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文档简介

市场调查与预测第八章时间序列预测法第八章时间序列预测法

学习目标与要求

教学重点与难点

讲授与训练内容

单元小结

复习思考题

教学重点与难点了解时间序列预测的含义;掌握移动平均预测法、指数平滑预测法、趋势外推法和季节变动预测法的原理,理解其分析过程;应用主要的时间序列预测法来解决市场预测实践中遇到的问题。

移动平均预测法、指数平滑预测法、趋势外推法和季节变动预测法的原理和分析过程。学习目标与要求教学重点与难点讲授与训练时间序列分析预测法也称时间序列预测技术、时间序列预测法等。美国大学首先将此法用于商情研究和预测。到20世纪70年代,随着电子计算机技术的发展,时间序列分析预测法在气象、水文、地震、经济等领域得到广泛的应用,特别是在经济领域。不论是在微观范围,还是在宏观范围,它都已成为世界各国目前经济预测的基本方法之一。

第一节时间序列分解法

一、时间序列分析的基本原理时间序列又称为动态数列,它是将某个经济变量的观测值,按时间先后顺序排列所形成的数据,时间可以是以天、周、季度、年或若干年为一个时间单位。时间序列分析预测法是根据某个经济变量的时间序列,依据惯性原理,通过统计分析或建立数学模型进行趋势外推,以对该经济变量的未来可能值做出定量预测的方法。时间序列分析预测法依据的是惯性原理,所以它建立在某经济变量过去的发展变化趋势的基础上,也就是该经济变量未来的发展变化趋势是假设的。然而,从事物发展变化的普遍规律看,同一经济变量的发展变化趋势在不同的时期是不可能完全相同的。这样,只有将定性预测利时间序列分析预测有机结合在一起,才能收到最佳效果,即首先通过定性预测,在保证惯性原理成立的前提下,再运用时间序列分析预测法进行定量预测。第一节时间序列分解法时间序列分析预测法可分为确定性时间序列分析预测法和随机性时间序列分析预测法两大类。前者使用的数学模型是不考虑随机项的非统计模型,是利用反映事物具有确定性的时间序列进行预测的方法,包括平均法、指数平滑法、趋势外推法、季节指数预测法等;后者则是利用反映事物具有随机性的时间序列进行预测的方法,它的基本思想是假定预测对象是一个随机时间序列,然后利用统计数据估计该随机过程的模型,根据最终的模型做出最佳的预测。由于这种方法考虑的因素比较多,计算过程复杂,计算量大,所以发展比较缓慢。在一般的市场预测中常用的是确定性时间序列分析预测法。因此本章主要介绍确定性时间序列分析预测法的基本原理和常用预测方法。第一节时间序列分解法二、时间序列的分解时间序列的变化受到长期趋势、季节变动、周期变动和不规则变动这四个因素的影响。其中:(1)长期趋势因素(T)反映了经济现象在一个较长时间内的发展方向,它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势。(2)季节变动因素(S)是经济现象受季节变动影响所形成的一种长度和幅度固定的周期波动。周期通常为1年。第一节时间序列分解法(3)周期变动因素(C)周期变动因素也称循环变动因素,它是受各种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动。周期长短不固定。如经济周期有危机、萧条、复苏和高涨四个阶段。(4)随机变动因素(I)它是受各种偶然因素影响所形成的不规则变动。如战争、政治事件、自然灾害等。三、时间序列分解模型时间序列y可以表示为以上四个因素的函数,即:时间序列分解的方法有很多,较常用的模型有加法模型和乘法模型。第一节时间序列分解法加法模型为:乘法模型为:加法模型和乘法模型均以长期趋势为基础。在加法模型中,各种变动值与序列值的单位相同;而在乘法模型中,除长期趋势值与序列值的单位相同外,其他各种变动都是对于长期趋势值的系数。四、时间序列的分解方法(以乘法模型为例)假设I

