重难点01 相交线与平行线的三个模型与压轴题归类（解析版）

重难点01相交线与平行线的三个模型与压轴题归类相交线与平行线的三个模型与压轴题：熟悉猪蹄、铅笔、锯齿这三个基本模型以及对应的结论，能够将题目中涉及的基本模型抽象出来，谨记解决这类题的通用辅助线作法，即添加已知直线的平行线；期末试卷中通常会考察1道小题和1道大题（压轴题），多涉及角度的计算、角之间的数量关系的探究以及三角形旋转下的平行问题；若小题中涉及基本模型，则可直接套用结论，若大题中涉及基本模型，则不行，需添加一条或多条平行线作为辅助线，严格按照平行线的性质定理推导出结论（注意：在大题中，结论虽不能直接使用，但可以起到快速熟悉题目考点，理清题目逻辑，降低题目难度的作用）；若涉及旋转问题，大多情况下需要分类讨论，先将题目中描述的整个旋转过程在脑海中过一遍，提升自己的空间想象能力，再按照次序描绘出各种可能情形下的图像去解题，提升自己数形结合的能力。【模型1猪蹄模型】1．（2023·松原·一模）已知，一个含有角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若，则度．【详解】解：如图，过直角顶点作，，，，，，，．故本题答案为：25．2．（2022·石家庄·二模）如图，有，，三地，地在地北偏西方向上，，则地在地的A．北偏东方向 B．北偏东方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向【详解】解：如图，过点作，，，，，，，，地在地的北偏东方向．故本题选：．3．（2022·宜宾·一模）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．（1）导入：如图①，已知，如果，，那么；（2）发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由；（3）运用：如图③，已知，，点、分别在、上，，如果，那么；如图④，已知，点、分别在、上，、分别平分和．如果，那么；如图⑤，已知，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么．（用含的代数式表示）【详解】解：（1），，，，故本题答案为：60；（2），理由如下：如图，过点作，，，，；（3），由（2）的结论可得：，，，，，，，，故本题答案为：60；，由（2）的结论可得：，，、分别平分和，，，，，，，，故本题答案为：128；、分别平分和，，，，由（1）知：，，，即，，，，即，，，，故本题答案为：．4．（2022·射洪·期末）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．（1）如图1，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．（2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，已知，，点在上，，请你说明；（把下面的解答补充完整）解：因为所以因为又因为所以即所以由（1）知（3）【拓展延伸】如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为．【详解】解：（1），理由如下：如图，过点作，，，，，，；（2）解：因为，所以（两直线平行，同旁内角互补），因为（平角的定义），又因为，所以（等角的补角相等），即，所以，由（1）知，，故本题答案为：，两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；，；等角的补角相等；（3）平分，平分，，，，由（1）知：，即，，，即，，，，即，，，故本题答案为：．【模型2铅笔模型】1．（2022·淄博·一模）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于A． B． C． D．【详解】解：如图，过点作，则，，，．故本题选：．2．（2022·揭阳·月考）观察图形：已知，在第一个图中，可得，则按照以上规律，度．【详解】解：，，如图2，过点作，，，，，，；如图3，过点作，过点作，，，，，，，；．则按照以上规律，．故本题答案为：．3．（2022·随州·期末）已知，点在射线，之间．（1）如图1，若，，小聪同学过点作，利用平行线的性质，求得度；（2）如图2，请写出你发现的，，之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，平分交于点，平分交于点，交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由．【详解】解：（1），，，，，，，，，，故本题答案为：120；（2），证明：如图，过点作，，，，，，；（3），理由如下：平分，平分，，，，，由（2）得：，，，，．【模型3锯齿模型】1．（2023·常州·期中）如图，，是直线、间的一条折线．若，，，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：如图2，过作，，，，，，，，，．故本题选：．2．（2021·雅安·期末）如图，，，探索图中角，，之间的关系式正确的是A． B． C． D．【详解】解：如图，过点作，过点作，，，，，，①，②，由①②得：．故本题选：．3．（2021·沈阳·期中）解答下列问题．（1）探究（1）如图，若，求证：．（2）若将点移至图所示位置，请证明此时、、之间有何关系？（3）若将点移至图所示位置，直接写出此时、、之间有什么关系？（4）图中，，与有何关系？将结论推广到图又如何？请直接写出2个图的结论．【详解】（1）证明：如图，过点作，，，，，，；（2）解：、、之间的关系是：，理由如下：如图，过点作，，，，，，，即；（3）解：、、之间的关系是：，理由如下：如图，过点作，，，，，，，即；（4）与的关系是：，理由如下：如图，过点作，由（1）可知：，，，，，，即，由上述的结论得：．【压轴1求角度】1．（2022·滁州·期末）已知：直线分别与直线，相交于点，，并且．（1）如图1，求证：；（2）如图2，点在直线，之间，连接，，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，射线是的平分线，在的延长线上取点，连接，若，，求的度数．【详解】（1）证明：如图1，，，，；（2）证明：如图2，过点作，，，，，；（3）解：如图3，令，，则，，射线是的平分线，，，，，，过点作，则，，，，，，，，．2．（2022·哈尔滨·期末）已知：直线分别交直线，于点，，且．（1）如图1，求证：；（2）如图2，点，分别在射线，上，点，分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，平分，且平分，若，求的度数．【详解】（1）证明：，，，；（2）证明：如图，过作，，，，，，，；（3）解：如图，过作，过作，，，平分，，设，，平分，，，，，，，，，，，．【压轴2探究角之间的数量关系】1．（2022·武汉·期末）已知，点，分别在直线，上，点在直线上方．