专题09 相似三角形的判定与性质（10大题型）（解析版）

专题09相似三角形的判定与性质（10大题型）【题型目录】题型一证明两三角形相似题型二选择或补充条件使两个三角形相似题型三重心的有关性质题型四相似三角形的判定与性质综合题型五利用相似三角形的性质求解题型六证明三角形的对应线段成比例题型七利用相似求坐标题型八在网格中画与已知三角形相似的三角形题型九相似三角形——动点问题题型十相似三角形的综合问题【知识梳理】知识点一、相似三角形的判定预备定理平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定1有两个角对应相等的两个三角形相似．判定2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．判定3三边对应成比例的两个三角形相似直角三角形的特殊判定若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．知识点二、相似三角形的性质性质1相似三角形的对应边成比例，对应角相等。性质2相似三角形的周长比等于相似比。∽，则由比例性质可得：类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。性质3相似三角形的面积比等于相似比的平方。∽，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：相似多边形面积的比等于相似比的平方。性质4相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。【经典例题一证明两三角形相似】1．（2023春·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，的边上有两点、，且是正三角形，则下列条件不一定能使与相似的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由是正三角形，所以，，再根据相似三角形的判定方法逐项分析即可．【详解】解：∵是正三角形，∴，∴选项A，当时，，∵，∴，∴，选项C，由，∴∵∴又∵，∴，选项D，由，，∴，∵∴，选项B条件不足以证明与，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是关键．2．（2023秋·河南洛阳·九年级偃师市实验中学校考阶段练习）如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（

）

A．5对 B．6对 C．7对 D．8对【答案】D【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理分析判断即可．【详解】解：根据题意，，，∴，∴，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，∴，又∵，∴；∵，∴，又∵，∴．综上所述，图中相似的三角形有，，，，，，，，共计8对．故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题关键是理解相似三角形的判定定理，同时主要不要有所遗漏．3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．

（1）若平分，则与是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）图中与相似的三角形有（写出两个即可）【答案】是，【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出．【详解】（1）如图，

∵矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为：是；（2）∵，∴，∵矩形，∴，∴，∴，又，∴；故答案为：，．【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，的高，相交于点，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】根据已知条件得，，推出，其他同理.【详解】解：；证明：∵的高，相交于点，∴，∵，∴；故答案为：（答案不唯一）.【点睛】本题考查相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似.5．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一二六中学校联考阶段练习）如图，和都是的高，相交于F点，连接．

(1)求证：；(2)若点D是的中点，，则的长为__________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据相似三角形的判定，即，再根据即可证明结论；（2）根据垂直平分线的性质可得，由(1)，可得，再根据勾股定理即可求出的长；【详解】（1）证明:∵是的高,∴,∵,∴，∴，即，又∵,∴；（2）∵点是的中点,,∴,在中,∵,，，∵，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明.【经典例题二选择或补充条件使两个三角形相似】1．（2023秋·河北邢台·九年级邢台市第七中学校联考阶段练习）在和中，已知，，如果从下列条件中增添一个条件，与仍不一定相似，那么这个条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理进行分析判断即可．【详解】解：A.由，可以根据两边成比例且夹角相等，证明，该选项不符合题意；B.由，可推导出，根据两角对应相等，证明，该选项不符合题意；C.由，不能判定两个三角形相似，符合题意；D.由，可推导，根据三边对应成比例，证明，该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．2．（2022秋·湖南株洲·九年级校考期中）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】D3．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有条．

【答案】4【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．【详解】解：如图：①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB；②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB；④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB．故答案为：4【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定方法，解题关键是理解并掌握平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似．4．（2022秋·九年级单元测试）如图，已知P是边长为5的正方形内一点，且，于，若在射线上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形一定与相似，则的值为．

【答案】3或【分析】由于，同时减去后可得到，若以点，，为顶点的三角形与相似，那么必有：或，可据此求得的值．【详解】解：四边形是正方形，；又，；若以点，，为顶点的三角形与相似，则：①如图1中，，即，解得；②如图2中，，即，解得．综上所述，满足条件的的值为3或．故答案为：3或．

