数

z，再根据共轭复数定义即可得结果.z3 26 i

(26)2

(534i 3 4【详解】由

，得z

i，3 3 35 5，z 3 4i所以 5 5，故选：A.b xax2 4x1 0若

a,b

R a b，则

等于（ ）9 9 1 8 8 1A. B. C. D.2 2或4 5 5或4B【答案】【解析】2【分析】由题意可知ax2

4x 1 0只有⼀个实数根，讨论a 0和a

0，由根的判别式可得答案.2【详解】∵2

b xax2 4x1 01

a,b1

R，∴ax

4x 1 0只有⼀个实数根.a 0 ，

b a b，此时 ；当 时 4 41当a 0时， 16 4a

0，所以a

4，此时b 2.a b 4∴

1 9 a b2 2.故

1 a b 9.4或 2故选：B.3. ,已知

是两个不同的平⾯，

a,b

是两条不同的直线，则（ ）1 / 23第 ⻚共 ⻚a ,b若

且a//b，则 //a ,b若

a// ,b//且

，则 //若 且

a,a b b，则a ,b若D

,a// ,b//

a,b且

异⾯，则 //【答案】【解析】.【分析】根据线线关系、线⾯关系、⾯⾯关系逐项判断可得答案A a ,b【详解】对于，若

且a//b

，也有可能 与 相交，如下图，故A

错误；对于B，若a

,b a// ,b// B且 ，也有可能 与 相交，如下图，故 错误；对于C，若 且

a,a b b，也有可能 ，如下图，故C错误；D，若a ,b

,a// ,b// a,b // D .且 异⾯，则 ，故 正确对于故选：D.4. a

q 0且0

q 1是

n是递减数列的（ ）设数列 n

的公⽐为，则2 / 23第 ⻚共 ⻚A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件A

D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】【分析】根据题意，结合等⽐数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.a aqn1qn【详解】由等⽐数列的通项公式可得，n 10 n

q ，a qna 0 0当1 且

q 1 y q n，则时，则q ，且 ，则

q 是递减数列，故充分性满⾜；a qn00当n q 是递减数列，可得0

q 1或q

1，故必要性不满⾜；所以0且0

q 1是

n是递减数列的充分不必要条件.故选：A5.

与以美国为⾸的⻄⽅国家在科技领域内的竞争⽇益激烈，美国加⼤了对我国⼀些⾼科技公司的由于我国打压，为突破⻄⽅的技术封锁和打压，我国的⼀些科技企业积极实施了独⽴⾃主⾃⼒更⽣的策略，在⼀. “ ” ，实现芯⽚制造的国产化，加⼤了对相些领域取得了骄⼈的成绩我国某科技公司为突破芯⽚卡脖⼦问题关产业的研发投⼊.

2020 120，在此基础上，计划以该公司 年全年投⼊芯⽚制造⽅⾯的研，在此基础上，计划以若，后每年投⼊的研发资⾦⽐上⼀年增⻓9%，

200则该公司全年投⼊芯⽚制造⽅⾯的研发资⾦开始超过 亿元的年份是（ ）参考数据：0.0374,lg2 0.3010,lg3 .A.2024年C

B.2025年

C.2026年

D.2027年【答案】【解析】【分析】根据题意列出不等关系，然后结合对数运算化简求出年份即可.【详解】设

2020

n年后第

年该公司全年投⼊芯⽚制造⽅⾯的研发资⾦开始超过

200

亿元，n120 19% 200n由 得

5n3，nn两边同取常⽤对数，得

lg5lg3 1lg2 lg3 ，所以n 6，所以从2026年开始，该公司全年投⼊芯⽚制造⽅⾯的研发资⾦开始超过200亿元.故选：C.3 / 23第 ⻚共 ⻚6. F,F

