人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题4.8 对数函数-重难点题型检测（含解析）

专题4.8对数函数-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（

）A．y=loga(2x) B．y=lg【解题思路】根据对数函数的概念即得.【解答过程】因为函数y=logax(a>0所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.2．（3分）（2022·北京东城·高二期末）若函数fx=log2x+a的图象过点−2,0A．3 B．1 C．-1 D．-3【解题思路】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.【解答过程】解：由已知得f−2=log2−2+a故选：A．3．（3分）（2022·广东·高一期中）函数f(x)=2x−1+lgA．0，2 B．2，+【解题思路】利用根号下的数大于等于0，对数真数大于0，解得函数的定义域.【解答过程】由题意可得：2x−1≥0x−2>0，解得x>2故选：B.4．（3分）（2022·河南·高三阶段练习（文））设a=1.25，b=log34，c=log4A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>b>a【解题思路】根据对数运算可将a化为log441024和log34【解答过程】∵a=1.25=54=log4∵a=1.25=log3435∴b>a>c.故选：C.5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知log2a+log2b=0（a>0且a≠1，b>0且b≠1），则函数f(x)=A． B．C． D．【解题思路】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．【解答过程】log2a+log2b=0当a＞1时，0＜b＜1，函数f(x)=(1a当0＜a＜1时，b＞1，函数数f(x)=(1a在同一坐标系中的图像可能是B，故选：B．6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=lgA．当a=0时，fx的定义域为B．fxC．当a=0时，fx的定义域为D．若fx在区间2,+∞上单调递增，则实数a【解题思路】对于AC:直接求出定义域，即可判断；对于B:取特殊情况，a=0时，值域为R，否定结论；对于D:取特殊情况，a=-4时否定结论.【解答过程】对A，当a=0时，解x2−1>0有对B，当a=0时，fx=lgx2此时fx=lg对C，由A，fx的定义域为−对D，若fx在区间2,+∞上单调递增，此时y=x2+ax−a−1在2,+∞上单调递增，所以对称轴x=−a2≤2故选：A.7．（3分）（2022·广东·高三阶段练习）已知奇函数fx在R上单调递增，且f1=1，则关于x的不等式fA．0,1 B．1,+∞ C．0,e【解题思路】利用奇偶性改变自变量的符号，利用单调性脱掉函数记号，即可求解【解答过程】因为fx为奇函数，所以f所以原不等式可化为2fln即flnx<1，因为f所以lnx<1，解得x∈故选：C.8．（3分）（2022·浙江高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：ωm2）之间的关系是：Li=10lgII0，其中A．闻阈的声强级为0dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围[10−5,C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍【解题思路】根据题设可得Li=10lg(1012I)=120+10lgI，令I=10−12ω【解答过程】由题意10lg1I0=120，则I当I=10−12ωm若Li=70dB，即10lgI=−50，则I=10−5ωm2；若Li=80dB，即10lgI=−40，则将I1,2I将Li,Li+10对应声强作商为10Li+10−120故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·浙江省高一期末）已知a=log23,b=ln2,c=A．b>a B．a>b C．c>a D．a>c【解题思路】利用对数函数单调性比较大小即可.【解答过程】因为fx=log2x为单调递增函数，所以故选：BC.10．（4分）（2022·河南·高二阶段练习）已知函数f(x)=lgx2A．若f(x)的定义域为R，则−4≤a≤0B．若f(x)的值域为R，则a≤−4或 C．若a=2，则f(x)的单调减区间为−D．若f(x)在−2，−1【解题思路】根据函数的知识对选项逐一判断【解答过程】对于A，若f(x)的定义域为R，则x2+ax−a>0在R上恒成立，所以a2对于B，若f(x)的值域为R，则a2+4a≥0，所以a≥0或对于C，若a=2，则f(x)=lgx2+2x−2，函数的定义域为(−∞,−1−3对于D，若f(x)在(−2,−1)上单调递减，则(−1)2+a(−1)−a≥0且−a故选：BD.11．（4分）（2022·河北高一期末）已知函数fx=logax+b(a>0，且a≠1,b∈A． B．C． D．【解题思路】根据给定条件，求出常数a，b的值，再逐项分析即可判断作答.【解答过程】由函数fx的图象过A,B两点，则有f(1)=b=2f(1对于A，函数y=−log2x+2的图象过点(1,2)对于B，函数y=log2x+2的图象过点0,1对于C，函数y=2x+2对于D，函数y=2−x−2的图象过点(−1,0故选：ABD.12．（4分）（2022·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=log2mx2A．若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是1+B．若函数f(x)的值域为[−1,+∞)C．若函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，则实数mD．若m=0，则不等式f(x)<1的解集为{x|x<【解题思路】函数f(x)的定义域为R等价于mx2+2x+m−1>0若函数f(x)的值域为[−1,+∞)等价于y=mx2+2x+m−1若函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数等价于函数y=mx2+2x+m−1在区间[2,+若m=0，f(x)=log2(2x−1)【解答过程】对于A，因为f(x)的定义域为R，所以mx2+2x+m−1>0恒成立，则{对于B，因为f(x)的值域为[−1,+∞)，所以y=mx2+2x+m−1的最小值为1对于C，因为函数f(x)在区间[2,+∞所以当m=0时，f(x)=log当m≠0时，{m>0−1m≤2对于D，当m=0时，f(x)=log2(2x−1)，由f(x)<1，可得0<2x−1<2故选：AC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·四川省模拟预测（文））设a=2log32，b=log915，c=3−1，则a，【解题思路】根据对数的运算及对数函数的单调性，结合指数的运算即可求解.【解答过程】由题意可知，a=2logb=log当a>1时，y=logax因为∵16>15c=3−1=故答案为：a>b>c.14．（4分）（2022·全国·高一专题练习）不等式log12−x2【解题思路】运用对数函数的单调性，及二次不等式的解法，即得.【解答过程】由log12−所以−x解得：−1−292<x<−3∴不等式log12−故答案为：−1−2915．（4分）（2022·全国·高一课时练习）2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式C=Wlog21+SN是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫作信噪比．若不改变信道带宽W，而将信噪比SN从11提升至499，则最大信息传递速率C【解题思路】设提升前最大信息传递速率为C1，提升后最大信息传递速率为C2，根据题意求出【解答过程】设提升前最大信息传递速率为C1，提升后最大信息传递速率为C2，则由题意可知，C1所以C2所以最大信息传递速率C会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.5.16．（4分）（2022·全国·高一专题练习）关于函数y=log①该函数是偶函数；

