2023届高考数学培优（圆锥曲线中的弦长问题）练习（附答案）

2023届高考数学培优（圆锥曲线中的弦长问题）专题练习

一、单选题

1.设椭圆长半轴长为短半轴长为6,半焦距为%则过焦点且垂直于长轴的弦长是（）

A〃B2c2c/D2b2

aaaa

2.已知椭圆C:5+/=i,直线/过椭圆C的左焦点下且交椭圆于48两点，Z8的中垂线交x轴于/

\FM

点，则上表的I取值范围为（）

IAb「

人黯B-[ri）4（悬）o.[11]

3.过椭圆9/+25产=225的右焦点且倾斜角为45。的弦长AB的长为（）

90

A.5B.6C.—D.7

17

4.椭圆C:，+W=l（a>b>0）的左、右焦点分别是耳、F2,斜率为1的直线/过左焦点耳且交。于

'13'

A，8两点，且口力8工的内切圆的周长是2万，若椭圆C的离心率为ee,则线段Z8的长度的取

值范围是（）

A.[延,2括]B」啦㈤C.匡理D.匡理

3J|_3J|_48J[816

二、多选题

5.已知抛物线丁2=20工（P>0）的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线于4、B两点,以线段Z8为直径

的圆交N轴于M、N两点，则（）

A.若抛物线上存在一点E（2/）到焦点厂的距离等于3,则抛物线的方程为y=4x

B.若|NR|=2忸2|,则直线/的斜率为2A历

C.若直线/的斜率为百，则孑

D-设线段"的中点为P，若点F到抛物线准线的距离为2,则sin/座的最小值越

三、解答题

6.如图，P是直线/：y=x+3上一动点，过点尸且与/垂直的直线/'交抛物线。：/=x于4,8两点,

点Z在尸，8之间.

\PA\

（2）求焉的最小值.

\IB\

7.已知椭圆I+£=1（。〉6〉0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为

a2b2

4,直线/过点2（一。,0）,且与椭圆相交于另一点8.

（1）求椭圆的方程；

（2）若线段力6长为逆，求直线/的倾斜角.

5

8.已知直线/经过抛物线j?=6x的焦点口，且与抛物线交于幺、B两点.

（1）若直线/的倾斜角为60。，求线段18的长；

（2）若|第=2,求忸川的长.

9.已知圆上万2+产=4上任取一点P,过点P作歹轴的垂线段P0,垂足为0,当P在圆上运动时，线

段P0中点为

（1）求点〃的轨迹方程；

（2）若直线/的方程为y=x-l,与点〃的轨迹交于Z,8两点，求弦的长.

10.已知椭圆。:《+《=15>6>0）的右焦点为尸，左、右顶点为/、B,|/^|=3.|F5|=1.

ab

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求直线歹=》+^被椭圆C截得的弦长.

11.已知直线/：4x-3y-8=0与圆〃:（x+l）2+（^-l）2=加相交.

（1）求取的取值范围；

（2）若/与“相交所得弦长为8,求直线r：x+y-4=0与〃相交所得弦长.

12.已知双仙线。的标准方程为工-21=1,耳，与分别为双曲线。的左、右焦点.

36

（1）若点P在双曲线的右支上，且M尸鸟的面积为3,求点尸的坐标；

（2）若斜率为1且经过右焦点工的直线/与双曲线交于M,N两点，求线段MN的长度.

13.设抛物线C：y2=4x,尸为C的焦点，过/的直线/与C交于4B两点.

（1）设/的斜率为2,求M用的值；

（2）求证：方为定值.

14.已知椭圆环]+4.=1（。〉0）的一个焦点为尸（-1,0）,左右顶点分别为4B.经过点尸的直线/

a~3

与椭圆M交于C,。两点.

（I）求椭圆M方程；

（II）当直线/的倾斜角为45°时，求线段CD的长；

（III）记山18。与口/8C的面积分别为£和其，求IR-Szl的最大值.

15.已知椭圆C：4+，=1（°>6>0）的离心率为:，点在椭圆。上，直线人过椭圆。的右

焦点与上顶点，动直线4：了=履与椭圆。交于〃，N两点，交4于P点.

