专题14一次函数的应用（4个知识点3种题型2种中考考法）（解析版）

专题14一次函数的应用（4个知识点3种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.用待定系数法确定一次函数的表达式（重点）知识点2.一次函数图象的应用（重点）知识点3.一次函数与一元一次方程的关系（难点）知识点4.两个一次函数图象的应用（重点）【方法二】实例探索法题型1.一次函数的表达式的应用题型2.一次函数在生活应用中的方案选择问题题型3.运用一次函数模型解决实际问题【方法三】仿真实战法考法1.一次函数的表达式考法2.一次函数图象的应用【方法四】成果评定法【学习目标】会求一次函数和正比例函数的表达式，并会解决有关问题。掌握一次函数与一元一次方程之间的关系，并能利用一次函数的图象确定方程的解。能通过函数图象获取信息，求出一次函数表达式，解决简单的实际问题。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.用待定系数法确定一次函数的表达式（重点）1.正比例函数的表达式为y=kx(k为常数k≠0)，只有一个待定系数k，因而只需一个条件就可以求得k的值，从而确定表达式。2.一次函数一次函数的表达式y=kx+b(k、b为常数k≠0)中，只有确定k,b的值，才能得到表达式，所以利用待定系数法确定一次函数的表达式时需要两个条件，即两个变量的两对对应值才能求出k和b的值，从而确定表达式。特别提醒：在正比例函数y=kx(k为常数k≠0)中，只有一个待定系数k，只需要一个除(0，0)外的条件即可求出k的值，在一次函数y=kx+b(k、b为常数k≠0)中，有两个待足系数k,b因而需要两个条件才能求出k和b的值.【例1】（2023秋·广西崇左·八年级校考阶段练习）已知一次函数图象经过两点，求一次函数的解析式．【答案】【分析】利用待定系数法求函数解析式．解：设一次函数的解析式为，则，解得，∴一次函数的解析式为．【点拨】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握利用待定系数法求解析式的方法是解题的关键．【变式】（2023秋·广东广州·八年级广东实验中学校考阶段练习）已知一次函数的图象经过点，且与直线的交点在x轴上．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先确定直线与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）先求出一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式求解即可．解：（1）将代入，得解得∴直线与x轴的交点为∵一次函数的图象与直线的交点在x轴上∴一次函数的图象经过点∵一次函数的图象经过点，∴将，代入得，，解得∴；（2）当时，∴与y轴的交点坐标为∴此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为．【点拨】本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图像性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．知识点2.一次函数图象的应用（重点）【例2】（2022春·福建福州·八年级校联考期中）电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月电量分段收费的办法，已知某户居民每月应缴电费（元）与用电量（度）的函数图象是一条折线（如图），根据图象解答下列问题：

（1）当该用户某月用电50度，则应缴费______元．（2）求与之间的函数关系式；【答案】（1）32.5；（2）【分析】（1）利用“单价总价数量”可得时的单价，进而得出用电50度的电费；（2）利用待定系数法解答即可．（1）解：当时，每度电的价格为：（元），用电50度，则应缴费（元），故答案为：32.5；（2）解：由（1）可知，当时，；当时，设电费（元）关于用电量（度）的函数关系式是，，解得，即当时，电费（元）关于用电量（度）的函数关系式是，由上可得，电费（元）关于用电量（度）的函数关系式是．【点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答．知识点3.一次函数与一元一次方程的关系（难点）一次函数y=kx+b(k、b为常数k≠0)与一元一次方程kx+b=0(k,b为常数,k≠0)的关系数:函数y=kx+b,函数值y=0时自变量x值是方程kx+b=0的解;形:函数y=kx+b图象与x交点的横坐标是方程kx+b=0的解.特别提醒：实际问题中的函数图象一般是射线或线段,需结合题薏理解它们的图象是射线或线段的原因，应用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型,同时注意实际问题中自变量的取值范围要使实际问题有意义。【例3】（2022秋·八年级课时练习）利用函数图象解下列方程（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案；（2）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案．（1）解：将变化为，画出函数的图象，如图，直线与x轴的交点坐标为，即方程的解为；（2）解：将变化为，画出函数的图象，如图，直线与x轴的交点坐标为，即方程的解为．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想．【变式】利用函数图象解下列方程（1）0.5x﹣3＝1 （2）3x﹣2＝x+4【思路导引】把0.5x﹣3＝1变化为y＝_______画出函数y＝_______的图象，求得函数和x轴的交点．【答案】（1），（2）【分析】把解方程问题转化为一次函数与x轴的交点问题．解：（1）把0.5x﹣3＝1变化为y＝0.5x﹣4，画出函数y＝0.5x﹣4的图象，如图，直线y＝0.5x﹣4与x轴的交点坐标为（8，0），所以方程0.5x﹣3＝1的解为x＝8；（2）把3x﹣2＝x+4变化为y＝2x﹣6，画出函数y＝2x﹣6的图象，如图，直线y＝2x﹣6与x轴的交点坐标为（3，0），所以方程3x﹣2＝x+4的解为x＝3．【点拨】此题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值．从图象上看,相当于已知直线确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想．知识点4.两个一次函数图象的应用（重点）1.在同一直角坐标系中,同时出现两个一次函数的图象,即两条直线,利用所给图象的位置关系、交点坐标、与x轴和y轴的交点坐标等读取其中所要表达的信息，一般出现在比如产量速度、资费等问题中，关键是要理解交点坐标的含义。2.用表格表示如下看图象获取信息两个一次函数，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为当自变量的值时，函数值，即对同一自变量的值，图象在上面的函数值大；当自变量的值时，函数值，即对同一自变量的值，图象在下面的函数值小【例4】（2023•汉阳区校级模拟）早上9点，甲车从地出发去地，20分钟后，乙车从地出发去地．两车离开各自出发地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示，下列描述中不正确的是A．两地相距240千米 B．乙车平均速度是90千米小时 C．乙车在到达地 D．甲车与乙车在早上10点相遇【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，两地相距240千米，故选项正确，不符合题意；乙车的平均速度为：（千米小时），故选项正确，不符合题意；乙车到达地的时刻为：，故选项正确，不符合题意；甲车的平均速度为：，则甲车与乙车在早上点48分相遇，故选项不正确，符合题意；故选：．【变式1】（2023•汉南区校级模拟）甲、乙两人以相同路线前往距学校的地方参加帮扶活动，如图2中、分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程随时间变化的函数图象，则内每分钟甲比乙少行驶A． B． C． D．【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙的速度，然后作差，即可得到内每分钟甲比乙少行驶的路程．【解答】解：由图象可得，甲的速度为：，乙的速度为：，故内每分钟甲比乙少行驶：，故选：．【变式2】（2023•东西湖区模拟）如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往地，甲到达地后立即以原速沿原路返回，乙到达地后停止运动，已知运动过程中两人到地的距离与出发时间的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后小时第一次相遇．A．1 B．1.5 C．2 D．6【分析】先根据题意求出甲、乙的速度，再设出发后甲、乙相遇，根据相遇时甲的路程乙的路程列出方程，解方程即可．【解答】解：由图可知：甲10小时所走路程是，甲的速度是，出发时甲距地80千米，乙距地60千米，出发时乙在甲前方，由图可得乙的速度是，设出发后甲、乙相遇，则，解得，甲乙两人在出发后2小时第一次相遇，故选：．【变式3】（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点．（1）求点坐标；（2）求的面积；（3）在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）12；（3）的坐标为或【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标；（2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积．（3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标．解：（1）由直线可知：令，则，∴；（2），∴点与轴的距离是4，∵，的面积；（3）存在；∵直线，∴，，，，，当点在线段上时设，=

