适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习上篇六大核心专题主攻专题5解析几何高考小题突破6直线与圆课件

高考小题突破6直线与圆考点一直线的方程及其应用例1(1)(2023安徽黄山二模)“a=4”是“直线ax+y+a=0和直线4x+(a-3)y+a+5=0平行”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C解析

∵直线ax+y+a=0和直线4x+(a-3)y+a+5=0平行,∴a×(a-3)-1×4=0,解得a=4或a=-1.当a=4时,两直线分别为4x+y+4=0,4x+y+9=0,两直线平行,符合题意;当a=-1时,两直线分别为-x+y-1=0,4x-4y+4=0,即x-y+1=0,x-y+1=0,此时直线重合,不符合题意.综上所述,a=4.故“a=4”是“直线ax+y+a=0和直线4x+(a-3)y+a+5=0平行”的充要条件.(2)(2023浙江湖州模拟)数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(1,3),B(2,4),C(3,2),则△ABC的欧拉线方程是(

)A.x-y+1=0 B.x-y+3=0C.x+y-5=0 D.3x+y-9=0C(3)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),

为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为____________________.延伸探究1若本例(3)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.延伸探究2若将本例(3)中的点B坐标改为B(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的取值范围.解

设直线PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率kAP=1,直线PB的斜率kBP=-1,当直线l由PB变化到PA的位置时,它的斜率的取值范围是[-1,1].增分技巧1.求直线方程的两种方法

2.两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件.若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断.对点训练1(1)(2023上海静安二模)设直线l1:x-2y-2=0与l2关于直线l:2x-y-4=0对称,则直线l2的方程是(

)A.11x+2y-22=0 B.11x+y+22=0C.5x+y-11=0 D.10x+y-22=0A(2)(2023上海静安一模)若直线x+2y+3=0与直线2x+my+10=0平行,则这两条直线间的距离是__________.解析

由直线x+2y+3=0与直线2x+my+10=0平行,可知m-2×2=0,即m=4,故直线2x+my+10=0为2x+4y+10=0,即x+2y+5=0.故这两条直线间的距离为考点二圆的方程例2(1)已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为(

)A.(x+1)2+(y-1)2=2

B.(x+1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2

D.(x-1)2+(y+1)2=2D(2)(2022全国乙,理14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为___________________.(x-2)2+(y-3)2=13增分技巧求圆的方程的两种方法

几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数,进而求得圆的方程对点训练2(2022全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为____________________.(x-1)2+(y+1)2=5即圆心M的坐标为(1,-1).设☉M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.(方法二)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.考点三直线与圆的位置关系考向1切线问题例3(多选题)(2023湖北3月调研)已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:x+y+2=0,P为直线l上的动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B,则下列结论正确的是(

)A.当∠APB最大时,|PA|=B.当∠APB最大时,直线AB的方程为x+y=0C.四边形MAPB面积的最大值为8D.四边形MAPB面积的最小值为4BD解析

如图,由圆的几何性质可得MA⊥PA,MB⊥PB.因为PA,PB均为圆M的切线,所以|PA|=|PB|.因为|MA|=|MB|,|MP|=|MP|,所以△PAM≌△PBM,所以S四边形MAPB=2S△PAM=|PA||AM|=2|PA|.因为|MP|无最大值,即|PA|无最大值,所以四边形MAPB面积无最大值,故C错误.故当|MP|最小时,∠APM最大,此时∠APB最大,此时|PA|=2,故A错误.由上可知,当∠APB最大时,|PA|=|PB|=|MA|=|MB|=2且∠PAM=90°,故四边形MAPB为正方形,且有MP⊥l,则MP的方程为y=x,由正方形的几何性质可知,直线AB过线段MP的中点O(0,0),此时直线AB的方程为y=-x,即x+y=0,故B正确.故选BD.增分技巧直线与圆相切问题的解题策略(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.(2)过圆外一点求解切线段长时,可先求出圆心到圆外点的距离,再结合半径利用勾股定理计算.对点训练3(1)(多选题)(2021新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(

)A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2ACD(2)(2022新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:__________.x=-1解析

在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O1(3,4),由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.考向2弦长问题例4(1)(2023北京海淀一模)已知直线y+1=m(x-2)与圆(x-1)2+(y-1)2=9相交于M,N两点,则|MN|的最小值为(

)C

B增分技巧求解圆的弦长的三种方法

对点训练4(2022天津,12)若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=__________.2考向3直线与圆的位置关系例5(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为__________.对点训练5(多选题)(2021新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(

)A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切ABD考点四圆与圆的位置关系例6(多选题)(2023湖南名校5月适应性测试)已知圆C1:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16,下列说法正确的是(

)A.C1与C2的公切线恰有4条B.C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0C.C1与C2相交弦的弦长为D.若P,Q分别是圆C1,C2上的动点,则|PQ|max=12BD

对点训练6