（1）求椭圆。的方程；

（2）已知o为坐标原点，若点尸满足|OP|=JMN],求此时MV的长度.

16.已知椭圆E:£+E=l(a>b>0),。为坐标原点，P为椭圆上任意一点，耳,鸟分别为椭圆的左、

a2b2')

右焦点，且〃=a，其离心率为半，过点A/(O,l)的动直线/与椭圆相交于Z，8两点.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)当|/@=半时，求直线/的方程

22]

17.如图，椭圆C：二+与=1(。〉6>0)的离心率为三，过椭圆右焦点/作两条互相垂直的弦与

a1b22

CD.当直线的斜率为。时，|AB|=4.

(I)求椭圆的方程；

(ID求使HM+|c必取最小值时直线ZB的方程.

18.已知抛物线。：/=20双?>0)的焦点/到准线的距离为2,且过点尸的直线/被抛物线C所截得的

弦长MN为8.

(1)求直线/的方程；

(2)当直线/的斜率大于零时，求过点M,N且与抛物线。的准线相切的圆的方程.

19.椭圆C：金不+鸟句,〉正)，直线/过点尸(11)，交椭圆于48两点，且尸为Z8的中点.

(1)求直线/的方程；

(2)若|ZB|=J?|O尸求加的值.

20.如图所示，已知圆片：(X+1『+V=16上有一动点。，点工的坐标为(1,0),四边形0大工火为平行

四边形，线段与火的垂直平分线交入火于点P,设点尸的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点乙的直线/与曲线C有两个不同的交点4、8,问是否存在实数4,使得

用+|町|=川力勾•忸周成立，若存在求出X的值；若不存在，请说明理由.

丫2

21.已知椭圆%:二+/=],直线/过点(0,-2)与椭圆力交于两点48,O为坐标原点.

3

(1)设C为Z8的中点，当直线/的斜率为一时，求线段OC的长；

2

(2)当DCMB面积等于1时，求直线/的斜率.

22.已知抛物线肌_/=4x的焦点为尸，直线y=2x+f与抛物线少相交于4,8两点.

(1)将|28|表示为f的函数;

(2)若|N8|=3jL求△4F8的周长.

23.如图，过点尸(1,0)的直线/与抛物线C：V=4x交于48两点.

（1）若|Z8|=8,求直线/的方程;

（2）记抛物线。的准线为设直线04。8分别交厂于点N,",求丽.而的值.

24.设椭圆氏=+乌=1（a,b>0）过/（2,72），M#，D两点，。为坐标原点,

ab

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点43,且厉_L无？若

存在，写出该圆的方程，并求08|的取值范围，若不存在说明理由.

25.折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活

动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），

步骤1：设圆心是。，在圆内不是圆心处取一点，标记为F；

步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过长

步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3,能得到越来越多条的折痕.

所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点尸到圆心。的距离为2,按上述方

法折纸.

（1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；

71

（2）求经过尸，且与直线厂O夹角为一的直线被椭圆截得的弦长.

4

四、填空题

26.在平面直角坐标系X。中，过抛物线C：V=3：的焦点尸作斜率为1的直线，与抛物线。交于4,B

两点.若弦48的长为6,则实数加的值为.

27.已知抛物线C:炉=2px（p>0）,直线/：y=2x+/>经过抛物线C的焦点，且与C相交于/、

8两点.若必8|=5,则0=___.

28.已知抛物线。:/=4弘Z8为过焦点尸的弦，过48分别作抛物线的切线，两切线交于点尸，设

/（七,y）,8（》2/2），「（刀0，为），则下列结论正确的有.

匚若直线Z8的斜率为-1,则弦|力邳=8；

□若直线AB的斜率为-1,则%=2;

「点尸恒在平行于x轴的直线少=-1上；

□若点是弦Z8的中点，则与=%.

五、双空题

29.已知抛物线C：r=2期（P〉0）的焦点为尸，直线/:y=Ax+”左中0）与抛物线C交于4B两点,

且目+忸同=6,线段力8的垂直平分线过点“（0,4）,则抛物线。的方程是；若直线/过点尸,

贝必=.