，，的横坐标为或2（舍去），代入直线得，，的坐标为，当点在线段延长线上时，设，=，

，，的横坐标为或6（舍去），代入直线得，，的坐标为．综上所述：的坐标为或．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想．【方法二】实例探索法题型1.一次函数的表达式的应用1.（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，直线：过点，并且分别与轴，轴相交于点和点．

（1）求的值；（2）将直线向上平移个单位得直线，若为直线上一点，且，求点的坐标．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）把代入即可求解；（2）根据平移的规律求得平移后的解析式，根据解析式设出，然后根据三角形面积公式得到，解得的值，从而求得的坐标．（1）解：∵直线：过点，∴，解得：；（2）解：∵，∴直线：，当，则，解得；∴点的坐标为，将直线：向上平移个单位得直线：，设的坐标为，∵，∴，∴，解得或，∴或．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的面积等，求得平移的直线的解析式是解题的关键．2.（2023春•滦南县期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，以线段为边在第一象限内作等腰，．（1）的面积是；（2）点的坐标是；（3）过，两点直线的函数表达式为．【分析】（1）根据题意求得与坐标轴的交点坐标，进而根据三角形的面积公式求解即可；（2）过点作轴，垂足为，证明，继而求得的坐标，（3）待定系数法求解析式即可．【解答】解：（1）由，令，则，令，则，，，，，，故答案为：3；（2）如图，过点作轴，垂足为，等腰，，，，，，，，，，，，故答案为：；（3）设直线解析式为，则，解得，设直线解析式为，故答案为：．3.（2022秋•高碑店市期末）如图，直线分别与，轴交于．两点，过点的直线交轴的负半轴于点，且．（1）点的坐标为；（2）直线的函数解析式为；（3）若点在的内部（包括边界），则的取值范围为．【分析】（1）先求出直线的解析式，确定点的坐标，进而确定点的坐标；（2）利用待定系数法确定解析式即可；（3）先确定点所在的直线，再求此直线与直线的交点，与轴的交点，根据的的横坐标（或纵坐标）应处于两个交点横坐标（或纵坐标）之间，列出不等式组，解出即可．【解答】解：（1）点在直线上，，解得，线，当时，，点的坐标为，，，，点在轴的负半轴上，点的坐标为，故答案为：；（2）设直线的函数解析式为，其图象过点，，解得直线的函数解析式为，故答案为：；（3）点，点在直线上，令，则，解得，直线与轴的交点为，解，得，直线与直线的交点为，，解得．的取值范围是．故答案为：．题型2.一次函数在生活应用中的方案选择问题4.（2023春·八年级课时练习）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：甲种货车乙种货车载货量（吨/辆）2520租金（元/辆）20001800请问：李老板最少要花掉租金（

）．A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元【答案】B【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可．解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得：，∵，∴，∴当时，y最小，最小值为：（元），即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确．故选：B．【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键．5.（2023春·上海·八年级专题练习）某公司手机话费收费有套餐（月租费元，通话费每分钟元）和套餐（月租费元，通话费每分钟元）两种．当月通话时间为（

