电工电子学第三章：电路的暂态分析

第三章电路的暂态分析23.1换路定则与电压和电流初始值的确定一、概述+-USC开关：打开→闭合灯不亮、电容未充电灯由亮到暗电容充电灯不亮、电容充电结束稳态新稳态暂态31、研究暂态过程的意义暂态过程是一种自然现象，对它的研究很重要。暂态过程的存在有利有弊。有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。4

当动态电路状态发生改变时，需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的暂态过程。例+-usR1R2（t=0）i0ti暂态过程为零电阻电路5K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC

=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUsRCi

(t→

)初始状态暂态新稳态t1USuct0?i有一过渡期电容电路6K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL

=0uL=0,i=Us/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路初始状态有一过渡期K+–uLUsRLi

(t=0)UsRLi

(t→

)电感电路uL初始状态暂态新稳态t1it0?uL72、暂态过程产生的条件①电路存在换路。电路的接通、断开、短路、电源或电路参数的改变等所有电路工作状态的改变，统称为换路。②电路中有储能元件自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或释放需要一定的时间。8电感L储存的磁场能量不能突变不能突变不能突变不能突变电容C储存的电场能量9设：t=0时换路---换路前的瞬间---

换路后的瞬间0＋0－内容：在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。t(s)0旧稳态暂态新稳态换路时刻二、换路定则10电路中电压、电流初始值可分为两类：电容电压和电感电流的初始值

即uC(0+)，iL(0+)。可利用换路定则，通过换路前瞬间的uC(0–)和iL(0–)求出。电路中其它的电压、电流的初始值可作出电路在t=0+时刻的等效电路：三、电压和电流初始值的确定电容用电压为uC(0+)的电压源替代；电感用电流为iL(0+)的电流源替代。11电路如图所示，t＝0时开关闭合。设开关闭合前，电路已经处于稳态。求开关闭合后瞬间的初始电压uC(0+)、uL(0+)，和初始电流iC(0+)、iL(0+)、iR(0+)、iS(0+)。iSCL10mAiRiCiLS2kΩuL1kΩ2kΩ+-+-uC例3.112（1)画出t＝0-电路处于稳态时的电路。求出uC(0-)、iL(0-)。解+uC(0-)iS10mAiRiCiL(0-)S2kΩ1kΩ2kΩ-电容开路，电感短路13（2)根据换路定则(3)画出t＝0+的等效电路iS10mAiRiCiLS2kΩuL1kΩ2kΩ+-+-10V5mA14iS10mAiRiCiLS2kΩuL1kΩ2kΩ+-+-10V5mA15电路如图所示。S打开前电路处于稳态，可得uC(0–)=Us换路时：uC(0+)=uC(0–)=Us

t≤0–时，电路处于稳态。试求S打开瞬间(t=0+)各支路电流及电容、电感电压。例3.2解：作出电路在t=0+时刻的等效电路，由此求出各支路电流初始值。16①电容用电压为uC(0+)的电压源代替；②电感用电流为iL(0+)的电流源代替。t=0+时的等效电路uC(0+)=Us17例3.3电路如图所示。t=0时S打开(换路前电路处于稳态)。求：i(0+)、解：由换路定则18例3.4在开关S闭合瞬间，图示电路中的iR、iL、iC和i这四个量中，不发生跃变的量是（）。（a）iL和iC（b）iL和i（c）iR和iLc193.2一阶线性电路的响应LR+-USt=0U02+1SR+_CU_一个储能元件：电容或电感一个或多个电阻直流电源开关，在给定时刻断开或闭合一阶电路20分析电路的暂态过程就是根据激励（电压源或电流源或储能元件的初始储能），求电路的响应（电压和电流）。分析基本依据：元件的伏安关系基尔霍夫定律SR+U0_C21U_++_+_开关S从1打到2一阶线性微分方程213.2.1RC电路的暂态响应换路前，开关S合在1上，电容元件已充电，电路处于稳态。t=0时将开关由1合到2，产生换路。换路前，电容充电根据换路定则SR+U0_C21+_+_1、RC电路的零输入响应零输入响应：外加激励(独立电源)为零，由电容、电感元件初始储能引起的电路响应。22应用KVL和元件的VCR得：tU0SR+U0_C21+_+_初始条件：解的形式:

uC(t)=Aept特征方程:

RCp+1=0

A=U0（t≥0）23定义：

称为时间常数单位R:ΩC：F

：s时间常数

的大小由电路的结构和参数决定，和初始电压的大小无关。按指数规律变化24tU0

36.8%U0工程上，t＝(3~5)τ认为暂态过程结束,电路到达新的稳态。

t0

2

3

4

5…∞uc

U00.368U00.135U00.03U00.018U00.007U0…0理论上，t→∞电路才达到新的稳态。当t＝τ时25tU036.8%U0

结论：

越大，暂态过程曲线变化越慢，uc达到新的稳态所需要的时间越长。τ的物理意义:决定电路暂态过程变化的快慢。26电路中的电流，电阻两端的电压变化的规律？或电路中各量的暂态过程具有相同的时间常数。SR+U0_C21+_+_27已知uC(0+)=15V，求：t≥0时的ux；解：求t≥0时的ux例3.5282、RC电路的零状态响应SR+U_C+_+_换路前，开关S断开，电容元件未充电。t=0时将开关闭合，产生换路。根据换路定则应用KVL和元件的VCR得：零状态响应是指电路在零初始状态下，仅由外加激励所引起的响应。29tU其解为：uC(t)=uCh(t)+uCp(t)——方程的齐次解，暂态响应分量uCp=Us——方程的特解，稳态响应分量=uC(∞)

