第4章三角形证明 题型解读7 运用“ASA、AAS”证三角形全等-2020-2021学年北师大版七年级数学下册

《三角形证明》题型解读7：运用“ASA、AAS”证三角形全等【知识梳理】①两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”；②两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”；③特别注意：“AAA”不能证明两个三角形全等；④几何符号语言：在△ABC与△DEF中，∵∠∴△ABC≌△DEF（ASA）在△ABC与△DEF中，∵∠∴△ABC≌△DEF（AAS）【典型例题】例1.如图，已知，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，求证：△ABC≌△ADE【解析】：利用∠BAE内存在数学典型模型：“共角模型”求出等角，再依AAS证全等；【解题过程】∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE（共角模型），在△ABC和△ADC中，∵∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∴△ABC≌△ADE（AAS）例2.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于O，AD=AE,∠B=∠C，求证：BD=CE【解析】利用∠A是△ABE、△ADC的共角及全等判定条件：AAS可证△ABE≌△ACD，得AB=AC，再利用等式性质可得BD=CE【解题过程】在△AEB与△ADC中，∵∠A=∠A，∠B=∠C，AD=AE，∴△AEB≌△ADC（AAS），∴AB=AC，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE.例3.如图,已知AC平分∠DAB、∠DCB，求证：∠AEB=∠AED。【解析】：欲证∠AEB=∠AED，需证所在三角形全等：△ADE≌△ABE，理顺手上已知条件，已知一边一角相等：AE=AE、∠DAE=∠BAE，故只需再找一边AD=AB，利用“SAS”证全等，利用ASA证△ADC≌△ABC即可得AD=AB。【解题过程】∵AC平分∠DAB、∠DCB，∴∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∵AC=AC，∴△ADC≌△ABC（ASA），∴AD=AB，又∵∠DAE=∠BAE，AE=AE，∴△ADE≌△ABE，∴∠AEB=∠AED.例4.在△ABC中，∠B=∠ACB，点F为AC延长线上的一点，D为边AB上的一点，且BD=CF，求证：DE=EF.【解析】：欲证DE=EF，需证所在三角形全等，但DE、EF所在的三角形大小不一，肯定不全等，故需要添加辅助线构造三角形全等，由于DE所在的△BDE更大，故可以采用“割”的方法，构造一个三角形与EF所在的△ECF全等，作辅助线DM//CF，证△DBM是等腰三角形、△DME≌△FCE即可解答。【解题过程】过点D作DM//CF交BC于点M，∵∠DMB=∠ACB，∵∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴△DBM是等腰三角形，∴DB=DM，∵BD=CF，∴DM=CF，∵DM//CF，∴∠MDE=∠F，在△DME与△FCE中，∵∠MDE=∠F，∠DEM=∠FEC，DM=CF，∴△DME≌△FCE（AAS），∴DE=EF.例5.（1）△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，要使△ABC≌△DEF，则下列补充的条件中错误的是（）A.AC=DFB.BC=EFC.∠A=∠DD.∠C=∠F（2）如图，AB//CD，欲证△AOB≌△COD，可补充条件_______.(填写一个适合的条件即可).【解析】（1）题目已知证明△ABC≌△DEF的条件是一边与一角，我们可以利用“SAS”、“ASA”、“AAS”证全等，所以补充的条件必须符合以上三个全等判别条件，即选项C、D是符合的，选项B中，AB与BC的夹角是∠B，DE与EF的夹角是∠E，若BC=EF，正好符合“SAS”；而选项A中，AB与AC的夹角是∠A，DE与DF的夹角是∠D，即题目已知条件中的等角：∠B=∠E，不是等边AB=DE、AC=DF的夹角，“ASS”是不能证明两三角形全等的，故选A.（2）由题目已知条件可知，在△AOB与△COD中，三组对应角都相等：因平行线性质可得：∠A=∠C、∠B=∠D，由对顶角性质可得：∠AOB=∠COD，故欲证△AOB≌△COD，只需补充一个条件：等边即可，所以补充的条件：AB=CD或AO=CO或OB=OD，即可利用“SAS”或“ASA”或“AAS”证全等.例6.如图，CD⊥BD，AB⊥BD，CE⊥AE，且AB=DE，求证：CD=BE