）时，，两种套餐收费一样．A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟【答案】C【分析】根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式，再根据两种收费相同列出方程，求解即可．解：A套餐的收费方式：y1＝0.1x＋15；B套餐的收费方式：y2＝0.15x；由0.1x＋15＝0.15x，得到x＝300，故选C．【点拨】本题考查了一次函数的应用，是典型的电话收费问题，求出两种收费相同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键．6.（2023春·辽宁锦州·八年级统考期中）五一节快到了，甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了赴某地旅游的团体优惠方法，甲旅行社的优惠方法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠方法是：一律按7折优惠已知两家旅行社的原价均为每人200元．（1）分别表示出甲旅行社收费，乙旅行社收费与旅游人数x的函数关系式；（2）就参加旅游的人数讨论哪家旅行社的收费更优惠？【答案】（1）；；（2）当人数时，两家旅行社的收费一样多；当人数时，乙旅行社的收费较优惠；当人数时，甲旅行社的收费较优惠【分析】（1）设参加旅游的人数为x人，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元，列方程，解出即可．（2）先求出两家旅游社收费相同的人数，再分情况讨论即可．解：（1）设参加旅游的人数为x人，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元，则依题意得：，．（2）由得：，解得：，由得：解得：，由得：解得：，综上所述，当人数时，两家旅行社的收费一样多，当人数时，乙旅行社的收费较优惠．当人数时，甲旅行社的收费较优惠．【点拨】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息理解两家旅行社的优惠方案是解题的关键．7.（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材，经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．

