勾股定理的简单应用八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题勾股定理的简单应用姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021春•越秀区校级期中〕如图，一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，木杆折断之前的高度为〔〕A．7米B．8米C．9米D．12米【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解析】∵一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，∴折断的局部长为32+∴折断前高度为5+3＝8〔米〕．应选：B．2．〔2021春•天桥区期末〕如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是〔〕A．8mB．5mC．9mD．7m【分析】由题意得，在直角三角形中，运用勾股定理直接解答即可求出斜边，进而得出答案．【解析】∵AC＝4米，BC＝3米，∠ACB＝90°，∴折断的局部长为AB=BC∴折断前高度为BC+AB＝5+3＝8〔米〕．应选：A．3．〔2021春•綦江区期末〕?九章算术?是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地〞问题源自?九章算术?中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈〔一丈＝10尺〕一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么折断处离地面的高度是〔〕A．尺B．尺C．尺D．尺【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，那么斜边为〔10﹣x〕尺，利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x尺，那么斜边为〔10﹣x〕尺，根据勾股定理得：x2+62＝〔10﹣x〕2．解得：x＝，∴折断处离地面的高度为尺，应选：D．4．〔2021•西湖区校级三模〕一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，那么桶内所能容下的最长木棒为〔〕A．20cmB．25cmC．26cmD．30cm【分析】圆桶内容下的木棒最长时，木棒、圆桶的直径、桶高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解．【解析】如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，∴AC＝7cm，CB＝24cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB=AC2+故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．应选：B．5．〔2021春•南川区期末〕放学以后，红红和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，假设红红和晓晓行走的速度都是50米/分，红红用12分钟到家，晓晓用16分钟到家，红红家和晓晓家的直线距离为〔〕A．600米B．800米C．1000米D．不能确定【分析】根据题意画出图形，在Rt△AOB中，再利用勾股定理求解即可．【解析】如图，∵红红和晓晓行走的速度都是50米/分，红红用12分钟到家，晓晓用16分钟到家，∴OA＝50×12＝600〔米〕，OB＝50×16＝800〔米〕，在Rt△AOB中，∵AB2＝OA2+OB2，∴AB=OA应选：C．6．〔2021秋•本溪期末〕一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是〔〕A．5米B．7米C．8米D．9米【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB，求出AB即可解决问题．【解析】如图，由题意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3米，BC＝4米，∴AB=A∴旗杆折断之前的高度高度＝AC+AB＝3+5＝8〔米〕，应选：C．7．〔2021秋•未央区期中〕如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，那么AB间的距离为〔〕A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．【解析】东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝8海里，OB＝6海里，∴AB=OA应选：B．8．〔2021春•新丰县月考〕如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个效劳站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，那么AE的长是〔〕km．A．5B．10C．15D．25【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．【解析】设AE＝x，那么BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+〔25﹣x〕2，由题意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+〔25﹣x〕2，解得：x＝15〔km〕，所以，AE＝15km，应选：C．9．〔2021•巴中〕?九章算术?是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地〞问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？〞意思是：一根竹子，原来高一丈〔一丈为十尺〕，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？〔〕A．4尺B．尺C．5尺D．尺【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，那么斜边为〔10﹣x〕尺．利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x尺，那么斜边为〔10﹣x〕尺，根据勾股定理得：x2+32＝〔10﹣x〕2解得：x＝．答：原处还有尺高的竹子．应选：B．10．〔2021春•钦州期末〕如图，甲船以20海里/时的速度从港口O出发向西北方向航行，乙船以15海里/时的速度同时从港口O出发向东北方向航行，那么2小时后，两船相距〔〕A．40海里B．45海里C．50海里D．55海里【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了40，30．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【解析】∵两船行驶的方向是西北方向和东北方向，∴∠BOC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了20×2＝40海里，15×2＝30海里，根据勾股定理得：302应选：C．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021春•海珠区月考〕如图，李明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，那么旗杆的高为12m．【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，那么绳子AC的长为〔x+1〕m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解析】设旗杆的高AB为xm，那么绳子AC的长为〔x+1〕m．在Rt△ABC中，∵AB2+BC2＝AC2，∴x2+52＝〔x+1〕2，解得x＝12，∴AB＝12〔m〕．