第4章三角形证明 题型解读14 三角形全等证明思路步骤详解-2020-2021学年北师大版七年级数学下册

《三角形证明》题型解读14三角形全等证明思路步骤详解【知识梳理】第一步：应用情景----看题目所求的结论分析①直接证两个三角形全等②证两个角相等（或求角度，证该角与已知角相等）③证两条边相等（或求角度，证该角与已知角相等）④证边或角的倍分关系⑤证边或角的和差关系第二步：明确需证全等的两个三角形（针对以上五种情形）1.挑选方法①直接确定②直接找两个角所在的三角形；若直接所在的三角形不全等，则利用等量代换，找第三个角与其中未换的那个角所在三角形全等；③直接找两条边所在的三角形；若直接所在的三角形不全等，则利用等量代换，找第三条边与其中未换的那条边所在三角形全等；④先利用已知条件，把边或角的倍分关系转化成“一对一”关系，再按②或③的思路找三角形全等；⑤先“截长补短”，把把边或角的和差关系转化成“一对一”关系，再按②或③的思路找三角形全等；2.挑选技巧①所挑选的两个三角形，从图形视觉上应完全相同；②所挑选的两个三角形，离已知条件的图形位置最近；第三步：寻找全等条件，确定全等方法①先看字母找条件，再看图形证条件；②看图时，学会拉近已知条件与未知条件的图形位置；③学会利用已证明结论的作已知条件----“解题思路的延续性”；附：熟悉三角形全等中四个典型：“典型模型、典型图形、典型题型、典型经验”，快速确定思路方向和解题方法；【范例详解】例1.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点O，且BO＝CO，求证：DO＝EO。【思路分析】要求DO=EO，首选三角形全等，找DO、EO所在的三角形△DOB与△EOC，再确定这两个三角形全等条件。不难找到以下的全等条件：已知条件BO=CO；对顶角∠DOB=∠EOC，还缺一个全等条件，由于OD=OE是题目最终要证的结论，所以不可能运用SAS证明这两个三角形全等，即意味着所缺的那个全等条件应该是一组角相等，而且一定与未用过的已知条件：AB=AC有关。由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，则∠ABC=∠ACB；而由OB=OC也可得∠OBC=∠OCB，由等式性质可得∠DBO=∠ECO，这样由ASA可证△DOB≌△EOC，由全等性质可得DO=EO.【证明过程】证：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠DBO=∠ECO，在△DOB与△EOC中，∵∠DOB=∠EOC，BO=CO，∠DBO=∠ECO，∴△DOB≌△EOC，∴DO=EO.例2.在△ABC中,AB=AC,点D是直线,BC上一点(不与B,C重合),以AD为边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,求∠BCE的度数；(2)设∠BAC=α，∠BCE=β.如图2,当点D在线段BC上移动,则α、β有怎样的数量关系?请说明理由。【思路分析】(1)从图形视觉上可以初步判别∠BCE=90°,且由△ABC是等腰直角三角形可知∠ACD=45°,即要求∠BCE的度数，只需求∠ACE=45°，由∠B=45°可知，只需证∠ACE=∠B，即可，证角相等，首选三角形全等，由“全等”的视觉要求便知，只需证△ABD≌△ACE即可，不难找到以下全等条件：已知条件AB=AC;由共角模型∠DAE=∠BAC可得∠BAD=∠CAE;已知条件AD=AE，由SAS可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE=∠B=45°，即∠BCE=90°.(2)从审图技巧（拉近已知条件与未知条件的图形位置）角度分析，要找到α、β的数量关系，必须要想办法拉近∠BAC与∠BCE的图形位置关系，拉成“同一个三角形或邻居”，就能找到两者之间的数量关系；∠BCE=∠BCA+∠ACE，而∠BCA与∠BAC本就处于同一个三角形：△ABC中，我们只需把∠ACE也拉到△ABC内，这样∠BAC与∠BCE就在同一个三角形，很容易得出∠BAC+∠BCE=180°；现在只需把∠ACE也拉到△ABC内，题目就解决了。依“解题思路的延续性”，通过（1）中△ABD≌△ACE，可得∠ACE=∠B，就能达到目的。【证明过程】(1)证：∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD与△CAE中，∵AB=AC,∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠B，∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=90°(2)解：α+β=180°，理由是：∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD与△CAE中，∵AB=AC,∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠B，∴α+β=∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°例3.如图，△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过点C的直线于E，直线CE交BA的延长线于点F.求证：BD=2CE【整体思路分析】（1）出现线段的倍分关系，先把等式中的“2”转化掉，把倍分关系转化成线段“一对一”的等量关系，再利用全等知识证明；（2）转化角度有两种：①在图中找出一条线段，使BD长是该线段的两倍；②在图中找出一条线段，使该线段长等于CE的2倍；结合“相等”的图形要求，从审图视觉上就可以排除①，且能初步找到符合②要求的线段：CE=EF、CF=2CE。这样，题目所证结论就转化成了需证BD=CF，找到BD、CF的所在的三角形△BDA与△CFA，依“全等”在图形视觉上的要求，大致可以判断，这两个三角形可能会全等，只需寻找全等条件即可，整体解题思路线就形成了。【具体证明思路步骤】（1）先证CF=2CE，即CE=EF，找CE、EF所在的三角形△BEF、△BEC，只需证△BEF≌△BEC全等即可（注意：一定要养成字母对齐的书写习惯）。结合题目已知条件，不难找到以下全等条件：依BD是角平分线得出的∠FBE=∠CBE；公共边BE=BE；BE⊥CF得到的∠BEF=∠BEC=90°，用ASA便可证明△BEF≌△BEC，依全等性质得EF=CE，进而可得CF=2CE；（2）再证BD=CF，找BD、CF所在的三角形△BAD、△CAF，只需证△BAD≌△CAF全等即可（注意：一定要养成字母对齐的书写习惯）。结合题目已知条件，不难找到以下全等条件：已知条件AB=AC；已知条件∠BAD=∠CAF=90°;还缺一个全等条件。熟悉“8字模型”的同学可直接找出所缺全等条件是：∠ABD=∠ACF；不熟悉的同学，可从这两个三角形的对应字母这个角度去寻找，一一排除，也能找到：∠ABD=∠ACF，利用三角形外角性质即可证明；【解题过程】证：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠FBE=∠CBE，∵BE⊥CF，∴∠BEF=∠BEC=90°，在△BEF和△BEC中，∵∠FBE=∠CBE，BE=BE,∠BEF=∠BEC,∴△BEF≌△BEC，∴EF=CE，∴CF=2CE；∵△ABC中，∠BAC=90°,∴∠BAD=∠CAF,在△ABD和△EDC中，∵∠BDC=∠ABD+∠BAD=∠DCE+∠ACF，∴∠ABD=∠ACF,在△ABD和△ACF中，∵∠ABD=∠ACF，AB=AC,∠BAC=∠CAF,∴△ABD≌△ACF，∴BD=CF，∵CF=2CE,∴BD=2CE；例4.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2,BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE【整体思路分析】（1）此题不仅出现线段的和差关系，还出现了线段的倍分关系，可先用“截长