初中数学 练习题

第3讲增分有招——六大常用方法方法概述高考客观题分为选择题与填空题，选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选项两方面的条件所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解.而填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”.解答选择题与填空题的方法一般有直接法、特例法、数形结合法(图解法)、估算法、构造法、排除法等.方法一直接法直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法.【例1】(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn(n∈N*)，则a10＝________.探究提高1.直接法是解答客观题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案，解题时要多角度思考问题，善于简化计算过程，快速准确得到结果.2.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.【训练1】(1)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A.y＝±eq\r(2)x B.y＝±eq\r(3)xC.y＝±eq\f(\r(2),2)x D.y＝±eq\f(\r(3),2)x(2)已知θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.方法二特例法在求解选择题或填空题时，可以取一个(或一些)特殊值(特殊点、特殊函数、特殊位置、特殊图形)来确定结果进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.【例2】(1)函数f(x)＝cosx·log2|x|的图象大致为()(2)AD，BE分别是△ABC的中线，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝1，且eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BE,\s\up6(→))的夹角为120°，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.探究提高1.特例法具有简化运算和推理的功效，填空题的结论唯一或题设条件暗示答案为定值是利用该法的前提.2.特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.【训练2】(1)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()A.3∶1 B.2∶1C.4∶1 D.eq\r(3)∶1(2)(2019·济南调研)若函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.方法三图解法(数形结合法)一些含有几何背景的题目，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.【例3】(1)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A.{x|－1<x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1<x≤1}D.{x|－1<x≤2}(2)若函数y＝f(x)图象上不同两点M，N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x<0，,x2－4x，x>0，))则此函数的“和谐点对”有________对.探究提高1.本例的求解转化为研究函数图象的位置关系，利用几何直观，再辅以简单的计算，可有效提高解题速度和准确性.2.运用数形结合(图解法)的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象导致错误的选择.【训练3】(1)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为()A.60° B.90°C.120° D.150°(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.方法四构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.【例4】(1)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<eq\f(1,2)，则不等式f(x2)<eq\f(x2,2)＋eq\f(1,2)的解集为________.(2)(2019·兰州诊断)如图，已知球O的表面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，则球O的体积等于________.探究提高1.第(1)题构造函数，利用函数的单调性解不等式；第(2)题将三棱锥补成正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，使问题得到解决.2.构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.【训练4】(1)若a＝lneq\f(1,2019)－eq\f(1,2019)，b＝lneq\f(1,2018)－eq\f(1,2018)，c＝lneq\f(1,2017)－eq\f(1,2017)，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>c B.a<b<cC.a>c>b D.a<c<b(2)在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是________.方法五估算法估算法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量.【例5】(1)(2019·广州调研)已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球的表面积是()A.eq\f(16,9)π B.eq\f(8,3)πC.4π D.eq\f(64,9)π(2)已知sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)<θ<π))，则taneq\f(θ,2)等于()A.eq\f(m－3,9－m) B.eq\f(m－3,|9－m|)C.－eq\f(1,5) D.5探究提高1.“估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义.2.在选择题中作精确计算不易时，可根据题干提供的信息，估算出结果的大致取值范围，排除错误的选项.对于客观性试题，合理的估算往往比盲目的精确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”.【训练5】(1)若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sineq\f(2π,5)，则a，b，c的大小关系是________.(2)设M为不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过M中的那部分区域的面积为()A.eq\f(3,4) B.1C.eq\f(7,4) D.2方法六排除(淘汰)法排除(淘汰)法是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法.【例6】(1)(2019·广州调研)函数f(x)＝|x|－eq\f(1,2)cos2x的图象可能是()(2)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是()A.a＋eq\f(1,b)＜eq\f(b,2a)＜log2(a＋b) B.eq\f(b,2a)＜log2(a＋b)＜a＋eq\f(1,b)C.a＋eq\f(1,b)＜log2(a＋b)＜eq\f(b,2a) D.log2(a＋b)＜a＋eq\f(1,b)＜eq\f(b,2a)探究提高1.排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.2.(1)排除法常与特例法、数形结合法联合使用，