2023年初中数学7年级下册同步压轴题期末考试相交线与平行线压轴题考点训练（一）（教师版）

期末考试相交线与平行线压轴题考点训练(一)1．(2021春·重庆巫溪·七年级统考期末)已知：，点E在CD上，点F，G在AB上，点H在AB，CD之间，连接EF，EH，CH，，．(1)如图1，求∠H的度数．(2)如图2，CM平分，EM平分，CM与EM相交于M，求证：；(3)如图3，在(2)的条件下，FN平分交CD于N，若，求：的度数．【答案】(1)90°；(2)证明见详解；(3)60°【分析】(1)根据平行线的性质和判定解答即可；(2)过点H作HP∥AB，过点M作MQ∥AB，根据平行线的性质解答即可；(3)结合(2)中结论，根据平行线的性质解答即可．【解析】(1)证明：(1)∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠HEF+∠H＝180°，∵∠HEF＝90°，∴∠H＝180°﹣∠HEF＝90°；(2)证明：如图：过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，过点H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠AGH，∴∠AGM＝∠HGM＝∠AGH，∵EM平分∠CEH，∴∠HEM＝∠CEM＝∠CEH，∵MQ∥AB，∴∠AGM＝∠GMQ，∵MQ∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠AGM+∠MEC，∵HP∥AB，∴∠AGH＝∠GHP＝2∠AGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HEC＝2∠MEC，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠AGM+2∠MEC＝2(∠AGM+∠MEC)，∴∠GHE＝∠2GME；(3)解：过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，由∠NFE：∠MGH＝5：1，设∠NFE＝5x，∠MGH＝x，由(2)可知：∠AGH＝∠AFE=2∠MGH＝2x，∵FN平分∠BFE，∴∠BFE＝2∠NFE，∴∠BFE=10x，∵∠BFE+∠AEF＝180°，∴10x+2x=180°，解得x=15°∴∠AGH=30°∵∠AGH+∠CEH=90°∴∠CEH=90°-30°=60°∴∠HEC的度数为60°．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义．解题的关键是掌握平行线的性质并作出辅助线．2．(2022春·河南新乡·七年级校考期末)如图，已知，E、F分别在上，点G在、CD之间，连接．(1)当时，平分平分；①如图1，当时，则______°；②如图2，在的下方有一点Q，若恰好平分恰好平分，求的度数；(2)在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，直接写出与的关系．【答案】(1)①45；②；(2)【分析】(1)根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；(2)过点作，则设，，，根据平行线的性质求得，进而根据即可求解．【详解】(1)①如图，分别过点作，，，，，同理可得，，，平分平分；，，故答案为：，②如图，过点作，，恰好平分恰好平分，，，设，，，，，，，，，由(1)可知，；(2)如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分，设为线段的延长线上一点，则，设，如图，过点作，则，，由(1)可知即【点睛】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．3．(2022春·辽宁大连·七年级统考期末)如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且．(1)求证：；(2)如图2，点G在射线FC上，PG平分，，探究与之间的数量关系．并说明理由；(3)如图3，，．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若，求的度数．【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析；(3)20°【分析】(1)过P作，根据角的和差得到，得到，再根据平行的传递性可得．(2)过P作，平行线的传递性得出；根据平行线的性质和角平分线的性质得到；，等式变换得，以及角的替换可得；(3)过P作，过H作，过Q作,根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】(1)证明：如图1，过P作．∵，∴．∵，∴．∴，∵，∴．(2)．证明：如图2，过P作．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵PG平分，∴，∴．

∵，，∴．∴．∵．∴，∴．(3)解：如图3，过P作，过H作，过Q作．∵，∴．∵，，∴设，则，，．∵，∴，．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．又∵，∴．∴．∴．∴．【点睛】此题考查了平行线的性质的判定与性质，解题的关键熟练掌握平行线的判定定理与性质定理及如何作辅助线．4．(2022春·四川广元·七年级统考期末)已知直线，直线和，分别交于，两点，点，分别在直线，上，且位于直线的右侧，动点在直线上，且不和点，重合．(1)如图1，当动点在线段上运动时，求证：．(2)如图2，当动点在点上方运动时(，，不在同一直线上)，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，当动点在点下方运动时(，，不在同一直线上)，直接写出，，之间的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析；(3)【分析】(1)过点作，即可得，即有，，结合，即可证明；(2)过点作，即可得，即有，，结合，即可证明；(3)过点作，即可得，即有，，结合，即可证明.【解析】(1)证明：过点作，如图1，∵，，∴，∴，，又∵，∴；(2)，理由如下：过点作，如图2，∵，，∴，∴，．∵，∴；(3)，理由如下：过点作，如图3，∵，，∴，∴，．∵，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，添加合理的辅助线并掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．5．(2022春·山东德州·七年级统考期末)如图1，，的平分线交于点G，．(1)试说明：；(2)如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分；(3)如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)5或【分析】(1)先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据等量代换即可得证；(2)过点作于，先根据平行线的性质可得，从而可得，则，再根据角平分线的定义即可得证；(3)设，则，，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后分①点在的下方和②点在的上方两种情况，根据角的和差可得和的值，由此即可得．【详解】(1)证明：∵，∴，∵平分，∴，∴．(2)证明：如图，过点作于，，由(1)已证：，，即，又，，，又∵，∴平分．(3)解：设，∵，∴，，，，由(1)已得：，∵，∴，∵，∴，由题意，分以下两种情况：①如图，当点在的下方时，∴，，∴；②如图，当点在的上方时，∴，，∴；综上，的值是5或．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，较难的是题(3)，正确分两种情况讨论是解题关键．6．(2022秋·海南海口·七年级校考期末)点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足，，DG平分．