x2 y2

0,b 0) F已知1 2分别为双曲线a2 b2

的左、右焦点，过2与双曲线的⼀条渐近线平⾏的直线交双曲线于点

P，若3

，则双曲线的离⼼率为（ ）A.3 B. 5 C. 3 D.2C【答案】【解析】F y【分析】设过2与双曲线的⼀条渐近线

bx Pa 平⾏的直线交双曲线于点 ，运⽤双曲线的定义和条件可|PF|3a |PF|得 1 ， 2

a |FF|2c， 12 ，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离⼼率公式，计算即可得到所求值．F y【详解】设过2与双曲线的⼀条渐近线|PF||PF|2a由双曲线的定义可得 1 2 ，|PF|3|PF| |PF|3a |PF|由 1 2，可得 1 ， 2

bx Pa 平⾏的直线交双曲线于点 ，a |FF|2c， 12 ，由

FFP b12 a可得

P

1 ab2 c1 ，a2PFF在三⻆形 12中，由余弦定理可得：1 2 12 2 12|PF|2|PF|21 2 12 2 12P，9a2即有

a2 4c2

2a2c，e c，

ac，化简可得c3

2 3a2所以双曲线的离⼼率 a ．故选：C．7. ,a已知 4

(sin)sin

b cosα，＝（，

sinα）

，c＝（

sinα）

cosα，则（ ）＜＜A.a＜b＜c B.a c＜b C.b＜a＜c D.c＜a b＜＜D【答案】【解析】【分析】由

4，得到

0 sinα 2＜ 2

cosα＜

1 .，再利⽤指数函数和幂函数的单调性求解4 / 23第 ⻚共 ⻚0,【详解】因为 4，所以0＜sinα

2 cosα 12 ＜，）sinα所以b＝（cos）sinα

＞（sinα）

sinα

＞（sinα）

cosα，所以b＞a＞c；即c＜a＜b；．故选：D．f(x)已知

xex

，关于

x的⽅程

f2(x)

tf(x) 2 0(t

R)有四个不同的实数根，则t

的取值范围为（ ）

2e2 1

2e2 1

2e2 1

2e2 1,e

,e

,2e

2,eA【答案】【解析】【分析】求导得到导函数，确定单调区间，画出函数图像，令

f(x)

2m，得到m tm2

2 0有两个不同m 0,1的根1 e

1,e,

1，得到e2

t 2 0 .e ，解得答案【详解】令

y xex y，

(x1)ex，当x 1时，

y 0 ，函数单调递增；当x1 1

1 y 0，时 ，函数单调递减；，x=1故当

e时，函数的最⼩值为 e，f(x)

xex

图像是由

y xex

的图像

x下⽅的部分向上翻折形成，如图所示：f(x)令

m,m2

tm 2 0，当m 0时，等式为2 0，⽭盾，舍去；m 1 m若1 e，此时对应两个不同根，若要凑四个根，则2

1e，不满⾜题意，舍去；5 / 23第 ⻚共 ⻚2则m tm2故选：A.

2 0有两个不同的根

0,1e

1,e,

1，即e2

t 2 0 te ，

2e2 1e ，【点睛】⽅法点睛：对于⽅程解的个数(或函数零点个数)问题，可利⽤函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最⾼点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的⾛向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分部分选对得2分，有错误选项得0⼆ 多选题分，全部选对得5分）9. ，点A

B，C，M，N是正⽅体的顶点或所在棱的中点，则满⾜MN

ABC（ ）平⾯ （ ）如图 ， ∥A. B.C. D.AD【答案】【解析】【分析】结合线⾯的位置关系以及线⾯平⾏的判定定理确定正确选项．【详解】对于A，连接ED,由下图可知MN//DE//AC，MN 平⾯ABC，AC 平⾯ABC，所以MN//平⾯

ABC，A正确．对于B，设H是EG的中点，A是DF的中点，由下图，结合正⽅体的性质可知，AB//NH，MN//AH//BC

AM//CH，

故六边形

MNHCBA

为正六边形

所以A，B，C，H，N，M六点共⾯，6 / 23第 ⻚共 ⻚B错误．对于C，如下图所示，根据正⽅体的性质可知MN//AD，由于AD 平⾯ABC，所以MN 平⾯ABC，所以C错误．对于D，设AC NE D

