2023届甘肃省高台县高考数学全真模拟密押卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若a>b>0,0<c<l,则

ccab

A.Iogac<logi>cB.Iogca<logcbC.a<bD.c>c

2.设复数二满足|z-3|=2,z在复平面内对应的点为例(a,b),则"不可能为()

A.(2,6)B.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

+]X〉0

3.已知函数/(x)='是奇函数，则g(7(-D)的值为()

.g(x),x<0

A.-10B.-9C.-7D.1

4.已知各项都为正的等差数列｛a,,｝中，/+q+4=15,若q+2,«3+4,心+整成等比数列，则须=()

A.19B.20C.21D.22

5.已知函数/。)=依2—》+1门有两个不同的极值点%，斗，若不等式/(%)+./'(工2)>2(%+£)+7有解，贝"的

取值范围是()

A.(-co,-2In2)B.(-00,-2In2]

C.(―co,—11+2In2)D.(—00,—11+21n2]

6.已知平面向量a,〃满足忖=2,W=l,。与〃的夹角为g,且(a+43，(2L))，则实数九的值为()

A.-7B.-3C.2D.3

7.抛物线/=3”的准线方程是y=l,则实数。=()

22

8.已知双曲线c：j-2=1(。>0,。>0)的左、右顶点分别为4、4,点p是双曲线c上与A、A?不重合的动点,

a

若kp^kpA,=3,则双曲线的离心率为（）

A.&C.4D.2

9.已知向量。=(3sinx,-2),b=(l,cosx),当a_L〃时,cos(2x+］卜()

121266

A.C.D.

B13B13

10.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几

何体的表面积是（）

正视图侧视图

俯视图

A.16五+16万

B.16加+8乃

C.8a+16乃

D.80+8万

3

11.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是三，则判断框中应填入的条件是（）

C.z>4?D.i<4?

,,111、2111、

12.已知无穷等比数列｛4｝的公比为2,且lim(z—+—+…+——)=-,贝+—+…+——)=()

…%a3a2n_,32%%

124

A.-B.-C.1D.一

333

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.为了了解一批产品的长度(单位：毫米)情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布

直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间125,30)的一等品，在区间［20,25)和［30,35)的为二等品，其余均为三

等品，则样本中三等品的件数为

14.若函数/(x)=sin2x-J5cos2x的图像向左平移g71个单位得到函数g(x)的图像.则g(x)在区间一上的

8OoO

最小值为.

15.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(—3,0),B(-l-2),若圆(x—2)2+y2=/&>0)上有且仅有一对点

使得AM43的面积是的面积的2倍，则厂的值为

士]展开式的第5项的系数为

16.[2x-

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数〃x）=2|x-11+mx,mER.

（1）当，篦=一3时，求不等式f（x）+4<0的解集；

（2）若函数/（幻的图象与x轴恰好围成一个直角三角形，求”的值.

18.（12分）某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道和，2通过一段抛物线形状的栈道A8连

通（道路不计宽度），和/2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线/3平行于观光道且与/2相距1.5（百米）（其中

A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于况且交,3于M）,在堤岸线，3上的E,产两处建造建筑物，其中E,尸到

M的距离为1（百米），且厂恰在8的正对岸（即

■（D）・②

（D在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；

（2）游客（视为点P）在栈道48的何处时，观测E尸的视角（NEPF）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点尸的

坐标.

22

19.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：土+二=1的左顶点为A,右焦点为尸，P,Q为椭圆。上两

43

点，圆。：心+旷2=户。>。）.

（D若轴，且满足直线AP与圆。相切，求圆。的方程；

（2）若圆。的半径为出，点P,Q满足自户・自。=-彳，求直线PQ被圆。截得弦长的最大值.

20.（12分）如图，已知四棱锥P-ABC。，平面ABC。，底面ABCQ为矩形，A6=3,AP=4,E为PD的

中点，AEA.PC.

（1）求线段AO的长.

（2）若加为线段3c上一点，且驷=1，求二面角的余弦值.

221

21.（12分）已知椭圆。：=+与=1（。>。>0）的短轴长为2道，离心率e=二,其右焦点为E.

a-b~2

（1）求椭圆C的方程；

（2）过户作夹角为:的两条直线4分别交椭圆。于P,Q和M,N,求^^的取值范围.

22.(10分)已知函数/(x)=sinx+石sin(x+今+sin(x+\),xeR.

（I）求『（2019。的值;

(H)若/(c)=l,且0<a〈"，求cosa的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

试题分析：对于选项A,logc=,logc=-^―,0<c<l,lgc<0,而a>b>0,所以lga>lg人，但不

aIgablgb

能确定lga、lgb的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B,logca=*0,log«A=^Jga>lgb,两边同乘以

lgclgc

一个负数7—改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C,利用y=x,在第一象限内是增函数即可得到“，>加,

lgc

所以C错误;对于选项D,利用y=c'在R上为减函数易得c0<cJ所以D错误.所以本题选B.

