中国海洋大学《线性代数》试卷-2021-2022学年第二学期期末试卷A卷_第1页
中国海洋大学《线性代数》试卷-2021-2022学年第二学期期末试卷A卷_第2页
中国海洋大学《线性代数》试卷-2021-2022学年第二学期期末试卷A卷_第3页
中国海洋大学《线性代数》试卷-2021-2022学年第二学期期末试卷A卷_第4页
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学院专业班级学号学生姓名学院专业班级学号学生姓名第4页共4页中国海洋大学2021年春季学期《线性代数》课程试卷试卷A考试方式闭卷考试时间（120分钟）一.填空题1.若二次型为正定二次型,则的取值范围为解:二次型对应矩阵为应用二次型为正定二次型的充分必要条件为的顺序主子式全大于零:显然由得二.计算题1.设二次型.写出二次型的矩阵表示;用正交变换把二次型化为标准型,并写出相应的正交矩阵.解:(1)(2)求解特征多项式:得特征根为求解对应矩阵方程得特征向量分别为各自单位化得记作正交变换则标准化为2.设二次型经正交变换化为,其中是三维列向量,是3阶正交矩阵,试求常数解:记原二次型及其标准型所对应的矩阵分别为和,即由得,即解得两多项式相等则对应系数项相等,所以有解得.3.设矩阵已知的一个特征值为3,求;(2)求矩阵,使为对角矩阵.解:(1)将3代入特征方程得解得由知只需求矩阵,使为对角矩阵.计算得为对称矩阵,其特征值为对应于的特征向量为对应于的特征向量为验证以上四个向量已经两两正交,分别单位化得令则.或者,应用配方法:令即则二次型标准化为所求矩阵为,.4.考虑二次型.问为何值时,为正定二次型?解:应用二次型为正定二次型的充分必要条件为的顺序主子式全大于零:二次型对应矩阵为则应有解不等式组得所以当时,f为正定二次型.5.设分别为阶正定矩阵,试判定分块矩阵是否为正定矩阵.解:根据正定矩阵定义:正定的充分必要条件为>0,(对任意X≠0).设,则X,Y不全为0,不妨设X≠0,由题意得所以从而为正定矩阵.四.证明题1.设是m阶正定矩阵,是实矩阵,证明:证明:充分性:显然是对称矩阵.设为任意非零向量,则因为所以方程组有唯一零解,从而若,则必有.又因为是m阶正定矩阵,所以必要性.对任意非零向量有.其中必有.亦即方程组有唯一零解.由此可得2.设为正定矩阵,证明.证明:设的特征值为,因为为正定矩阵,所以的特征值全大于0.而的特征值为,所以.3.设为m×n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,

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