，由于四边形

AECN D NE B ME，由于 是 中点，所以是，由于 是 中点，所以MN//BD，MN

ABC，BD 平⾯ABC，所以MN//平⾯ABC，D正确．由于 平⾯故选：AD．10.已知直线

l y k 0 M x2 y2 ： ，圆 ：

1 0 2,1的圆⼼坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）l直线Dl直线

恒过点4，EM被圆02截得的最短弦⻓为23Px,y若点AB

M是圆 上⼀动点，

x y2222【答案】7 / 23第 ⻚共 ⻚【解析】l【分析】直线

A0 A恒过点 ( )，

正确，根据圆的⼀般⽅程计算

B正确，计算弦⻓的最⼩值为

22，C错x y误，确定M

122,1222 2

，D错误，得到答案.【详解】圆

：x y

1 0 M的圆⼼坐标为

2,1，D 2 E 1 2 2故 2 ， 2

，解得D

4，E

2，圆⽅程为x 2A0

y1 4，对选项

A：因为直线l:y kx

1恒过点 ( )，正确；对选项

B：D

4，E

2，正确；对选项

C：当直线l与AM垂直时，弦最短，此时AM 2，2 2弦⻓为22 2 22，错误；

21a对选项

D：设x y a，即

x y a

0 2，当直线与圆相切时， 2 ，解得a

122或a

122，故x y

122,122

，错误；故选：AB

ABC三个内⻆A B

C a b c，的对应边分别为，

πC 3，c 2（ ）已知 ，， ，，且

⾯积的最⼤值为3ACAB 2 43的最⼤值为 3cosBC.cosA的取值范围为D.bcosA acosB

()2AB【答案】【解析】【分析】由余弦定理、三⻆形⾯积公式及基本不等式计算判断A

由正弦定理，向量数量积的定义，三⻆恒等变换结合正弦函数的性质求解判断D

；B；利⽤三⻆恒等变换结合正切函数的性质计算判断C；利⽤余弦定理计算判断．A C【详解】对于，由

π，3 c 2，得4，

a2 b2 ab

2ab ab ab

，当且仅当a b

2时取等号，即ab的最⼤值为4，8 / 23第 ⻚共 ⻚

1 1 3则 ⾯积S

absinC 42 2 2

3，即ABC⾯积的最⼤值为3，A正确；b c 43对于

，则b

43 2π3sinB，B A，B，由正弦定理得sinB

sinC 3 3ACAB bccosA

83sinBcosA

83cosAsin(2π A)3 3 383cosA(

3cosA

1sinA) 4cos2A

43sinAcosA3 2 2 3cos2A)

