2023年江西省吉安市七溪岭中学高三数学理联考试卷含解析

2023年江西省吉安市七溪岭中学高三数学理联考试卷

含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知球。的表面积为16开，球心。在大小为百的二面角a-'-F的内部，且平面

a与球。相切与点平面尸截球。所得的小圆。的半径为1,若点F为圆C/上

任意一点，记加、尸两点在该球面上的球面距离为d,则

7T

(A)当d取得最小值时，。尸与所成角为7

(B)当d取得最小值时，点尸到平面仪的距离为小

5”

(C)d的最大值为3

(D)d的最大值为2万

参考答案：

C

球半径K=2,小圆。的半径为1,

,1。。卜—。必，〃2=看

n

当d取得最小值时，版尸与。M所成角为不，

用5万

故A错；点尸到平面a的距离为2,故B错当d取得最大值时，+

I\

\7***F\

5<7-----

d的最大值为1"，故选C.

f()―f-)l+x2+1

2.设函数W-kT；1+lxl,则使得f(2x-1)+f(1-2x)<2f(x)成立的x的

取值范围是()

人4,1)Rs'2)u(i,+8)(4,A.)s,])uQ，+8)

参考答案：

B

【考点】函数单调性的性质.

【分析】判断函数f(x)的单调性和奇偶性，f(2x-1)+f(1-2x)=2f(2x-1),利

用其函数性质求解即可.

1+XZj---1---

【解答】解：函数'"2，1+1x1,

由解析式可知，f(X)为偶函数且在[0,+8)上单调递减，

则f(2x-1)+f(1-2x)=2f(2x-1),

：.f(2x-1)+f(1-2x)<2f(x)

?2f(2x-1)<2f(x)

?f(2x-1)<f(x)

?f(|2x-1|)<f(|x1)

222

|2x-l|>|x|=|2X-1|>|XI〜(2x-l)>x«x<^-

?3或x>l,

故选B.

【点评】本题考查了函数的性质之奇偶性和单调性的运用能力和化解能力.属于基础题,

3.执行如图所示的程序框图，如果输入的m=168,n=112,则输出的k,m的值分别为

()

A.4,7B.4,56C.3,7D.3,56

参考答案：

C

【考点】EF：程序框图.

【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果.

【解答】解：执行如图所示的程序框图，

输入m=168,n=l12,

满足m、n都是偶数，k=l,m=84,n=56,

满足m、n都是偶数，k=2,m=42,n=28,

满足m、n都是偶数，k=3,m=21,n=14,

不满足m、n都是偶数，

满足mWn,d=m-n|=7,m=14,n=7,

满足mWn,d=m-n=7,m=7,n=7,

不满足mWn,退出循环，输出k=3,m=7.

故选：C.

4.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）

H+3*

A.10cm'B.20cm'C.30cm3D.40cm'

参考答案:

B

【考点】由三视图求面积、体积.

【专题】计算题；空间位置关系与距离.

【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；

底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4,计算三棱柱与三棱锥的体积，再

求差可得答案.

【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：

棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4,

121

几何体的体积V=WX3X4X5-5x5x3X4X5=20（cm3）.

故选B

【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所

对应的几何量.

5.欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油

沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见”行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱

d

是直径为d的圆面，中间有边长为9的正方形孔，现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小

忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（）

由题意可得直径为d的圆的面积为:兀二岛,

d.

而边长为之的正方形面积为，

二

9_4

I,9B

—

故所求概率p=”.

6.下列说法中正确的是（）

<

B.函数，=*21的图象向右平移4个单位得到的函数图象关于y轴对称

4A-■盗<>

c.命题“在A咏中，若3则2”的逆否命题为真命题

D.若数列｛%｝的前n项和为A-2*,则数列｛%｝是等比数列

参考答案：

B

若a=Q>=-l,电/口1061b无意义，故A错误；

若函数¥=*2*的图象向右平移彳个单位,

jr=^2（L^）=sba（2x——）="cas2r

函数的解析式为42,图象关于「轴对称，故B正

在2USC中，令6,则22,此命题是假命题，

故其逆否命题为假命题，故C错误；

数列｛1,2,5｝和是8-2,但数列不是等比数列，故D错误；

故选B.