【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，应注意相似三角形的对应顶点不明确时，要分类讨论，不要漏解．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若（填序号）求证：．【答案】①，证明见解析或②，证明见解析．【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似．【详解】解：选择条件①的证明为：∵，∴，又∵，∴；选择条件②的证明为：∵，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键．【经典例题三重心的有关性质】1．（2022秋·上海徐汇·九年级校考阶段练习）如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（

）

A．点G为的重心 B．C．当为等边三角形时， D．【答案】D【分析】根据三角形的重心性质可判断选项A、B；根据等边三角形的性质得到，可判断选项C；根据三角形的中线将三角形的面积平分可判断选项D．【详解】解：A、∵的中线相交于点G，∴点G为的重心，故选项A正确，不符合题意；B、∵点G为的重心，∴，即，故选项B正确，不符合题意；C、∵为等边三角形，∴，∵，，∴，，∴，故选项C正确，不符合题意；D、∵，∴，则，∴，故选项D错误，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查三角形的重心性质、等边三角形的性质、三角形的中线性质，解答的关键是熟练掌握三角形的中线性质和重心性质：三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．2．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（）

A．12 B．14 C．18 D．24【答案】C【分析】连接，由点是的重心，点是边的中点，可得点在一条直线上，且，，通过可得，从而得到，通过，可得，再根据四边形的面积为6，可得出，进而可得出的面积．【详解】解：如图所示，连接，

，点是的重心，点是边的中点，点在一条直线上，且，，，，，，，，，，，，，

，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．3．（2023春·湖北武汉·九年级校考自主招生）已知是的边的中点，是重心，，则【答案】【分析】根据三角形的重心的性质，可得，进而得出，根据三角形的中线的性质，即可求解．【详解】解：是重心，，，，是的边的中点，，故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形重心的性质以及三角形中线的性质，熟练掌握三角形重心的性质以及三角形中线的性质是解题的关键．4．（2023秋·湖北十堰·八年级校联考阶段练习）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为2，则的面积为．【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：，的面积为2，的面积为4，的面积为，点为的中点，的面积的面积，的面积为，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．5．（2023春·湖南永州·九年级校考开学考试）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

(1)特例感知：如图（1），已知边长为2的等边的重心为点，则的面积为______；(2)性质探究：如图（2），已知的重心为点，对于任意形状的，是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；(3)性质应用：如图（3），在任意矩形中，点是的中点，连接交对角线于点，的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是，(3)是，12【分析】（1）连接，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）由得到，即可求得答案．【详解】（1）解：连接，如图一，

点是的重心，，是，边上的中线，，为，边上的中点，为的中位线，，，，，，，，，，，；故答案为：；（2）由（1）同理可得，，是定值；（3）矩形，点是的中点，，，，，，定值为12．【点睛】本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【经典例题四相似三角形的判定与性质综合】1．（2023春·海南海口·九年级校考期中）如图，是等边三角形，，是边上的高，是线段上一点，过作的平行线交于，交的延长线于，当时，的长度为（

）

A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】证得，得到，即，求解即可．【详解】解：是边上的高，，，，，是等边三角形，，，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，证得是解题的关键．2．（2023秋·安徽宿州·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，是的中点，过点且分别交于，交于，点是的中点且，则下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的结论有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，从而判断出是等边三角形，判断出①正确；设，则，，易知，结合和，得，则，因为，即可，即可判断②；因为是的中点，，所以是的垂直平分线，则，即可通过角平分线的性质证明，即可判断③；由②知，，，，即可判断④．【详解】解：∵，点是的中点∴，∵，∴，则，∵，∴是等边三角形，故①是正确；设，∵由①知，∴，则，∵是的中点，∴∵四边形是矩形，且∴，∵∴∴，则，所以，∵由①知，∴，∴，故②是错误的；∵四边形是矩形∴，∵由①知，∴∵是的中点，，∴是的垂直平分线，∴，∴，那么，∴是的角平分线，∵，∴故③是正确的；由②知，，∴故④是正确的．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，能够设出、，然后用a表示出相关的边是解题的关键．3．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，则的长为．

