2023年高考第二次模拟考数学试卷-（北京B卷）（解析版）

2023年高考第二次模拟考试卷——数学（北京B卷）

第I卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知复数z=i（2+i）,则z的共轨复数为（）

A.l-2iB.2-iC.l+2iD.-l-2i

K答案5D

K解析》依题意，Z=-l+2i,所以W=

故选：D.

2,若集合"虫S'』B={x[l<x<3},则QB=（）

A.（1，4）B.（L2）C.（°"）D.（℃）

工答案1D

K解析DA=二"3=（0,3）

故选：D.

3.ABC中，“A为锐角”是“sinA>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

K答案2A

R解析』在SBC中,由“A为锐角”，易得"sinA>0”，

.丁A为锐角”是“sinA>0”的充分条件；

在，ABC中，由“sinA>0，，，不能得出“4为锐角”（如sinA=l>0,A为直角，实际上，当

A«0，n）时，sinA>。恒成立），

.•.“为锐角”不是“44>0，，的必要条件；

综上所述，“A为锐角”是“sin4>0”的充分不必要条件.

故选：A.

4.已知函数/（*）是奇函数，且当xN。时，/（》）=«—x,则"T）=（）

A.-4B.-2C.2D.4

（答案』C

K解析D因为〃x）是奇函数，所以〃U）=一“4）,

因为当xNO时，〃x）=«-x,

所以〃4）="-4=-2,

所以〃U）=2.

故选：C.

5.某地区的统计数据表明新生儿的实际出生日期与预产期的天数差'~"（0，。2）.已知

户（04X45）=0.12,估计在io。个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生

儿数（）

A.34B.36C.38D.40

R答案》c

工解析》因为X~N（0,『），且「（04X45）=0.12

根据正态分布的对称性，则有*VXV0）=0.12,

历以P（X<-5）=^-P（-5<x<0）=0.38

故100个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生儿数为100x0.38=38.

故选：C.

6.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记

录于其重要著作《详析九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等

差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成

等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2,3,6,11,则该数列的第15项为（）

A.196B.197C.198D.199

K答案2C

K解析》设该数列为则4=2。=39=6,%=11；

由二阶等差数列的定义可知，«2-«l=l,«3-a2=3,a4-a3=5,-

所以数列是以%=1为首项，公差"=2的等差数列,

即-一",,=2"-1,所以

生一q=1,

。3-。2=3,

4-。3=5，

%+1-勺=2〃-1

将所有上式累加可得勺+产q+〃2="2+2,所以％5=142+2=198；

即该数列的第15项为a5=198

故选：C

f(x)=2sin(x+-)sin(x+—)

7.下列是函数44图像的对称轴的是()

兀兀兀兀

x=-"x=—x=—x=—

A.6B.4c.3D.2

K答案》D

/W=2sin[(x+—)+—]sin(x+-^)=2sin(x+—)cos(x+—)=sin(2x+—)=cos2x

K解析》424442

显然篮)=喈十*f和喏=。*±1,吗=cos*±±1

/(■^)=COS7T=-1

/(x)=2sin(x+—)sin(x+—)x=-

所以函数44图像的对称轴的是2,ABC错误，D正确.

故选：D.

2

Cj:—―y=12_厂

8.已知双曲线8的左焦点与抛物线0r2：y=以的焦点尸重合，。为抛物线G上

一动点，定点入(一5,2),则侬+如的最小值为()

A.5B.3c.4D,8

K答案2D

K解析》对于双曲线.，。=2近，6=1,则cW+b=3,故点尸(TO),

所以，抛物线°?的方程为V=T2x,抛物线G的准线为/:x=3,如下图所示：

过点。作QB，/,垂足为点8,由抛物线的定义可得|QFg明，

所以，|QA|+|QF|=|QA|+|Q8|,当且仅当时，|Q4|+|Q8|取最小值为3+5=8

故选：D.