【考点】指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】比较第或对数值的大小,若塞的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比

较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.

2.D

【解析】

依题意，设2=。+初，由|z—3=2,得(。一3)2+62=4,再一一验证.

【详解】

设z=a+bi,

因为|z-3|=2,

所以①―3『+〃=4,

经验证例(4,1)不满足，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.

3.B

【解析】

根据分段函数表达式，先求得/(-1)的值，然后结合/(x)的奇偶性，求得g(7(-D)的值.

【详解】

+xx>0

因为函数/(x)='一是奇函数，所以/(-1)=一/(1)=一2,

g(x),x<0

g(/(-D)=g(-2)=/(-2)=-/(2)=-10.

故选：B

【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决

问题的能力.

4.A

【解析】

试题分析：设公差为d,a2+/+4=3/=15=>%=4+2。=5nq=5-2。=>(4+2)(q+5J+16)

=(7-24)(34+21)=81=242+74-22=0=4=2或4=一旦(舍)=a=l=a=】-92=19,故选A.

2•"

考点：等差数列及其性质.

5.C

【解析】

先求导得/'（x）=2⑪2一无+1（%>（））,由于函数/（X）有两个不同的极值点用，/，转化为方程2公2—x+l=O有

X

两个不相等的正实数根，根据/，王+々，x「Z，求出”的取值范围，而./•（芯）+/（七）>2（%+毛）+，有解，通

过分裂参数法和构造新函数阳）=一/--俏“°<a〈J

,通过利用导数研究”（a）单调性、最值，即可得出f

的取值范围.

【详解】

由题可得：f'(x)=2aX~~X+i(x>0),

X

因为函数/（X）=。无2-x+InX有两个不同的极值点为，了2,

所以方程2依2_X+1=0有两个不相等的正实数根,

△二1一8。>0,

于是有…2$>0,解得0<y.

若不等式“石)+“々)>2(玉+工2)+7有解，

所以/<[〃3)+〃马)—2(石+切]皿

因为/(%)+./(工2)-2(%+-^)=竭一%+lnXj—x2+Inx2—2(%+x2)

2

=a[(M+x2)-2X1X2J-3(X1+x2)+ln(x1x2)=--——l-\n(2a).

设h(a)――――1—ln(2a)(0<a<—,

“⑷廿。，故阳)在四上单调递增,

所以，＜—ll+21n2,

所以/的取值范围是(―,一11+2In2).

故选：C.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算

能力，有一定的难度.

6.D

【解析】

由已知可得(。+训-(2。叫=0,结合向量数量积的运算律，建立4方程，求解即可.

【详解】

依题意得a•〃=2x1xcos——=-1

3

由(a+2Z?)—〃)=0,得2a—Ab+(2X—l)a,/?=0

即一32+9=0,解得；I=3.

故选:£).

【点睛】

本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.

7.C

【解析】

根据准线的方程写出抛物线的标准方程，再对照系数求解即可.

【详解】

4

因为准线方程为y=1，所以抛物线方程为X2=-4)，,所以3a=~4,即a=.

故选：C

【点睛】

本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.

8.D

【解析】

22

设P（Xo，%）,4（-a,0）,A（a,o）,根据%/叽=3可得y；=3x；-3/①，再根据又上一斗=1②，由①®可

ab~

得仅2—3/）,=/92—3〃2）,化简可得c=2a,即可求出离心率.

【详解】

解：设尸（知先），4（-4,0），&（。,0），

•.k"一q

•人尸A”&-丁，

———=3,即尤=3焉一3a2,①

%+a/_Q

x4-4=i»②，

a2b2

由①@可得92-34）%=/（〃-3a2）,

7xQ丰±a,

•'«b2-3a2=0>

b2=3a2=c2-a2>

••c—2af

即e=2,

【点睛】

本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题.

9.A

【解析】

根据向量的坐标运算，求出tan、’3一就》即可求解.

【详解】

_..2

aA_b9=3sinx-2cosx=0,/.tanx=—

(>兀、.-2sinxcosx

cos2x4—=-sin2x——；-----------

I2)sin~x+cos-x

2tanx_12

tan2x+113

故选:A.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.

10.D

【解析】

由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为

,44拒+"!■乃2?+,万26=8夜+8%,故选口.

222

11.D

【解析】

首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次

数以及i的关系，最终得出选项.

【详解】

经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，

1

•112

-Z-1+1=

第一次循环:s=o+—2

1x2

第二次循环:S=—I-------=—,i=2+1=3；

22x33

2I3

第三次循环:S=-+——=一，j=3+l=4,

33x44

此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4?,故选D.