（1）求y与x间的函数解析式；（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中甲种石材使用面积x（m2），设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x之间的函数解析式；（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的使用面积才能使总费用最少?总费用最少为多少元?【答案】（1）；（2）；（3）甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元【分析】（1）由图可知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．（2）由题意可知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可（3）设甲种石材种植为，则乙种石材种植，根据实际意义可以确定的范围，结合种植费用（元与种植面积之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．解：（1）①时，设，过，，，解得，，②时设过，，，解得，，；（2）解：由题意，得：当时，；当时，，故w与x的函数解析式为；（3）设甲种石材种植为，则乙种石材种植，，，设费用为元，，即，，随的增大而减小，即甲，乙时，．【点拨】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．题型3.运用一次函数模型解决实际问题8.（2023春·吉林长春·八年级校考期中）某鞋店销售A、B两种型号的球鞋，销售一双A型球鞋可获利80元，销售一双B型球鞋可获利110元．该鞋店计划一次购进两种型号的球鞋共60双（可以单独购进一种球鞋），将其销售完可获总利润为y元，设其中A型球鞋x双．（1）求y与x的函数关系式．（2）若本次购进B型球鞋的数量不超过A型球鞋的2倍，直接写出自变量x的取值范围．（3）在（2）的条件下，该鞋店如何安排购进方案可获得最大利润，并求出最大利润．【答案】（1）；（2）且x为正整数；（3）鞋店购进A型球鞋20双，购进B型球鞋40双，才能使销售利润最大，最大利润是6000元【分析】（1）根据A，B两种型号的球鞋获利单价列式整理即可；（2）根据题意，列出不等式，即可；（3）由函数关系式可得到随值的增加而减小，故根据A，B两种型号的球鞋的数量关系，解不等式求得最小值即可．（1）解：根据题意得，∴y与x的函数关系式为；（2）解：∵购进B型球鞋的数量不超过A型球鞋的2倍，∴，解得：，∴自变量x的取值范围为且x为正整数；（3）解：在中，∵，∴y随x的增大而减小，∵，∴时，y取最大值，最大值是（元），此时，答：鞋店购进A型球鞋20双，购进B型球鞋40双，才能使销售利润最大，最大利润是6000元【点拨】本题考查一次函数的增减性、一元一次不等式的应用等，明确题意，熟练掌握一次函数的性质及不等式的解法是解决本题的关键．9.（2023春·云南红河·八年级统考期末）为了做好校园消毒杀菌，某校共购买了20桶A、B两种桶装消毒液．已知A种消毒液300元/桶，每桶可供2000平方米的面积进行消毒杀菌，B种消毒液200元/桶，每桶可供1000平方米的面积进行消毒杀菌．设购买了A种消毒液x桶，在现有资金不超过5200元的情况下，如何购买消毒液，才能使消毒杀菌的面积S（单位：平方米）最大，并求出最大的消毒杀菌面积．【答案】购买A种消毒液12桶，种消毒液8桶，可消毒杀菌的面积最大，最大的消毒杀菌面积是32000平方米【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出消毒面积与购买A种消毒液桶数的函数关系，再根据现有资金不超过5200元，可以得到A种消毒液桶数的取值范围，最后根据一次函数的性质，可以得到消毒面积的最大值．解：现有资金不超过5200元，∴，且为整数．解得：，且为整数．根据题意得，，随的增大而增大．当时，取得最大值，此时．此时，即购买种消毒液8桶．答：购买A种消毒液12桶，种消毒液8桶，可消毒杀菌的面积最大，最大的消毒杀菌面积是32000平方米．【点拨】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质求最值．10.（2023秋·全国·八年级专题练习）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙、用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为x米，边的长为y米．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）若边的长为5米时，求长方形的边的长．【答案】（1）；（2）9.5米【分析】（1）根据长方形三边总长为24米列等式即可，再根据长方形的边长不能超过24米即可确定x的取值范围；（2）把代入一次函数求解即可．（1）解：由题意得：，，∵，即，则，∵，∴，则y与x之间的函数关系式为：；（2）解：当时，，答：长方形边的长9.5米．【点拨】本题考查一次函数的应用，根据题意找出等量关系求出函数关系式是解题的关键．【方法三】仿真实战法考法1.一次函数的表达式1．（2023•威海）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为．【分析】根据当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，可得当x＝0.5时，y＝30，设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，用待定系数法可得答案．【解答】解：∵当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，∴当x＝0.5时，y＝30，设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，把（0.5，30），（2，150）代入得：，解得，故答案为：y＝80x﹣10．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．考法2.一次函数图象的应用2．（2023•宁波）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．【分析】（1）求出大巴速度为＝40（km/h），即得s＝20+40t；令s＝100得a＝2；（2）求出军车速度为60÷1＝60（km/h），设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh，可得：60（2﹣x）＝100，即可解得答案．【解答】解：（1）由函数图象可得，大巴速度为＝40（km/h），∴s＝20+40t；当s＝100时，100＝20+40t，解得t＝2，∴a＝2；∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝20+40t，a的值为2；（2）由函数图象可得，军车速度为60÷1＝60（km/h），设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh，根据题意得：60（2﹣x）＝100，解得：x＝，答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为h．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．3．（2023•齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A，B两地之间的距离是千米，a＝；（2）求线段FG所在直线的函数解析式；（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）【分析】（1）用货车的速度乘以时间可得A，B两地之间的距离是60千米；根据货车到达B地填装货物耗时15分钟，即得a＝+＝1；（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法可得线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；（3）求出线段CD的解析式为y＝25x+25×＝25x+10（0≤x≤2），分三种情况：当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，分别解方程可得答案．【解答】解：（1）∵80×＝60（千米），∴A，B两地之间的距离是60千米；∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，∴a＝+＝1，故答案为：60，1；（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将F（1，60），G（2，0）代入得：，解得，∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；（3）巡逻车速度为60÷（2+）＝25（千米/小时），∴线段CD的解析式为y＝25x+25×＝25x+10（0≤x≤2），当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15，解得x＝；当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15，解得x＝；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，解得x＝；综上所述，货车出发小时或小时或小时，两车相距15千米．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．4．（2023•淮安）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km/h．两车之间的距离y（km）与慢车行驶的时间x（h）的函数图象如图所示．（1）请解释图中点A的实际意义；（2）求出图中线段AB所表示的函数表达式；（3）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．【分析】（1）由已知x，y的意义可直接得到A的实际意义；（2）求出B的坐标，再用待定系数法可得答案；（3）求出快车返回的速度，再根据路程，速度，时间的关系可得到达甲地还需多长时间．【解答】解：（1）A点的实际意义是，出发3小时，快车到达乙地，此时快车与慢车相距120km；（2）∵点B的横坐标为：3+＝3.5（h），点B的纵坐标为：120﹣×70＝85（km），∴点B的坐标为（3.5，85），设线段AB所表示的函数表达式为y＝kx+b，将A（3，120），B（3.5，85）代入得：，解得，∴线段AB所表示的函数表达式为y＝﹣70x+330（3≤x≤3.5）；（3）快车从返回到遇见慢车所用的时间为：4﹣3.5＝0.5（h），∴快车从乙地返回甲地时的速度为：85÷0.5﹣70＝100（km/h），∵4×70÷100＝2.8（h），∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需2.8h．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是结合函数图象以及数量关系直接计算．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依照函数图象找出点的坐标，再结合数量关系列出算式即可算出结论．5．（2023•陕西）某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这51天内累计需水量y（m3）与天数x之间的关系如图所示，其中，线段OA，AC分别表示抽穗期、灌浆期的y与x之间的函数关系．（1）求这51天内，y与x之间的函数关系式；（2）求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量．【分析】（1）依据题意，分0≤x≤20和20＜x≤51两段通过待定系数法可以得解；（2）依据题意，令x＝51时求出需水总量，再减去前20天的需水量，即可得解．【解答】解：（1）由题意，当0≤x≤20时，设y＝kx，∴20k＝960．∴k＝48．∴y＝48x．当20＜x≤51时，设关系式为y＝mx+n，∴．∴．∴y＝35x+260．综上，所求函数关系式为y＝．（2）由题意，令x＝51，∴y＝35×51+260＝2045．又当x＝20时，y＝960，∴每公顷小麦在整个灌浆期的需水量＝2045﹣960＝1085（m3）．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键．6．（2023•襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．（1）求m、n的值；（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出m、n的值；（2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润＝每支利润×数量”分别列出代数式即可求出y与x的函数关系式，注意写出自变量x的取值范围；（3）设降价后获得肉串的总利润为z元，令W＝z﹣y．