9.平面向量。，）满足”=■,且|。叫=4,则。与。-匕夹角的正弦值的最大值为（）

1112

A.4B.3C.2D.3

K答案》B

K解析鼻如图所示：设”=0A,b=OB,则a—力=8A,设|〃|=机，村=3，w,]＜加＜2,

：+222

;HH-M\9w+16—w_m+2*22夜

2网•网24m3+3m~\33m3

m_2ZO/lfiel0,1

当可一藐，即机=夜时等号成立，故

当cosNtMB最小时，sinNOAB最大,

rii

故。与“一〃夹角的正弦值的最大值为丫9=3

故选：B

10.如图，在圆柱°。中，AB为底面直径，E是AB的中点，。是母线8c的中点:，M是上

底面上的动点，若舫=4,5c=3,且腔，4）,则点”的轨迹长度为（）

C

C

B

E

355/7

A.2B.万C.4D.4

K答案1C

K解析》连接°E,作ON,AO,交CF于点、N,

E

「£是48的中点，，。£_1M，

BCJ•平面ABE,OEu平面ABE,:.BC±OE,

ABcBC=B,AB，BCu平面ABb,

.•.0丘_1_平面48（才，又ADu平面4BCF,

:.OELAD,又ON工AD,OEON=O,OE,ONu平面ONE,

.■.AD_L平面ONE,

设平面ONE与上底面交于P0,ME_LAL>,.•.点〃的轨迹为P。；

他=4,BC=3,O是母线BC中点，

tanZ.BAD=tanZ.O.ON==-

AB8,

9

.•・O、N=OO|•tanRON=-

8,

・"2上(冷平

故选：C.

第1［卷

二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分.

,x+l

y=lg-------

II.函数.2-x的定义域是.

K答案》(T2)

K解析』由题意得嚏匚>,即(X+1)(2T)>°,解得

故定义域是(T，2).

故K答案』为：(T，2)

12.(l-x)'(l+2»的展开式中到2的系数为(用数字作答).

K答案X-48

K解析》(l-x)4(l+2)')’的展开式中盯°的系数，是Ox)4的展开式中x的系数与(1+2/’的

展开式中工的系数之积，

即U.(_l)xC”=-48

故K答案》为：T8.

13.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司

员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为

£21211

§亏而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为结果这一天他迟到

了,在此条件下，他自驾去上班的概率是.

15

K答案》37

K解析》法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，

事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，

P(A)=P(8)=P(C)=!，P(D|A)=1，P(03)=［尸(。］0=1

则3456.

P(D)=P(A)尸(£>IA)+P(B)P(DlB)+P(C)P(D|C)=-x|I4-I4-I］

3\456)

小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是

.一1V一1

尸⑷0=^^=P(A)PSM)=—3-^__="

产(0P(D)1fl1037

3(45,

p=——i——=—

1+1+137

法2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率456,

15

故K答案11为：37.

14.对于三次函数/(力=加+62+5+〃(4*0),给出定义：设/'(x)是函数“X)的导数，

•T(x)是1(x)的导数，若方程一(力=°有实数解％,则称点■，〃不))为函数，=/(力的

“拐点经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且

=—x2+3x--f(x\

“拐点”就是对称中心.设函数八,3212,则八町的拐点为，

1232022

++f

2023202320232023

［答案》12)2022

fZ\_J_3_J.J-2-LV__

K解析］/rr212,故/'(x)=x2-x+3,广(x)=2x-l,

令"。)=0,解得：5,而⑶，

故函数/(X)的对称中心坐标是12).

由于函数f3的对称中心为(51)，则函数图像上的点(⑼关于(5的对称点

(l"2—〃x))也在函数图像上，即〃1)=2-/(x).

・•・/（I-x）+/（%）=2

d1-20M23J+心12023J1+（/20023+J+,（2竿023）］=

吟/㈡+/”+...+产L

2|_（2023）（2023）（2023）（2023）（2023）（2023）\

=1（2x2022）

2022

故K答案』为：12）,2022.

15.如图，某市一学校H位于该市火车站。北偏东45°方向，且0"=4夜km,已知ON是

经过火车站。的两条互相垂直的笔直公路，CE，。厂及圆弧CD都是学校道路，其中

CE〃。尸〃CW,以学校〃为圆心,半径为2km的四分之一圆弧分别与CE,O尸相切于点

CD.当地政府欲投资开发AOB区域发展经济，其中4B分别在公路OM,ON上，且与圆

弧CD相切，设NOAB=0,_AOB的面积为Skm2.

（1）求s关于"的函数R解析力式：.

（2）当。=时，408面积S为最小，政府投资最低?