【点睛】

题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框

和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处

理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序，(6)在给出程序框图求解输出结果的试题

中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

12.A

【解析】

依据无穷等比数列求和公式，先求出首项％,再求出的，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。

【详解】

.1,1

因为无穷等比数列仅“｝的公比为2,则无穷等比数列｛7｝的公比为5。

由lim('+L+…+」一)=：有，=-,解得4=2,所以%=4,

…ax%%,一313

1-----

4

｝_

lim(1---1---1---)=-,故选A。

…a2a4%,1」3

4

【点睛】

本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.100.

【解析】

分析：根据频率分布宜方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数.

详解：由题意得，三等品的长度在区间［10,15),［15,,20)和［35,40］内，

根据频率分布直方图可得三等品的频率为(0.0125+0.0250+0.0125)x5=0.25,

.•.样本中三等品的件数为400x0.25=100.

频率

点睛：频率分布直方图的纵坐标为,因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的

高视为频率时常犯的错误.

14.一右

【解析】

7Fn

注意平移是针对自变量X,所以g(x)=/(x+7)=2sin(2x-R),再利用整体换元法求值域(最值)即可.

812

【详解】

由已知，/(x)=sin2x-yf3cos2x=2sin(2x—[),g(x)=/(x+£)=

2sin[2(x+-)--]=2sin(2x--),又xe故2工一石£［一了彳］,

8312L88

2sin(2x—二)e［一后,2］,所以g(x)的最小值为一JL

故答案为：-6.

【点睛】

本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.

15.还

6

【解析】

写出A8所在直线方程，求出圆心到直线的距离，结合题意可得关于，•的等式，求解得答案.

【详解】

解：直线AB的方程为与4=守，即x+y+3=0.

圆(x-2)2+y2=r2(r>0)的圆心(2,0)

到直线AB的距离d=11字2］=平，

V22

由AMAB的面积是&V48的面积的2倍的点N有且仅有一对，

可得点M到AB的距离是点N到直线AB的距离的2倍，

可得过圆的圆心，如图：

由孚+厂=2(竽—/■),解得厂=平.

故答案为：巫.

6

【点睛】

本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题.

16.70

【解析】

根据二项式定理的通项公式T可得结果.

r+lCQ)”[-壶，

【详解】

由题可知：第5项为7；

故第5项的的系数为C；・24=70

故答案为：70.

【点睛】

本题考查的是二项式定理，属基础题。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(2,+oo)(2)m=->j3

【解析】

(1)当3时，/(x)+4=2|x-l|-3x+4,

由f(x)+4<0可得2x-l|<3x—4,(

所以-(3x-4)<2(x—l)<3x—4,解得x>2,

所以不等式/(x)+4<0的解集为(2,+00).

(m—2)x+2,x<1

(2)由题可得/。)=

(m+2)x-2,x>1

因为函数,f(x)的图象与X轴恰好围成一个直角三角形,

所以(m-2)(〃?+2)=-1,解得〃?=±e，

当〃?=6时，/(1)=73>0,函数.f(x)的图象与x轴没有交点，不符合题意；

当加=-相时，/(1)=-^<0,函数/(x)的图象与x轴恰好围成一个直角三角形，符合题意.

综上，可得m=-相♦

18.(1)见解析，x2=2y,xe[O,1]；(2)P(6一1,2-右)时，视角NEP尸最大.

【解析】

(1)以4为原点，/1为x轴，抛物线的对称轴为)，轴建系，设出方程，通过点3的坐标可求方程；

(2)设出P的坐标，表示出tanNEPF,利用基本不等式求解tanNEP尸的最大值，从而可得观测点P的坐标.

【详解】

(1)以A为原点，6为x轴，抛物线的对称轴为)，轴建系

由题意知：B(l,0.5),设抛物线方程为r=2py

代入点8得：p=l,故方程为f=2y,xe[0,1]；

(2)设P(衣,产)，/£[0,也],作尸。_L/3于。，记NEPQ=a,NFPQ=。

2

EQ="+1,PQ=2-产，FQ=1-6

"+ii-M

tan(a+4)=tana+W=2^——2^r=一厂)

tan/EPF=

1-tanciftan/?1-2/2t-2厂+3

।一(272)2

3

令2—产/=2—x，贝！I：

2

2x2x2〈小+1

tan/EPF

(2—x)**+2x—1—2x+3x+--22

X

当且仅当即即y=2—5即”早时取等号;

故尸(后—1,2-6)时视角NEP尸最大，

答：P(6—I,2-石)时，视角NEP尸最大.