(1)如图1，当点G在点F右侧时，①试说明：；②试说明；(2)如图2，当点G在点F左侧时，(1)中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；(不用说理)(3)如图3，在(2)的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分，交BC于点M，DN平分，交EF于点N，连接NG，若，，求的度数．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)∠DGE＝∠BDG＋∠FEG，理由见解析；(3)【分析】(1)①根据角平分线的定义即可得到∠BDG＝∠ADG，从而可得∠ADG＝∠DGB，则，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，从而证明；②过点G作GHDB交DA于点H，根据平行线的性质求解即可；(2)过点G作交AD于K，则，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；(3)设，则，，由角平分线的定义可得，然后分别求出，，进行求解即可．【解析】(1)证明：①∵DG平分∠BDE，∴∠BDG＝∠ADG，又∵∠BDG＝∠BGD，∴∠ADG＝∠DGB，∴，∴∠DEF＝∠EFG，∵∠DBF＝∠DEF，∴∠DBF＝∠EFG，∴；②过点G作GHDB交DA于点H，由①得，∴GHDBEF，∴∠BDG＝∠DGH，∠FEG＝∠EGH，∴∠DGE＝∠DGH-∠EGH，∴∠DGE=∠BDG-∠FEG；(2)解：过点G作交AD于K，同理可证，∴，∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；(3)解：设，则，，，∵DN平分∠PDM，∴，∴，，∵DG⊥NG，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，余角的计算，解题的关键是能够熟知平行线的性质与判定条件．7．(2023秋·湖北荆门·七年级统考期末)如图1，已知，，点在上，点，在上，点在，之间，连接，，，．(1)求证：；(2)如图2，平分交于，，平分，，①若，时，求的度数；②如图3，平分，，交于点，若，求的值．【答案】(1)见解析；(2)①；②．【分析】(1)根据平行线的性质得出，结合题意即可得出，从而证明；(2)①如图，过点H作，即得出．由，可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，解出x，从而可求出答案；②如图，过点M作．由题意可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程组，解出，最后作比求值即可．【详解】(1)证明：∵，∴．∵，∴，∴；(2)①解：如图，过点H作．∴．由题意可知：，故可设，则．∵，∴，，．∵平分，平分，∴，，∴，．由(1)可知，∴，∴，解得：．∴，．∵，∴，∴；②解：如图，过点M作．由题意可设，则．∵，平分∴，．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，，∴．∵，∴．∴，即．由(1)可知，∴，∴．即，解得：，∴．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题的关键．8．(2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)已知，平分交射线于点，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点是射线上一点，过点作交射线于点，点是上一点，连接，求证：；(3)如图3，在(2)的条件下，连接，点为延长线上一点，平分交于点，若平分，，，求的度数．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)【分析】(1)根据平行线的定义得出，等量代换得出，根据平行线的判定定理即可得证；(2)过点E作交DA于点H，则，，根据平行线的性质得出，根据，，等量代换即可求解；(3)由平分，得出，设，则，则，根据平行线的性质得出，根据垂直的定义得出，则，根据平分，得出，最后根据建立方程，解方程得出，进而即可求解．【详解】(1)∵DE是的平分线，∴∵，∴∴(2)过点E作交DA于点H，∴∵，∴∴，∵，∴，∵，∴(3)解：∵平分，∴，设，则，∴，，，∵，∴∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．(2021春·湖北宜昌·七年级统考期末)已知：直线l分别交AB、CD与E、F两点，且AB∥CD．(1)说明：∠1=∠2；(2)如图2，点M、N在AB、CD之间，且在直线l左侧，若∠EMN+∠FNM=260°，①求：∠AEM+∠CFN的度数；②如图3，若EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，求∠P的度数；(3)如图4，∠2=80°，点G在射线EB上，点H在AB上方的直线l上，点Q是平面内一点，连接QG、QH，若∠AGQ=18°，∠FHQ=24°，直接写出∠GQH的度数．

【答案】(1)理由见解析；(2)①80°，②40°；(3)38°、74°、86°、122°．【分析】(1)根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证；(2)①过拐点作AB的平行线，根据平行线的性质推理即可得到答案；②过点P作AB的平行线，根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数；(3)分情况讨论，画出图形，根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可．【详解】(1)，；(2)①分别过点M，N作直线GH，IJ与AB平行，则，如图：，，，；②过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可得：，，∵EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，∴，即；(3)分四种情况进行讨论：由已知条件可得，①如图：，②如图：，；③如图：，；④如图：，；综上所述，∠GQH的度数为38°、74°、86°、122°．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等内容，解题的关键是掌握辅助线的作法以及分类讨论的思想．10．(2021春·重庆江北·七年级统考期末)如图1，//，点、分别在、上，点在直线、之间，且．(1)求的值；(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．【答案】(1)；(2)的值为40°；(3)．【分析】(1)过点O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；(2)过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，进而求解；(3)设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的性质及，可得，结合，可得即可得关于n的方程，计算可求解n值．【详解】证明：过点O作OG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OG∥CD，∴∴即∵∠EOF=100°，∴∠；(2)解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，设∵∴∴x-y=40°，∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∴=x-y=40°，故的值为40°；(3)如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，∵AB∥CD，∴∵∴∵∴即∵FK在∠DFO内，∴，∵∴∴即∴解得．经检验，符合题意，故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．11．(2021春·湖北武汉·七年级统考期末)如图1，点在直线、之间，且．(1)求证：；(2)若点是直线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数；(3)如图3，点是直线、外一点，且满足，，与交于点．