A=-Us（t≥0）30分析电路在t≥0时，uR和iL的变化规律。t=0+时:且uR=RiL

，

t≥0时:1.RL电路的零输入响应RL电路时间常数：t0u

，iI0iLuRRI0解得：特征方程:

Lp+R=03.2.2RL电路的暂态响应31换路前，电感未储能。在t=0时，开关闭合。分析t≥0时，iL的变化规律。由KVL，uL+

uR

=U代入上式将则有iL

=iLh

+iLp

=Ae

t/τ

+U/RU+_RKt=0L2.RL电路的零状态响应t0iLiLU/R

A=-U/R32KR+U0_C21U_++_+_1.一阶电路的全响应换路后，电路中的响应由电压源U和电容元件的初始电压uC(0+)共同产生。应用叠加原理，得全响应。全响应=

零状态响应

+零输入响应一个具有非零初始状态的电路受到外加激励所引起的响应称为该电路的完全响应。3.3一阶线性电路暂态分析的三要素法33KR+U0_C21U_++_+_KR+U0_C21+_+_KRC21U_++_+_+34t0uCt0uCuCUuCU2.一阶电路的三要素法U0

f(0+)U

f(∞)中间过程：e-t/

uC

f(t)问题的提出：一阶电路的响应均为由初值按指数规律变化到稳态值。U0

U0

U0>UU0<U35

f(t)=f(∞)+[f(0+)

f(∞)]e-t/

其中：f(0+)——响应变量的初始值；

f(∞)——响应变量的稳态值；

——t≥0时一阶电路的时间常数。一阶线性电路在直流输入激励下，其完全响应的一般表达式为：这表明，只要知道f(0+)，f(∞)和

这三个数值，即可根据上式直接写出在直流输入下一阶电路的完全响应，而不必解电路的微分方程。这种方法称“三要素”法。36初始值y(0+)——在3.1中已介绍；稳态值y(∞)——在直流电源激励下电容视为开路，电感视为短路，即可算出各电流、电压稳态值；时间常数

——同一电路只有一个时间常数，

RC一阶电路:

=RinC，

RL一阶电路:

=L/Rin。三个特征量的计算法

Rin

——从储能元件两端看进去的戴维南等效电路的等效电阻。37三要素法求解暂态过程的步骤：分别求初始值、稳态值、时间常数；将以上结果代入暂态过程通用表达式；画出暂态过程曲线。（电压、电流随时间变化的关系）稳态值初始值t按指数规律变化38求稳态值举例t=0L2

3

3

4mAuc(∞)+-t=0C10V4k

+-4k

3k

39原则:τ要由换路后的电路计算。(同一电路中各物理量的τ是一样的)“三要素”的计算之时间常数τ的计算对于较复杂的一阶RC电路，将C以外的电路，视为有源二端网络，然后求其戴维南等效电路的等效电阻R'。则:步骤:

(1)对于只含一个R和C的简单电路,τ＝RC

；40（2）对于只含一个

L

的电路，将L

以外的电路，视为有源二端网络，然后求其戴维南等效电路的等效电阻R'。则:41U+-t=0CR1R2t=0R1R2求τ举例42t=0ISRLR1R2t=0RR1R2求τ举例43例3.6已知R1=R2=3k

,R3=6k

，C=10³pF,U＝12V,t=0时将开关K断开。试求t>0时电压uc和uo的变化规律。设开关K断开前电路已处于稳态。解①初始值uc(0+)=uc(0-)=0V求uo（0＋）R3Ut=0R1+_CR2+_++_uoKuoR1U+_R3R2_+44②稳态值③

时间常数

//(R1+R2)=3k

uoR1U+_R3R2_+R1R3R245④

将三要素代入公式，得（t>0）（t＞0）（t＞0）方法2：46⑤

画暂态过程曲线t306t0uc(0+)=0Vuc(∞)=6Vuo(0+)=6Vuo(∞)=3V647例3.7i1+uCS(t=0)4Ω+

i26Ω4Ω0.05F8V图示电路原已稳定。在t＝0时开关S闭合，试求S闭合后的i1(t)和i2(t)。解法一分别用三要素法求i1(t)和i2(t)。(1)求i1(0+)和i2(0+)uC(0+)=uC(0

)=04Ω+

i2(0+)6Ω4Ω0.05F8Vi1(0+)(2)求i1(

)和i2(

)4Ω+

i2(

)6Ω4Ω0.05F8Vi1(

)48(3)求

(4)求i1(t)和i2(t)4Ω+

6Ω4Ω8VReq=4+4//6=6.4Ω0t0.8A0.5Ai1i249解法二先求uC(t)，再根据电路结构求i1(t)和i2(t)。i1+uCS(t=0)4Ω+

i26Ω4Ω0.05F8V用三要素法求uC(t)uC(0+)=uC(0

)=04Ω+

6Ω4Ω8VReq=4+4//6=6.4Ω50求:电感电压uL(t)。已知：S在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。R1t=03ALSR2R3Is2

2

1

1H解：①求iL(0+)例3.8由t=

时等效电路②求iL(

)iL(

)=0A51③求

④求iL(t)=1+2//2=2ΩR1R2R3⑤求uL(t)52⑤

画暂态过程曲线t0

4V53电路如图所示。已知开关在t=0时闭合，动作前电路处于稳态。求t>0后，电流i和电压uC

。解：①求i(0+)、uC(0+)uC(0+)=uC(0

)=1.5V+

3V2

2

1

3

i0.5FuC+

画t=0+时的等效电路由换路定则得：例3.9+i(0+)1.5V+

3V2

2

1

3

54②求i(∞)、uC(∞)Ro=1//(3+2//2)=0.8

=RoC