23sin2A

43(1sin2A

3cos2A)2

43sin(2A

π)23 3 2 2 3 3 ，0 A 2π

0 2A 4π

π 2A

π 5π

2A π π显然 3，有A π

3，3 3 343

，则当

3 2，即 12时，ACAB取得最⼤值为3

2，B正确；cos(2π2πA

sin2πsinA 2πC，cosB

1 3

A )3，对于 3 3 3 tanA，由cosA

cosA

cosA 2 2得tanA

cosB( , 3) )，因此A的取值范围为( ,2) (

1, ) C2 ，错误；对于D，由余弦定理得bcosA

acosB

b2 c2 a2b2bc

a2 c2 b2a2ac

c 2，D错误故选：AB12. a

1aan11aan1

n 2 n N*已知数列 n

满⾜n1

n1 （ 且

，则下列说法正确的是（ ）a2

a4 5，且2a若数列 n

16的前 项和为

540

a 6，则1a数列 n

4kk N*的前

项中的所有偶数项之和为

6k2 kn当

是奇数时，an2

n13n14ACD【答案】【解析】A

选项

a到2k2

a2k

32k

1 4 6k

1 a，求出数列 n的【分析】选项

B ，先得9 / 23第 ⻚共 ⻚16前 项和中偶数项之和

，从⽽得到前16项和中奇数项之和，赋值法得到a2k1

3k2

k ，从⽽得到

392

448 C B，求出答案； 选项，在 选项的基础上得到a2m2n

a2m 6m2k1

1 D B a，从⽽利⽤等差数列求和公式求解；选项，在 选项基础上得到2k1.

3k2

k ，令A【详解】

可得答案选项，an1

1an1n1 1an1

中4 ，令n中

2 a a3得 13

32 4 2，n 3 a an1令 得4n1

334 5 A，

正确；B选项，an1

n1

4 ，令n

2k 1 a得2k2

a2k

32k

1 4 6k1，中1aa中1a所以4611 5，63117，651 29，671 41，a a相加得2 4517 29 41 92，a的前 项和为中n1的前 项和为中n1

16 540，所以前16项和中奇数项之和为54092 448，an1

n1

4 ，令n

2k a得2k1

a2k1 32k

4 6k 4，1aa1a所以2k1

6k 4

a2k1

6k 4 6k1 4

a2k3

6k 4 6k

1 4 614 k1k6

4k a

3k2 k a2 1 1，2 2 2a故15

37 7

36 6

31 1392

448，a 7 B解得1 ，错误；C选项，由B选项可知a2m2

a2m

6m1，a 4kk N* 2k an的前 项中的共有偶数项 项，故最后两项之和为4k2

a4k

62k1 1，a所以数列 n

4kk N*的前 项中的所有偶数项之和为a4k2 a4k

511 62k1 12

k512k 72n1

6k2

k，C

正确；D选项，由B选项可知a2k1

k ，令n

2k1，则k 2 ，10 / 23第 ⻚共 ⻚2a 3 n1 n1a2

n13n1a故n2

4 2 1 4 1故当n 奇数时，an2

n13n14，D正确.故选：ACD2 【点睛】当遇到

fn时，数列求通项公式或者求和时，往往要分奇数项和偶数项，这类题⽬n的处理思路可分别令

2k1 n和

2k，⽤累加法进⾏求解.三填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13.已知定义在

[2mm

4]上的奇函数

f(x) x，当

0 f(x) 3x时，

1，则

f(m)

的值为 ．【答案】2【解析】【分析】根据奇函数定义域关于原点对称，结合奇函数的性，质运⽤代⼊法进⾏求解即可.【详解】因为函数

f(x)

是定义在

[2mm

4]上的奇函数，所以有

(2m(m

4) 0 m 1，得 ，f(所以

f31 2．故答案为：22bb14.b已知

a,b是⾮零向量，a

1 a b a a， ，在 ⽅向上的投影向量为

2 b，则|a b| ．【答案】5【解析】a【分析】

1 a b a，由

，得ab

1，a在b⽅向上的投影向量为

2bb 22 b，可得 ，再2由a b，得a b.【详解】已知a,b是⾮零向量，a 1，ab aabab a由 ，有

2a ab

0，可得ab 1，/ 23第 ⻚共 ⻚a在b⽅向上的投影向量为

2b ab2 b，则有b

2b 22，得 ，2 2 2a b a b由

2ab

5，所以a b 5．故答案为：52 π15.已知

0，函数fx

sin

xcos x

x ,π在2

单调递减，则 的取值范围为 ．1,5【答案】48【解析】fx【分析】利⽤三⻆恒等变换化简函数的不等式组，从⽽得解.

