专题24.4特殊角的三角函数值-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【华师大版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题24.4特殊角的三角函数值姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•津南区模拟）sin45°+cos45°的值为（）A．1 B．2 C．2 D．22【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解析】原式==2故选：C．2．（2020秋•兴化市期末）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=32，则A．70° B．60° C．50° D．30°【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值．【解析】∵sin（α﹣10°）=3∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．故选：A．3．（2018秋•怀柔区期末）已知∠A为锐角，且sinA=12，那么∠A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解析】∵sinA=12，∠∴∠A＝30°．故选：B．4．（2021春•淮南月考）若(3tanA-3)2+|2cosB﹣1|A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有60°的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形【分析】先根据非负数的性质得出tanA与cosB的值，再由特殊角的三角函数值求出∠A与∠B的值，进而可得出结论．【解析】∵(3tanA-3)2+|2cosB∴3tanA﹣3＝0，2cosB﹣1＝0，∴tanA=3，cosB=∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故选：B．5．（2020秋•长春期末）式子2cos30°﹣tan45°的值是（）A．1-22 B．0 C．3-1 【分析】把30°的余弦值、45°的正切值代入，计算即可．【解析】2cos30°﹣tan45°＝2×3=3-故选：C．6．（2019秋•乳山市期末）锐角α满足sinα＞22，且tanαA．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数关系的增减性，得出答案．【解析】∵sinα＞22∴45°＜α＜60°．故选：B．7．（2020秋•白银期末）在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝22，∠C＝90°，则∠A的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．60°【分析】首先作出图形，可得cosA=ACAB，继而可求得∠【解析】在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝22，∴cosA=AC则∠A＝45°．故选：C．8．（2019秋•相山区期末）下列计算错误的个数是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°②sin245°+cos245°＝1③（tan60°）2=13④tan30A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据特殊锐角的三角函数值分别计算等式的左右两边，据此即可对每个等式作出判断．【解析】①sin60°﹣sin30°=32-12②sin245°+cos245°＝（22）2+（22）2=③（tan60°）2＝（3）2＝3，错误；④tan30°=33，故选：C．9．（2020秋•杭州期末）下列不等式成立的是（）A．sin60°＜sin45°＜sin30° B．cos30°＜cos45°＜cos60° C．tan60°＜tan45°＜tan30° D．sin30°＜cos45°＜tan60°【分析】将特殊角的三角函数值进行比较即可．【解析】A、∵32∴sin60°＞sin45°＞sin30°，故选项不成立；B、∵32∴cos30°＞cos45°＞cos60°，故选项不成立；C、∵3＞1＞∴tan60°＞tan45°＞tan30°，故选项不成立；D、∵12∴sin30°＜cos45°＜tan60°，故选项成立．故选：D．10．（2016•新泰市模拟）你认为tan15°的值可能是（）A．36 B．2+3 C．2-3 【分析】根据特殊角三角函数值，可得tan30°，根据正切函数的增减性，可得答案．【解析】由15°＜30°，得tan15°＜tan30°=3tan15°大约是2-3故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•思明区校级月考）cos30°的值等于32【分析】利用特殊角的三角函数值可得答案．【解析】cos30°=3故答案为：3212．（2020秋•舞钢市期末）已知α是锐角，sin（α+15°）=32，则cosα＝2【分析】根据60°的正弦值32求出α，根据45【解析】∵sin60°=3∴α+15°＝60°，∴α＝45°，则cosα＝cos45°=2故答案为：2213．（2021•常州模拟）计算：sin245°+2cos230°＝2．【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【解析】原式＝（22）2+2×（32=12+=1=4＝2，故答案为：2．14．（2020•淮安模拟）△ABC中，已知（2sinA﹣1）2+|tanB-33|＝0，∠A、∠B为锐角，则∠C＝105【分析】根据非负数的性质可得2sinA﹣1＝0，tanB-33=0，然后可得∠A＝45°，∠B＝30°，再利用三角形内角和为180【解析】由题意得：2sinA﹣1＝0，tanB-33∴sinA=22，tanB∴∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故答案为：105．15．（2020•南关区校级二模）△ABC中，∠C＝90°，tanA=43，则sinA+cosA＝7【分析】根据tanA=43和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cos【解析】如图，∵tanA=BCAC∴设AB＝5x，则BC＝4x，AC＝3x，则有：sinA+cosA=BC故答案为：7516．