答案解析

一、单选题

1.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为6,半焦距为c,则过焦点且垂直于长轴的弦长是（）

2b2

C.—D.

aaaa

【答案】D

【名师分析】

y2

设椭圆焦点在X轴上，椭圆的标准方程为「+=l（a〉b〉O），将X=C或X=-。代入椭圆的标准方程,

aF

求出由此可求得结果.

【详解】

X2V2

设椭圆焦点在X轴上,椭圆的标准方程为二+4=l(a>b>0),

a2b2

将X=c或X=-C代入椭圆的标准方程得4+5=1,.•.4=1=3二-=」，

a2b2b2a2a2a2

解得y=±Z,因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是叱.

aa

故选：D.

2

2.已知椭圆C:5+/=i,直线/过椭圆C的左焦点尸且交椭圆于48两点，28的中垂线交x轴于〃

点，则上\FM表的I取值范围为（）

\^B|-

【答案】B

【名师分析】

\FM\_1

设/:》=叩一1（mH0）与椭圆联立可得：（m2+2）/-2^-l=0,然后

当/：_y=0时,12-8

求得■的中垂线方程，令尸。，得«高，0，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得

\MF\,\AB^,建立上屋求解.

I力"I

【详解】

椭圆c5+v=i的左焦点为尸（-1,0）,

当/：歹=0时，J（-V2,0）,5（V2,0）,M（0,0）,\FM\=l,\AB\=2y[2,

诉0J\--F-M-\-L=_1

\ABr8

x=my卜-1

2

设/:%=叩一1（机工0）与椭圆联立，x

2，可得:

，2=1

一2+，）

（团2+2”?-2my-1=0,

2m

乂+8=2-

iv]4-2

由韦达定理得：:，

弘％=

772+2

（-2m\

取48中点为。2c，2c，

"+27M2+2）

所以48的中垂线方程为：

,1（加）2

1DM-X~y2'"-2「，

m\m4-2/m+2

令y=0,得用（--J，o），

所以1板|=华工，

m~+2

22

又|/8|2=J（l+j）（,+为『—4%•为]8（/M+1）

（〃/+2）~

\FM\lfw2+2>|_11+-^—4k

所以%3

\AB^+8m+\）

综上所述%e14

8刃

故选：B.

【点睛】

思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、

化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往

往会更简单.

2、设直线与椭圆的交点坐标为V),8(X2,及),

222

则弦长为.却=^(x,-x2)+(y]-y2)=J(]+左2)(x,+x2)-4玉•x.

='（1++）［（凹+左）2—4%.为

伏为直线斜率).

注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零.

3.过椭圆9N+25产=225的右焦点且倾斜角为45。的弦长的长为()

90

A.5B.6C.—D.7

17

【答案】C

【名师分析】

求出焦点坐标和直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案.

【详解】

由9P+25产225得，二+片=1,/=25,/=9,所以，=6右焦点坐标为(4,0),直线48的方程

259

尸x-4

为y=x-4,所以<二+己_]得34x2-200x+175=0,

[25+~9~

、.“、n/、门,100175

设N（X]Ji）,6（X2，y2）'所以X]+工2=下]，工1工2

22

\AB\=7（x,-x2）+（^-y2）=

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的弦长公式|明=+々）2,由韦达定理的应用.

4.椭圆C:捺+，=l（a>b>o）的左、右焦点分别是片、F2,斜率为1的直线/过左焦点耳且交。于

一13'

A，8两点，且口力85的内切圆的周长是2%，若椭圆C的离心率为ee,则线段48的长度的取

值范围是（）

A.［竺2括］B.陛，㈤C.［更理D.恒理

3J|_3J|_48J［816

【答案】B

【名师分析】

先利用等面积法可得：；x4a-r=gx2c-M一8|，求解出回一%|的值，然后根据弦长公式

以却=6^瓦-刃的取值范围.

【详解】

设内切圆半径为广，由题意得;x4av=；X2C-|M-刃

得|乂一%|=：e*4,陷|=J1+1<川=肉凹一”归当，4亚.

故选：B.

【点睛】

本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用

是关键.

二、多选题

5.已知抛物线72=20工（口〉0）的焦点为£,过点E的直线/交抛物线于4、B两点,以线段48为直径

的圆交y轴于〃、N两点，则（）

A.若抛物线上存在一点£（2,。到焦点厂的距离等于3,则抛物线的方程为/=4x

B.若|4F|=2忸?则直线/的斜率为20

C.若直线/的斜率为百，则|工6|=?