先根据题意列出z关于x的关系式，再写出W关于x的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果．【解答】解：（1）根据表格可得：，解得，∴m的值为3，n的值为2；（2）当0＜x≤200时，店主获得海鲜串的总利润y＝（5﹣3）x＝2x；当200＜x≤400时，店主获得海鲜串的总利润y＝（5﹣3）×200+（5×0.8﹣3）（x﹣200）＝x+200；∴y＝；（3）设降价后获得肉串的总利润为z元，令W＝z﹣y．∵200＜x≤400，∴z＝（3.5﹣a﹣2）（1000﹣x）＝（a﹣1.5）x+1500﹣1000a，∴W＝z﹣y＝（a﹣2.5）x+1300﹣1000a，∵0＜a＜1，∴a﹣2.5＜0，∴W随x的增大而减小，当x＝400时，W的值最小，由题意可得：z≥y，∴W≥0，即（a﹣2.5）×400+1300﹣1000a≥0，解得：a≤0.5，∴a的最大值是0.5．【点评】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解决问题的关键．7．（2023•吉林）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．（1）甲组比乙组多挖掘了天．（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．【分析】（1）读图直接写出答案；（2）利用已知两点的坐标，待定系数求出k、b值，写出关系式，根据图上条件标出自变量取值范围；（3）求出乙队的挖掘量，然后求出甲队在同等工作量的条件下实际工作的天数，减去合作的天数即可．【解答】解：（1）由图象可知，甲乙合作共挖掘了30天，甲单独挖掘了30天，即甲组比乙组多挖掘了30天．读答案为：30．（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为：y＝kx+b，点（30，210）（60，300）在图象上，，解得．∴函数关系式为：y＝3x+120（30≤x≤60）．（3）由（1）关系式可知，甲单独干了30天，挖掘的长度是＝300﹣210＝90，甲的工作效率是3m每天．前30天是甲乙合作共挖掘了210m，则乙单独挖掘的长度是210﹣90＝120．当甲挖掘的长度是120m时，工作天数是120÷3＝40（天），乙组已停工的天数是：40﹣30＝10（天）．【点评】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意是解决本题的关键．8．（2023•甘孜州）某次气象探测活动中，在一广场上同时释放两个探测气球.1号探测气球从距离地面5米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球距离地面的高度y（单位：米）与上升时间x（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）探测气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度？此时它们距离地面多少米？【分析】（1）根据题意，可以直接写函数y1，y2与x的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以得到在某时刻两个气球能否位于同一高度，如果能，这时气球上升了多长时间，位于什么高度．【解答】解：（1）由题意，可设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．由题意，得，∴，∴y关于x的函数解析式为；（2）由题意，可知1号气球上升x分时高度为（x+5）米，由题意，得．解得x＝20，当x＝20时，．∴上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．9．（2023•长春）甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示：（1）当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．【分析】（1）设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，再利用待定系数法来求解即可；（2）求出甲的函数解析式和乙的解析式，甲的函数解析式和乙的解析式组成方程组解答即可．【解答】解：（1）设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，∵直线过（15，0）和（40，300），∴，解得，∴乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝12x﹣180；（2）设甲的函数解析式为：y＝mx+n，将（25，160）和（60，300）代入得：，解得，∴y＝4x+60；∵乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度，∴，解得，∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米．【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法是解题关键．10．（2023•广西）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤组与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．任务一：确定l和a的值．（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；任务二：确定刻线的位置．（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）根据题意可直接代值求解；（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；（4）根据（3）可进行求解；（5）分别把m＝0，m＝100，m＝200，m＝300，m＝400，m＝500，m＝600，m＝700，m＝800，m＝900，m＝1000代入求解，以此即可求解．【解答】解：（1）由题意得：m＝0，y＝0，∵m0＝10，M＝50，∴10l＝50a，∴l＝5a；（2）由题意得：m＝1000，y＝50，∴（10+1000）l＝50（a+50），∴101l﹣5a＝250；（3）由（1）（2）可得：，解得：；（4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5，∴2.5（10+m）＝50（0.5+y），∴；（5）由（4）可知：，∴当m＝0时，则有y＝0；当m＝100时，则有y＝5；当m＝200时，则有y＝10；当m＝300时，则有y＝15；当m＝400时，则有y＝20；当m＝500时，则有y＝25；当m＝600时，则有y＝30；当m＝700时，则有y＝35；当m＝800时，则有y＝40；当m＝900时，则有y＝45；当m＝1000时，则有y＝50；∴相邻刻线间的距离为5厘米．【点评】本题主要考查一次函数的应用、解二元一次方程组，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键．11．（2023•广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2＝10x（x≥0）．（1）求y1与x之间的函数解析式；（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？【分析】（1）用待定系数法，分段求出函数解析式即可；（2）把y＝600分别代入y1，y2解析式，解方程即可．【解答】解：（1）当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝kx（k≠0），把（5，75）代入解析式得：5k＝75，解得k＝15，∴y1＝15x；当x＞5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝mx+n（m≠0），把（5，75）和（10，120）代入解析式得，解得，∴y1＝9x+30，综上所述，y1与x之间的函数解析式为y1＝；（2）在甲商店购买：9x+30＝600，解得x＝63，∴在甲商店600元可以购买63千克水果；在乙商店购买：10x＝600，解得x＝60，∴在乙商店600元可以购买60千克，∵63＞60，∴在甲商店购买更多一些．【点评】本题考查一次函数和一元一次方程的应用，关键是根据等量关系列出方程．12．（2023•丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；（2）求方案二y关于x的函数表达式；（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．【分析】（1）根据图图象的交点回答即可；（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，将点（0，600）、点（30，1200）代入即可；（3）对生产件数的范围进行讨论，从而得出正确的方案．【解答】解：（1）观察图象得：方案一与方案二相交于点（30，1200），∴员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，将点（0，600）、点（30，1200）代入解析式中：，解得：，即方案二y关于x的函数表达式：y＝20x+600；（3）由两方案的图象交点（30，1200）可知：若生产件数x的取值范围为0≤x＜30，则选择方案二，若生产件数x＝30，则选择两个方案都可以，若生产件数x的取值范围为x＞30，则选择方案一．【点评】本题考查的是求解一次函数解析式以及一次函数的实际应用，解题关键是会看图，理解横轴与纵轴表示的实际意义，掌握用待定系数法求函数解析式．13．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．【分析】（1）根据题意即可求解；（2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为20cm的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为20cm的木板1个，长为10cm、宽为20cm的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为20cm的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为20cm的木板8个；列关系式求解即可；（3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润＝售价﹣成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可．【解答】解：（1）∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，故制作B种木盒（200﹣x）个；∵有200张规格为40cm×40cm的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，故使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张；故答案为：（200﹣x），（200﹣y）；（2）使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出4y个长、宽均为20cm的木板，使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张，则可切割出8（200﹣y）个长为10cm、宽为20cm的木板；设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为20cm的木板5x个，制作B种木盒（200﹣x）个，则需要长、宽均为20cm的木板（200﹣x）个，需要长为10cm、宽为20cm的木板4（200﹣x）个；故，解得：，故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张；（3）∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，故总成本为150×5+8×50＝1150（元）；∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，∴，解得：7≤a≤18，设利润为w元，则w＝100a+100（20﹣a）﹣1150，整理得：w＝850+50a，∵50＞0，∴w随a的增大而增大，故当a＝18时，有最大值，最大值为850+50×18＝1750（元），则此时B种木盒的销售单价定为20﹣×18＝11（元），即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）甲、乙两车同时从地出发，以各自的速度匀速向地行驶，甲车到达地后停止行驶，乙车到达地后，停留分钟，然后按原路以另一速度匀速返回地，已知两车分别距地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（