【答案】【分析】连接，过点D作边上的高，交延长线于点H．先证明为直角三角形，再证明，求出，，即可得解．【详解】连接，过点D作边上的高，交延长线于点H．

在中，，，∴，，又∵，，∴，∴为直角三角形，且，∴，∵在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形判定及性质，勾股定理等知识，构造合理的辅助线，证明是解答本题的关键．4．（2022秋·陕西西安·九年级统考期中）如图，中，，，，顺次连接在边、、上的三点D、E、F形成以点D为直角顶点的等腰直角三角形，且，则的长为．

【答案】【分析】作于点，交于点，作于点，先证明，再由，，，根据勾股定理求得，由求得，则，再由根据相似三角形对应高的比等于相似比列方程求出的长即可．【详解】解：如图，作于点，交于点，作于点，

，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．5．（2023秋·安徽合肥·九年级校考期中）如图，已知中，D是的中点，E是上一点，，连接与相交于点F，求的值．

【答案】【分析】过点A作的平行线，交的延长线与点G，即，则，，从而得到，再利用中点的定义可知，再根据可知，从而得到．【详解】解：过点A作的平行线，交的延长线与点G，即，

∵，∴，∴，∴，又∵D是的中点，∴．又∵，∴，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线并于平行证明三角形相似是解题的关键．【经典例题五利用相似三角形的性质求解】1．（2022春·贵州安顺·八年级统考期末）如图，在中，D、E分别是边的中点，若，则（

）

A．1 B．2 C．4 D．6【答案】D【分析】根据中位线定理得出DE：：2，根据面积比等于相似比的平方得出的面积即可得出四边形的面积．【详解】解：点D、E分别是线段AB、AC的中点，是的中位线，，DE：：2，，，，四边形BCED的面积是，故选：D．【点睛】本题主要考查中位线定理和相似三角形的性质，根据面积比等于相似比的平方得出三角形的面积是解题的关键．2．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（）

A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】先利用等腰三角形的性质可得，再利用等量代换可得，然后利用两角相等的两个三角形的相似证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，进而求出的长．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接，；【答案】【分析】证明，利用相似三角形的面积等于相似比的平方求解即可．【详解】解：是等边三角形，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．4．（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，在中，，，点从点出发，沿方向以4cm/s的速度向点运动；同时点从点出发，沿方向以3cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．当与相似时，的值为．

【答案】或【分析】分类讨论：①，②当，利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计算即可．【详解】解：由题意得，则，∵，∴，①当时，有，即：，解得：；②当时，有，即：，解得：或（舍去），综上所述，当x的值为或时，与相似．故答案为：或．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键．5．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，D是上一点，，点P从C出发沿方向，以的速度运动至点A处，线段将分成两部分，其中一部分与相似，设运动时间为t．

(1)当P在线段上运动时，，当P在线段上运动时，．（请用含t的代数式表示）(2)求出满足条件的所有t值．【答案】(1)，(2)t的值为2，，或【分析】（1）根据路程=速度×时间，分两种情形分别求解即可；（2）点P在线段上时，有两种情形：、；点P在上时，有两种情形：、，利用相似三角形的性质分别求解即可．【详解】（1）解：，当P在线段上运动时，，当P在线段上运动时，点P运动路程为，，故答案为：，；（2）解：①当t在上时，若，则，即，即，若，则，即，即，②当t在上时，若，则，即，即，若，则即，即，综上所述，t的值为2，，或．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．【经典例题六证明三角形的对应线段成比例】1．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，即，∴，∵规定为单位线段1，∴．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键．2．（2022秋·广东广州·九年级广州市增城区凤凰城中英文学校校考期末）如图，在中，点分别是的中点，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角形中位线的性质求解．【详解】解：由题意DE是△ABC的中位线，∴由中位线的性质可得：BC=2DE，BC∥DE，∴A正确，且∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴ΔADE∼ΔABC，且相似比=DE:BC=1:2，∴B正确，SΔABC=4SΔADE，且AD:AE=AB:AC，∴D正确，C错误，故选C．【点睛】本题考查三角形中位线和三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形中位线的性质及三角形相似的判定与性质是解题关键．3．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，若，，，则的长为.