D.设线段16的中点为P,若点尸到抛物线准线的距离为2,则sinNPAW的最小值为上

2

【答案】AD

【名师分析】

由抛物线的定义求得P的值，可判断A选项的正误；设直线/的方程为》=叫+^,设点力（须,乂）、

8（x2,%），将直线/的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理可求得加的值，可判断B选项的正误；利

用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项的正误;设直线/的方程为x=〃少+1,设点4（%,%）、

B（x2,y2）,联立直线/与抛物线的方程，求得点尸到N轴的距离和»回，可得出sin/PAW关于根的表

达式，可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，由抛物线的定义可得|£目=2+5=3,解得P=2,

所以，抛物线的标准方程为/=4x,A选项正确；

对于B选项，如下图所示：

抛物线的焦点为设点力（石,弘）、B（x2,y2）,设直线48的方程为x=SP+日，

联立彳一’2,消去x并整理得少一/=0,4=4加202+422＞。恒成立，

y2=2px

由韦达定理可得乂+为=2加p,y为=-/，

由于阴=2阳，由图象可得^^2而，即仔一不，一n）=2卜一多歹2}

凹=一2为广

所以，凹=-2%，可得,m+%=2加2，解得加=±也，

24

卬2=-P

所以，直线/的斜率为'=±2血，B选项错误；

m

对于C选项，当直线/的斜率为时，由B选项可知，加=弓，乂+%=手?，

由抛物线的焦点弦长公式可得以却=%+4+P=/（必+%）+20=曰*¥P+2.=|口"选项错

误；

对于D选项，抛物线的焦点P到准线的距离为。=2,则该抛物线的方程为_/=4x.

设直线/的方程为》=畋+1,设点4（X],必）、8（々,外）,

x=my+1_

联立|y2_4x，消去X可得歹—4皎一4=0,A=16/M2+16>0.

则y+为=4"?,X]+x2=/»（必+/）+2=4〃/+2,

|工8|=X]+2=4（加2+1）,点P到歹轴的距离为d='=2〃?2+1,

d2W2+1,1、，11

所以，12m24-22（〃/+1）22,

2

当且仅当〃?=0时，等号成立，D选项正确.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算.本题中

将直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点4、8的纵坐标所满足的关系，并结合了抛物线的

焦点弦长公式进行计算，考查学生的运算求解能力，属于中等题.

三、解答题

6.如图，P是直线/：夕=x+3上一动点，过点尸且与/垂直的直线/'交抛物线C：「=》于力，8两点，

点Z在尸，8之间.

（1）若/'过抛物线C的焦点尸，求»回；

\PA\

（2）求同时的最小值.

19-4岳

【答案】（1）2；（2）

n

【名师分析】

（1）先求出直线/'的方程，联立直线与抛物线，将韦达定理和弦长公式相结合即可得结果;

（2）设Z8:y=-x+f,联立方程组分别求出A,B,P的纵坐标，将网表示为关于f的函数式,结合

附

基本不等式即可得结果.

【详解】

解：（1）由已知得所以r：y=-x+；,

1

y=~x4—

联立得4,消去X,可得歹2+夕一=0,

—2—.4

设点4（X[,乂），8（工2，丁2），

乂+%=T

由根与系数的关系得1,

k=-4

所以=|必一i2|=^xj(弘+%)2-4必12=2.

[y=—x+/

(2)设43:歹=一工+，，由《2，消去》,可知y~+y—Z=0,

Lv=X

•.•有两个不同的交点，.••△=l+4，>0nr>—L,

4

A2ZB-1+J1+4/—1—A/1+4/

解得：yA=----；-----yB=-----；-----

,y=­X+1,£+3

由《得y2=~-

17=x+3

由于点/在点产，点B之间，

ef-.j\PA_yp-yA_^+4-Vi+4?2J1+4/

1P8|yP-yB/+4+Jl+4zf+4+J1+4f

设Jl+4/=〃(〃>0),

画=8u8〉419-4岳

所以两—-储+15+4〃-—”+4--715+2-H，

U

7

当且仅当〃=店时，即》=5时取等号.

