第7章 锐角三角函数 重难点检测卷（解析版）

第7章锐角三角函数重难点检测卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）若锐角，则的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据30度角的正弦值为即可得到答案．【详解】解：∵，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟知30度角的正弦值是解题的关键．2．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）在中，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值．【详解】如图，

∵在中，，，∴．故选：D．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．3．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，在中，，，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用勾股定理求得斜边的长，然后利用三角函数的定义即可求解．【详解】解：，则，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理以及三角函数，理解三角函数的定义是关键．4．（2015秋·江苏苏州·九年级阶段练习）如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】根据余弦的定义即可求解．【详解】由题意可知．∵，米，∴米．故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握余弦的定义并利用数形结合的思想是解题关键．5．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，放在小正方形边长为1网格中，点A，B，C在格点上，则（

）

A． B． C．2 D．【答案】B【分析】利用网格得出是特殊的锐角，即，进而可求出其正弦值．【详解】解：根据网格的性质，可得，，故选：B．【点睛】考查锐角三角函数的意义，特殊锐角三角函数值，掌握锐角三角函数的意义，记住特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．6．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形的性质得到，，连接AF，由作图知，DE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，推出，根据等面积法即可解答．【详解】解：在中，，，，∴，，连接AF，由作图知，DE垂直平分AC，

∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了基本作图思想，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．7．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，小明站在点C处测得树顶A的仰角为，若小明的测量点到地面距离，测量点与树底距离，则这棵树的高度是（

）A．6m B．m C．m D．m【答案】D【分析】在中，利用正切函数的定义即可求解．【详解】解：∵，，，∴四边形是矩形，∴，，在中，，，∴，∴，故选：D．【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确构造直角三角形并熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．8．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】设，交于点，根据矩形的性质以及以点，为圆心，线段，长为半径画弧得到，，设，故，在中求出的值，从而得到，从而得到，即可求得答案．【详解】解：设，交于点，由题意得，，，四边形是矩形，，，，，设，故，在中，，即，解得，，，，，．

故选：C．【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到是解题的关键．9．（2023春·江苏盐城·九年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值()

A． B． C． D．【答案】B【分析】，先得到，作点的对称点，作，所以，可得，可得当、、共线时，最小，进而可求得．【详解】解：如图，作点的对称点，作于点，

一次函数交轴于点，当时，，当时，，，，，，，，，在的延长线上取，，作于，，，当、、在同一条直线上时，最小，过点作于，在中，，，最小值是，最小值是，故选：B．【点睛】本题考查了“胡不归”问题，即形式问题，解决问题的关键是根据三角函数构造出或．10．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（

）

A． B． C． D．10【答案】B【分析】过点C作，过点B作，需使最小，显然要使得和越小越好，则点F在线段的之间，设，则，求得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：过点C作，

∵，，∴，过点B作，∵，∴四边形是矩形，∴，需使最小，显然要使得和越小越好，∴显然点F在线段的之间，设，则，∴，∴当时取得最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数应用，矩形的判定和性质，解直角三角形，利用二次函数的性质是解题的关键．二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）若为锐角，且，．【答案】/45度【分析】直接根据进行解答即可．【详解】解：∵为锐角，且，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．12．（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）在正方形网格中，如图放置，则的值为.【答案】/【分析】在中利用正切函数的定义即可求解．【详解】解：在中，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，正切函数的定义．构造直角三角形是解题的关键．13．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）在中，，，若将三边都扩大3倍得到，则【答案】/0.6【分析】根据正弦函数的定义求解即可．【详解】解：根据题意得，若将三边都扩大3倍得到，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查正弦函数的定义，理解正弦函数的定义是解题关键．14．（2023·江苏盐城·校联考二模）如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯的坡度，李老师乘扶梯从底端A以的速度用时到达顶端B，则李老师上升的垂直高度为．

【答案】/【分析】设，根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵扶梯的坡度，设，∴，由题意得：，由勾股定理得：，即，解得：（负根已舍去），则（m），故答案为：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为km．（结果保留根号）

【答案】【分析】过点作交于点，过点作，根据题意，则，，，求出，，根据勾股定理求出，再根据，，即可．【详解】过点作交于点，过点作，∴，，∵，，∴，∴，∴在中，，∴，∴，∵，∴，，∴，∵（），∴，∴∴（），∵，∴（），∴．故答案为：．

【点睛】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是掌握解直角三角形，勾股定理，锐角三角形三角函数的知识．16．（2022·江苏南京·九年级统考自主招生）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在，上运动，以每秒个单位的速度从点出发，设运动时间为，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），则的值为．

【答案】或【分析】分两种情况，当点恰好落在矩形的对角线上时，连接，由翻折及点为中点可得，再利用平行线分线段成比例计求解；当点恰好落在矩形的对角线上时，证明，推出，据此即可求解．【详解】解：当点恰好落在矩形的对角线上时，连接，如图

由翻折可得，∵点为中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；如图，当点恰好落在矩形的对角线上时，作于点，由折叠的性质知，∴四边形是矩形，

∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，解得．故答案为：或．【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，折叠的性质，掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长的一半是解题的关键．17．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）等边边长为6，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为．【答案】/【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小．【详解】解：如图，连接，、都是等边三角形，，，，，，，，如图，作点关于的对称点，连接，，则，，当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，，．周长：．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．18．（2023·江苏扬州·校考三模）在边长为的正方形中，点是边上的动点（不与重合），连接，将沿向右翻折得，连接和，若为等腰三角形，则的长为