【答案】8【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴即∴BC=8（cm）故答案是：8【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键．4．（2022春·九年级课时练习）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为.【答案】【分析】如图，过N作NF⊥AD于F，可得NF=AB，根据矩形的性质和折叠的性质可得∠MEN=∠B=90°，EN=BN，根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得∠AME=∠NEF，进而可证明△AEM∽△FNE，根据AE=2AM可求出EF的长，在Rt△FNE中，利用勾股定理可求出EN的长，进而可求出CN的长.【详解】如图，过N作NF⊥AD于F，∵四边形ABCD是矩形，AB=6，∴NF=AB=6，∵矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，∴EN=BN，∠MEN=∠B=90°，∴∠AEM+∠NEF=90°，∵∠AEM+∠AME=90°，∴∠AME=∠NEF，又∵∠A=∠EFN=90°，∴△AEM∽△FNE，∴，∵AE=2AM，NF=6，∴EF=3，∴BN=EN===，∵BC=8，∴CN=BC-BN=8-，故答案为：8-【点睛】本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.5．（2023·吉林四平·校联考三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．

(1)设的面积为，的面积为，且．①如图①，连接．若，求证：；②如图②，若，，求的值．(2)如图③，若，，，，直接写出的值．【答案】(1)①见解析；②(2)【分析】（1）①由可证，即可证，可进一步推出结论；②连接，作于点，作于点，过点作于点．可证，推出，设，则，则可分别求出，的长，即可求出结论；（2）过点作，且，连接，，构造平行四边形，证，推出，证明再证明为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出的值．【详解】（1）解：①，，．，，即．又，，．如图②，连接，作于点，作于点，过点作于点．

，，又，，．又，，，，设，则，．（2）如答图（2），过点作，且，连接，，

则四边形为平行四边形．，．，，．又，，，即．，．，设，，则在中，．，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质．【经典例题七利用相似求坐标】1．（2022·九年级单元测试）平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】直线，先将其向右平移3个单位得到，取两点（0，11），（1，9），求得其关于x轴的对称点(0，-11)，(1，-9)，待定系数法确定的解析式为y=2x-11，确定与y轴交点（0，-11），根据与垂直，利用相似和待定系数法确定的系数为，从而得到解析式．【详解】根据直线，先将其向右平移3个单位得到，取两点（0，11），（1，9），所以关于x轴的对称点(0，-11)，(1，-9)，设解析式为y=kx+b，所以，解得，所以解析式为y=2x-11，所以与y轴交点A（0，-11），与x轴交点B（，0），设与x轴的交点为C，所以OA=11，OB=，因为绕与y轴的交点逆时针旋转得到，所以∠OAC+∠OAB=90°，因为∠OBA+∠OAB=90°，所以∠OBA=∠OAC，因为∠BOA=∠AOC=90°，所以△BOA∽△AOC，所以，所以，解得OC=22，所以点C（-22，0）因为过点（0，-11），所以的解析式为y=kx-11，所以22k-11=0,解得k=，所以解析式．故选A．【点睛】本题考查了待定系数法，轴对称，平移，旋转，熟练掌握待定系数法，理解旋转的性质和意义是解题的关键．2．（2022·海南·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），∴AC=6，OC=2，OB=7，∴BC=9，∵四边形OCDE是正方形，∴DE=OC=OE=2，∴O′E′=O′C′=2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′=∠BCA=90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴，∴，∴BO′=3，∴OO′=7-3=4，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．3．（2021春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是．【答案】或【分析】由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、，∴，，∴，当与相似时，则可分：①当时，有，如图所示：∴，即，解得：，∴，∴，∴；②当时，有，如图所示：∴，即，解得：，∴，∴，∴；综上所述：当与相似时，或；故答案为或．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为．【答案】2或4【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标．【详解】如图，∵A(1,4)，C(3,0)，D(0,3)，∴，，，；∴是直角三角形∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0），∽∴∴=1∴当时，CM=2；当时CM=4，故答案为：2或4．【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键．．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．