1尸/|19-4^后

故焉的最小值为匕2•

【点睛】

关键点点睛：

（1）直线弦长公式的应用；

（2）将所求量表示为关于/的函数，利用基本不等式求最值.

7.已知椭圆£+£=1（a〉b>0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为

a2b2

4,直线/过点力（一%0）,且与椭圆相交于另一点8.

(1)求椭圆的方程;

(2)若线段Z6长为逆，求直线/的倾斜角.

5

丫2TT3兀

【答案】(1)by2=1；(2)—或—.

4,44

【名师分析】

(1)由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.

(2)设直线/方程，代入椭圆方程得关于x的一元二次方程，韦达定理整体思想及弦长公式得关于斜率的

方程，解得斜率得直线方程.

【详解】

2x2b=2a

(1)由题意可知＜；x2axbx2=4,a=2,b=\,c=G»

a1=b2+c2

2

椭圆方程为：—+y2=l

4-

(2)由题可知直线/斜率存在，设直线/方程为：y=%(x+2)代入椭圆方程得：

(4Z:2+1)X2+16A：2X+16Z:2-4=0,A=16,

1/川=j]+.2生旦，解得卜=土1,

114k2+15

7T3冗

直线/的倾斜角为2或e.

44

【点睛】

本题是椭圆与直线相交弦长问题，是高考解析几何中的常见题型.

注意点点睛：

①在设直线时要注意直线斜率是否存在，做必要的交代；

②代入消元后要交代」的符号，确定交点是否存在及存在时的个数；

③所得解回代检验合理性，以确保答案的正确性.

8.已知直线/经过抛物线V=6x的焦点尸，且与抛物线交于4、8两点.

（1）若直线/的倾斜角为60。，求线段N8的长;

（2）^\AF\=2,求忸司的长.

【答案】（1）8；（2）6.

【名师分析】

（1）设点力（七,必）、B（x2,y2）,求出直线/的方程，与抛物线方程联立，求出演+马的值，再利用抛物

线的焦点弦长公式可求得线段的长；

（2）设直线/的方程为x=w+],设点”（王，乂）、B（x2,y2）,将直线/的方程与抛物线的方程联立，

可得出乂M=-9,由恒司=2求得司的值，利用韦达定理以及抛物线的方程求得吃的值，利用抛物线的

定义可求得忸目的长.

【详解】

⑴设点火,乂）、川马，力），抛物线V=6x的焦点为尸[|,0）,

（3

由于直线/过点且该直线的倾斜角为60"，则直线/的方程为y=Gx--

\L

9

，消去，并整理得X9-X+厂。，A=25—9=16〉0,

由韦达定理可得玉+%=5,由抛物线的焦点弦长公式可得|”|=玉+々+3=5+3=8；

（2）设点4（%,%）、3小,%）,

3

由题意可知，直线/不可能与x轴重合，设直线/的方程为》=殴+5，

'=3

联立「一的叶^,消去工并整理得炉—6^^—9=。，A=36（m2+l）＞0,

y2-6x

由韦达定理可得M+8=6用，乂夕2=一9,

..3I281

|AF|=X]+5=2,可得玉=5,：.%=6%1=3,凹必=一9,则为二一f=27,

22z1

:.x2----,因此，忸目=吃+3=6.

'622

【点睛】

有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式

\AB\=xx+x2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

9.已知圆上一+歹2=4上任取一点2，过点尸作歹轴的垂线段尸0,垂足为0,当P在圆上运动时，线

段尸0中点为M.

（1）求点V的轨迹方程；

（2）若直线/的方程为y=x-l,与点”的轨迹交于Z，B两点、,求弦的长.

2o

【答案】（1）x2+^-=l；（2）-V2.

45

【名师分析】

（1）设V、P,利用相关点法即可求解.

（2）将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.

【详解】

（1）设尸（%,%）,

:点A/是线段P0中点，•,.XO=2X,%=N，

又尸（x0/o）在圆/+/=4上，（2x）2+夕2=4,

2

即点M的轨迹方程为*+匕=1.