）

A．甲车的速度是 B．乙车返回地时的速度为C．甲车与乙车的相遇时间为小时 D．甲车到达地时，乙车与地之间的，距离为【答案】D【分析】根据题意，运用待定系数法分别求出甲车甲车从地到地路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，乙车从地到地路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，乙车从地到地路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，结合图形分析即可求解．【详解】解：根据图示，可知两地相距，甲车到达地后停止行驶，甲车经过的点为，，∴设甲车从地到地路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，∴，解得，，∴甲车从地到地路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，∴甲的速度为，故选项正确；根据题意，乙车到达地后，停留分钟，然后按原路以另一速度匀速返回地，可知乙车经过的点为，，∴设乙车从地到地路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，∴，解得，，∴乙车从地到地路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，∴乙车从地到地的速度为，∴乙车从地返回地的开始时间为，∴乙车返回时经过的点为，，即，，设乙车从地到地路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，∴，解得，，∴乙车从地到地路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，∴乙车返回的速度为，故选项正确；∵从地到地，甲车的函数关系式为，乙车的关系式为或，当时，，解得，，即甲、乙同时出发时，不符合题意；当时，，解得，，故选项正确；根据甲车的关系式，令，则，即甲从地到地时间为，∴乙车行驶的时间为，且乙车返回的速度为，∴乙车行驶的路程为，故选项错误；综上所述，符合题意的是选项，故选：．【点睛】本题主要考查一次函数与行程问题，理解函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．2．（2023春·西藏那曲·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边分别交于点E、D，已知，则的面积是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点E，D的坐标，进而可得出的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积．【详解】解：当时，，∴点E的坐标为，∴，∴．当时，，解得：，∴点D的坐标为，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及各边的长，求出的长是解题的关键．3．（2023春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）一条观光船沿直线向码头游览前进，到达码头后立即原路返回，全程保持匀速行驶，下表记录了个时间点对应的观光船与码头的距离，其中表示时间，表示观光船与码头的距离．

根据表格中数据推断，观光船到达码头的时间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由表格数据列得函数关系式，然后令时，求得对应的的值即可．【详解】解：由表格数据可得，观光船形式时，行驶路程为，则其速度为，那么关于的函数关系式为：，令，即，解得：，即观光船到达码头的时间是，故选：B．【点睛】本题考查函数问题，结合已知条件求得关于的函数关系式是解题的关键．4．（2023春·云南红河·八年级统考期末）泸西县某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，其完成的绿化面积与工作时间之间的函数关系如图所示，试问绿化组工作小时后的工作效率与小时前的工作效率相比较是（

）

A．降低 B．提高 C．不变 D．不确定【答案】B【分析】根据待定系数法可求小时后直线的解析式，再根据函数上点的坐标特征得出当时，的值，再根据工作效率工作总量工作时间，列出算式求出该绿化组提高工作效率前和后每小时完成的绿化面积，进行比较即可求解．【详解】设小时后与的关系式为，由图象可得：，解得：，∴小时后与的关系式为为，则小时后工作效率为每小时绿化，当时，，∴小时前工作效率为每小时绿化，∴绿化组工作小时后的工作效率与小时前的工作效率相比较是提高，故选：．【点睛】此题考查了一次函数的应用和函数的图象，解题的关键是根据待定系数法求出该绿化组提高工作效率后的函数解析式．5．（2023秋·安徽合肥·八年级校考阶段练习）甲、乙两位运动员在一段2000米长的笔直公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点，乙在甲的前面200米，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8米/秒，乙的速度是6米/秒，先到终点者在终点原地等待．设甲、乙两人之间的距离是y米，比赛时间是x秒，当两人都到达终点计时结束，整个过程中y与x之间的函数图象是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先算出甲到达终点的时间，由此算出二者之间的最大距离，再算出乙到达终点的时间，由此找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式，根据函数解析式分析四个选项即可得出结论．【详解】解：当甲骑到终点时所用的时间为：（s），此时甲乙间的距离为：（m），乙到达终点时所用的时间为：（s），∴最高点坐标为．甲追上乙时，所用时间为（s）当时，设y关于x的函数解析式为，有，解得：，此时；当时，设y关于x的函数解析式为，有，解得：，此时；当时，设y关于x的函数解析式为，有，解得：，此时．∴整个过程中y与x之间的函数图象是B．故选：B．【点睛】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的关键点，利用待定系数法求得每段函数解析式．6．（2023秋·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期中）如图，反映了某产品的销售收入（单位：元）与销售量（单位：t）之间的关系，反映了该产品的销售成本（单位：元）与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．下列说法不正确的是（）