fx sin

xcos x

cos2 x

1sin2x

cos2x【详解】因为 2 22sin(2x

π) 12 4 2，fx (π,π)⼜ 在2 上单调递减，T π π 0 π π 0 2所以2 2， ，则 2，所以 ，t 2x令π x

π4，π 0 2

π π t

π π因为2

， ，所以2 1

4 4，4（π4（所以问题转化为y

sint2

(π ,2π2在 4

) 0 2）上单调递减，y则问题转化为

sint (π在

π,2π4

π（) 0 2（4

）上单调递减，π π π 9π

π 2π

π 17π

y sint

(π 2kπ,3π

2kπ) k Z⼜4 4 4，4 4 4，

单调递减区间为2 2 ， ，(π π,2π

π) [π,3π]所以 4 4 2 2，12 / 23第 ⻚共 ⻚0 2π π π所以 4 22π π 3π4 2

1 5，解得4 8.故答案为：

1,5.4816.设抛物线

x2 2py(p

0) F的焦点为

l，准线为

，过抛物线上⼀点

A作l的垂线，垂⾜为B，设C0,9p2

，若与BC

相交于点

E,CF

2AF,

ACE

的⾯积为3，则抛物线的⽅程为 .2【答案】x 6y2【解析】【分析】由题意得出

2p，利⽤拋物线 定义求出点

A的横坐标，根据相似得出

SACF△

33，由三⻆形的⾯积公式可得结果.Ax,y

,F0,p

CF 9p p 4p【详解】设 A A

2， 2 2CF 22p⼜ ，则 ，由抛物线的定义得

2p y，所以A

3p x 3p2 ，则A ，CF//AB由CF得EA ABCF 2，即，所以SCEF1 4p

2SCEA3p

23，SACF33

SAEC6.

SCFE

33,所以2

，解得：p 22故答案为：x 6y2（本⼤题共6题，共70分）四17.

解答题在

B,C a,b,c 2acosB .中，⻆ 所对的边分别为 ，已知（1 求 B的⼤⼩；）2 a 2,c（ 若

3 AB,P,Q ，直线 分别交 于 两点，且 把 的⾯积分成相等的两部分，）13 / 23第 ⻚共 ⻚.求 的最⼩值π）【答案（1 B 3）2 3（）（【解析】【分析（1

⽅法⼀由边化⻆结合正弦展开式求得；⽅法⼆由余弦定理求得；）2 S（ 先⽤三⻆形⾯积公式

1ABBCsinB PBBQ2 得出

3 .，再结合基本不等式求出最⼩值）1【⼩问

详解】⽅法⼀：由已知2sinAcosB

sinCcosB

sinBcosC，即

sin

BC=sinπ

AsinA，sinA12，B 0,π, B π.⼜ 3

a2 b2 c2

a2 c2 b2⽅法⼆：b

2ab

c a2ac2acosB a，

1, B

0,π, B π.即2【⼩问

2 3详解】S 1ABBCsinB

1 23

3 33

2 2 2 2，S 1PBBQsinB 33PBQPBBQ

2 4，3.BPQ在 中，PQ2

PB2

QB2

2PBQBcosB PB2

QB2

PBQB

2PBQB PBQB PBQB 3，14 / 23第 ⻚共 ⻚当且仅当PQ的最⼩值为

3时上式等号成⽴，3.18.（1

fx已知函数求；

sin2x

gx cos2x和

10 π x在

π.6处有相同的导数）2 x fx x gx fx（ 设1是 的极⼤值点，2是 的极⼩值点，求 1.的值）5π）【答案（1 12）2 2 6（） 4（【解析】π π【分析（1

f x分别求出

2cos2x gx，

2sin2x f，然后由 6

g6从⽽）.可求解x x2x x（2 分别求出1，2的值，然后求解f

4 ，从⽽求解.）1【⼩问

详解】x

2cos2x

x 2sin2x由题设知 ， ，f π g π

cosπ

sinπ

tanπ 1因为 6 6

，所以

3 3 ，即 3 ，0 π π π 4π

π 3π 5π⼜5π故： 122

，3 3 3，故3 4，得：.