（2020秋•泗水县期末）已知∠A+∠B＝90°，若sinA=35，则cosB＝3【分析】根据互为余角的三角函数的关系：一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．【解析】由∠A+∠B＝90°，若sinA=3cosB=sinA=3故答案为：3517．（2017秋•利津县期末）请首先规范书写出30°角的三个锐角三角函数值sin30°=12，cos30°=32，tan30°=33，在△ABC中，若|sinA-12【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及结合非负数的性质分析得出答案．【解析】sin30°=12，cos30°=32，∵|sinA-12∴sinA=12，cosB∴∠a＝30°，∠B＝45°，∴∠C的度数是：180°﹣30°﹣45°＝105°．故答案为：sin30°=12，cos30°=32，tan30°18．（2018•即墨区自主招生）已知三角函数的变换公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，则下列说法正确的序号是②③④．①cos（﹣30°）=-3②cos75°=6③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；④cos2x＝cos2x﹣sin2x．【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．【解析】①cos（﹣30°）＝cos30°=3②cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°•cos45°﹣sin30°•sin45°=32③cos（x﹣y）＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，命题正确；④cos2x＝cosx•cosx﹣sinx•sinx＝cos2x﹣sin2x，命题正确；故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•灌云县模拟）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）cos230°1+sin30°【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【解析】（1）原式=2×=1+3=-3（2）原式=(32)=3=720．（2018秋•南昌期末）（1）在△ABC中，∠B＝45°，cosA=12．求∠（2）在直角三角形ABC中，已知sinA=45，求tan【分析】（1）由条件根据∠A的余弦值求得∠A的值，再根据三角形的内角和定理求∠C即可．（2）根据角A的正弦设BC＝4x，AB＝5x，得AC的长，根据三角函数的定义可得结论．【解析】（1）∵在△ABC中，cosA=1∴∠A＝60°，∵∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝75°；（2）∵sinA=BC设BC＝4x，AB＝5x，∴AC＝3x，∴tanA=BC21．（2020秋•平果市期末）若sin（α﹣15°）=22（（1）求α的值；（2）计算：sin2α+cos2α．【分析】（1）根据特殊锐角的三角函数值得出相应的锐角的度数，进而求出α的值，（2）根据（1）所得到的值代入计算，即可得出正确答案．【解析】解（1）∵sin(α-15°)=22，∴α﹣15°＝45°∴α＝60°；（2）sin2α+cos2α＝（sin60°）2+（cos60°）2=(3222．（2020•盐池县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D在BC上一点，AC＝2，CD＝1，记∠CAD＝α．（1）试写出α的三个三角函数值；（2）若∠B＝α，求BD的长．【分析】（1）在直角三角形ACD中，由AC与CD的长求出AD的长，利用锐角三角函数定义求出α的三个三角函数值即可；（2）由∠CAD＝∠B＝α，且一对公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ACD与三角形BCA相似，由相似得比例，求出BD的长即可．【解析】（1）在Rt△ACD中，AC＝2，CD＝1，根据勾股定理得：AD=A则sinα=CDAD=55，cosα=（2）∵∠CAD＝∠B＝α，∠C＝∠C＝90°，∴△ACD∽△BCA，设BD＝x，则BC＝x+1，∴ACBC=CD解得：x＝3，则BD＝3．23．（2020•丛台区校级一模）嘉琪在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（22）2+（22）2＝据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．【解析】（1）当α＝30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）＝sin230°+sin260°＝（12）2+（32=1＝1；所以当α＝30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）＝1成立．（2）证明：如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝（BCAB）2+（ACAB=B=A＝1．24．要求tan45°的值，可构造直角三角形进行计算，如图所示，作Rt△ABC，使∠C＝90°，直角边AC＝BC＝1，斜边AB=2．∠ABC＝45°，所以tan45°=AC（1）在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan22.5°的值．请简要写出你添加的辅助线，并求出tan22.5°的值；（2）仿照（1）求出tan15°的值．【分析】（1）延长CA到D，使DA＝AC，连接DB，如图1，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝1，AB=2．∠ABC＝45°，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠D＝22.5°，然后在Rt△BDC中，根据正切的定义可求出tan22.5（2）Rt△ABC，∠C＝90°，AC=3，BC＝1，AB＝2，∠BAC＝30°，延长CA到D，使AD＝AB＝2，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠D＝15°，然后在Rt△BDC中，根据正切的定义