A．当销售量为0t时，销售成本为2000元 B．当销售量小于4t时，没有赢利C．当销售量为时，赢利1000元 D．当赢利为4000元，销售量为【答案】D【分析】利用图象交点得出公司赢利以及公司亏本情况，进而可以求解．【详解】解：A、当销售量为0t时，销售成本为2000元，正确，不符合题意；B、当销售量小于4t时，没有赢利，正确，不符合题意；C、设的解析式为，由题意得：，解得：，∴的解析式为，设的解析式为，由题意得：，解得：，∴的解析式为，∴当销售量为时，，，（元），∴当销售量为时，赢利1000元，正确，不符合题意；D、当赢利为4000元，，∴，解得：，∴当赢利为4000元，销售量为，∴原说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解决本题的关键是要数形结合利用待定系数法求一次函数解析式.7．（2023秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块，再在其上方放置不同质量的铁块．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块浮在水面上的高度与铁块的质量，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块质量为时，木块浮在水面上的高度为（）实验次数一二三铁块质量255075高度443832A． B． C． D．【答案】C【分析】设，利用待定系数法求出，当时，求出的值即可得到答案．【详解】解：设，将，代入解析式得：，解得：，高度与铁块的质量的关系式为：，当时，，当铁块质量为时，木块浮在水面上的高度为，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的应用，采用待定系数法求出高度与铁块的质量的关系式是解此题的关键．8．（2023春·辽宁铁岭·八年级校考期末）甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示：给出下列说法：①比赛全程1500米．②2分时，甲乙相距300米．③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点．④3分40秒时，乙追上甲．其中正确的个数（

）个．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①由函数图象可以得；②根据图象列式计算即可得出结论；③由函数图象可以得答案；④求出两分钟后，甲、乙图象表示的函数，再联立即可求解．【详解】解：①由函数图象可得比赛全程1500米，故①正确；②甲的速度米/分，∴2分时甲、乙相距为米，故②正确；③由函数图象可以得；乙比甲领先秒到达终点，故③错误；④设两分钟后，，将，代入，∴，解得：，∴，设甲的函数解析式，，将，代入，得，解得，∴，联立，解得，即乙追上甲用分钟=3分钟40秒，故④正确．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的应用，认真观察函数图象从中获得有效信息是解题关键．9．（2023春·广东深圳·八年级统考期中）如图，点P为直线上一点，先将点P向左移动2个单位，再绕原点O顺时针旋转后，它的对应点Q恰好落在直线上，则点Q的横坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】可将点的平移和旋转转化为直线的平移和旋转，求出解析式后，联立两个函数解析式即可求出交点的横坐标．【详解】∵点P为直线上一点，∴点P向左移动2个单位后的解析式为，∵绕原点O顺时针旋转后解析式为∴，可得，∴点Q的横坐标为．故选：B【点睛】此题考查一次函数，解题关键是将点的平移和旋转转化为函数平移和旋转，然后求函数的交点坐标．10．（2023秋·安徽亳州·八年级校考阶段练习）甲，乙两车在笔直的公路上行驶，乙车从之间的地出发，到达终点地停止行驶，甲车从起点A地与乙车同时出发到达地休息半小时后立即以另一速度返回地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程千米与乙车行驶的时间小时之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（

）

①甲车行驶的速度为每小时千米；②两地之间的距离为千米；③甲车返回地的速度为每小时千米；④甲车返回地比乙车到地时间晚小时．A．个 B．个C．个 D．个【答案】B【分析】根据第三段函数图象甲车到达B地后休息半小时，求出乙车的速度，然后根据第一段函数图象，求出甲去B地速度；求出甲车从A到B所用的时间，即可求出的长度；根据返回时，两车在小时内行驶的路程为60千米，算出甲返回C的速度，求出间的长度，即可求出返回C地时甲用的时间，算出乙到达目的地B比甲到达B地多用的时间，即可求出甲车返回地比乙车到地时间晚3小时．【详解】解：乙车速度（千米/时），甲车去B地的速度为：（千米/时），甲车去B地时，两车速度差，（千米/时），第一次相遇后甲车到达B地时间，（小时），∴甲车从A地到B地所用时间为（小时），∴两地之间的距离为（千米），故②正确；甲车返回时速度，（千米/时），故①错误，故③正确；∴A、B两地距离420千米，∴B、C两地相距，（千米），甲车返回C地用时，（小时），乙车比甲车晚到达B地时间，（小时），甲车比乙车晚到达目的地时间，（小时），故④错误；综上分析可知，正确的有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，解决行程问题，解决问题的关键是熟练掌握甲、乙两车行驶路程与速度、时间的关系．二、填空题11．（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考开学考试）一支原长为的蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如下表：燃烧时间/分…剩余长度/…则这支蜡烛最多可燃烧分钟．【答案】【分析】根据表格信息可得每增加分钟，蜡烛长度减少，则每增加分钟，蜡烛长度减少，设蜡烛剩余长度为，燃烧时间为，可列关系式为，令即可求解．【详解】解：根据表格信息可得，燃烧时间增加，蜡烛长度减小，每增加分钟，蜡烛长度减少，则每增加分钟，蜡烛长度减少，∴设蜡烛剩余长度为，燃烧时间为，∴，当时，，解得，，∴这支蜡烛最多可燃烧，故答案为：．【点睛】本题主要考查一次函数解实际问题，理解题意，掌握函数关系式的求解方法及函数值的计算方法是解题的关键．12．（2023春·辽宁铁岭·八年级统考期末）小李从丹东通过快递公司给在铁岭的外婆寄草莓，寄快递时，该公司除每次收取6元的包装费外，不超过1千克，收费20元，每超过1千克时，则超出部分按每千克10元加收费，若小李给外婆快寄了千克草莓，则快寄的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式为．【答案】【分析】根据题意，可以分别写出和时，y与x之间的函数关系式．【详解】解：当时，，当时，，∴y与x之间的函数关系式为：．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．13．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）小明每天骑自行车上学，学校离家3000米．某天，小明上学途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，还是按时赶到了学校，如图描述的是他离家的距离s和离家的时间t之间的函数图象，则自行车故障排除后他的平均速度是米/分．