4

y=x-1

（2）联立,2v2,消去丁可得，5X2-2X-3=0.

x2+^-=\

I4

△=（-2『+60>0,

设Z（X1,弘）,8（w，必），

e23

则％+%2=《，X]X2=-,

222

\AB\=Vl+1jx]—x2|=+x2)-4X1X2

【点睛】

方法点睛：本题考查了轨迹问题、求弦长，求轨迹的常用方法如下:

（1）定义法：利用圆锥曲线的定义求解.

（2）相关点法：由已知点的轨迹进行求解.

（3）直接法：根据题意，列出方程即可求解.

10.已知椭圆C：W+1=l（“>b>0）的右焦点为尸，左、右顶点为4、8,|£4|=3,卜1.

ab~

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求直线歹=x+g被椭圆C截得的弦长.

【答案】（1）—+^-=1；（2）1^1.

437

【名师分析】

（1）设椭圆的半焦距为。，由题意可得a+c=3,a-c=l,解得。，c,求得b,可得椭圆的方程;

（2）联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.

【详解】

（1）设椭圆的半焦距为J由|E4|=3,归8|=1,

可得Q+C=3,a-c=lf解得Q=2,c=lf

则b=yja2—c2=,4—1=y/3'

22

即有椭圆的方程为土+匕=1:

43

(2)联立直线丁=乂+；和椭圆3x?+4y2=12,

可得7x2+4x—11=0»

设被椭圆。截得的弦的端点的横坐标分别为玉，x2,

411

则X)+%2~~~，石%=--~

可得弦长为yj\+k2-J（X[+》2）2-4中2=

【点睛】

思路点睛：

求解椭圆中的弦长问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；

有时也可由直线与椭圆方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长.

11.已知直线/：4x-3y-8=0与圆〃：（x+iy+（y-l）2=加相交

（1）求的取值范围：

（2）若/与河相交所得弦长为8,求直线/'：》+＞-4=0与加相交所得弦长.

【答案】（1）（9,+00）；（2）2a.

【名师分析】

（1）由圆〃:（X+1）2+（V-1）2=机求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离小于半径即可求解；

（2）由/与A/相交所得弦长为8,利用弦长的一半、弦心距、圆的半径满足勾股定理可求出圆的半径，再

次利用勾股定理即可求解.

【详解】

（1）圆A/的圆心为（-1,1）,半径为赤.

因为直线/：4x-3y-8=0与圆河：（x+l）2+（〉-l）2="相交，

所以圆心（一U）至"的距离"=甲=3＜而

解得：加＞9,

即机的取值范围是（9,+8）.

（2）因为/与〃相交所得弦长为8,

所以=（g）+32=25,

因为圆心（T[）到/':》+歹一4=0的距离力=^=2后，

V2

所以直线/'：X+V-4=0与M相交所得弦长为2加萨=2/7.

【点睛】

方法点睛：有关圆的弦长的两种求法

(1)几何法：直线被圆截得的半弦长为一，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即2+储=/；

2⑴

(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于元的一元二次方程，由根与系数的关系可求得弦

长=J1+&2|X|-X2|=J1+&2J(X]+工2)2_4X1%2或

网=+为『-4%必

22

12.已知双曲线。的标准方程为土-2=1,大，与分别为双曲线C的左、右焦点.

(1)若点尸在双曲线的右支上，且M尸耳的面积为3,求点尸的坐标;

(2)若斜率为1且经过右焦点工的直线/与双曲线交于",N两点，求线段的长度.

【名师分析】

(1)由双曲线方程可得闺名|=6,进而可得点尸的纵坐标，代入即可得解;

(2)联立方程组，由韦达定理、弦长公式运算即可得解.

【详解】

(1)由题意，双曲线的焦距出si=2jr*=6,

设点P(m,〃),机＞0,则S.桃=；闺8卜同=3同=3,解得〃=±1,

代入双曲线方程可得加=姮，

2

所以点尸的坐标为,-1

(2)由题意，鸟(3,0),则直线MN:y=x-3,

设朋■仕,必)川卜2，%)，

-----=1

由，36,化简可得—+6x-15=0,

y^x-3

贝1]玉+々=-6,%》2=—15,

所以|=J1+A2•J（X1+x,）--4中2=6x,36+60=8>/3.