②定义域为（−∞，−3]∪（1，+∞）；③递增区间为[1，+④最小值为1；其中正确结论的序号是③④．【解题思路】利用函数有意义求得定义域，得②错误；利用偶函数定义得①错误，然后利用复合函数的单调性得③正确，当x=1时函数取最小值为1，故④正确.【解答过程】函数y=fx=log2（f（−x）=log令t=x2−2x+3由t=x2−2x+3y=log2t为增函数，故函数y=log2当x=1时函数取最小值为1，故④正确；故正确结论的序号是：③④．故答案为：③④.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高一课时练习）解关于x的不等式：loga(x+1)>loga(3−【解题思路】分成a>1，0<a<1进行讨论，结合对数函数的单调性及定义域即可列出关于【解答过程】当a>1时，原不等式等价于{3−x2解得1<x<3所以当a>1时，原不等式的解集为x1<x<当0<a<1时，原不等式等价于{x+1>0x+1<3−x解得−1<x<1，所以当0<a<1时，原不等式的解集为{x|−1<x<1}；综上，当a>1时，原不等式的解集为x1<x<3；当0<a<1时，原不等式的解集为18．（6分）（2022·全国·高一专题练习）比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，(2)log23，【解题思路】利用对数函数的单调性比较大小即可.【解答过程】(1)解：由于对数函数y=log3x在(0,+(2)解：由对数函数y=log2x在(0,+∞)得log23>即：log219．（8分）（2022·湖南·高一课时练习）对于函数y=logmx(1)若0<m<n<1，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？(2)若1<m<n，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？【解题思路】（1）根据对数函数的性质作答；（2）根据对数函数的性质作答．【解答过程】(1)图象如图：图象都过(1,0)点，函数都是单调递减，在直线x=1右侧，底数越小，越靠近x轴；(2)图象都过(1,0)点，函数都是单调递增，在直线x=1右侧，底数越大，越靠近x轴．20．（8分）（2022·全国·高一单元测试）已知函数f(1)求函数fx(2)判断并证明函数fx(3)求不等式fx【解题思路】（1）由对数的真数大于零，解不等式组可求得答案，（2）利用奇偶性的定义判断，（3）利用对数函数的性质直接解不等式即可.【解答过程】（1）由4−x>04+x>0，得−4<x<4所以函数的定义域为−4,4，（2）函数为奇函数，证明如下：因为函数的定义域为−4,4，所以定义域关于原点对称，因为f−x所以f(x)为奇函数，（3）由fx<0，得所以log1因为y=log所以4−x>04+x>04−x>4+x，解得所以不等式fx<0的解集为21．（8分）（2022·河南·高一期末）有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100−lgx0，单位是km/min(1)若x0=3，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少km/(2)若x0(3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，雌鸟的飞行速度为1.5km/【解题思路】（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出x1、x2，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得【解答过程】(1)解：因为候鸟的飞行速度可以表示为函数v=1所以将x0=3，v=故此时候鸟飞行速度为1.52km/(2)解：因为候鸟的飞行速度可以表示为函数v=1将x0=6，0=12所以x100=3故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为555个单位．(3)解：设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟的耗氧量为x依题意可得：2.5=12log3x故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．22．（8分）（2022·山东·高一阶段练习）已知函数f(x)=loga(x−a2(1)当a=2时，解不等式f(x)>log(2)∀x∈[2a,4a]，fx≤1，求实数(3)在（2）的条件下，是否存在α，β∈(a，+∞)，使fx在区间α，β【解题思路】（1）先求定义域，然后根据单调性解不等式可得；（2）将问题转化为最值问题，然后分0<a<1和a>1，利用单调性求解即可；（3）利用单调性得到α和β满足的方程，然后构造函数，由判别式列式求解可得.【解答过程】（1）a=2时，fx由{x−1>0x−2>0，解得x>2，即函数定义域为因为f