【答案】300【分析】根据线段表示修车后行驶情况，5分钟行驶了1500米，即可求出行驶速度．【详解】解：根据线段表示修车后行驶情况，5分钟行驶了1500米，故速度为：（米/秒），故答案为：300．【点睛】此题考查一次函数及其图象的应用，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势，能够从图象中获取相关信息是关键.14．（2023春·河南漯河·八年级统考期末）如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地的距离是，当二人均在图中行驶过程中，他们相距．

【答案】3.5或4.5【分析】运用待定系数法确定两直线解析式，根据题意建立方程，注意存在两种情况，求解即可．【详解】解：设摩托车行进的函数图象的解析式为，如图经过，，则，解得，．∴．设自行车行进的函数图象的解析式为，经过，则，解得；∴．由题意，两者相遇前，，解得；两者相遇后，，解得；故答案为：3.5或4.5【点睛】本题考查函数图象，待定系数法确定函数解析式，一元一次方程的应用；运用数形结合思想，根据题意建立方程是解题的关键．15．（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是元．【答案】6000【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．【详解】解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，依题意得：，设该公司获得利润为y元，依题意得：，即，∵，y随着m的增大而增大，∴当时，y取最大值，此时（元），答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元．故答案为：6000．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键．16．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）已知直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，则．【答案】或【分析】首先根据两直线平行的条件求出的值，然后再根据三角形的面积是，由面积公式列出方程从而求出的值即可．【详解】解：直线与直线平行，，直线与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是，，解得：．故答案为：或．【点睛】本题考查一次函数的应用，一次函数与坐标轴的交点问题，两条直线平行问题，根据直线平行的性质求出的值是解题关键．17．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，点是直线上一动点，当线段最短时，的长为．

【答案】【分析】根据直线解析式求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求出AB的长度，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，利用三角形的面积列式即可求解．【详解】解：当时，，当时，，解得，∴点A、B的坐标是，，∴，根据垂线段最短的性质，时，最短，如点所示

此时，，即，解得，即．故答案为：．【点睛】本题综合考查了一次函数的问题，主要利用勾股定理，垂线段最短的性质，根据直线解析式求出点A、B的坐标是解题的关键．18．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为元．

【答案】【分析】设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，把代入得，解得，则，再求出的b值，然后把代入算得，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可．【详解】解：由题图①知，当天数天时，市场日销售量达到最大件，由题图②知，当天数天时，每件产品销售利润达到最大元，所以当天数天时，市场的日销售利润最大，最大利润为元；设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，把代入得，解得，∴日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，将点代人，解得，所以当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，当时，，将时，∴此时日销售利润为（元）．故答案为：，．【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答．三、应用题19．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以的速度沿着B→C→D→A的方向移动到点A，设移动过程中三角形的面积为S（），移动时间为t（s）．

(1)写出S与t之间的函数关系式；(2)①当时，求三角形的面积；②当三角形的面积为时，求t的值．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）根据题意可分当点P在上，当点P在上，当点P在上，然后分别求出函数解析式即可；（2）①由（1）可进行求解；②根据（1）中函数解析式，然后把三角形的面积为代入进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：①当点P在上，即，∴；②当点P在上，即，此时三角形的面积为长方形面积的一半，即为；③当点P在上，即，此时，∴；综上所述：S与t之间的函数关系式为；（2）解：①当时，则，∴；②由（1）可知：当三角形的面积为时，则有：或，∴或．【点睛】本题主要是考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．20．（2023春·吉林长春·八年级统考期中）爸爸准备为小明买一双新的运动鞋，但要小明自己算出穿几码的鞋．小明回家量了一下妈妈36码的鞋子长23厘米，爸爸41码的鞋子长厘米．如果鞋子的码数（y码）与鞋长（x厘米）满足一次函数关系，那么小明穿的厘米长的鞋子是几码呢？【答案】33码【分析】设一次函数的解析式是为，待定系数法求出函数解析式，再将带入解析式求解即可．【详解】解：一次函数的解析式是为，由题意，得：，解得，∴，∴当时，；答：小明穿的厘米长的鞋子是33码．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键．21．（2023春·吉林长春·八年级统考期中）某人需要经常去复印资料．甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费、两复印社每月的收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题；

(1)乙复印社要求客户每月支付的会员费是______元．(2)求出乙复印社收费y（元）关于复印量x（页）的函数解析式．(3)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？(4)如果每月复印210页，应选择哪家复印社？【答案】(1)18；(2)乙复印社收费情况关于复印页数的函数解析式为；(3)当每月复印150页时，两复印社实际收费相同；(4)当时，选择乙复印社．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的承包费是多少元；（2）先设出乙复印社一次函数解析式，用待定系数法可以求得，再说明一次项系数的实际意义；（3）先求得甲复印社对应的函数关系式，然后令两个解析式的函数值相等，即可求得当复印多少页时，两复印社实际收费相同；（4）将代入（2）（3）中的函数解析式，然后比较它