12，【⼩问

详解】5π π 5π2x由题意得 1 12

2x2， 2 12

2k2π π，Z，k2 Z，x x k k π π

k k k于是1 2 1 2

4，令1 2π 5π π π π 2 6fx x所以 1 2

sin2kπ

2 12

sin12

sin

4 6 4

，k Z，故f

的值是

2 6.415 / 23第 ⻚共 ⻚19.设各项均不为零的数列an

n S a 2 2S的前 项和为n，1 ，且 n

anan1

n N*．（1 求数列an

的通项公式；）（2 令

a 9n 10

nb n，当n最⼤时，求 的值．））【答案（1 n 2n）2 9 10（）或（【解析】【分析（1

a利⽤公式n

Sn Sn1，求得数列{a2n1}是⾸项为2，公差为4的等差数列，数列{a2n}是）⾸项为4，公差为4的等差数列，可求数列an

的通项公式；12 b（ 最⼤时，则

n．b b ，列不等式求 的值．）nn n11【⼩问

详解】*2，且2Sn 1n N ．则有an

0 4S， n

anan1，n 1 a当 时，1

S 1 4

a 4，所以2 ，a S S

anan1

an1an

a a 4当n 2时，

n n n1 4 4

，所以n1 n1 ，} a 2 4(n则数列 2n1是⾸项为2，公差为4的} a 2 4(n2(2n，} a数列 2n是⾸项为4，公差为4的等差数列} a

4 4(n2(2n)，所以an2

2n.【⼩问

详解】n n9 9 9n n由已知得：10

2n 110 ，1

b5，225，1，不是最⼤项，1设数列}的最⼤项为n

2，则：1，9 99 9n n1 n9 99 9即：2n 10

2(n10

且2n 10

2(n10

9，解得

n10，16 / 23第 ⻚共 ⻚b n 9 10.所以n最⼤时，的值为或20. C ABC D E ABCC如图，直三棱柱 111中，点，分别为棱11

中点，,4．1 A D设过

E三点的平⾯交于F

求

的值；（） ，，（

， （设 在线段）2 H BC上，当DH的⻓度最⼩时，求点H到平⾯ADE的（设 在线段））【答案（1 2）13212（） 21（【解析】【分析（1

先将平⾯ADE延展，在图中表示出和，根据三⻆形相似即可求出

的值；） （2由题意可以建⽴空间直⻆坐标系，根据垂线段最短，确定H的位置，由点到平⾯的距离的向量表示公）d DHn式 n 即可求出点

H到平⾯

的距离.1【⼩问

详解】如图延⻓AD交于P，连接PE交于F，如图所示：17 / 23第 ⻚共 ⻚D AB

1因为 为棱11的中点， 1

，且 1 2 ，B 所以1是 的中点，即 1

2C1E，因为 1，

所以△ 1 1∽，所以CE 所以△ 1 12【⼩问

详解】由题知 1

ABC，则AB，平⾯AB AE AB ACC因为1，且 11，所以平⾯AB AE AB ACC，如图所示，以A为原点，，，分别为x，y，z轴正⽅向建⽴空间直⻆坐所以标系，A所以

0,0,0

D0,2,4 E， ，

4,0,2，

B0,4,0 C，

4,0,0

Hx,4，设

x,0 0 x 4， ，4 ，

4,0,2，因为DH最短，所以DH BC，18 / 23第 ⻚共 ⻚DHBC x,2所以

x,4 4,4,0 8x

8 0 x 1，，解得，H0 所以 ，则4，

nAD 0

2y 4z 0设平⾯ADE的法向量n x,y,z，则

nAE

0，即4x 2z 0，n 4,2所以 ，

d DHn

1114 4 2 1321H所以点

到平⾯

ADE的距离 n

.42 22 2121.已知函数

fx

1lnx kx.fx k（ 若函数 在 上单调递增，求实数的取值范围；）fx .（ 讨论函数 的零点个数））【答案（1）

0,e（2 当k 0 ，fx有两个零点；当k 0 ，fx有⼀个零点.（时时）时时【解析】【分析（1

x根据题意，转化为k 1 x 时， ；

k 1 gx xlnx时， ，令 ，）利⽤导数求得函数的单调性与极值，即可求解；（2 法⼀：由（1）可知，当k

0 0 k和

e fx时k有⼀个零点；当

e ，得到）f x klnx1

1x，令

hx

，，1 f xx，利⽤导数求得函数

f的单调性，结合

时时1 1 0

，得到存在0 k

x 1 f x2 ，使得 1

f 0，根据fx的单调性，转化为k

0 ，存在时1，使得f 0，分类讨论，即可求解；时x法⼆：根据题意，转化为hx

e hx

k hx时， x，令.