【点睛】

本题主要考查圆锥曲线的实际应用，理解题意，构建合适的模型是求解的关键，涉及最值问题一般利用基本不等

式或者导数来进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.

19.(1)x2+y2=—(2)>/6

【解析】

试题分析：(1)确定圆。的方程，就是确定半径的值，因为直线AP与圆。相切，所以先确定直线方程，即确定点P

331

坐标：因为轴，所以尸根据对称性，可取则直线AP的方程为y=/(x+2),根据圆心到

切线距离等于半径得一(2)根据垂径定理，求直线P。被圆。截得弦长的最大值，就是求圆心。到直线PQ的

\b\3

距离的最小值.设直线PQ的方程为y=kx-{-b,则圆心。到直线PQ的距离d=下白，利用kopM=-二得

3芯%+4%%=0,化简得(3+4二)西々+4奶(玉+々)+4/=0,利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达

定理得2/=4k2+3,因此d=二—一^‘当左=0时，4取最小值，PQ取最大值为".

试题解析：解：(D

->2

因为椭圆。的方程为土+匕=1,所以4—2,0),尸(1,0).

43

3

因为P尸，x轴，所以P(l,±j),而直线AP与圆。相切，

3

根据对称性，可取P(1,Q),

则直线AP的方程为y=；(x+2),

即x-2y+2=0.

由圆。与直线AP相切，得「=有,

所以圆。的方程为/+丁=1.

(2)

易知，圆。的方程为一+丁=3.

3

①当PQJ-x轴时，kop•kOQ=—kop~―――9

所以％=士争

此时得直线PQ被圆。截得的弦长为蛀.

7

②当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为>=履+工?（不弘）,。。2，%）区々工0），

3

首先由kop-koQ=_%,得3工M2+4%为=°，

即3玉工2+4（^,+b）（kx2+b）=0,

所以（3+4左2）工］工2+4M（玉+々）+4/=0（*）.

y-kx+b

联立｛/y2,消去x,得（3+4左2）/+8助X+4〃-12=0,

---F--1

43

将X+x2=——、,尤］%2=———上代入（*）式，

1-3+4/-3+4/

得2/=4左2+3.

由于圆心。到直线PQ的距离为d

所以直线PQ被圆。截得的弦长为/=2，T彳=,4+后片，故当％=0时，/有最大值为卡.

综上，因为卡＞令红，所以直线PQ被圆。截得的弦长的最大值为卡.

7

考点：直线与圆位置关系

20.(1)AO的长为4(2)立

3

【解析】

(1)分别以所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A一町2,

设仞=r,根据向量垂直关系计算得到答案.

(2)计算平面。“P的法向量为〃=(1,1/)，A3=(3,0,0)为平面PZM的一个法向量，再计算向量夹角得到答案.

【详解】

(1)分别以A6,AP,A。所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

设AD=f,则A(0,0,0),E(0,2,1^,C(3,0,/),P(0,4,0),

所以AE=(0,2,；),PC=(3,—4,/).,因为AEJ_PC,所以AE.PC=0，

即16-*=0,解得f=4,所以AO的长为4.

(2)因为BM=1，所以"(3,0,1),又P(0,4,0),D(0,0,4),

故OP=(0,4,-4),OM=(3,0,-3).

n±DP,[4y-4z=0,

设〃=(x,y,z)为平面£>A/尸的法向量，则〈即个八

nVDM,[3x-3z=0,

取z=l,解得y=L%=i,

所以〃=(1,1,1)为平面OA加的一个法向量.

显然，A8=(3,0,0)为平面的一个法向量，

则cos〈〃,48〉=nAB=—,=2====B,

\n\\AB\3J1+1+13

据图可知，二面角加一一A的余弦值为走.

3

【点睛】

本题考查了立体几何中的线段长度，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

2249-折49+V97-

21.(1)土+匕=1；(2)

43-^8­48-

【解析】

(1)由已知短轴长求出b,离心率求出“，c关系，结合a2=/j2+c2,即可求解;

(2)当直线4的斜率都存在时，不妨设直线4的方程为y=左(尤-1),攵。1,直线4与椭圆方程联立，利用相交弦长

公式求出IP。I,斜率为卷，求出|MN|,得到^^关于人的表达式，根据表达式的特点用判别式法求出

范围，当《4有一斜率不存在时，另一条斜率为±1,根据弦长公式，求出^即可求出结论.

【详解】

(1)由2/?=26得匕=6，又由[得3a2=4〃，

a'a'4

22

则/=4,6=3,故椭圆C的方程为工+匕=1.

43

(2)由(1)知产(1,0),

①当直线44的斜率都存在时，

由对称性不妨设直线乙的方程为y=-x-1),攵声1,

[)：­)=>(4/+3卜2一8-+4/-12=0,