陕西省西安市高新一中2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（含解析）

图形的相似章节测试班级_______姓名_______一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（）A.4cm，5cm，6cm，7cm B.3cm，4cm，5cm，8cmC.5cm，15cm，3cm，9cm D.8cm，4cm，1cm，3cm【答案】C【解析】【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两条线段的比值与另两条线段的比值相等，即，则为成比例线段．【详解】A、∵，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；B、∵，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；C、∵，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例线段，故该选项符合题意；D、∵，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，理解成比例线段的定义是解题的关键．2.如图，在四边形中，，，，，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【详解】解：，，，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，并灵活进行运用．3.下列说法正确的是（）A.有一个角等于的两个等腰三角形相似 B.两个菱形一定相似C.有一个角等于的两个等腰三角形相似 D.相似三角形一定不是全等三角形【答案】A【解析】【分析】根据相似图形和相似三角形的判定逐一进行判断即可．【详解】解：A、有一个角等于105°的两个等腰三角形相似，选项说法正确，符合题意；B、四边对应相等，四角对应相等的两个菱形一定相似，选项说法错误，不符合题意；C、当的角分别为一个等腰三角形的顶角，和一个等腰三角形的底角时，两个等腰三角形不相似，选项说法错误，不符合题意；D、相似三角形的相似比为1时，相似三角形全等，选项说法错误，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查相似图形和相似三角形的判断．熟练掌握相似图形的定义，相似三角形的判定，是解题的关键．4.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出的三边长，然后根据三角形相似的判定方法可对各选项进行判定即可．【详解】解：在中，，，，，选项B，C，D中的三角形都没有，而在选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为1和，∵，∴A选项中的三角形与相似．故选：A．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．5.图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（）A.0．8 B.0．96 C.1 D.1．08【答案】B【解析】【分析】由，可得出进而得出解出即可得出结论．【详解】解：，，，故选：【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键．6.主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上长为，则满足的方程是（）A. B. C. D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】点P是的黄金分割点，且，，则，根据，即可求解．【详解】解：由题意知，点P是的黄金分割点，且，，则，，，．故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．7.如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，则与的面积之比是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可．【详解】解：∵与是位似图形，点为位似中心，，∴与的相似比为，∴与的面积之比是；故选D．【点睛】本题考查位似图形的性质．熟练掌握位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．8.已知，如图，平行四边形中，，且，那么（）A.18 B.19 C.20 D.32【答案】C【解析】【分析】易证，利用相似的性质可求出的面积，再根据高相等的三角形面积之比等于底之比可求出的面积，进而可求出的面积，又因为的面积等于的面积，问题得解．【详解】∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴．∵，∴，∴，．∵，∴．∵与等高，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟知高相等的三角形面积之比等于底之比．9.如图，有一块形状为的铁板余料，已知要把它加工成一个形状为的工件，使在上，两点分别在上，且，则的面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据可知是中线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果．【详解】如图示，作交BC于H点，交DE于I点，∵∴∵∴是中位线，∴，又∵，即有，∴，∴，∴,故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．10.如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点，，给出下列结论：①；②；③；其中所有正确的结论序号为（）A.① B.①② C.①②③ D.②③【答案】C【解析】【分析】根据等腰直角三角形性质与相似三角形的判定与性质即可依次判断．【详解】解：∵三角形和三角形都是等腰直角三角形，∴AC＝AB，AD＝AE，∴，∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，所以①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴，∵∠PMA＝∠DME，∴△PMA∽△EMD，∴∠APD＝∠AED＝90°，故②正确，∵∠CAE＝180°−∠BAC−∠EAD＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴∴AC2＝CP•CM，∵AC＝BC，∴2CB2＝CP•CM，所以③正确；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．二、填空题（每小题3分，共21分）11.已知，则_______．【答案】##【解析】【分析】由已知等式得到，再代入化简即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查分式的求值，将已知条件或所求分式作适当变形，然后利用分式的基本性质化简是解题的关键．12.如图，P是边上一点，请添加一个条件使得与相似，则你添加的条件可以是________，（只需添加一个符合的条件即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由于两个三角形有公共角，因此可添加一组角对应相等即可判定两三角形相似．【详解】解：添加条件：，∵，，∴，故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：两组角对应相等的两个三角形相似，两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似．13.两个多边形相似，面积的比是，一个多边形的周长为，则另一个多边形的周长为________．【答案】或##或【解析】【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】解：∵两个多边形相似，面积的比是，∴两个多边形的相似比是，设：另一个多边形的周长为，∴或，∴或，∴另一个多边形的周长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，对应对角线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，熟练应用相似多边形的性质是解答本题的关键．14.