江西省新余市实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考试数学试卷

2023年12月6日高中数学练习12月6日学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一､单选题1.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（）A.-3B.-4C.3D.42.设是椭圆上一点，到两焦点的距离之差为2，则是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形3.已知双曲线的两个顶点为，双曲线上任意一点（与不重合）都满足的斜率之积为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.4.直线与曲线相交于两点，则直线倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.5.三棱柱中，为棱的中点，若，则（）A.B.C.D.6.在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角大小等于（）A.B.C.D.7.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过右焦点作轴垂线交椭圆于两点，连结并延长交于点，若为的中点，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.8.已知是圆上的动点，是圆上的动点，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题9.已知空间向量，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.在上的投影向量为10.如图，在棱长均相等的正四棱锥中，分别为侧棱的中点，是底面四边形对角线的交点，下列结论正确的有（）A.平面B.平面平面C.D.平面11.以下四个命题表述错误的是（）A.直线恒过定点B.圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于C.曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为D.已知圆为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为12.已知曲线，则下列命题中为真命题的是（）A.若，则是圆B.若，且，则是椭圆C.若，则是双曲线，且渐近线方程为D.若，则是椭圆，其离心率为三､填空题13.2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲､乙､丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐3辆车，沪昆高速杭州入口有共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为__________.14.已知椭圆的左､右焦点分别为，点，若点为椭圆上一点，则的最大值为__________.15.的展开式中的系数是__________.16.已知分别是双曲线的左右焦点，若，则__________.四､解答题17.已知空间三点，设.（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求的值.18.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的方程.19.已知点.（1）求线段的垂直平分线的直线方程；（2）若点到直线的距离相等，求实数的值.20.某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名.（1）若从中任选2人参加两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数；（2）这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数.21.如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中.（1）证明：平面平面；（2）若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.22.在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点.且，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值.23.在中，角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.24.已知正方形的边长为为等边三角形（如图1所示）.沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面是棱的中点（如图2所示）.（1）求证：；（2）求点与平面的距离.25.已知抛物线经过点.过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于.（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，，求证：为定值.2023年12月6日高中数学练习答案一､单选题1.【答案】A【详解】，故存在实数，使得，即，故，解得.故选：A2.【答案】B【详解】试题分析：两焦点分别为：.根据椭圆的定义：到两焦点的距离之和等于，又因为到两焦点的距离之差为2，可求得，到两焦点距离分别为5，3.所以三角形边长分别为.所以是直角三角形选.3.【答案】B【详解】设，由，由，所以，可得，所以，即，所以，所以离心率.故选：4.【答案】B【详解】由可得，整理得到在上有两个不同的根，故，解得或，故直线的倾斜角的范围为：，故选：B5.【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可.【详解】.故选：D.6.【答案】A【详解】取的中点，连接，因为分别为的中点，所以，所以，故为异面直线与所成的角，在正方体中，由分别为的中点，则，即为等边三角形，所以，即异面直线与所成的角大小等于.故选：A7.【答案】A【详解】当时，，所以，则，则，则.故选：A8.【答案】C【详解】由题意可得是圆心为半径为1的圆，是圆心为半径为1的圆，设中点为，由垂径定理得在圆上，又，由图可知，的范围为.故选：C二､多选题9.【答案】BCD【详解】易知，显然，故A错误；易知：，故B正确；易知，故C正确；在上的投影向量，故D正确.