13.设抛物线C：y2=4x,R为C的焦点，过F的直线/与C交于48两点.

（1）设/的斜率为2,求M却的值；

（2）求证：无为定值.

【答案】（1）5；（2）证明见解析.

【名师分析】

（1）求出直线方程为y=2（x—1）,联立直线与抛物线,由|/8|=|/尸|+忸刊=须+々+「即可求解;

（2）设直线方程为x=0+l,由韦达定理表示出如•砺=》/2+尤为，即可得出定值.

【详解】

（1）依题意得/。，0）,

所以直线/的方程为y=2（x—l）.

设直线/与抛物线的交点为〃（西，乂），8（马，力），

y=2（x-l）

由t2,，得，x2-3x+l=o.

[y=4x

所以玉+*2=3,玉々=L

所以=|/6|+忸可=xl+x2+p=3+2=5.

（2）证明：设直线/的方程为x=@+l,

直线/与抛物线的交点为/（而，M），8（x2,必），

由|得，炉一4@一4=0，

所以,+%=4左，y]y2=-4.

因为。4。5=（孙乂＞（孙力）=中2+%必=（如+1）（佻+1）+乂％

22

=kyxy2+左（乂+%）+1+y}y2=-4犬+4Z:+1-4=-3.

所以01历为定值.

【点

方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为力（七，乂），3（七，力）；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或N）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为玉+工2，须》2形式；

（5）代入韦达定理求解.

14.已知椭圆环]+4.=1（。〉0）的一个焦点为尸（-1,0）,左右顶点分别为4B.经过点尸的直线/

a~3

与椭圆M交于C,。两点.

（I）求椭圆M方程；

（II）当直线/的倾斜角为45°时，求线段CD的长；

（III）记山1即与口/BC的面积分别为£和邑，求⑸―Sz|的最大值.

【答案】（I）—+^=1；（IDv；（III）|S「S,|的最大值为百.

437

【名师分析】

（I）根据椭圆的几何性质求出a,b可得结果：

（II）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；

（III）设直线/：x=ty-\（^0）,0（%,乂），。（々,九）,联立直线/与椭圆〃的方程，利用韦达定理

求出乂+为，|5-52|=，2，变形后利用基本不等式可求得最大值.

3/+4

【详解】

（I）因为桶圆的焦点为/（-1,0）,所以c=l且〃=3,所以/=从+,2=3+1=4，

所以椭圆加方程为三+匕=1.

43

（II）因为直线/的倾斜角为45°，所以斜率为1,直线/的方程为y=x+l,

y=x+1

联立〈消去V并整理得7/+8x-8=0,

143

设。（国,必）,D（x2,y2）,

88

则否+&=_,王G

7

(III)由(I)知『(一2,0),8(2,0),

设直线/：x=ty-l(Z^O),。(西,凹)，D(x2,y2),

x=ty-l

联立2,消去X并整理得（3产+4）/-6川—9=0,

—+—=1

143

则必+为=言4'"乂=一歹%所以％'必异号'

所以15-52|=|，4|弘|—9'4|以||=2||凹|一|%||=2|必+8|=要、

12卷:8当且仅当昨¥时,

3"端等号成立.

所以IB-S2I的最大值为百.

【点睛】

关键点点睛：第（HI）问中将三角形面积用C,O两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是

解题关键.

15.已知椭圆C：[+，=l（a>b>0）的离心率为/，点在椭圆C上，直线人过椭圆C的右

焦点与上顶点，动直线4：y=H与椭圆。交于〃，N两点，交于尸点.

（1）求椭圆C的方程;

(2)已知。为坐标原点，若点尸满足=求此时MN的长度.

【答案】⑴工+广=1；⑵4或生包.

435

【名师分析】

C1⑶2

(1)根据e=-=一，以及1I2J即可求解.

a2b2

(2)将直线4与9+；=1联立，求出交点再由|。0|=可得点P为OH的中点，根据P在

直线/”、&+^-6=0上求出点河即可求解.

【详解】

c1⑶2

(1)由题意得e=—=一,1I2/，结合/=/+，，

a2—+^^=1

a2b2

解得力=4,b?=3,c2=1

故所求椭圆C的方程为《+己=1.