如图所示，在中，，于D，下列四个结论中：①；②；③；④．其中正确的有_________．【答案】②③④【解析】【分析】由垂线的定义结合同角的余角相等可推出，故②正确；因为不确定，故不一定成立，故①错误；证明即可推出，故③正确；证明，即可推出，故④正确．【详解】解：∵，∴．∵，∴，，∴，故②正确；当时，，∵不确定，∴①错误；∵，，∴，∴，即，故③正确；∵，，∴，∴，即，故④正确．综上可知正确的为②③④．故答案为：②③④．【点睛】本题考查垂线的定义，同角的余角相等，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．15.如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______．【答案】1∶3【解析】【分析】先设四边形和四边形的边长为x，然后根据AEM∽ABC可得，进而可求得AP＝2.5，EM＝5，然后分别求得S△AEM＝，S△ABC＝25，即可求得S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM＝，由此可得答案．【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形，∴设四边形和四边形的边长为x，则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，∵AD⊥BC，∴PD＝EF＝x，∵AD＝5，∴AP＝AD－PD＝5－x，∵EMBC，∴AEM∽ABC，∴，∴，解得：x＝2.5，∴AP＝2.5，EM＝5，∴S△AEM＝＝，又∵S△ABC＝＝25，∴S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM＝25－＝，∴S△AEM∶S四边形BCME＝∶＝1∶3，故答案为：1∶3．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．16.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．【答案】##【解析】【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．【详解】∵点E是AB的黄金分割点，∴．∵AB=2米，∴米．故答案为：（）．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．17.如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______．【答案】【解析】【分析】连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以及，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可．【详解】解：连接AC交BD于点O，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，∴在Rt中，AB=4，BO=，∵，∴过点M作MG//BD交AC于点G，∴,∴又∴，∴四边形MEOG是矩形，∴ME=OG，又∴∴在和中，,∴≌∴，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．三、解答题（共49分）18.如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长．（2）如果DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长．【答案】（1）6（2）15【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．【详解】（1）∵l1∥l2∥l3．∴，∴DE=EF=6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴，∴BC=AB=×6=9，∴AC=AB+BC=6+9=15．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．19.如图，已知等腰，点D、E分别在上，且．（1）求证：；（2）如果，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质及已知即可完成证明；（2）由相似三角形的性质即可完成解答．【小问1详解】证明：∵，∴，∵．∴；【小问2详解】由（1）得，∴，∵，，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质、等腰三角形的性质，掌握这两方面的知识是关键．20.某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，，，点B、D、E、G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计）【答案】凌霄塔的高度为42米，见解析【解析】【分析】先证明，求出的长，再证明即可求出答案．详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴解得：，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴凌霄塔的高度为42米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．21.如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．【答案】（1）见解析；（2）DG＝．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质判定四边形AECF是平行四边形，根据AF=FC，即可得结论；（2）根据矩形和菱形的性质证明△ADG∽△EAB，对应边成比例即可求出DG的长．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE＝EC，∴四边形AECF菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，根据勾股定理，得AE＝＝＝5，∵四边形AECF是菱形，∴EC＝AE＝5，∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵DG⊥AE，∴∠DGA＝∠B＝90°，∴△ADG∽△EAB，∴＝，即＝，∴DG＝．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．22.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．【答案】（1）能，t的值为2s或3s；（2）t为秒与秒.【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中求出对角线AC的长度，然后表示出CQ、PC的长度，过点P作PH⊥BC于点H，然后表示出PH的长度，根据面积为3.6cm2，列方程求解．（2）分∠PQC＝90°与∠CPQ＝90°两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）如图1，过点P作PH⊥BC于点H，在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，当运动ts（0＜t＜5）时，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，∵∠ACB＝∠HCP，∠B＝∠PHC，∴△PHC∽△ABC，∴∴PH＝（10﹣2t）cm，根据题意，得t•（10﹣2t）＝3.6，解得：t1＝2，t2＝3．答：当t的值为2s或3s时，△CQP的面积等于3.6cm2时．（2）如图2，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，∴△PQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得t＝（秒）；如图3，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，∴△CPQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得t＝（秒）．综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答（2）时要注意分类讨论．23.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究