专项五解析几何

考点10解析几何中的最值和取值范围问题命题分析考向趋势圆锥曲线中的最值与取值范围问题是解析几何中的核心问题,是常考点之一.最值问题的解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何法求解;二是利用代数法求解.取值范围问题常与不等式有关,根据题中给定的几何元素的位置关系及几何量的代数关系,建立特定字母的不等式(组)是求解此类问题的关键圆锥曲线中的最值与取值范围问题是高考中的常考题型,难度一般较大,常常把不等式、函数、圆及圆锥曲线等知识结合在一起,注重数学思想方法的考查,尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查【母题】(2021年全国Ⅲ卷,文T20)斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)((1)证明:k<-12(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:2|FP|=|FA|+|FB|.【拆解1】由于此题涉及中点弦的问题,所以可用点差法求得弦AB所在直线的斜率,进而得出斜率的取值范围.【拆解2】先求出点P的坐标,解出m,进而由两点间的距离公式进行证明.1.椭圆C的一个焦点为(0,2),且离心率为63(1)求椭圆C的标准方程.(2)假设A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.(i)求证:直线MN恒过定点,并求出该定点的坐标.(ii)假设O为坐标原点,求OM·ON的取值范围.2.曲线C上的任意一点到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为23,直线l交曲线C于A,B两点,O为坐标原点.(1)求曲线C的方程.(2)假设l不过点O且不平行于坐标轴,记线段AB的中点为M,求证:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(3)假设直线l过点Q(0,2),求△OAB面积的最大值,以及取最大值时直线l的方程.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法:假设题目的条件和结论能明显表达几何特征和意义,那么考虑利用图形性质来解决.(2)代数法:假设题目的条件和结论能表达一种明确的函数关系,那么可先建立目标函数,再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时,常从以下五个方面考虑:①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;②利用参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系;③利用隐含或的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;④利用根本不等式求出参数的取值范围;⑤利用函数值域的求法,确定参数的取值范围.1.(2021年宜宾市模拟)在圆O:x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M形成轨迹C.(1)求轨迹C的方程.(2)假设直线y=x与曲线C交于A,B两点,Q为曲线C上一动点,求△ABQ面积的最大值.2.(2021年嘉祥县第一中学高三模拟)如图,抛物线E:x2=2py(p>0)与圆O:x2+y2=5相交于A,B两点,且|AB|=4.过劣弧AB上的动点P(x0,y0)作圆O的切线,交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,且它们相交于点M.(1)求抛物线E的方程;(2)求点M到直线CD距离的最大值.3.(2021年辰溪县第一中学月考)如图,焦点在x轴上的椭圆x28+y2b2=1(b>0)有一个内含圆x2+y2=83,该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M,N,且OM⊥(1)求b的值.(2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A,B.证明:OA⊥OB,并求|AB|的取值范围.4.(2021年浙江宁波高三模拟)抛物线C1:y2=2px(p>0)的准线与半椭圆C2:x24+y2=1(x≤0)相交于A,B两点,且|AB|=(1)求抛物线C1的方程;(2)假设点P是半椭圆C2上一动点,过点P作抛物线C1的两条切线,切点分别为C,D,求△PCD面积的取值范围.5.(2021年上饶模拟)F是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,恰好又是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,双曲线C(1)求抛物线E和双曲线C的标准方程;(2)直线l过点F,且与抛物线E交于A,B两点,以AB为直径作圆M,设圆M与y轴交于点P,Q,求∠PMQ的最大值.6.(2021年安徽模拟)圆C:(x+1)2+y2=16,定点A(1,0),P为圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)假设过定点F(0,3)的直线交曲线E于不同的两点M,N(点M在点F,N之间),且满足FM=λFN,求实数λ的取值范围.7.(2021年上海模拟)抛物线y2=2px(p>0)的焦点F为圆C:x2+y2-4x+3=0的圆心.(1)求抛物线的方程与其准线方程.(2)设直线l与圆C相切,交抛物线于A,B两点.①假设线段AB中点的纵坐标为43,求直线l的方程;②求FA·FB的取值范围.8.(2021年安徽模拟)如图,O为坐标原点,椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为e2,e1e2(1)求C1,C2的方程.(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为弦AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.考点11解析几何中的定点、定值问题命题分析考向趋势定点、定值等问题是高考的一个热点,其解法充分表达了解析几何的根本思想:运用坐标法逐步将题目条件转化为数学关系式,然后综合运用代数、几何知识化简求值圆锥曲线中的定点、定值、定线问题是高考中的常考题型,难度一般较大,常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起,注重数学思想方法的考查,尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查.表达了直观想象与逻辑推理的核心素养【母题】(2021年全国Ⅰ卷,文T21)A、B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG·GB=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与(1)求椭圆E的方程;(2)证明:直线CD过定点.【拆解1】根据题设条件得到A(-a,0),B(a,0),G(0,1),求出AG·GB,代入条件可求得a的值,从而求出椭圆E的方程.【拆解2】设出点P的坐标,求出AP,BP的方程,与椭圆方程联立求得C,D两点的坐标,再运用点斜式方程化简求解即可得到定点.1.抛物线C的顶点为坐标原点,焦点F在x轴的负半轴上,过焦点F作斜率为k的直线交抛物线C于A,B两点,且OA·OB=-12,其中O为坐标原点.(1)求抛物线C的方程.(2)设点D(-2,4),直线AD,BD分别交准线l于点G,H,在x轴的负半轴上是否存在定点M,使GM⊥HM?假设存在,求出定点M的坐标,假设不存在,试说明理由.2.椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),(1)求椭圆E的方程.