7.已知5・是公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和，且A,号，鼻，成等比数列，则

,+4

q等于（）

A.4B.6C.8D.10

参考答案：

C

设等差数列｛4｝的公差为d,d3•.冏鸟鸟成等比数列，...：CS]"即

|洱7广时却+6dL解方程可得.5,故则’，故选C.

8.若两个正实数石尸满足«6,且5y・恒成立，则实数r的取

值范围是()

A.(-8,2)B.(-00,8)U(2,+oo)

C.(—2,8)D.(—oo,-2)U(8,+oo)

参考答案：

c

9.已知某几何体的三视图如右上图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆

构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为

()

扬TJ4兀1扬r11

—十一一+---+--+-

A.32B.36C.6D.32

参考答案：

C

10.设耳4是椭圆其的两个焦点，P为椭圆㈤上的点，以五K为直径的圆经过巧，若

2^5

tanZPRK=——

15,则椭圆万的离心率为()

正正

A.6B.5

更正

C.4D.3

参考答案:

D

析】

试遁分析：由题设/尸入料=90。,用以尸片=挈X(功,由勾程定理可用PK=J^^(2^+(2cy

=入x号，依贯UHI的定义可和必=生•&x%.卬a=竽c.故即泗•=[.应选D.

考点：椭圆的几何性质及运用.

【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和

考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用椭圆的几何性质和题设中的条件

将问题转化为求点I即U愿I的值的问题.解答时充分运用题设条件=1T

2石7石

|y»R|=-X(2c)IPFLH—x(2c)

和勾股定理，通过解直角三角形求得15,15，然后运用

椭圆的定义建立方程求得离心率,一丁.借助椭圆的定义建立方程是解答好本题的关键.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.在正方形中，£为题的中点，P是以上为圆心，上5为半径的圆弧03上的

任意一点.

(1)若向正方形内撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在扇形/BD内的概率

为：

(2)设=向量4c=4P(4,〃©R),若"一2二1,则

8=.

参考答案：

nn

4；2.

(1)所求概率为扇形＜5。的面积与正方形的面积的比值，设正方形边长为。，

12

-zra户一

尸=4=2”

则所求概率为一-/一一彳.故填彳.

(2)不妨设正方形边长为1,以力为坐标原点，AB,

DE=(-.-

加所在直线为x轴，了轴建立直角坐标系，则2

而=(1,1),万=(co$6,sm0由而=4而+/Q,得

2sm6-2g$6

-4+〃co$8=14=

$in6+2co$8

3n

-4+〃SIG8=1A=

,解得一sin0+2cos3.由〃-2=1,求得S>n6=l,从而2.

JT

故填E.

【解题探究】本题是一道涉及几何概型和向量知识的综合问题.第(1)题是几何概型问

题，求解转化为扇形的面积与正方形面积的比来解决；第(2)问是关于平面向量线性运

算的考题，解题时可建立适当的坐标系，用向量的坐标运算来实现转化.若假设正方形边

长为1,则点P在单位圆上，就可以考虑引入三角函数来表示点尸的坐标.

f9

x$-5,x>-1

<X

1

12.设f(x)=1-x，,x4一1,则f[f(-8)]=.

参考答案：

【考点】函数的值.

【分析】先求出f(-8)=-(-8)3=2,从而f[f(-8)]=f(2),由此能求出结

果.

「9

x$-5,x>-1

X

1

【解答】解：Vf(x)=|-X3.x<-1,

J_

T

Af(-8)=-(-8)°=2,

2二

f[f(-8)]=f(2)=2+2=-2.

故答案为：-2.

log2(3-x)

13.函数y=Yx'-1的定义域为.

参考答案：

(-8,-1)u(1,3)

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用.

【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域.

r

3-x>0fx<3

【解答】解：要使函数有意义，则得[x>l或即i<x<3或x<

-1,

即函数的定义域为(-8,-1)u(1,3),

故答案为：(-8,-1)u(1,3)

【点评】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件.

14.如右图，在正方体^中，直线4夕与平面4国「。所成的角的大小等

于

参考答案：

30°

15.在等差数列（%｝中，若与+铀+%=3,则该数列的前15项的和为.