∴旗杆的高12m．故答案是：12．12．〔2021春•雨花区期末〕如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，那么旗杆折断局部AB的高度是13m．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理即可直接求出AB．【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形，在Rt△ABC中，BC＝5m，AC＝12m，AB2＝BC2+AC2，根据勾股定理得，AB=BC2+即旗杆折断局部AB的高度是13m，故答案为：13m．13．〔2021春•长丰县期中〕如图，在高3m，楼梯倾角∠ABC为30°的楼梯外表铺地毯，那么地毯长度为3+33m．【分析】由题意得，地毯的总长度为〔AC+BC〕．根据含30°直角三角形的性质求出AB的长，再根据勾股定理可求出BC的长，进而求得地毯的长度．【解析】如图，由题意得，地毯的竖直的线段加起来等于AC，水平的线段相加正好等于BC，即地毯的总长度为〔AC+BC〕，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3m，∠C＝90°，AB＝2AC＝6m∴BC=AB2-A∴AC+BC＝3+33〔m〕．故答案为：3+33．14．〔2021春•电白区月考〕如下图，BC是新建快速公路，长度为10km，∠A＝90°，AB＝6km，AC＝8km，一小镇位于点A，现在该小镇要修一条公路到达快速公路，那么修这条公路最短长度为km．【分析】根据勾股定理得出BC，进而利用三角形面积公式解答即可．【解析】过A作AD⊥BC于D，∵∠A＝90°，AB＝6km，AC＝8km，∴BC=AB2∴AD=AB⋅AC故答案为：．15．〔2021秋•成华区校级月考〕将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，那么h的最小值11cm，h的最大值12cm．【分析】当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，据此可以得到h的取值范围．【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12〔cm〕．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，在杯子内局部=122+故h＝24﹣13＝11〔cm〕．故h的取值范围是11≤h≤12．故答案为：11cm；12cm．16．〔2021春•越秀区校级期中〕如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为24秒．【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．【解析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．那么有CA＝DA＝100m，在Rt△ABC中，CB=1002-∴CD＝2CB＝120〔m〕，那么该校受影响的时间为：120÷5＝24〔s〕．答：该学校受影响的时间为24秒，故答案为：24．17．〔2021秋•新都区期末〕如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，那么原旗杆的高度为10米．【分析】由题中条件，可设原标杆的高为x，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．【解析】依题意得BC＝6，AD＝1，CE＝6﹣2＝4，AB＝DE+1设原标杆的高为x米，∵∠ACB＝90°，∴由题中条件可得BC2+AC2＝AB2，即AC2+62＝〔x﹣AC〕2，整理，得x2﹣2ACx＝36①，同理，得〔AC+1〕2+42＝〔x﹣AC﹣1〕2，整理，得x2﹣2ACx﹣2x＝16②，由①②解得x＝10，∴原来标杆的高度为10米，故答案为：10．18．〔2021•宿迁〕?九章算术?中一道“引葭赴岸〞问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？〞题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面局部BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处〔如图〕，水深和芦苇长各多少尺？那么该问题的水深是12尺．【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如下图，根据题意，可知EC′的长为10尺，那么C′B＝5尺，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解析】依题意画出图形，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，那么水深AB＝〔x﹣1〕尺，∵C′E＝10尺，∴C′B＝5尺，在Rt△AC′B中，52+〔x﹣1〕2＝x2，解得x＝13，即芦苇长13尺，水深为12尺，故答案为：12．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021秋•二道区期末〕如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，求出区域的面积，即可求出答案．【解析】连接AC，如下图：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，由勾股定理得：AC=122+∵AC2+BC2＝152+362＝1521，AB2＝392＝1521，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴铺满草坪的面积S＝S△ACB﹣S△ADC=12×15×36-12×20．〔2021秋•金川区校级期末〕如图，一架m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为m．如果将梯子的底端B外移m，顶端A沿着墙壁也下滑m吗？【分析】利用勾股定理解答即可．【解析】依题意，得AB＝，BO＝，在Rt△AOB中，根据勾股定理，可得：OA=A在Rt△COD中，根据勾股定理，可得：OC=C∴顶端A沿着墙壁下滑了6﹣＝≠，答：顶端A沿着墙壁没有下滑m．21．〔2021秋•仪征市期末〕如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．大门宽4尺，请求出竹竿的长．【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可．【解析】设门高为x尺，那么竹竿的长为〔x+1〕尺，根据勾股定理可得：x2+42＝〔x+1〕2，即x2+16＝x2+2x+1，解得：x＝，∴门高尺，竹竿的长＝7.5+1＝〔尺〕．22．〔2021春•云梦县期中〕如图，某电信公司方案在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？【分析】可以设AE＝xkm，那么BE＝〔80﹣x〕km，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE2，在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE2，根据DE＝CE可以求得x的值，即可求得AE的值．【解析】设AE＝xkm，那么BE＝〔80﹣x〕km，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴△ADE和△BCE都是直角三角形，∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，∴502+x2＝〔80﹣x〕2+302，解得x＝30．答：5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方．23．〔2021秋•南山区期末〕如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，