序列是独立的,均值为零,方差不变。(1)以4个季度或12个月为跨越期,运用移动平均法剔除S和I

,得到移动平均序列TC。然后再用Y除以TC,得到SI序列。按月(季)平均法求出季节指数S。第一节时间序列分解法(2)根据TC序列,做散点图,选择适合的曲线模型拟合序列的长期趋势,得到长期趋势T。(3)计算周期因素C。用序列TC除以T即可得到周期变动因素C。(4)建立预测模型。由于随机波动I很难预测,故预测乘法模型简化为:。在实际应用中,长期趋势变动T和季节变动指数S是能定量计算的,而周期因素C和随机波动I很难定量计算,故预测模型简化为。第二节移动平均数法时间序列由n期观察值组成。对连续N期(N<n

)的观察值进行算术平均,可得其平均数,称移动平均数。由于N<n

,故一个时间序列有若干个移动平均数,即:...…第二节移动平均数法移动平均数再按时间先后排列,形成新的时间序列,也称移动平均数序列。移动平均数能较好地消除原序列中季节变动和不规则变动出现的高点和低点,有修匀数列(消除不规则变动和季节变动)的作用,所以移动平均数序列能反映市场现象的较长时间变化趋势,在市场预测中广泛应用。一、一次移动平均预测法一次移动平均预测法,也称简单移动平均法,一般只适用于没有明显的升降趋势和循环变动的时间序列,否则会出现预测值的滞后偏差(因移动平均数实际上是移动跨越期内各数据的中值,它应该放在跨越期中值的位置上,但公式却摆在了跨越期的最后一个位置上,故使得预测值落后于实际值)。一次移动平均预测法之所以简单,因为它用移动平均值作为预测值。第二节移动平均数法设有一时间序列,则可按顺序逐渐推移求出N个数的平均数,即可得到一次移动平均数:上式中,为第t期的一次移动平均数;为第t期的观测值;N为移动平均数的项数,即求每一移动平均数使用的观察值的个数,又称为移动步长。这个公式表明,当t向前移动一个时期就增加一个新近数据,去掉一个远期数据,得到一个新的平均数。由于它不断地“吐故纳新”,逐期向前移动,所以称为移动平均法。此外,这个公式还表明,新的一期预测值是前一期预测值的一个修正值。预测模型:。第二节移动平均数法从上述预测模型中可看出,是以第t期的一次移动平均数作为第t+1期的预测值。一次移动平均法表面上看与简单算术平均法的意义相同,但因为它有一系列平均值,能显示出市场现象的长期趋势。移动平均法应用的关键是移动步长N的选择。N越大,移动平均序列起伏变化越小、越平滑(即修匀效果越好),但滞后现象越严重(即预测值对实际值变化的敏感程度越弱);反之则反。一般地,对某种社会经济现象时间序列选择跨越期大致考虑如下:(1)发展趋势呈水平样式,N取值大小关系不大;(2)发展趋势呈脉冲式(即仅在某时期突然增加或减少,随后基本保持不变),为了消除随机干扰,N一般取大值;(3)发展趋势呈阶梯式(即开始一段时期是某一平稳水平,另一段时期跳到另一平稳水平,发展趋势有拐点),为了让预测值灵敏地反映实际变化,N一般取小值。第二节移动平均数法但最科学的方法一般是通过实验比较加以选定,即通过比较误差项的大小来选定。误差项共有5种:平均误差(ME),平均绝对误差(MAE),平均绝对百分误差(MAPE),误差的标准差(SDE),均方误差(MSE)。一般认为,若MAPE小于10,则模型预测精度较高。且一般用相对度量指标MAPE。第二节移动平均数法二、二次移动平均预测法二次移动平均预测法适用于存在明显的线性上升或下降的时间序列。它在一次移动平均的基础上,对新产生的一次移动平均序列,再作移动平均,以修正滞后偏差。二次移动平均法依据两次移动平均数据,建立线性趋势预测模型进行预测。(1)观察时间序列,判断其是否存在线性趋势特征,如存在,则对观察值作一次移动平均,平均数为,方法同前述。(2)对一次移动平均后的新序列再作移动平均。二次移动平均数为:

第二节移动平均数法(3)求解简单线性方程参数和预测值。二次移动平均数不能直接作为预测值,需要建立直线预测模型,求解方程参数。预测模型:。参数确定:,思考题:一次移动平均预测法只能预测一期,二次移动平均预测法也是如此吗?例8-1:已知某公司年度销售额数据如表8.1所示,试用二次移动平均法,预测该公司2004年、2005年和2006年的销售额。第二节移动平均数法表8.1某公司历年销售额数据表单位:万元年度销售额

1992200

1993240

1994360266.7

1995380326.7

1996420386.7326.71997400400.0371.11998340386.7391.11999360366.7384.42000420373.3375.62001460413.3384.42002420433.3406.72003460446.7431.1第二节移动平均数法解:从销售额的观察值判断,该时间序列近似直线上升趋势,可用二次移动平均法预测。相应数据见表8.1第3、4列。第二节移动平均数法根据上图,从该时间序列数据对应的曲线来看,其发展趋势是呈阶梯式的,因此N取小值,这里取N=3。参数预测模型为因此,该公司2004年销售额的预测值为:

462.3+15.6*1=477.9万元,同理,其2005年、2006年销售额的预测值分别为493.5万元和509.1万元。移动平均预测法存在二个问题:一是计算未来预测值没有利用全部历史资料,只考虑N期资料便作出预测;二是当移动平均间隔中出现非线性趋势时,给较近期观察值以较大权数,较远期观察值以较小权数,进行加权移动平均,预测效果较好,当要为各个时期配合适的权数,是很麻烦的一件事情。1959年,美国学者布郎在《库存管理的统计预测》中,提出了指数平滑预测法,有助于克服上述缺点,并且计算方便。成为常用的市场预测方法。指数平滑预测法按平滑次数不同,分为一次,两次和三次指数平滑法。指数平滑法是一种特殊的加权移动平均法,因其具有连续运用所需资料少,计算极方便,更新预测模型非常简易等优点,所以是市场预测中经常使用的一种预测方法。特别适用于观察值有长期趋势和季节变动,必须经常预测的那些情况。第三节指数平滑法一、一次指数平滑法式中,为本期一次指数平滑值,为上期一次指数平滑值,为本期观察值,为平滑系数。预测模型为:。1、指数平滑的含义。上式表明,随着时间向过去推移,各期观察值对预测值的影响按指数(上式指数之和等于1)规律递减,这是此方法被冠之以“指数”的原因。第三节指数平滑法第三节指数平滑法2、初始值的确定。在预测实践中,一般采用这样的方法判断处理:当时间序列期数在20个以上时,初始值对预测结果影响很小,可用第一期观察值代替,即;当时间序列期数在20个以下时,初始值对预测结果有一定影响,可用第一、二期的平均值代替,即。3、平滑系数的确定。一般情况下,观察值呈较稳定水平发展,取0.1-0.3;观察值波动较大时,取0.3-0.5;观察值波动很大时,取0.5-0.8。越小,视历史信息越重要(修匀程度大),反之视当前信息越重要(修匀程度小)。如果指数平滑的目的在于用新的指数平滑值去反映时间序列中包含的长期趋势,应取较小还是较大的值?如果目的在于更敏感地反映最新观察值的变化,又是如何?实际预测时,通常初选几个值,经过试预测,对所产生的误差进行分析,选取其中误差最小者。二、二次指数平滑预测法一次指数平滑预测法适用于时间序列水平变动状态的短期预测,对于有明显线性上升或线性下降趋势的时间序列,则应该使用二次指数平滑预测法(又称为线性指数平滑法)。(一)布朗单一参数线性指数平滑式中:为二次指数平滑值;为第t+T期的预测值。例8-2:某百货公司1992-2003年营业额数据如下表所示,试用指数平滑法预测该公司2004-2006年的营业额。第三节指数平滑法第三节指数平滑法表8.2某百货公司历年营业额数据表单位:万元年度t