5=2,2(而。+3。)-112招.03n

sin0cos(2)

K答4

K解析D解：（1）以点。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则"（44）,在Rt/XABO

中，设4?=/,又NOAB=，，故。4=/cose08=/sin夕

_^+_2L.=1

所以直线AB的方程为/cos。/sin。gpxsin^+ycos6»-/sin6»cos6>=0

因为直线AB与圆”相切，

|4sine+4cos6-/sin0cose|、

-------/-------2

所以vsin20+cos2<9(*)

因为点”在直线AB的上方，

所以4sin，+4cose-/sin〃cos6>0,

.4(sin0+cos0)-2

I=------------------------

所以（*）式可化为4sin'+4cos夕一/sin夕cos夕=2,解得sin。cos。

〜4(sin0+cos0)-2八入4(sin6+cos。)一2

QA=----------------(JB=------------------------

所以sin6cos0

S=12(smU+cos，)一1]-gejo,巴]

所以面积为2sinOcos®I2)

(2)令"2(sin，+cos0)_l,则,访%斓二宁江

t=2(sin，+cos6)-l=2^2sin(夕+：)一1w(1,2及一1]

且

16

S=2----------

7+2/-33~2~~

?+7+1re(l,2^-1]

所以8

12点+1一2夜+1]

m=­£2

g(m)=-3m+2m+1=-3机-gI;

令i3,所以g(机)在L厂1上单

调递减.

2&+1

m=----------

所以，当7，即时,g("D取得最大值,S取最小值.

e=-

所以当4时，一AO8面积S为最小，政府投资最低.

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.如图，在锐角ABC中，'一区，A8=3而，AC=6,点。在BC边的延长线上，且8=10.

(1)求4CB；

(2)求A8的周长.

B=±

解：(1)在他。中，4,AB=3娓,AC=6,

a床也

ABAC./…AB-sinB石

由正弦定理可得sinsinB,故一AC一6一2,

ZACB=-

因为一/WC是锐角三角形，所以3.

ZACB=-ZACD=—

(2)由(1)得3,所以3.

ZACD=—

在...A8中，AC=6,8=10,3,

AD=VAC2+CD2-2AC-CD-cosZACD=J62+102-2x6x10x|-1U14

所以N12).

所以ACO的周长为6+10+14=30.

17.在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了

多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙

两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成⑶与，4,5),

[5,6),[6,7),[7,8]五组，并整理得到如下频率分布直方图:

(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学

习时间达到5小时以上的学生人数；

(2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中

随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X,求X的分布列和数学期望；

(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为R,2,试比较"与2的大小.(只

需写出结论)

解：(1)由甲班的统计数据知：甲班学生每天学习时间在5小时以上的频率为

0.5+0.25+0.05=0.8,

由此估计高三年级学生每天学习时间达到5小时以上的频率为。8,人数为600x0.8=480

人，所以估计该校高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数480.

(2)依题意，甲班自主学习时长不足4小时的人数为：40x005=2人,

乙班自主学习时长不足4小时的人数为：40x0.1=4人，

X的可能值为：°』，2,

蛆=0)41P(x=l)=隼1=|尸(x=2)=等

所以X的分布列为：

X012

J_3

P

555

131

E(x)=0x-+lx-+2x-=1

x的数学期望为555.

(3)甲班学生每天学习时间的平均数为

孑=0.05x3.5+0.15x4.5+0.5x5.5+0.25x6.5+0.05x7.5=5.6,

甲班学生每天学习时间的方差为

D、=0.05x2.12+0.15xl,l2+0.5x0.12+0.25x0.92+0.05xl.92=0.815

乙班学生每天学习时间的平均数为

x,=0.1x3.5+0.15x4.5+0.3x5.5+0.25x6.5+0.2x7.5=5.8

甲班学生每天学习时间的方差为

D,=0.1x2.32+0.15x1.32+0.3x0.32+0.25x0.72+0.2x1.72=1.505,所以。＜2

18.如图所示，已知三棱台AB。-AAG中，叽/AB&=NC8A=6°°,

AB±BC,BB,=1

(1)求二面角的余弦值；

(2)设£、尸分别是棱AC、的中点，若打工平面A8C,求棱台人次~的体积.

解：（1）因为4片,8瓦，CB,1BB,；所以二面角的平面角为NA8C

因为/ABB|=NCB4=60。，BB、=1,所以做=C4=J§,AB=CB=2.

因为A8JBC,所以AC=2忘.因为4c'=AB：+CB：-2A81.C4.cosNABC,

所以3,故二面角A-B3「C余弦值为3.

（2）因为ABC-AqG是三棱台，所以直线AA、BBICG共点，设其交点为。

因为E、尸分别是棱AC、4G的中点，所以直线EF经过点o.

因为4片18瓦，CB,±BBAB。仇=旦且A综u面AB，所以8耳，面他右

tX。

又E8|U面A/C,所以BBI上EBI

因为EB=6,%=1,所以NB解=45。.