(1)上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；(2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）作于点即可；（2）求出直线，直线的解析式，构建方程组求解．【详解】（1）如图，点即为所求；

（2）∽，：：，，，，，，，，，，，，直线的解析式为，，，，，，，直线的解析式为，由，解得，【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标．【经典例题八在网格中画与已知三角形相似的三角形】1．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与①相似的．【详解】解：①三角形的三边之比是，②中，，③中，④中，⑤中，⑥中，故与①相似的三角形的序号是③④⑤．故选C．【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑．2．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【分析】根据网格图形可得所给△EFG是两直角边分别为1，2的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可．【详解】解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为，观各选项，，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键．3．（2022春·九年级课时练习）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C为小正方形的顶点，则∠ABC=．【答案】135°．【分析】由题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，求出各边的边长，然后利用全等三角形的判定和性质，即可求出答案．【详解】解：根据题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，如图：由勾股定理，则，，，，，，∴，，，∴，∴△ABC∽△DBE，∴∠ABC=∠DBE=90°+45°=135°．故答案为：135°．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是正确的确定格点，利用全等三角形的性质进行解题．4．（2021春·全国·九年级专题练习）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为．【答案】；【分析】根据小正方形的边长，分别求出和三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可.【详解】如图，∵，∴∵，，∴∴∴∴故答案为：1【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.5．（2023秋·北京通州·九年级校考阶段练习）在中，

(1)如图1，P是上的点，过点P作直线截，使截得的三角形与相似．例如：过点P作交于D，则截得的与相似．请你在图中画出所有满足条件的直线．(2)如图2，Q是上异于点B，C的动点，过点Q作直线截，使截得的三角形与相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）【答案】(1)见解析(2)当时，满足条件的直线有4条；当时，满足条件的直线有3条【分析】（1）利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理过点P作两条，再利用两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，过点P作两条．（2）把Q点看成从C点出发到B点的动点，发现当Q点在某一个位置时，所作截的三角形与原三角形相似的数量减少了一个，通过此时的临界条件把的长度计算出来，进行分类说明．【详解】（1）解：如图所示：第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过点P分别作与的平行线与．分别得到，．第二种：利用两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别作垂直于点G，作交于点F，使．分别得到，．

（2）解：

如图所示，假设点Q从点C开始往点B移动，由（1）可知，作，得．作交于点F，使，得．作，得．作，得．当移动到位置时，此时出现点F于点A重合，此时是一个临界点，利用得，则，又此时，所以该点往左移动，不能在三角形内做出作交于点F，该点往右移动，可以在三角形内做出作交于点F，使．故当时，满足条件的直线有4条；当时，满足条件的直线有3条．【点睛】本题通过画图综合性的考察了三角形相似的判定，作图时运用到了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理．在做此类试题时考虑必须全面，不能漏掉解．【经典例题九相似三角形——动点问题】1．（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）如图，中，，，，D为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（

）

A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5【答案】C【分析】求出，分两种情况：①当时，，，得出，即可得出；②当时，证出，得出，因此，得出，；即可得出结果．【详解】解：∵，，∴，∴，分两种情况：①当时，，，∵D为的中点，∴，E为的中点，，∴；②当时，∵，∴，∴，∴，∴，∴；综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为2或3.5；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论．2．（2023·山西运城·统考二模）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作的平分线交于点，先证，再证，利用相似三角形的性质得出，即可求得．【详解】解：如图1，作的平分线交于点，由题意中的函数图像知，，，，平分，，，，，，，，，，，解得：或（舍），，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是证明．3．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．

【答案】或【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可．【详解】解：设经x秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则，，∴，∵四边形是矩形，∴，，，

①当时，有，∴，即，解得；②当时，有，∴，即，解得，∴经过2秒或秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与相似．故答案为：2或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分类是解题的关键．4．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在钝角中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，点从点出发沿以的速度向点移动，如果两点同时移动，经过秒时，与相似．

【答案】3或【分析】先分别求出，，再分①和②，根据相似三角形的性质求解即可得．【详解】解：设经过秒时，与相似，由题意得：，，，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，，①当时，则，即，解得，符合题意；②当时，则，即，解得，符合题意；故答案为：3或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分两种情况讨论是解题关键．5．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