【答案】或【分析】分两种情形讨论，当时，过F作交于点，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可；当时，求得，在中，解直角三角形即可求解．【详解】解：当时，如图，过F作交于点，则，

∵正方形，∴，∴四边形、都是矩形，∴，，，设，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，，，∴（较大值舍去），∴可得此时；当时，如图，过F作交于点，则，过F作交于点，

∴，同理，四边形、、都是矩形，在中，由题意可得：，∴，∴，∵，∴，∴，在中，；综上所述，的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找点F的位置，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．三、解答题（10小题，共64分）19．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）计算：．【答案】【分析】根据特殊的三角函数值，代入求解即可．【详解】解：原式，，，．【点睛】本题主要考查特殊的三角函数值的混合运算，熟练记忆所有特殊三角函数值是解题的关键．20．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，某测量队采用无人机技术测量无法直达的，两处的直线距离，已知在无人机的镜头处测得，的俯角分别为和，无人机的飞行高度为米，点，，在同一直线上，求的长度（结果保留整数，参考数据：，）．【答案】米【分析】根据特殊角的直角三角形的性质，平行线的性质，正切的计算方法即可求解．【详解】解：由题意可得，，，在中，，∴，∴米，在中，，，解得，∴（米）．∴的长度为米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，掌握直角三角形的性质，平行线的性质，正切值的计算方法是解题的关键．21．（2022·江苏·九年级专题练习）已知：如图，在中，求的值．【答案】【分析】根据勾股定理求，再根据余弦的定义求得．【详解】解：在中，∴，∴．【点睛】本题主要考查勾股定理、余弦的定义，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义是解决本题的关键．22．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）（1）在中，，求和的长；（2）在中，，解这个直角三角形．【答案】（1），；（2），，．【分析】（1）利用及其正切值，即可求出和的的长；（2）利用勾股定理求出的长，再利用正弦函数的定义即可求出直角三角形的另外两个角的度数．【详解】（1）解：∵在中，，即，∴，∴，∴，；（2）解：在中，由勾股定理可知：，∵，∴，．【点睛】本题主要是考查了应用锐角三角函数值解直角三角形，熟练掌握三角函数对应的各边之比以及特殊角的三角形函数值，这是解决本题的关键．23．（2022春·江苏·九年级专题练习）某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：）【答案】20米【分析】延长EF交AB于点G，设AB为x，利用三角函数解直角三角形用x表示出EG、AC，根据CD=EG﹣AC列出方程求出x即可．【详解】延长EF交AB于点G，如图，设AB=x米，则BG=AB﹣2=（x﹣2）米，在Rt△BGE中，EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG=，在Rt△BAC中CA=AB÷tan∠ACB=，则CD=EG﹣AC=，解得：．答：大树AB的高约为20米．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键．24．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，是边上一点，，，设．

(1)求、、的值；(2)若，求的长．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据勾股定理求得，进而根据三角函数的定义，即可求解；（2）根据，求得,根据，即可求解．【详解】（1）解：在中，，，．，，；（2）在中，，即，，．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．25．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，中，．

(1)用尺规在图中作出菱形，其中点D在边上，点E在边上，点F在边上；(2)若（1）中所作菱形边长为5，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先作的角平分线，再作的垂直平分线分别交、于点D、F，再连接和即可；（2）根据菱形的边长和，求出，从而求出的长即可．【详解】（1）解：如下图所示，四边形即为所求作的菱形：

（2）∵四边形是边长为5的菱形，∴，∴．又∵，即，∴，∴，∴．【点睛】本题考查尺规作图作角平分线和垂直平分线，菱形的判定，解直角三角形等知识，正确作出这个菱形是解题的关键．26．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．

(1)在图1中作出边上的点E，使得；(2)在图2中作出边上的点F（不与点A重合），连接，使得；(3)在图3中作出边上的点G，使得．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）构造线段，且使，连接，交于点E．利用相似三角形的性质即可证明点E是符合条件的点；（2）过点A作，交于点F．连接，利用直角三角形的性质可证明点F是符合条件的点；（3）取格点K，连接，交网格线于点G，连接，取格点M，N，利用相似三角形、勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以证得点G是符合条件的点．【详解】（1）解：如图所示，取，，连接，交于点E．

∵，∴∴，∴，∴点E就是所求作的符合条件的点．（2）解：如图所示，过点A作，交于点F，连接，

∵于点F，∴，∵点D是的中点，∴，∴，∴点F就是所求作的符合条件的点．（3）解：如图所示，取格点K，连接，交网格线于点G，连接，取格点M，N，

∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴在中，，∴；【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，利用正方形网格构造相应的相似三角形和直角三角形是解题的关键．27．（2023·江苏·九年级假期作业）在正方形中，点H在对角线上（与点B、D不重合），连接，将绕点H顺时针旋转与边（或延长线）交于点P，作交射线于点Q．

(1)如图1：①依题意补全图1；②判断与的数量关系并加以证明；(2)若正方形的边长为，当时，试求的度数．【答案】(1)①图见解析，②，见解析(2)或【分析】（1）①由题意画出图形即可，②先由旋转得出，然后判断出，再得出即可；（2）分两种情况计算，先由三角函数求出，再求出，最后得到或．【详解】（1）解：①依题意，补全图形，如图1所示，

②，∵绕点H顺时针旋转，与边（或延长线）交于点P，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）①如图2，当点P在边上时，连接，

∵正方形的边长为，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，②如图3，当点P在边的延长线时，连接，

∴，∵，∴，∴的