因为平面ABC,EBu平面ABC,所以防J_£B,

EF=BB.-sinZEBB.=­

所以2,0E=EB=6r,,故F为°E的中点.

___2v_Z_Lnr&_7&

三棱台ABC-44C的体积v=v°-ASC-v=0%-诙=8X3X^XLac=N

19.如图，已知抛物线一=4），，点4在抛物线上，且在第一象限，以点N为切点作抛物线

的切线/交x轴于点8,过点8作垂直于/的直线/'交抛物线于C,。两点，其中点C在第

一象限，设/'与y轴交于点K.

（1）若点/的横坐标为2,求切线/的方程.

（2）连结OC,OE»,AK,AC,记△OK£>,Z\OKC,A4KC的面积分别为$,$2,53,求S21s2

的最小值.

解：（1）根据题意，有42,1）,且在A处的切线的斜率存在，

\y=k[x-2）+\

设切线方程为，=MX-2）+1,由W=4y可得/-4丘+弘-4=0,

由A=16--32&+16=0解得2=1,故切线的方程为：X-"1=0.

（2）设”（金，4厂）«>0）,同⑴可得/：2fx-y-4/=0,

进而8（2力0）,从而/'：x+2）-2f=0,因此K（0,l）.

[x+2ty-2t=0

设C（4团,4“）,。（4〃,4〃）由[x2=4ynj^rx2+2x-4r=0,

1

。mn=——,

4/24

4/zi+4〃=­J

<t1

..."2+〃=-----,

故[4〃?x4〃=-4即〔2t

-^-=2=--2+12-（w+/7）2-1

CAn------Z--------------——T-

因此设力机，显然久>1,贝IJ义mnt2,

一"+于

解得2产，

务=如9=也±±竺回=4r+1

且由点到直线的距离公式$2"（O，K0|0+2r-0-2r|,

邑四』=（4入1）.11<11=（6+嗟2=2|；+'2匕8

因此$23尸12产s[s）

—K

其中S=J"+1-1,等号当S=1即2时取得，因此所求最小值为8.

20.设函数/（*）=/+依Tnx（aeR）

（1）若"=1,求函数y="x）的单调区间；

（2）若函数/（外在区间（°』上是减函数，求实数a的取值范围;

（3）过坐标原点。作曲线＞=/（"）的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐

标.

解：（1）。=1时,/（6=炉+乂_］必＞0）,

.（x）=2/1-工=（2、二3廿I）0）

・•・XX,

...当T叼［r（H＜o,〃x）为单调减函数.

当xe（j,+oo）,./'V）＞0,为单调增函数.

z、foAlf-,+oo^

.•.八町的单调减区间为I2）,单调增区间为12）.

⑵•.・”"S+y,“X）在区间（°』上是减函数，

r（x）（o对任意xw（。/］恒成立，

即"+""1’°对任意“«0,1］恒成立，

令屋力二:一2、则』（％,

J__

因为函数‘一=一‘=-2'x在（°』上都是减函数，

所以函数g（x）在（°』上单调递减，二g（%＞=g0）=T,

.•QT；

（3）设切点为

\1

/（X）=2x4-6/——

由题意得X,

._f（r）=2f+a-；

/.曲线在点切线方程为'一'⑺,

y-（r+ar-lnr）=|2r+a--|（x-z）

即It）.

又切线过原点,

0-z2-tzr+lnr=（2/+〃」）（0一.）

整理得产+ln"l=O,

设夕（，）=r+im-1Q>O）

则”（，）=〃+；>0（，>0）恒成立，夕⑺在（0,+功上单调递增，

又9。）=0,

；.夕（。在（°，+8）上只有一个零点，即r=i,

.••切点的横坐标为1,

切线有且仅有一条，且切点的横坐标为1.

21.定义圈数列X：孙孙523）；x为一个非负整数数列，且规定当的下一项为储，

记/=x”X"“=为，这样x*的相邻两项可以统一表示为“1，k*=123,…,〃（芯的相邻两

项为玉，%,即％,%；4的相邻两项为.定义圈数列X做了一次P运算：选取一项

-2,将圈数列X变为圈数列P（X）：士,孙，4T+1,%-2,%1+1,即将4减2,相邻

两项各加1,其余项不变.并记下标k输出了一次.记X进行过i次P运算后数列为x,：

七,"42,「（规定X（）=X）

（1）若X：4,0,0,直接写出一组可能的、”、2，*3，、4；

（2）若进行g次P运算后①>°）,有'=乙，此时下标〃输出的总次数为《,记