(1)求线段的长；(2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8；理由见详解【分析】（1）由勾股定理求得，由三角形面积公式得出，即可得出结果；（2）由勾股定理求得，过点作于，则，则，得出，即，求出，，即可得出结果；，，即，进而求解即可【详解】（1）解：，，，，，，解得：；（2）解：由（1）可得，过点作于，如图所示：，，，，即，，；，，即：，整理得：，解得：，，在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键．【经典例题十相似三角形的综合问题】1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形，分别以、为边向内作等边三角形（图1）；分别以、为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将阴影部分分别分割成两个规则图形，图一可以分为两个梯形，图二可分成两个三角形，设设=m，令AB=1,则AD=m，利用相似求出图形面积，结合面积比即可求出．【详解】设=m，令AB=1,则AD=m，∵两个正三角形以AD、BC为底，所得图形是对称图形，∴EF所在直线平行AD与BC，∴AM=BM=，∵∠HBE=90°-60°=30°，∴AH=，∴ME=根据对称性关系可知EF=m-2×=m-，HG=m-∴梯形EFGH面积=∴S1=，同理根据图二可知AK=，△ABR的高为，∴△QPR的高为，根据△QPR∽△ABR，求得PQ=∴三角形PQR面积=，∴S2=，∵，整理得到：，∴化简求得m=或（舍弃），∴=，故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形、等边三角形有关知识，对知识的灵活运用要求较高，注重培养学生的分析问题和知识综合运用能力．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（

）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2【答案】A【分析】设AA′=x，先证△AA'E∽△ADC，利用相似的性质用含x代数式表示出A′E，再根据阴影部分为平行四边形利用面积建立二次函数解析式，通过最值即可得出答案．【详解】解：如图所示，设AA′=x，则DA′=2-x，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3，AD=BC=2，∵EA′∥CD，∴△AA'E∽△ADC，∴，即，∴A′E=x，∵EA′∥CD，CA′∥CA，∴阴影部分为平行四边形，∴阴影部分的面积：S=EA′·DA′=，即当，阴影部分的面积最大为，∴当平移的距离AA′=1时，两个三角形重叠部分的面积最大.故选A．【点睛】本题考查了矩形的性质、平移的性质、相似的判定及性质、二次函数的最值.根据相似的性质得出比例线段，并利用面积建立二次函数是解题的关键.3．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为．【答案】．【分析】先过F作MN⊥BC，根据已知条件与折叠的性质得到△AFN∽△FEM，再根据相似的性质得到，设出未知数，求解出答案即可．【详解】解：过F作MN⊥BC，∵BE=，BC=10，∴BE=6，∵翻折∴△ABE≌△AFE，∴EF=BE=6，∠AFE=∠B=90°，AF=AB=8，∴∠AFN+∠EFM=90°，∵∠AFN+∠FAN=90°，∴∠FAN=∠EFM，∴△AFN∽△FEM，∴，设AN=4x，FM=3x，FN=8-3x，EM=4x-6，∴FN=8-3x，EM=4x-6，∴，∴，经检验：是原方程的根，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定与性质，关键在于作出辅助线，根据折叠的性质证明出三角形相似．4．（2023·山东德州·统考一模）在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________

(写出所有正确结论的序号)．①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为．【答案】①②④⑤【分析】①正确．由正方形的性质可证明，可得结论；②正确．证明，推出，推出，由，可得结论；③错误．可以证明；④正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；⑤正确．求出，，根据，可得结论．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，在和中∴，∴，故①正确；∵沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，∴，则，，∵，∴，则，∵，∴，∵，，∴，则，，∴，∵，∴，则，∵，∴，∴，∴，则为等腰直角三角形，故④正确；∵，∴，∵，∴P，E，D，F四点共圆，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故②正确，将绕点B顺时针旋转得到，连接，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故③错误，连接，，∵，，∴，∴的最小值为，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．5．（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．