(2)设椭圆E的右焦点为F,过点G(4,0)作斜率不为0的直线交椭圆E于M,N两点,设直线FM和FN的斜率为k1,k2,试判断k1+k2是否为定值,假设是定值,求出该定值;假设不是定值,请说明理由.求定值问题常见的方法(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.定点问题常见的解法(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点.(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.1.(2021年四川模拟)曲线C:y=x22,D为直线y=-12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为(1)证明:直线AB过定点.(2)假设以E0,52为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形2.(2021年天津南开中学高三月考)椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为(1,0),且经过点A(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同的点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,假设|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.3.(2021年安徽模拟)椭圆C:x24+y2=1,A,B是椭圆C的左、右顶点,P(1)证明:直线PA与直线PB的斜率之积为定值.(2)设经过D(1,0)且斜率不为0的直线l交椭圆于M,N两点,直线AM与直线BN交于点Q,O为坐标原点,求证:OA·OQ为定值.4.(2021年北京高三模拟)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆C的方程.(2)设点M为椭圆上位于第一象限内的一动点,A,B分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线MB与x轴交于点C,直线MA与y轴交于点D,求证:四边形ABCD的面积为定值.5.(2021年上海模拟)椭圆E:x24+y23=1与y轴的正半轴相交于点M,且椭圆E上相异两点A,B满足直线MA,(1)证明:直线AB恒过定点,并求定点的坐标.(2)求三角形ABM的面积的最大值.6.(2021年四川省高三月考)椭圆E:x24+y2b2=1(0<b<2)的离心率为12,动直线l:y=kx+1与椭圆E交于点A,B,与y轴交于点为坐标原点(1)假设k=12,求△AOB的面积(2)试探究是否存在常数λ,使得(1+λ)OA·OB-2λOD·OP是定值.假设存在,求λ的值;假设不存在,请说明理由.7.(2021年河北模拟)如图,抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上.(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.8.(2021年江苏省高三模拟)如图,椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆C2:x2+y2=b2,圆C2将椭圆C1的长轴三等分,椭圆C1的右焦点到直线x=a2c的距离为24,椭圆C1的下顶点为E,过坐标原点O(1)求椭圆C1的方程.(2)假设直线EA,EB分别与椭圆C1相交的另一个交点为点P,M.(i)求证:直线MP经过一定点.(ii)是否存在以(m,0)为圆心,325为半径的圆G,使得直线PM和直线AB都与圆G相交?假设存在,请求出实数m的取值范围;假设不存在,考点12解析几何中的探索性问题命题分析考向趋势圆锥曲线中的探索性问题具有开放性和发散性,此类问题的条件和结论不完备,要求考生结合条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、比较、想象、概括等,是高考中的常考题型探索性问题常把不等式、函数、直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起,对数学能力和数学思想有较高的要求,难度一般较大,充分表达了直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养【母题】(2021年全国Ⅰ卷,文T21)点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)假设A在直线x+y=0上,求☉M的半径.(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.【拆解1】由题意设A(t,-t),B(-t,t),根据|AB|=4,可知|t|=2;由圆的性质可知圆心M必在直线y=x上,可设圆心M(a,a),然后根据直线与圆相切的条件求圆的半径.【拆解2】通过方程思想求出点M的轨迹,根据抛物线的定义求得定点坐标.1.抛物线C1:x=12py2(p>0)与椭圆C2:x2m2+y2m22=9(m>0)的一个交点为P((1)求C1与C2的方程.(2)设O为坐标原点,在第一象限内,椭圆C2上是否存在点A,使过点O且垂直于OA的直线交抛物线C1于点B,直线AB交y轴于点E,且∠OAE=∠EOB?假设存在,求出点A的坐标;假设不存在,说明理由.2.抛物线C:y2=2px(p>0),F为抛物线的焦点,焦点F到直线3x-4y+3=0的距离为d1,焦点F到抛物线C的准线的距离为d2,且d1d2(1)求抛物线C的标准方程;(2)设直线y=kx+b与抛物线C交于A,B两点,且|y1-y2|=a(a>0,且a为常数),过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D,连接AD,BD,试判断△ABD的面积是否为定值.假设是,求出该定值;假设不是,请说明理由.存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法〞,将不确定性问题明朗化.其步骤:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,假设方程组有实数解,那么元素(点、直线、曲线或参数)存在;否那么,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.1.(2021年黑龙江省哈尔滨市高三模拟)圆M经过点(0,1)且与直线y=-1相切,圆心M的轨迹为曲线C,点A(a,1)(a>0)为曲线C上一点.(1)求a的值及曲线C的方程.(2)假设M,N为曲线C上异于A的两点,且AM⊥AN.记点M,N到直线x=-2的距离分别为d1,d2,判断d1d2是否为定值,假设是,请求出该定值;假设不是,请说明理由.2.(2021年陕西省高三三模)定点S(-2,0),T(2,0),点P为平面上的一个动点,且直线SP,TP的斜率之积为-34(1)求动点P的轨迹E的方程.(2)设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点,问是否存在斜率为33的直线l,使得l交轨迹E于M,N两点,且Q(3,0)恰是△BMN的重心?假设存在,求出l的方程;假设不存在,请说明理由3.(2021年广东省高三二模)点O(0,0),点P(-4,0)及抛物线C:y2=4x.(1)假设直线l过点P及抛物线C上一点Q,当∠OPQ最大时,求直线l的方程.(2)在x轴上是否存在点M,使得过点M的任一条直线与抛物线C交于点A,B,且点M到直线AP,BP的距离相等?假设存在,求出点M的坐标;假设不存在,请说明理由.4.(2021年广西壮族自治区高三一模)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为(1)求椭圆C的标准方程.(2)假设椭圆C的左焦点为F1,过点F1的直线l与椭圆C交于D,E两点,那么在x轴上是否存在一个定点M,使得直线MD,ME的斜率互为相反数?假设存在