已知，且，则的度数为______(请直接写出答案，用含的式子表示)．【答案】(1)见解析；(2)10°；(3)【分析】(1)过点E作EF∥CD，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出结合已知条件，得出即可证明；(2)过点E作HE∥CD，设由(1)得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，由平行线的性质，得出再由平分，得出则，则可列出关于x和y的方程，即可求得x，即的度数；(3)过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，由(1)得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，根据和，得出根据CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出即根据NP∥AB，得出再由，得出由AB∥QM,得出因为，代入的式子即可求出．【详解】(1)过点E作EF∥CD，如图，∵EF∥CD,∴∴∵,∴∴EF∥AB，∴CD∥AB；(2)过点E作HE∥CD，如图，设由(1)得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，∴∴又∵平分，∴∴即解得：即；(3)过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，如图，由(1)得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，∵NP∥CD，CD∥QM，∴,又∵，∴∵,∴∴又∵PN∥AB，∴∵,∴又∵AB∥QM，∴∴∴．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．12．(2021春·江苏·七年级统考期末)如图，直线，一副直角三角板中，．(1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分．(2)若如图2摆放时，则(3)若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，作和的角平分线相交于点(如图3)，求的度数．(4)若图2中的周长，现将固定，将沿着方向平移至点与重合，平移后的得到，点的对应点分别是，请直接写出四边形的周长．(5)若图2中固定，(如图4)将绕点顺时针旋转，分钟转半圈，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．【答案】(1)见详解；(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s【分析】(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；(2)如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；(3)如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；(4)根据平移性质可得D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，再结合DE＋EF＋DF＝35cm，可得出答案；(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．【详解】(1)如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，∵ED平分∠PEF，∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，∵PQ∥MN，∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°，∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，∴∠MFD＝∠DFE，∴FD平分∠EFM；(2)如图2，过点E作EK∥MN，∵∠BAC＝45°，∴∠KEA＝∠BAC＝45°，∵PQ∥MN，EK∥MN，∴PQ∥EK，∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，又∵∠DEF＝60°．∴∠PDE＝60°−45°＝15°，故答案为：15°；(3)如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，∴FL∥PQ∥HR，∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA，∵∠DFE＝30°，∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，∴∠HFA＝∠GFA＝75°，∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝(180°−105°)＝37.5°，∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；(4)如图4，∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，∵DE＋EF＋DF＝35cm，∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45(cm)，即四边形DEAD′的周长为45cm；(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，∴∠CAE＝∠DFE＝30°，∴3t＝30，解得：t＝10；BC∥EF时，如图6，∵BC∥EF，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，∴3t＝90，解得：t＝30；BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，∴∠BKA＝∠DRM＝75°，∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，∴∠CAK＝90°−∠BKA＝15°，∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，∴3t＝120，解得：t＝40，综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．13．(2022春·江苏扬州·七年级统考期末)汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是/秒，灯射出的光束转动的速度是/秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．(1)求、的值；(2)如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数；(3)若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行?【答案】(1)，；(2)30°；(3)15秒或82.5秒【分析】(1)解出式子即可；(2)根据，用含t的式子表示出，根据(2)中给出的条件得出方程式，求出t的值，进而求出的度数；(3)根据灯B的要求，t<150，在这个时间段内A可以转3次，分情况讨论．【详解】解：(1)．又，．，；(2)设灯转动时间为秒，如图，作，而，，，，，，(3)设灯转动秒，两灯的光束互相平行．依题意得①当时，两河岸平行，所以两光线平行，所以，所以，，即：，解得；②当时，两光束平行，所以，两河岸平行，所以，所以，，解得；③当时，图大概如①所示：，解得(不合题意)综上所述，当秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．【点睛】这道题考查的是平行线的性质和一元一次方程的应用．根据平行线的性质找到对应角列出方程是解题的关键．14．(2021春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)已知AB//CD．(1)如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，