(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．【初步运用】(2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．【灵活运用】(3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解；（2）构造矩形，延长交于点G，由（1）中结论可得：，，设，，则，，，，再证明，则，即可求出，即可求解；（3）连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，证明，，根据，得出，设，则，，得出，即可求出，由（1）中结论可得：，最后证明四边形为平行四边形，则．【详解】（1）解：∵，∴，∵四边形为矩形，∴，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G，由（1）中结论可得：，∵，∴设，，∵点为的中点，∴，在中，根据勾股定理可得：，∵，∴，则，，解得：，，∵四边形为矩形，∴，∴，∴，∴，即，解得：，∴；

（3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，∵，，，∴，∴，∴，∵四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∵，∴设，，∴，设，则，，∴，整理得：，∴，由（1）中结论可得：．∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答．【重难点训练】1．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．【详解】解：，，，故①单独能够判定；，，，故②单独能够判定；由③不能判定，，，，故④单独能够判定；其中单独能够判定的条件有3个，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】解：∵，又∵和分别是和的高，，，∴与的相似比为，∴与的面积的比为．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．掌握相似三角形的性质是解题的关键．3．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，，，垂足为E，与交于点F，则值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质可求出结论．【详解】解：设与相较于O，

∵四边形是菱形，，，，∴，，，由勾股定理得到：，又∵，，∴，即，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；证明是解决问题的关键．4．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，记与点A重合点为，则的面积与该矩形的面积比为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据勾股定理求得，再根据折叠的性质可知，．根据可得面积之间的比值，再进一步求与矩形面积的比．【详解】解：∵矩形纸片中，，，∴．∵，∴．∵，，∴，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查了图形的折叠变换，同时考查了相似三角形的判定和性质，正确运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．（2023·河南安阳·校考二模）在四边形中，，，，点为边上一点，，且．连接交对角线于点．下列结论正确的有（

）个．①；②；③；④

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先说明等腰直角中，等腰直角中，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，，可判定①；由为直角三角形，，可得，因为，所以，所以不成立，则②错误；根据垂直平分线的性质可得，再结合可得，即可判定③，H作于M，则，可得，利用相似三角形的性质以及底相等的三角形面积之比等于高之比即可判定④．【详解】解：∵，，∴,∵,，∴等腰直角中，等腰直角中，∴∴，,即，所以①正确；∵等腰直角中，∴,∴∵为直角三角形，∴，∵，∴，∴不成立，②错误；∵，，∴，∵，∴，∴，判定③正确；过H作于M，则，∴，∴，故④正确．∴正确的有①③④，共3个．故选：C．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．6．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，D、E为的边上的点，当时，．

【答案】（答案不唯一）【分析】根据图形可知，和中有一个公共角，可再找出一组对应角，或的两邻边对应成比例，得到这两个三角形相似．【详解】解：添加条件：，，∴，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，需要掌握相似三角形的判定方法．7．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．

（1）若平分，则与是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）图中与相似的三角形有（写出两个即可）【答案】是，【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出．【详解】（1）如图，

∵矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为：是；（2）∵，∴，∵矩形，∴，∴，∴，又，∴；故答案为：，．【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．8．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为．

【答案】【分析】证明，，由相似三角形的性质得出，，设，可得，，从而可得出答案．【详解】解：∵四边形为正方形，，∴，，∴，，∴，，设，∴，，∴，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明与是解题的关键．9．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）如图，点的坐标为，点A是轴正半轴上一点，点在第一象限内，于点，当时，则过点的反比例函数的比例系数的值为．

【答案】或【分析】过点、分别作轴，，垂足为、，容易得到，又，利用角平分线性质，构造全等三角形，得到，，又知，建立方程可求出点的坐标，使问题得以解决．【详解】解：过点、分别作轴，，垂足为、，

在和中，，，，，，；同理可证，，；，，，，，，设点，，又，，即：，解得：，，或又点在反比例函数的图象上，，或，故答案为：16或64．【点睛】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质等知识，综合性很强．10．（2023春·安徽·九年级专题练习）矩形对角线的交点为，点在边上，点在的延长线上，连接，，，．试探究：

(1)如图，若垂直平分，，，则的长为；(2)如图