函数模型及其应用第一课时高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

4.5.3函数模型的应用(第一课时)我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述的，我们学过的函数模型有哪些呢？二次函数，指数函数，对数函数，幂函数等等.

对于实际问题，我们如何选择一个恰当的函数模型来刻画它呢？找出模型后又是如何去研究它的性质呢？复习注意：建立相应函数模型后，求函数解析式多采用用待定系数法.一次函数模型：y=kx+b(k≠0)二次函数模型：y=ax2+bx+c(a≠0)指数函数模型：对数函数模型：幂函数模型：分段函数模型：y=max+n(m≠0,a>0且a≠1)y=mlogax+n(m≠0,a>0且a≠1)y=bxa+c(b≠0,a≠1)这种模型是上述两种或多种模型的综合。常见的数学函数模型引例.某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？销售单价(元)6789101112日均销量(桶)480440400360320280240分析：①销售单价每增加1元，日均销售量就减少多少桶？②销售利润由哪些因素决定？怎样计算较好？③为了建立数学函数模型，需要做哪些准备工作？④实际问题的解题书写应注意什么？试着解决问题并写出具体解题过程。应用解1:设在进价基础上增加x元后，日均利润为y元,

则日均销售量为桶而有最大值只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润解2:设每桶水定价为x元时，日销售利润为y元,

则日均销售量为桶而有最大值只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润解决实际应用问题的一般步骤：①审题：弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;③解模：求解数学模型,得出数学结论;④还原：将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题．例3.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.

(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型.（温馨提示：已知由e9r≈1.2167可得r≈0.021876）要确定其中的初始量y0和年平均增长率r.①人口增长模型：y=y0ert；（

t是自变量，y是因变量）②t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率；③1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万；④已知e9r≈1.2167可得r≈0.021876分析:认真审题,知道些什么条件？要求解什么？已知所求请同学们尝试解决!追问：同学们，既然理论模型已经求出，那么你认为下面咱们要验证什么呢？(2)利用(1)中的模型计算1951～1958年，各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.解：(1)由题意知y0=55196，

设1951～1959年期间人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有67207=55196e9r由计算工具可得

r≈0.021876.因此我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型为y=55196e0.021876t，t∈[0，9].验证是否符合实际的人口数据。年份19511952195319541955195619571958计算所得人口总数/万5641757665589406024361576629386433065753实际人口总数/万5630057482587966026661456628286456365994

(2)分别取t=1，2，…，8，由y0=55196e0.021876t可得我国在1951～1958年间各年末的人口总数．查阅国家统计局网站，得到我国在1951～1958年各年末的实际人口总数，如下表如示.根据1950～1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y=55196e0.021876t（t∈[0，9]）的图象。由图可以看出，所得模型与

1950～1959年的实际人口数据基本吻合．解：将y=130000代入

y=55196e0.021876t，由计算工具可得

t≈39.15.所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿.(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿?（温馨提示：已知e0.021876t≈2.355得t≈39.15）

事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿。对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？思考？

人口模型指的是在自然状态下的模型。但是因为我国人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此这一阶段的人口增长模型的条件并不符合马尔萨斯人口增长模型，自然就出现了一模型得到的结果与实际不符的情况。

从中我们认识到中国共产党在方针政策上的正确领导，高度认识没有共产党就没有一切美好生活！中国共产党伟大！注意：在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件.马尔萨斯伟大！同学们，看看下面，是一幅什么图？例4：大家看一下课本的103页，我们共同来解决一下章引言中的问题。如2010年，考古学家对古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的良渚草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残余量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)建立数学模型．

y代表是经过的时间，k代表的是碳14初始量，a代表一年后碳14还保留的比例，x代表经过的年份。追问：y=kax这里面的每一个字母都代表什么？也就是说我们只需要将解析式中的a求出就可以解决问题了，附加一个碳14的半衰期为5730年。解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0<p<1)，经过x年后，残余量为y．根据问题的实际意义，可选择如下模型：y=k(1-p)x(k∈R,且k≠0;0<p<1;x≥0)．由碳14的半衰期为5730年，得

于是

所以由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2％可知，即解得由计算工具得x≈4912．

因为2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的．练习1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%．（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（２）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？2.在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿1只野兔大约需要多少年？(教材P.150)3.1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？

函数模型的应用。必须明确函数模型中每一个字母的函数含义，很像之前学过的待定系数法，之后再应该函数模型解决问题。