故选：BCD10.【答案】ABC【详解】因为为底面四边形对角线的交点，所以为的中点，由是的中点，可得，因为在平面平面，所以平面正确；同理可推得平面，而，所以平面平面，正确；因为平面，故不可能垂直平面错误；设该正四棱锥的棱长为，则，所以，因为，所以正确.故选.11.【答案】BD【分析】选项，变形后得到，求出定点；选项，求出圆心到直线的距离，结合圆心和半径，数形结合得到有且仅有3个点符合题意；选项，根据公切线条数得到两圆的位置关系，结合圆心距列出不等式，求出答案；选项，数形结合得到当取得最小值时，取得最小值，利用点到直线距离公式得到答案.【详解】选项，变形得到，故，解得，所以恒过定点表述正确；选项，圆的圆心到直线的距离，因为圆的半径为，故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于表述错误；选项，曲线与恰有四条公切线，故圆与圆相离，其中变形为，圆心为，半径为1，变形为，圆心为，半径为，故，解得，故圆心距为，所以，解得，则实数的取值范围为表述正确；选项，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，故过点向圆引条切线，有，所以当取得最小值时，取得最小值，的最小值为，故最小值为表述错误.故选：BD12.【答案】BC【详解】解：对于：若，则，原方程为，此时曲线不存在，故A不正确；对于B：由已知得，又，且，所以表示椭圆，故B正确；对于C：若，则是双曲线，但渐近线方程为，故C正确；对于D：由已知得，又，所以，则曲线是焦点在轴上的椭圆，所以，，其离心率为，故不正确，故选：.三､填空题13.【答案】【详解】该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数为，3个窗口各有1辆车在等候的事件含有个基本事件，所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为.故答案为：14.【答案】【详解】如图所示，由椭圆方程为，则，又点，满足，所以点在椭圆内，由椭圆定义可知，即，所以，故答案为：.15.【答案】126【分析】根据展开式的通项公式表示出各部分中的系数，然后利用组合数的性质进行求解.【详解】因为的展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为：.故答案为：126.16.【答案】9【详解】根据双曲线方程可得，再由双曲线定义可得，解得或，又因为，所以可得.故答案为：9四､解答题17.【详解】（1）.（2）.因为向量与互相垂直，所以，即，解得或.18.【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，且双曲线的渐近线为，则，可得，所以，双曲线的渐近线方程为，即，因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，解得，所以，所以双曲线的方程为.（2）若直线轴，则关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，设，设直线的斜率为，则，则，所以，化简得.因为线段的中点为，所以，所以，解得，双曲线渐近线为，直线斜率大于渐近线斜率，故过点的直线与双曲线有两个交点.所以直线的方程为.19.【详解】（1）解：线段的中点为，故线段的中垂线的方程为，即.（2）解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行，若线段的中点为在直线上，则，解得；线段所在直线与直线平行，则，解得.综上所述，或.20.【详解】（1）分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加，选法数为，②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为，所以共有选法种数为；（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：，第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：，第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有：，所以共有不同的分配方案数为：.21.【详解】（1）为等边三角形，，又四边形为梯形，，则，根据余弦定理可知，在中，根据勾股定理可知，，即，平面平面，又平面平面平面；（2）为中点，，由（1）可知，平面平面，又平面平面平面，平面，连接，则，且平面，故，所以两两垂直.以为原点，以为轴正方向，以为轴正方向，以为轴正方向建立空间直角坐标系，则，设且，则，由三棱锥的体积为得：，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，则，故，设平面的一个法向量为，则，令，则，故.所以平面与平面的夹角余弦值为：.22.【详解】（1）由已知圆可化为标准方程：，即圆心，半径，圆可化为标准方程：，即圆心，半径，经分析可得，，则.由题意可知，两式相加得，，所以，点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，所以，轨迹的方程为.（2）由题意直线的斜率一定存在，由（1）知，，则椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为：坐标为.所以，设，将直线方程与椭圆方程联立得恒成立，由韦达定理知，且，则.故（定值）.【点睛】圆锥曲线中取值范围或者定值问题的求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造关系，从而确定参数的取值或者范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的关系建立不等式或者方程，从而求出参数的取值或者范围；（4）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.23.【详解】（1）因为，由正弦定理得，，又，所以，又，所以，故，所以.（2）由余弦定理得，所以，故.24.【详解】（1）如图，取中点，连接交于，为等边三角形，，又平面平面平面，平面平面，故平面，而平面，又，又平面平面平面，平面.（2）设点与平面的距离为，是正方形，为等边三角形，，又平面平面平面，平面平面，故平面，而平面，所以，，在Rt中，，则易得，由（1）知，平面为三棱锥的高，又，得.故点与平面的距离为.25.解：（1）因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.由题意可知直线的斜率存在