问题探究：（1）如图1，，证明：；问题拓展：（2）如图2，，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点，请写出和之间的数量关系，并证明．问题迁移：（3）如图3，，直线分别交，于点，，若点在线段上，且，请直接写出，和之间满足的数量关系（用含的式子表示）．【详解】（1）证明：如图，是的外角，，，，；（2）解：如图，，理由如下：，，，平分，，，设，则，，，平分，，设，则，，，是的外角，，，；（3）解：如图，，，，，，，和之间满足的数量关系是．2．（2023·昆明·期中）如图1，直线分别交直线、于点（点在点的右侧）．若．（1）求证：；（2）如图2，点在直线、之间，过点作于点，若平分，，求的度数；（3）如图3，直线与直线、分别交于点、，若，点为线段上一动点，为线段上一动点，请直接写出与，之间的数量关系．（题中的角均指大于且小于的角）【详解】（1）证明：，，（同角的补角相等），（同位角相等，两直线平行）；（2）解：如图2，过点作，则，，即，，，，平分，，，，；（3）解：如图，当点在线段上时，过点作，则，，，；如图，当点在的延长线上时，过点作，则，，，；如图，当点在的延长线上且点在直线的右侧时，过点作，则，，，；如图（2），当点在的延长线上且点在直线的右侧时，过点作，则，，，；综上，与，之间的数量关系为：或或．【压轴3旋转问题】1．（2022·重庆·期末）已知，点在上方，点在下方，分别以、为顶点作，的两边交于、（点在点的左边），的两边交于、（点在点的左边），、交于点，、交于点．（1）如图1，若，，则，；（2）如图2，、的角平分线交于点，交与，、的角平分线交于点交．试探索、之间的数量关系并说明理由；（3）在（1）的条件下，把绕点顺时针方向旋转，每秒钟转，与此同时绕点逆时针方向旋转，每秒钟转．当旋转到边首次与平行时，两个三角形都停止转动．在转动过程中，设旋转时间为秒，当所在的直线与的边平行时，请直接写出的所有可能的值．【详解】（1），；（2），理由如下：在四边形中，，，如图，过作，则，，，，同理可得：，、分别平分、，，，，设、交于点，过作交于点，则，，，、分别平分、，，，，，；（3），当时，，当时，，当时，，，12，21．2．（2022·重庆·期末）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交射线、于点、．（1）如图1，当时，求的度数；（2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；（3）如图3，当，且，时，作的角平分线．把一三角板的直角顶点置于点处，两直角边分别与和重合，将其绕点点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出的值．【详解】解：（1）如图，过点作，，，，，，，，；（2）如图，过点作，过点作，设，则，，，设，则，，，，，，，；（3）①若，则，到达前，如图：，，，解得：；返回时，如图：，，，解得：；②当时，如图：，，解得：；③当时，如图：同理可得：，解得：；④当时，如图：，解得：；综上，的值为10或15或或或35．1．（2022·凯里）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：如图，过直角的顶点作，交于点，交于点，则，四边形是矩形，，，，，，，．故本题选：．2．（2023·泰安·一模）如图，，，，则为A． B． C． D．【详解】解：如图，过点作，，，，，，．故本题选：．3．（2022·石家庄·期末）如图，若直线，那么A． B． C． D．【详解】解：如图，令与互补的角为，，，，，．故本题选：．4．（2022·内江·期末）（1）【问题】如图1，若，，．求的度数；（2）【问题迁移】如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数．【详解】解：（1）如图1，过点作，，，．，又，，；（2），理由如下：如图2，过点作，则，，，，，，，即；（3）如图3，过点作的平行线．，，，，，又的平分线和的平分线交于点，，，同（1）易得：，，．5．（2022·洛阳·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能．（1）阅读理解：如图1，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点作，，，，．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．（2）方法运用：如图2，已知，求的度数；（3）深化拓展：已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在直线与之间．①如图3，点在点的左侧，若，求的度数．②如图4，点在点的右侧，且，．若，求度数．（用含的代数式表示）【详解】解：（1），，（两直线平行，内错角相等），故本题答案为：；；（2）如图，过作，，，，，，，；（3）①如图，过作，，，，平分，，，平分，，，，；②如图，过作，，，，平分，，，，，，．6．（2022·江门·期末）如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；（2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．①当点在点的右侧时，若，求的度数；②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【详解】解：（1）平分，，又，，；（2）①如图2，，，，又平分，平分，，，，又，中，，即；②分两种情况讨论：如图2，当点在点的右侧时，，证明：，，又平分，平分，，，，又，中，，即；如图3，当点在点的左侧时，，证明：，，又平分，平分，，，，又，中，，即．7．（2022·咸宁·期末）已知，是截线上的一点，与、分别交于、．（1）若，，求的度数；（2）如图1，当点在线段上运动时，与的平分线交于，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；（3）①如图2，当点在线段的延长线上运动时，与的平分线交于，求的值；②当点在直线上运动时，与的等分线交于，其中，，设，求的度数（直接用含，的代数式表示，不需说明理由）【详解】解：（1）如图，当点在线段，之间时，过点作，，，，，，；当点在的上方时，可得：；综上，为或；（2），由（1）可知，，，，同理可得：，又，分别平分与，，，，；（3）①如图，过点作，过点作，，，．，，，同理可得：，又，分别平分与，，，，；②，理由如下：分三种情况讨论：（Ⅰ）如图，当点在线段的延长线上运动时，可得：，，，，，；（Ⅱ）如图，当点在线段上运动时，可得：，．，，，；（Ⅲ）如图，当点在线段的延长线上运动时，可得：，，，，，；综上，．8．（2022·金华·期末）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．（1）如图1，若，，则，．（2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每