19920120124.0124.0104.819931128125.6124.6117.519942130127.4125.7130.219953142133.2128.7142.919964140135.9131.6155.619975154143.2136.2168.319986170153.9143.3181.019997196170.7154.3193.720008210186.4167.1206.420019225201.9181.0219.1200210228212.3193.5231.8200311245225.4206.3244.5第三节指数平滑法解:该时间序列曲线如下图所示,即其变动趋势接近直线上升,因此这里应用二次指数平滑法。因观察值不足20期,这里的初始值用最初两期观察值的平均数,即124万元。另外,由于该时间序列曲线有一定的波动,取。第三节指数平滑法从而可以分别计算该时间序列的一次指数平滑值和二次指数平滑值,见表8.2的第4、5列。进一步,求出参数从而可以得到预测模型:进一步,根据该预测模型,即可求出各年度的预测值,见表8.2的第6列。并计算出该百货公司2004年的营业额预测值为:244.5+12.7*1=257.2万元,同理可计算出其2005年、2006年的预测值分别为269.9万元和282.6万元。第三节指数平滑法(二)霍特双参数指数平滑其基本原理与布朗线性指数平滑法相似,只是它不用二次指数平滑,而是对趋势直接进行平滑。计算公式:第一个公式用来修正,第二个公式用来修正,T是预测超前的期数。第三节指数平滑法三、三次指数平滑法(用于非线性变动趋势的时序预测)(一)基本原理当数据的基本模型具有二次、三次或高次幂时,则需要用高次平滑形式。从线性平滑过渡到二次多项式平滑,基本途径是再进行一次平滑(即三次平滑),并对二次多项式的参数作出估计。(二)基本公式第三节指数平滑法表8.3各种指数平滑法的比较方法数据特征预测模型特点及局限性一次指数平滑平稳非季节性只能预测一期二次指数平滑布朗单一参数指数平滑线性趋势非季节性1个平滑系数,使用简单。反映数据的线性趋势霍特双参数指数平滑线性趋势非季节性两个平滑系数,对趋势直接平滑,较之上法灵活三次指数平滑布朗单一参数非线性趋势非季节性只有一个平滑系数,可反映数据非线性趋势,较实用温特线性季节性指数平滑线性趋势季节性三个平滑系数,且较难确定市场现象的长期发展必然表现出一定形式的变化特征及其规律性,变化趋势也存在延续性。按照时间序列资料呈现的变动趋势规律,拟合趋势变动的数学模型,根据现象变动时间连续的特点来预测未来市场现象,称之为趋势延续预测法(也称趋势外推法)。应用趋势延续法进行预测的市场现象要符合如下条件:其一是影响现象的主要因素,过去、现在、将来都继续存在;其二是现象发展不发生突变。现象在各时间变动的趋势有近似的直线型、曲线型两大类,曲线还有各种形态。采用趋势延续法预测前,可直接依据时间序列资料,或时间序列的直角坐标散点图,或差分法,判断现象趋势类型。第四节趋势延续法第四节趋势延续法应指出,趋势延续法与回归预测法有相似之处,但前者依据的是现象自身时间变动,后者依据的是影响现象的因果关系因素变动,预测性质不同,方法有一定差别。一、直线趋势延续法时间序列是否呈直线趋势,可以从散点图上观察各期指标值的坐标点是否围绕某一隐蔽的直线上下分布,也可以分析各期指标值逐期增长量是否接近,如果是,则可选用直线趋势延续法预测。直线趋势出现是由于现象主要受长期趋势和不规则波动影响,时间序列中如极个别时间的指标值升或降幅度特别大,说明此时偶然因素作用突出,但它是暂时的,该指标值(异常值)可作适当调整。第四节趋势延续法直线趋势延续法的预测模型为:

式中,a,b为参数,据时间序列数值计算出。a为截距,b为斜率,t为时间序列的时序变量,要求等距;为时间序列线性趋势预测值。时间序列的线性趋势延续法预测,最关键问题是拟合一条(只有一条)直线,使该线与各期观察值坐标点的距离最短。该直线在何方,由参数a,b确定。确定参数a,b,常用最小平方法求解,数学表达式为:为最小值,即为最小值。根据极值定理,上述方程可推出如下联立方程:第四节趋势延续法再对联立方程求解,可得a,b的计算公式为:按等距原则编排的时间变量,如时间序列的各期指标个数n为奇数,可设定为:一3,一2,一1,0,1,2,3,即取正中间的t序数为0,这样。如时间序列的各期指标个数n为偶数,t可设定为:一5,一3,一1,1,3,5,即一半为负一半为正,序号对称,这样,也等于0。,公式可大大简化为:第四节趋势延续法

参数a,b确定后,预测方程即确定。代入预测期时序t值,即可估计市场现象预测值。预测值是据既定的直线模型延续外推得来的,实际值未必等于预测值(即点预测),或高或低都有可能,因此需要估计预测误差范围(即进行区间预测)。误差范围受客观存在的预测标准误差S、主观要求的预测结果可置信程度或可靠程度(1-a)、所选取时间序列数据量n多少这三个因素影响。预测值加减上下误差范围为预测置信区间,它表示未来的实际值有多大可能(即要求可信程度)落在这个区间里。预测的置信区间计算公式为:第四节趋势延续法

式中,表示显著水平为a时,t统计分布的临界值,查t分布表而得。a为显著水平,1-a为人们要求预测结果的可信程度(如要求预测区间达到95%的可靠程度,a=5%)。S为时间序列预测标准误差。为修正因子,n为时间序列数据个数,n-2为自由度,由n-m-1算得,m为自变量个数,本预测模型m=I,故自由度为n-2

。例8-3:仍使用上例中的数据,即某百货公司1992-2003年营业额数据如下表所示,按95%的置信度,试用趋势外推法预测该公司2004年的营业额。解:从前面该例子解题过程中的时序图可看出,近似呈直线趋势变动,故可用直线趋势延续法预测。例子中的观测值个数为12个,t变量的取值见表8.4第3列,其余相关变量值也见表8.4。第四节趋势延续法表8.4某百货公司历年营业额数据表单位:万元年度

t

1992120-11121-1320107.3160.31993128-981-1152119.572.91994130-749-910131.62.51995142-525-710143.72.91996140-39-420155.8250.31997154-11-154167.9194.3199817011170180.1101.2199919639588192.214.620002105251050204.332.520012257491575216.473.620022289812052228.50.32003245111212695240.718.8合计208805723464924.2第四节趋势延续法根据表8.4中的数值,可计算出:从而得出预测模型为:根据此预测模型,可求出各期的预测值,见表8.4第6列,相应的误差平方见第7列。从而可求出:

。而置信度为95%,n=12,查表得:

2004年的点预测值为252.8万元,95%置信度的预测区间为:

第四节趋势延续法二、非线性趋势市场预测法市场现象受诸多因素影响,变动趋势往往呈曲线形式。常见的有指数曲线、二次曲线、龚伯兹曲线。曲线趋势的的延续预测方法有多种,常用的方法是变曲线为直线,或用最小二乘法(即最小平方法)、分段求和法确定模型种类后,进行预测。第四节趋势延续法1、指数曲线趋势模型延续法模型为:从上式可见,时间序列的环比发展速度如果接近,则市场现象的变动趋势便属指数曲线形式。在市场活动中,资金借贷后还本付息便是指数曲线的例子。如日常借款,还款时按复利计算本利,还款额即为本利和:本利和=本金+本金×月利息率月数银行的购房贷款,设备贷款等也属此类形式。此形式是指数曲线模型变形,即为:取对数变化可得直线形式。第四节趋势延续法2、二次曲线趋势延续法二次曲线趋势模型为:该模型呈抛物线变动趋势,即观察期初始上升,然后下降,抛物线开口向下;反之则反。根据市场现象的时间序列资料,如果观察期的各期数值呈先降后升或先升后降的分布,可采用二次曲线趋势延法预测。求解二次曲线参数,,方法,常用最小二乘法。由模型公式可导出联立方程:第四节趋势延续法将时间变量配成,联立方程则简化为:

即可求出三个参数的值。3.龚伯兹曲线趋势延续法。龚伯兹曲线模型由英国统计学家Gompartz提出并命名,模型公式为()该模型反映时间序列呈S型增长曲线,即初期增长缓慢,随后较大幅度增长,接着趋向稳定水平,最后趋向下滑。这种趋势与产品寿命周期的萌芽期、成长期、成熟期至衰退期的变动走向十分相似,所以龚伯兹曲线可以用来描述产品寿命周期,预测商品在市场的周期变化。第四节趋势延续法龚伯兹曲线解法可分为以下几步:第一步,将模型两边取对数,使之成为线性方程形式,即第二步,将时间序列等分为三组,计算各组观察值Y的对数和(设每组观察值为r期),分别用H1,H2,H3表示。即有:,,第三步,参数K,a,b的计算:第四步,求预测值。第四节趋势延续法三、趋势模型的选择图形识别法:这种方法是通过绘制散点图来进行的,即将时间序列的数据绘制成以时间t为横轴,时序观察值为纵轴的图形,观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较,以便选择较为合适的模型。差分法:利用差分法把数据修匀,使非平稳序列达到平稳序列。第四节趋势延续法差分特性使用模型模型公式一阶差分相等或大致相等一次线性模型二阶差分相等或大致相等二次线性模型三阶差分相等或大致相等三次线性模型一阶差分比率相等或大致相等指数曲线模型一阶差分的一阶比率相等或大致相等修正指数曲线模型差分法识别标准:市场商品的供应与需求有的呈季节性变化。农产品生产季节性引起需求的季节性变化,气候、节假日季节性也使部分产品需求呈季节性变化。掌握供需的季节变动规律,预测市场的需求,是生产经营活动中十分必要的事情。季节变动是经济现象一年之中的周期变动,并且多年的季节变动又呈现出一定的规律性。预测市场现象未来各季或各月变动状况,需要以季节变动规律结合变动趋势和水平趋势,故季节变动预测法也分为季节指数趋势法和季节指数水平法。一、季节指数水平法季节指数水平法是根据各季节变动时间序列资料,用求算术平均值方法直接计算各月或各季的季节指数,据此达到预测目的的一种方法。如果各年同季或同月水平波动不大,可用此法进行预测。第五节季节变动趋势预测法第五节季节变动趋势预测法1、计算各年同季或同月的平均值:式中,n为1年季数或月数。计算所有年度的季或月的平均值:2、计算各季或各月的季节比率:3、计算预测期趋势值趋势值是不考虑季节变动影响的市场预测趋势估计值。其计算方法有多种:(1)以观察年的年均值除以1年月数或季数;(2)观察年末年的数值乘预测年的发展速度;(3)直接以观察年末年的年值除以1年月数或季数。如果预测年数值变化不大,可用上述第三种方法。4、建立季节指数水平预测模型,进行预测。即:

第五节季节变动趋势预测法例8-4:某地区2000-2003年各季商品的销售额如表8.5所示,试用季节指数水平法预测2004年各季度销售额。解:(1)计算各年同季销售额平均值,见表第6列。(2)计算所有年所有季的季平均销售额(3)计算各季季节比率,见表第7列。

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