参考答案：

15

略

16.以椭圆的右焦点明为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于点M,N,

若过椭圆左焦点月的直线巾眄是圆尸2的切线，则椭圆的离心率

为________________________

参考答案：

万-1

?+1

17.关于函数同有下列命题：

（1）函数y=/（力的图象关于了轴对称；

（2）在区间（F°）上，/（＞）是减函数；

（3）函数y二/"）的最小值是2；

（4）在区间（1，+叫上，/5）是增函数.

其中正确的命题是

参考答案：

（1）（3）（4）

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知数列｛扇）的前力项和为且满足：ai=a（«*O）,G“=低（"€N*,

（I）求数列g*1的通项公式；

（II）若存在kWN*,使得&♦】，《川成等差数列，是判断：对于任意的

想WN*,且冽之2,a・，mc是否成等差数列，并证明你的结论.

参考答案：

本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特

殊与一般的思想。（满分13分）

解：（I）由已知勺“=靖.•可得/.2=为川，两式相减可得

即%.2=。+1）4♦卜

又％=9=0•所以r=0时，

数列为:a,0,…，0,,•,；

当厂工0八-1时，由已知"0.所以�（方€］），

于是由％”=0+D，.卜可得与“，

…成等比数列，

当n22时，4=r&+Dia

aa界=L

综上，数列的通项公式为卜(尸+1广d**2

(H)对于任意的冽eM,且加2.%“.。*.。姓2成等差数列，证明如下：

a.n-1,

a=)

当r=0时，由⑴知，'

对于任意的切eM,且加22.。.“0*.%^成等差数列，

当rwO,厂工-1时;

**'$*♦?=K+%+aM•$3+aM

若存在使得国成等差数列，

则&“+=2sM

r

2S*+2a1t.i+%.2=2St,0PaUJ=-2aM.

由⑴知，的0•…4•…的公比，+1=-2,于是

对于任意的冽€N*,且加之2.。7=-2%.从而％c=4%.

+=口■•即“*♦】•&成等差数列，

综上，对于任意的加€M，且冽2成等差数列。

19.已知函数贝x)=x+,g(x)=x+lnx,其中。＞0.(1)若x=l是函数/?(x)=/(x)+g(x)

的极值点，求实数。的值；(2)若对任意的X”电白，e(e为自然对数的底数)都有

人用)么3)成立，求实数a的取值范围.

参考答案：

(l)vh(x)=2x++lnx,

其定义域为(0,+oo),

••h\x)=2—F,

:X=1是函数〃(X)的极值点，

二“)=0,即3—a2=0.

,.'a>0,.-.a=.

经检验当。=时，x=l是函数力。)的极值点，J.a=.

(2)对任意的xt,x2el,e都有人为)么(X2)成立等价于对任意的汨，x2e\,e,

都有/(X)min沟(X)max.

当x€l,e时,g%x)=l+>0.

函数g(x)=x+lnx在I,e上是增函数，

•••g(x)max=g(e)=e+l.

且xel,e,a>0.

①当0<。<1且xel,el3寸，

/a)=>o,

二函数«x)=x+在1,e上是增函数，

•,贝X)min=/U)=l+〃.

由1+a2>e+1,得介，

又二。不合题意.

②当1Wage时,

若后a,

则1(x)=VO,

若a<x<e,

则/(x)=>0.

二函数/(x)=x+在1,。)上是减函数,

在(a,e上是增函数.

•次x)min=>(a)=2a.

由2aNe+l,得色.

又l<«<e,­,-<a<e.

③当a>e且xCl,e时

1(x)=<0，

函数«r)=x+在1,e上是减函数.

•次x)min=_Ae)=e+-

由e+Ne+1,得生，

又a>e,--a>e.

综上所述，。的取值范围为，+oo).

20.(满分13分)

_卜+2

设函数y=怆(J-X-2)的定义域为A,函数”寸=的定义域为B,

求与HuS。

参考答案：

A={巾>2或x<-1}

B={x|-2<x<l}

={x|-2<x<-l)

A\JB={x\x<1或x>2}

21.直三棱柱45c中，X5-5.40-4,5(7-3,例=4,点。在.上

(I)若。是为3中点,求证：/G”平面58；

BD^1

(H)当近=3时，求二面角3-8一4的余弦值.

参考答案：

解：(I)连接更\交耳。于点£,连接以，

因为直三棱柱中侧面SC。舌为矩形,所以

后为BC，的中点，又D是为3中点，

于是DE"AC,且DE