lnxx，利⽤导数求得函数【⼩问

的单调性与极值，结合函数1详解】

图象，即可求解fx

1

f x 1 0 x 解：由函数

，可得 x 对1

恒成⽴，1x 1 x当 时，显然成⽴；当k x 时， ；当

k时， ，19 / 23第 ⻚共 ⻚gx gx令 ，则

lnx1，x 0,1当 egx

g x时，0,1

0 x 1,1 gx；当 e 时，1,1

0 x ；当

gx 0时， ，所以 在

e上单调递减，在

e 上单调递增，在

上单调递增，x 1 g(1)

1ln1 1

x 1 gx 0当 e时，可得 e e e e，当 时， ，x所以当k，时，

e；当x

时 k 0，，综上可得，实数k的取值范围是0,e.，2【⼩问 详解】法⼀：由（1）可知，当k

0 fx，时，

lnx有⼀个零点；0 k e当

fx x 0 fx fe 1时， 在 上单调递增，当趋于 时， 趋于负⽆穷⼤，且 ，故fx .只有⼀个零点1

1 k 1

kx1k e f x .， x

hx hxx，则 x x2

x2 ，当 时x 0,1 hxk时，

令0 x 1, hx 0； k 时， ，f x 0,1

1, f 1

kln1

1 0.可得 在

k上单调递减，在

k 上单调递增， k kkxlnx1x当趋于

0时，因为xlnx趋于0，所以f x x 趋于正⽆穷⼤，f 1 1 0

0 x 1 x 1

f x f x 0⼜因为

，所以存在 1 k

2 ，使得 1 2 ，fx 0,x所以 在 1

x,x上单调递增，在 1 2

x,上单调递减，在 2

上单调递增，且当x

1 fx，时，

0 fe 1 k， ，所以当时1时

e ，fx在e只有⼀个零点；k 0 f x f当 时， x在 上单调递减，

1 1 0，且x趋于正⽆穷⼤时，f x

0 x 1 f x 0，所以存在0 ，使得 0 ，fx 0,x所以 在 0

x,上单调递增，在 0

上单调递减，x⼜当趋于

0 fx fe 1时， 趋于负⽆穷⼤， ，20 / 23第 ⻚共 ⻚k 1 fe5

5 4ke5 0

1 k 0

f 5 4ln5

5 0.所以当

2时，

，当2

时， k k故当k 0时，⽆论k为何值，取x

5,e5k

fx 0，总能有 ，k所以当

0 fx时， 有两个零点，综上所述，当k

0 ，fx有两个零点；当k

0 ，fx有⼀个零点.时f时法⼆：由题意，可得

e 1 x，故当e

k .时时， x时2hx

21 lnx21 32 4令 x，则hx

0，2 2x 2 2hx lnx所以 x在

0,e

上单调递减，在

上也单调递减，且当

x⼤于0且趋于

0时，hx趋于正⽆穷⼤，当x⼩于e且趋于e时，hx趋于负⽆穷⼤，当x⼤于e且趋于e时，hx趋于正⽆穷时时⼤，当x趋于正⽆穷⼤时，hx趋于0，其⼤致图象，如图所示，时时由图象可知，当k

0 ，fx有两个零点；当k

0 ，fx有⼀个零点.【点睛】⽅法策略：利⽤导数研究函数的零点问题的求解策略：1 ：根据不等式 基本性质将参数分离出来，得到⼀端是参数，⼀端是变量的表达式的不等、分离参数法式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进⽽求得参数的范围；2 ：根